Bernhard Riemann w swojej pracy z 1859 roku przedstawia ścisły związek między liczbami pierwszymi, a tak zwanymi nietrywialnymi zerami funkcji dzeta. Praca Riemanna zawierała tak nowatorskie metody, że zapoczątkowała nową dyscyplinę matematyczną - analityczną teorię liczb. Na przestrzeni XIX i XX wieku wielu matematyków, jak do tej pory bez wyraźnego efektu starało się udowodnić prawdziwość tezy lub jej fałszywość. Udowodnienie jej miało by poważny wpływ na problem towarzyszący rozmieszczeniu liczb pierwszych na osi liczbowej. Instytut Matematyczny Claya oferuje nawet milion dolarów nagrody, za udowodnienie lub obalenie tej hipotezy, która brzmi następująco:

Wszystkie nietrywialne zera funkcji dzeta mają część rzeczywistą równą jedna druga.

Funkcja dzeta która jest tematem pracy Riemanna określana jest wzorem:
co można zapisać również w ten sposób:
Szereg ten jest zbieżny dla każdego argumentu s większego od 1. Większego, ponieważ dla s=1, szereg jest już rozbieżny i funkcja dzeta nie ma żadnej wartości. Tak prezentuje się wykres tej funkcji dla s > 1.

Kiedy do powyższej sumy podstawimy liczbę 2, mamy do czynienia z szeregiem który znamy już z problemu bazylejski [czytaj więcej], Na powyższym wykresie widzimy przybliżone wartości, określone już wcześniej przez Eulera, dla s=2, suma równa jest π2/6, co w przybliżeniu daje wartość zauważalną na wykresie..


Wartości funkcji dzeta dla argumentów mniejszych od 1 Wykres funkcji dzeta po przekroczeniu argumentów s=1 na lewo staje się bardziej skomplikowany. Poniższy wykres przedstawia tylko wartości funkcji dla argumentów większych od -10. Kierując się w lewą stronę, wartości funkcji mają tendencję to bardzo stromego opadania lub wzrostu do bardzo niskich lub wysokich wartości. Dzieje się tak co dwa argumenty, gdyż funkcja dzeta zeruję się dla każdego ujemnego parzystego argumentu. Miejscami zerowymi są zatem wszystkie parzyste liczby ujemne.

Jednakże, wszystkie ujemne liczby parzyste zaliczamy do zer trywialnych funkcji dzeta. Aby odpowiedzieć sobie na pytanie gdzie znajdują się zera nietrywialne musimy przenieść się do sfer liczb zespolonych i urojonych. Liczby zespolone to liczby które są elementami rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną - i (√-1) Liczby te rozszerzają koncepcję jednowymiarowej osi liczbowej, nie da się przecież w oczywisty sposób zaznaczyć na niej pierwiastka z liczby ujemnej. Liczby urojone natomiast to liczba która podniesiona do kwadratu daje wartość rzeczywistą ujemną. Każda liczba urojona może zostać zapisana jako bi, gdzie b – jest liczbą rzeczywistą a i – jednostką urojoną (√-1) Liczbą zespoloną nazywamy zaś liczbę a + bi np. 3 + 3√-1

Riemann w swojej pracy zakładał, że dziedzinę funkcji dzeta możemy rozszerzyć do wszystkich liczb zespolonych, za wyjątkiem tych których cześć rzeczywista równa jest 1. Jednak jak należy wyobrażać sobie funkcje zespolone w formie wizualnej? Na przykład aby przedstawić zespoloną funkcję kwadratową, nie posłużymy się zwykłymi wykresami. Funkcje rzeczywiste przedstawiamy na płaszczyźnie pomiędzy dwiema prostymi reprezentującymi argumenty i wartości danej funkcji. Następnie zaznaczamy punkty dla funkcji, które tworzą wykres funkcji. Tak nie da się zrobić dla funkcji zespolonych. Zarówno argumenty jak i wartości funkcji dla swojego rozmieszczenia potrzebują dwóch płaszczyzn. Więc w sumie, aby otrzymać wykres potrzebne są 4 wymiary.

Na poniższym wykresie liczbami zespolonymi oznaczone zostały wierzchołki a, b, c, d kwadratu. Na przykład dla punktu a ma on wartość -0,2 +1,2i. Jeśli zastosujemy do tego kwadratu funkcję kwadratową i pomnożymy przez siebie kolejne wierzchołki np.: (-0,2+1,2i)2 otrzymamy -1,4 - 0,48i. Po postąpieniu tak z każdym z punktów na bokach kwadratu otrzymamy zniekształcony kwadrat również przedstawiony na wykresie. Kiedy mamy do czynienia z funkcją zespoloną, o płaszczyźnie można myśleć jako o płachcie z gumy nieskończenie rozciągniętej i obserwować działanie funkcji na tę płachtę. Bernhard Riemann rozwinął całą teorię, nazywaną teorią powierzchni Riemanna. Daje ona wgląd w zachowanie się funkcji zespolonych. Łączy ze sobą dwie dziedziny matematyki - algebrę i topologię.

Poniższy wykres przedstawia płaszczyznę argumentu na których zaznaczone punkty są wysyłane przez funkcję dzeta do prostej rzeczywistej lub prostej urojonej. Argumenty w miejscach, gdzie linie rzeczywiste przecinają się z urojonymi to miejsca zerowe. Linie które wychodzą poza prawą krawędź odwzorowują dodatnią oś rzeczywistą, tj. na prawo od pasa krytycznego. Jest tam znacznie mniejsza aktywność niż po lewej stronie wykresu, na lewo od punktu 1. Jednak najbardziej interesującym elementem tego wykresu jest pas krytyczny znajdujący się pomiędzy 0, a 1.

Wzór który widzimy na wykresie powtarza się zgodnie z tym jak idziemy w górę. Zera funkcji dzeta pojawiające się w pasie krytycznym, a dokładniej na prostej 1/2 pojawiają się gęściej wraz z tym jak idziemy w górę. Istnieje wzór określający przybliżone odległości między kolejnymi zerami ~ 2 π / log(t/2π) Alternatywny sposób ukazania funkcji polega na przedstawieniu płaszczyzny wartości funkcji, a nie argumentu. Zakładając, że pomiędzy tymi dwiema płaszczyznami występuje pewien rodzaj synchronizacji, to na poniższym wykresie, ukazującym płaszczyznę wartości, kiedy weźmiemy dowolny argument na płaszczyźnie argumentów, na płaszczyźnie wartości zaznaczona będzie odpowiadająca mu wartość. Pokazuje nam to poniższy wykres, jeżeli weźmiemy argumenty na prostej krytycznej zaczynając od 1/2 idąc w góre, to wartości na wykresie określającym płaszczyznę wartości rozpoczną się od -1,46035. Następnie wykres wykonuje półokrąg, okrążając punkt 1. Następnie przecina punkt 0, na przecięciu dwóch osi - to jest pierwsze miejsce zerowe funkcji dzeta znajdujące się na prostej krytycznej i wynosi 1/2 +14,134725i. Rysunek pokazuje płaszczyznę wartości.

I to właśnie zakłada hipoteza Riemanna, że wszystkie nietrywialne zera, czyli nie te które są ujemnymi parzystymi liczbami rzeczywistymi, znajdują się na tej prostej krytycznej, czyli lini na której leżą wszystkie te liczby zespolone których część rzeczywista równa jest 1/2. Wiemy na pewno, że wszystkie z nich leżą w pasie krytycznym, pomiędzy zerem, a jeden, ale nie wiemy czy wszystkie leżą na prostej krytycznej.

Udowodnienie tej hipotezy wiąże się albo z udowodnieniem tego, że wszystkie zera nietrywialne leżą na linii krytycznej lub znalezienie zera nietrywialnego które na niej nie leży. Nagroda miliona dolarów przyznawana jest za udowodnienie lub obalenie hipotezy Riemanna. Do tej pory odkrytych zostało bardzo wiele zer leżących na tej prostej, jednak nadal nie jest to rozwiązanie problemu. Liczba znanych do tej pory miejsc zerowych sięga 10,000,000,000,000.

Mimo wielu postępów w badaniach nad hipotezą które trwają nieprzerwanie od 150 lat, matematycy są jeszcze daleko od rozwiązania problemu który stanowi hipoteza. Wnioskiem który płynie z memoriału Riemanna jest stwierdzenie, że zbadanie i dogłębne poznanie własności funkcji zeta stanowi klucz do zrozumienia zasad które kierują rozmieszczeniem liczb pierwszych. Udowodnienie tej hipotezy miało by też konsekwencje w teorii liczb, zwłaszcza tej która wykorzystuje metody analityczne. Znaczna część analitycznej teorii liczb została stworzona w taki sposób aby radzić sobie bez Hipotezy Riemanna, czyli zakładając, że jest nieprawdziwa. Udowodnienie Hipotezy Riemanna uprościłoby dowody istniejących twierdzeń i na ich wzmocnienie. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% z nich leży na prostej krytycznej.