A więc, skoro zbiór Mandelbrota to podzbiór płaszczyzny zespolonej, możemy sprawdzić czy dany punkt, należy do tego podzbioru.
Zbiór może zostać opisany tym równaniem rekurencyjnym$${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0,\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+p.\end{cases}}}$$ gdzie $p$ oznacza dowolną liczbę zespoloną.
Jeśli wynik nie dąży do nieskończoności to dany punkt należy do zbioru
Sprawdźmy czy dana liczba należy do zbioru Mandelbrota. Jako $p$ - naszą liczbę zespoloną, weźmy $1$ (Można zapisać jako $1 + 0i$)
Zaczynamy z $z = 0$
$z_0 = 0^2 + 1 = 1$, Wynik $1$ staje się nową wartością $z$
$z_1 = 1^2 + 1 = 2$, Wynik $2$ staje się nową wartością $z$ itd.
$z_2 = 2^2 + 1 = 5$
$z_3 = 5^2 + 1 = 26$
Jak widać wynik ciągle rośnie i będzie rósł, aż do nieskończoności. A więc $p = 1$ nie należy do zbioru Mandelbrota
Sprawdźmy dla innej liczby
$p = -1$, inaczej $p = -1 + 0i$
$z_0 = 0^2 + (-1) = -1$
$z_1 = (-1)^2 + (-1) = 0$
$z_2 = 0^2 + (-1) = -1$
Tutaj możemy zauważyć, że wynik będzie równy $0$ lub $-1$, czyli nie dąży on do nieskończoności
A więc $p = -1$ należy do zbioru Mandelbrota
Wszystko co należy do zbioru Mandelbrota musi być w odległości $2$ od środka płaszczyzny. Możemy pokolorować liczby nie należące do zbioru w owy sposób:
W zależności od tego, jak szybko dana liczba będzie większa od $2$, możemy przypisać jej inny kolor. Np. gdy liczba nie należy do zbioru po 10 "krokach" (iteracjach) równania, dajemy temu punktowi inny odcień,
niż jeśli liczba nie należy do zbioru po 50 krokach.
Przykładowy efekt takiego zabiegu
