Starałem się, aby były one podane chronologicznie, zgodnie z kolejnością artykułów.
Jeżeli nie znasz odpowiedzi, lub chcesz ją sprawdzić, wystarczy kliknąć przycisk "Zobacz rozwiązanie!", a następnie ukaże się odpowiedź. Dla bardziej skomplikowanych geometrycznie zadań
przygotowana została również wizualizacja w programie (tak jak wcześniej - wystarczy wpisać kod)(wizualizacje nie były tworzone w poprawnej skali, mają jedynie charakter pomocniczy).
Zadania nie są nadzwyczajnie trudne, bowiem mają one jedynie utrwalić część nabytej wiedzy (przez pisanie łatwiej przyswajamy nowe informacje). Życzę powodzenia!
1. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta α dla danego trójkąta prostokątnego:
W drugim artykule (przypomnienie ze szkoły średniej) poznaliśmy wzory na sinus, cosinus, tangens (tutaj).
Jedyna trudność tego zadania polega na przypomnieniu sobie tych wzorów. Dla przykładu sin α = a/c, wystarczy że podstawimy długości boków i uprościmy wyrażenie.
Postępujemy analogicznie dla pozostałych dwóch funkcji trygonometrycznych. Obliczenia będą wyglądały następująco:
2. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α umieszczonego w układzie współrzędnych, jeśli na ramieniu końcowym tego kąta leży
punkt P = (-4; 8).
Sposób rozwiązywania jest podobny, aczkolwiek nie aż tak oczywisty. Wszystko zostało wytłumaczone tutaj.
Tak jak wcześniej naszym zadaniem jest poprostu podstawienie danych do wzoru:
3. Oblicz: a) b)
Kluczowym elementem tego zadania jest redukcja podanych funkcji trygonometrycznych. Było to opisane tutaj. Po redukcji
wystarczy uprościć wyrażenie i odpowiedź jest gotowa!
4. Wyznacz wszystkie miejsca zerowe funkcji y = sin (1/2 · x), która jest widoczna poniżej:
Miejsca zerowe funkcji to takie argumenty x dla których funkcja przyjmuje wartość 0. Oprócz tego wiemy, że funkcje trygonometryczne ciągną
się w nieskończoność, oraz, że podstawowy okres sinusoidy to 2π. O sinusoidzie uczyliśmy się tutaj. Nasz x jest mnożony przez 1/2, dlatego okres będzie dwa
razy większy (4π). Pierwsze miejsce zerowe znajdziemy dla x = 0. Miejsca zerowe powtarzają cię co 2π (2 miejsca zerowe na okres 4π), dlatego odpowiedź do tego zadania brzmi:
dla k ∈ C
x0 = 2 · k · π
5. Długość boku BD wynosi 120o. Oblicz długość boku AD. (WST2.4)
Omawialiśmy to tutaj. Po prostu suma BD i AD ma dać 180o. Wykonujemy prostą kalkulację:
6. Dany jest trójkąt sferyczny ABC, którego długości boków wynoszą 30o, 45o i 60o. Oblicz kąty D, E i F trójkąta sferycznego DEF,
biegunowego względem trójkąta sferycznego ABC. Wynik podaj z dokładnością co do stopnia. (WST3.1)
W trójkątach biegunowych wobec siebie zachodzą ciekawe zależności. Omawialismy my to tutaj.
W tym konkretnym przypadku skorzystamy z zależności mówięcej, że boki i kąty dwóch trójkątów sferycznych biegunowych względem siebie spełniają się parami do 180o.
Podane mamy boki trójkąta sferycznego ABC, a interesują nas kąty trójkąta DEF. Wiemy że bok trójkąta ABC zsumowany z kątem naprzeciw danego boku daje 180o, więc wystarczy ułożyć proste równania:
7. Dany jest trójkąt sferyczny ABC. Długość boku AC jest równa długości boku BC. Kąt A jest równy 75o. Oblicz wartosć kąta B.
Jeżeli w trójkącie sferycznym dwa boki są równe, to i kąty leżące naprzeciw tych boków są równe. Skoro a i b są sobie równe, to kąt B = A. B = 75o
8. Trójkąt sferyczny BCD jest sprzężony z trójkątem pierwotnym ABC. Długość łuku CD wynosi 150o. Wartość kąta C dla trójkąta ABC wynosi 30o. Długość boku BC jest równa 15o.
Podaj przybliżoną wartość długości łuku AB. (ZAD1.8)
Już informacja mówiąca, że należy podać przybliżoną długość łuku AB świadczy, że nie będzie to tylko dodawanie i odejmowanie. Powinniśmy się zastanowić
jaki wzór pozwala nam obliczyć dany bok - wzory na cosinus boku. Do wykorzystania wzoru brakuje nam jednak jeszcze boku AC, który bez problemu możemy
obliczyć ze względu na sprzężenie trójkątów sferycznych. Następnie podstawiamy dane do wzoru na cosinus boku c. Wystarczy, że po obliczeniach sprawdzimy dla jakiego kąta cosinus bedzie równy obliczonej wartości. Będzie to wyglądało tak:
9. Dany jest trójkąt sferyczny ABC. Kąt C trójkąta sferycznego jest równy 90o. Bok c leżący naprzeciw wierzchołka C ma miarę 100o, natomiast
długość boku a leżącego naprzeciw wierzchołka A wynosi 60o. Oblicz wartość kąta A z dokładnością do stopnia. (ZAD1.9)
W tym przypadku nie uda nam się skorzystać z twierdzenia cosinusów. Mamy podane 2 długości boków i jeden kąt. Szukając wzoru, z którego możemy obliczyć
drugi kąt natrafimy na wzory sinusów omawiane tutaj.
10. Dany jest prostokątny trójkąt sferyczny ABC. Bok a tego trójkąta jest równy 83o, a bok b 75o. Oblicz długość boku c.
Ponieważ ten trójkąt sferyczny jest prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, o którym można przeczytać tutaj.
11. Dany jest trójkąt sferyczny ABC. Oblicz wysokość tego trójkąta, jeżeli bok a jest równy 60o, a kąt C = 45o. Wynik podaj z dokładnością co do stopnia. (PTS1.7)
Poznaliśmy tylko jeden wzór dzięki któremu możemy obliczyć wysokość, więc go użyjmy. Była o nim mowa tutaj.
12. Dany jest trójkąt sferyczny ABC. Bok a = 76o24'40'', b = 58o18'36'' i kąt C = 118o30'28''. Oblicz wartość boku c.
Zacznijmy od tego, że minuty i sekundy w podanych bokach i kącie będą w przyszłości niewygodne. Zamieńmy wszystko na stopnie:
Pierwsza myśl, która powinna nam przyjść do głowy, gdy dany mamy kąt i dwa boki to twierdzenie cosinusów (tutaj).
Po podstawieniu danych wyliczymy bok c:
Źródła wiedzy:
- N. Stiepanow - Trygonometria Sferyczna (1960)
- http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa2013/Lively/Spherical%20Triangles/Solving_Spherical_Triangles.pdf
