9. Zakończenie

Nastał moment, w którym piszę ostatni artykuł. Nie znaczy to jednak że jest on mniej ważny! Na początku chciałbym podkreślić kilka uwag dotyczących rozwiązywania trójkątów sferycznych:

1. Gdy wyznaczamy szukaną wartość przez sinus, to zadanie jest możliwe do rozwiązania, gdy wartość bezwzględna tego sinusa nie przekracza 1. W takim przypadku możemy mieć dwa rozwiązania, ponieważ dla każdej wartości dodatniego sinusa odpowiadają dwie wartości elementu: mniejsza od 90^o i druga stanowiąca dopełnienie pierwszej do 180^o.
2. Gdy wyznaczamy poszukiwany element przez cosinusa, to rozwiązanie otrzymamy tylko, gdy wartość cosinusa będzie zawarta w przedziale od -1 do 1.
3. Gdy szukamy jakiegoś elementu przez tangens lub cotangens to zadanie zawsze będzie miało rozwiązanie, ponieważ wartości tej funkcji należą do przedziału liczb rzeczywistych.
4. Zanim przystąpimy do rozwiązywania trójkąta sferycznego nalezy sprawdzić, czy wartości danych elementów odpowiadają warunkom istnienia trójkąta, o których możesz poczytać tutaj.

Teraz chciałbym podsumować nabytą wiedzę. Zacznijmy od wzorów trygonometrii sferycznej. Podczas czytania artykułów poznałeś/aś aż 19 nowych wzorów! Pozwolę je teraz wymienić (Kliknij w nazwę wzoru, by dowiedzieć się o nim więcej!).

Wzory na cosinus boku
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos B
cos c = cos b · cos a + sin b · sin a · cos C

Wzory sinusów


Wzory o pięciu elementach
sin b · cos A = sin c · cos a - cos c · sin a · cos B
sin c · cos B = sin a · cos b - cos a · sin b · cos C
sin a · cos B = sin c · cos b - cos c · sin b · cos A
sin b · cos C = sin a · cos c - cos a · sin c · cos B
sin c · cos A = sin b · cos a - cos b · sin a · cos C

Wzory na cosinus kąta
cos A = - cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos B = - cos C · cos A + sin C · sin A · cos b
cos C = - cos A · cos B + sin A · sin B · cos c

Wzory o czterech elementach
sin a · ctg b - sin C · ctg B = cos a · cos C
sin b · ctg c - sin A · ctg C = cos b · cos A
sin b · ctg a - sin C · ctg A = cos b · cos C
sin c · ctg b - sin A · ctg B = cos c · cos A
sin a · ctg c - sin B · ctg C = cos a · cos B

Twierdzenie Pitagorasa
cos a = cos b · cos c

Wzór na sinus przyprostokątnej
sin b = sin a · sin B
sin c = sin a · sin C

Wzór na tangens przyprostokątnej
tg c = tg a · cos B
tg b = tg a · cos C


Tutaj znajdują się wszystkie dostępne kody do programu wizualizującego geometrię sferyczną:

WST1.1;WST1.2;WST2.1;
WST2.2;WST2.4;WST2.5;
WST2.6;WST3.1;WST3.5;
WZR1.1;WZR2.0;WZR2.7;
PTS1.7;ZAD1.8;ZAD1.9

Tak jak obiecałem we wstępie, przedstawiam czwarte narzędzie. Jest to kalkulator, który po podaniu 3 danych oblicza cały trójkąt sferyczny! Znajdziesz go tutaj. Ponadto narzędzie opisuje w jaki sposób zostało rozwiązane dane zadanie, oraz informuje czy obliczony trójkąt jest prawidłowy, czy też nie. Jeżeli dany trójkąt nie może istnieć, to program podaje informację dlaczego. Jest to narzędzie dedykowane szczególnie ludziom, którzy chcą tworzyć zadania z trygonometrii sferycznej. W połączeniu z programem do wizualizacji daje duże pole do manewru. Dzięki programowi możemy sprawdzić, czy dane zadanie jest możliwe do rozwiązania, oraz czy nasze obliczenia są prawidłowe! Dla przykładu pozwólmy programowi rozwiązać zadanie 9 z tego artykułu. Po wprowadzeniu danych poznanych w zadaniu, kąt A powinien być równy ok. 62^o. Tak też odpowiada program:


Ciekawym faktem jest, że podczas czytania artykułów przeczytałeś/aś około 1115 linii tekstu! Mam nadzieję, że ten czas nie poszedł na marne! Ponadto miałeś/aś okazję zaznajomić się z ponad 80 elementami takimi jak rysunki pomocnicze, wizualizacje, filmy czy animacje gif. Oprócz tego, poznałeś/aś ponad 20 twierdzeń nie związanych ze wzorami i około 20 definicji. Do dyspozycji były 3 programy ułatwiające naukę! Pracę nad stroną zacząłem 13 listopada 2019r., a główne cele ukończyłem 9 lutego 2020r. (potem naprawiałem błędy i szlifowałem niedoskonałości). Dziennie nad stroną (średnio) pracowałem 2 godziny. (Czasem zdarzały się sesje nawet pięcio godzinne, a czasem tylko pół godzinne (głównym założeniem było, abym codziennie zrobił cokolwiek). Prosta matematyka i dowiadujemy się, że czas pracy nad stroną (począwszy od grafik, tekstu, aż do strony i programów) wyniósł około 176 godzin. W czas ten nie wliczam szukania materiałów oraz prywatnej nauki tych zagadnień.

Podsumowując, dziękuję za wizytę na tej stronie. Mam nadzieję, że czas który poświęciłeś/aś i Ty i ja nie pójdzie na marne.