\documentclass[11pt,titlepage]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{bm}
\usepackage{floatflt}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{float}
\setlength{\textwidth}{20cm}
\setlength{\textheight}{29cm}
\setlength{\voffset}{-4cm}
\setlength{\hoffset}{-4cm}




\begin{document}
\begin{center}
ZESTAW 1
~\\
\begin{Large}
\bf{Matematyka a  kinematyka }
\end{Large}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Dane są dwa wektory:
$\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}$ i
$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}$ 
Obliczyć:\\
a) długość każdego wektora,\\
b) iloczyn skalarny $\vec{a}\cdot\vec{b}$\\
c) kąt zawarty między nimi,\\
d) sumę i różnicę $\vec{a}+\vec{b}$ i  $\vec{a}-\vec{b}$,\\
e) iloczyn wektorowy $\vec{a}\times\vec{b}$.

%\item Na płaszczyźnie określamy dwa układy współrzędnych: kartezjański $(x,y)$ oraz $(x',y')$, które są związane relacją:
%$x'= x \cos theta-y \sin \theta$, $y'= x \cos theta+y \sin \theta$, gdzie $\theta=const$.
%Oblicz element długości w układzie  $(x',y')$ oraz wykaż, że jest równy elementowi długości w układzie $(x,y)$.

\item Dwie cząstki zostały wysłane z jednego źródła i po pewnym 
czasie przemieszczenia ich wynoszą:\\
$\vec{r_1}=4\hat{i}+3\hat{j}+8\hat{k}$  i 
$\vec{r_2}=2\hat{i}+10\hat{j}+5\hat{k}$.\\
a) Narysować położenia cząstek i napisać wyrażenie na przemieszczenie
 $\vec{r}$ cząstki 2 względem 1.\\
b) Obliczyć kąty pomiędzy wszystkimi możliwymi parami tych trzech 
wektorów.\\
c) Obliczyć rzut $\vec{r_1}$ na $\vec{r_2}$.\\
d) Obliczyć iloczyn wektorowy $\vec{r_1}\times\vec{r_2}.$

\item Oblicz pochodną funkcji $y = (2x^2 -5x+1)~e^x $.

\item Oblicz pochodną funkcji $\displaystyle y=\frac{x+1}{x-1}$ .

\item Oblicz pochodną funkcji $y = (x^2 -x+1)^2 $. 


\item Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w 
następujący sposób:\\
$\vec{r}=5t\hat{i}+\exp(-t)\hat{j}+\sin(4t)\hat{k}$\\
Znajdź zależność prędkości i przyspieszenia od czasu tego punktu
materialnego.

\item Położenie punktu materialnego w czasie opisane jest równaniami: $x(t)=R\cos \omega t$, $y(t)=R \sin \omega t$ ($\omega=const$). Oblicz prędkość i przyspieszenie tego punktu oraz znajdź kąt pomiędzy tymi wektorami.

\item Oblicz całki nieoznaczone: $\displaystyle \int(x^2+x+1) ~dx$ ,
 $\displaystyle \int \sqrt x~dx$
\item Oblicz całki oznaczone: $\displaystyle \int_{0}^{1} (3x^2+1)~dx$,
$\displaystyle \int_{-\infty}^{x'} \frac{1}{x^2} ~dx$, 
$\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x} ~dx$.

\item Ciało ma prędkość podaną równaniem: $v_x(t)=v_0 \cos \omega t$, $v_y(t)=v_0 \sin \omega t$, $v_z(t)=a~t$ ($v_0$, $a$ i $\omega$ to stałe). Znajdź odległość tego ciała od początku układu współrzędnych, jeśli $\vec{r(t=0)} = 0$.

\item Zależność drogi od czasu pewnego ciała można przedstawić
 równaniem: $s(t)=A+Bt+ct^2$, gdzie A=3m, B=2 m/s, C=1 $m/s^2$.
 Oblicz średnią 
prędkość i przyspieszenie ciała w pierwszej, drugiej i trzeciej
 sekundzie ruchu.
 
 \item Odległość $S$ pokonują jednocześnie dwaj biegacze A i B. Biegacz A przebiega pierwszą połowę dystansu z szybkościa $v_1$, a drugą połowę z szybkością $v_2$. Biegacz B przez pierwszą połowę czasu zużytego na przebycia całego dystansu biegnie z szybkością $v_1$, a przez drugą z szybkościa $v_2$. Który z biegaczy finiszuje wcześniej? O jaką odległość $\Delta S$ wyprzedzi on drugiego biegacza? 
 
 \item Rowerzysta jedzie z jednego miasta do drugiego. Połowę drogi
przebywa z prędkością 12~km/h, połowę pozostałego czasu jedzie z
prędkością 6~km/h, a natępnie do końca drogi idzie pieszo z prędkością
4~km/h. Wyznaczyć średnią prędkość ruchu rowerzysty na całej drodze. 

\end{enumerate}

\begin{flushright}
\begin{small}
\textit{Agnieszka Obłąkowska-Mucha}\\
 http://home.agh.edu.pl/$\tilde{~}$amucha
\end{small}
\end{flushright}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
ZESTAW 2
~\\
\begin{Large}

\bf{Kinematyka }

\end{Large}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Punkt materialny porusza się zgodnie z równaniami: $\displaystyle x~=~a(e^{kt}~+~e^{-kt})$ oraz $\displaystyle y~=~a(e^{kt}~-~e^{-kt})$, gdzie $a$ i $k$ są stałymi, a $t$ jest czasem ruchu. Znajdź równanie toru, po jakim porusza sie ten punkt oraz prędkość i przyspieszenie.

\item Ruch pewnego ciała można w kartezjańskim układzie współrzędnych
opisać równaniami:\\
$v_y(t)=v_{0y} \,-\,a_y \cdot t$\\
$y(t)~=~v_{0y}\cdot t ~-~a_y\cdot t^2/2$,\\
gdzie:  $v_y$ i $a_y$ to współrzędne prędkości i przyspieszenia, a $t$ oznacza czas, a $v_{0y}$=10 m/s.\\
a) Wyznacz kształt toru, po którym porusza się to ciało.\\
b) Oblicz czas wznoszenia $t_w$ i maksymalną wysokość $h_{max}$ na jaką wzniesie się to ciało.\\
c) Udowodnij, że czas wznosznia jest równy czasowi spadania oraz, że szybkość początkowa i końcowa są równe.\\
d) Narysuj wykresy $y(t)$, $v_y(t)$ i $a(t)$ w przedziale czasu $[0,\,2t_w]$.\\
e) Oblicz, na jakiej wysokości znajdzie się ciało po połowie czasu wznoszenia i jaka będzie wówczas wartość jego prędkości.\\
f) Oblicz, po jakim czasie ($t_1$ i $t_2$) ciało znajdzie się na połowie maksymalnej wysokości i jaka będzie wówczas jego szybkość.

\item Maksymalna prędkość, jaką może osiągnąc pewien sprinter wynosi 11~m/s. Poruszając się ze stałym przyspieszeniem, osiąga on tę prędkość w odległości 12~m od linii startu, a następnie utrzymuje ją aż do końca biegu na 100~m. a) Po jakim czasie od startu dobiega on do mety? b) Aby skrócić czas biegu, sprinter stara się zmniejszyć drogę, na jakiej osiąga on swoją maksymalną prędkość. Ile musi wynosić ta droga, aby jego czas zmniejszył się do 10~s? %Walker s.11 zad 94

\item Ciało spada z wieży. W chwili $t_0$, gdy przebyło ono drogę równą $d$,
z punktu położonego o $h$ poniżej wierzchołka wieży zaczęło spadać drugie
ciało. Oba ciała spadają na ziemię w tym samym czasie. Obliczyć wysokość 
wieży.
          
\item Samolot bojowy leci równolegle do ziemi na wysokości $H$ z
prędkością $v$. Gdy samolot przelatuje nad działem przeciwlotniczym,
z działa oddano strzał. Jaki powinien być kąt nachylenia działa, aby
kula trafiła w samolot, jeżeli prędkość kuli wynosi $v_0$?

\item  Z brzegu szczeliny o gładkich ścianach odległych od siebie
o $x_0$ wystrzelono małą kulkę stalową z prędkością $v_{0x}$ w 
kierunku poziomym. Kulka odbija się od ścian szczeliny opadjąc w dół.
W jakich odległościach znajdują się punkty kolejnych odbić kulki od ścian szczeliny? 
%KR

\item Koło o promieniu r=10 cm obraca się z takim przyspieszeniem,
 że liczba jego obrotów wzrasta o $n_0$=1/2 na s. 
Znaleźć w końcu drugiej sekundy:\\
a) prędkość kątową obrotów koła,\\
b) prędkość liniową punktów na obwodzie koła,\\
c) normalne, styczne i pełne przyspieszenie punktów na obwodzie.

\item Jakie jest przyspieszenie obiektu na równiku i na równoleżniku 
$60^0$ dzięki obrotowi Ziemi?\\
O ile musiałaby się zwiększyć prędkość obrotów Ziemi dla ciała
 na równiku, aby przyspieszenie ziemskie $g$ nie było w stanie utrzymać
 tego ciała na Ziemi?  (R$_{Ziemi}$=6370 km).
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
ZESTAW 3
~\\
\begin{Large}
\bf{Dynamika }
\end{Large}
\end{center}

1. Na samochód o masie 1000 kg, poruszający się z prędkością
72 km/h po prostym torze poziomym, w pewnej chwili zaczęła działać
siła hamuąca $F$ skierowana przeciwnie do ruchu. Jaka jest wartość siły
$F$, jeżeli samochód zatrzymał się po upływie 5 s. Jaką odległość
przejedzie do chwili zatrzymania?\\


2. Dwa odważniki, każdy o masie m=400g, zrównoważone są na krążku
 nieruchomym na wysokości h=5 m nad powierzchnią Ziemi. Po jakim czasie 
spadnie jeden z odważników na Ziemię, jeżeli położy się na niego bez
 pchnięcia ciało o masie $m_1
$=100 g. 
Zakładamy, że krążek porusza się bez tarcia i jego masę można 
zaniedbać. \\

\begin{floatingfigure}[r]{40mm}
%\vspace{0.7cm}
\includegraphics[scale=0.2]{klocki_2_1.eps}
 \end{floatingfigure}
3. Na gładkiej równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem
60$^0$ znajduje się ciało o ciężarze 500 N utrzymywane w równowadze przez
siłę $R$ działającą w kierunku równoległym do podstawy równi.
Obliczyć wartość tej siły oraz wartość siły nacisku działającej
na równię.\\
\begin{floatingfigure}[r]{40mm}
%\vspace{0.7cm}
\includegraphics[scale=0.2]{dynamometry.eps}
 \end{floatingfigure}
4. Trzy klocki połączone ze sobą w sposób pokazany na rys.
 Znaleźć naprężenia wszystkich nici i przyspieszenie układu.\\


5. Traktor ciągnie zaczepioną na linie gładką płytę kamienną o masie $m$ po poziomej powierzchni na odcinku drogi $s$. Współczynnik tarcia wynosi $\mu_0$. Jaki kat $\alpha_0$ powinna tworzyć lina z powierzchnią, aby naprężenie liny było najmniejsze?\\

\begin{floatingfigure}[r]{40mm}
%\vspace{0.7cm}
\includegraphics[scale=0.15]{dwie_masy.eps}
 \end{floatingfigure}
6. Jaką siłę należy przyłożyć do masy $M$ (rys.), aby poruszała się ona
z przyspieszeniem $a$? Siła tarcia działa tylko między masą $m$ a $M$, a
współczynik tarcia wynosi $\mu$.\\

7. Wyznaczyć wskazania dynamometrów $A$ i $B$ w układzie przedstawionym
na rysunku, jeśli $m_1$=300~kg, a $m_2$=100~kg. Masy bloczków można
zaniedbać.\\

\begin{floatingfigure}[r]{45mm}
%\vspace{0.7cm}
\includegraphics[scale=0.2]{dwie_rownie.eps}
 \end{floatingfigure}
8. Równie pochyłe o kątach nachylenia $ \alpha$ i $ \beta $ złączono jak na rysunku. Na wysokości $ h $ położono ciało, które zaczęło się zsuwać z równi bez tarcia, a następnie wznosić się na drugą równię. Korzystając jedynie z metod kinematycznych wyznacz okres ruchu ciła po tych równiach.\\

\begin{floatingfigure}[r]{45mm}
%\vspace{0.7cm}
\includegraphics[scale=0.33]{klocki_rownia.eps}
 \end{floatingfigure}
9.  Z jakim przyspieszeniem powinien poruszać się wózek, aby położenie mas $ m_1$ i $ m_2$ pozostawało takie samo? Współczynnik tarcia między masami i wózkiem wynosi $ k $.\\


10. Bardzo mały sześcian o masie $m$ znajduje się wewnątrz lejka
obracającego się wokół pionowej osi, ze stałą szybkością $\nu$~obr/s.
Ściana lejka tworzy z poziomem kąt $\alpha$. Współczynnik tarcia
statycznego pomiędzy sześcianem a lejkiem wynosi $f$, a odległość 
środka sześcianu od osi obrotu wynosi $r$. Jaka jest największa i
najmniejsza wartość $\nu$, przy której sześcian nie będzie się poruszał
względem lejka? \\

11. Gładki klin o masie $M$ ma przekrój trójkata o katach przy podstawie równych $\theta_1$ i $\theta_2$. Na klinie znajdują się dwa ciężarki o masach $m_1$ i $m_2$, połączone nierozciągliwą nicią przerzuconą przez nieważki bloczek umieszczony na wierzchołku klina. Początkowo układ jest  w spoczynku. Z jakim przyspieszeniem będzie poruszać się klin, jeśli przyjąć, że stoi on na gładkiej powierzchni poziomej? 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
ZESTAW 4
~\\
\begin{Large}
\textbf{Praca, energia, pęd}
\end{Large}
\end{center}

1. Bryła lodu ulega przemieszczeniu $\vec d= 15m\, \hat i\, -12m\, \hat j$ po linii prostej przez siłę: $\vec F=210N\,\hat i\,-\,150N\, \hat j$. Jaką pracę wykonuje ta siła? \\ 

 \begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.35]{blok_3f.eps}
\end{floatingfigure}
2. Na rysunku pokazane są trzy siły przyłożone do bloku, który przesuwa się o 3 metry po gładkiej podłodze. Wielkości sił wynoszą: $F_1$= 5N, $F_2$= 9N i  $F_3$= 3N. Podczas ruchu:\\
a) jaka jest wpadkowa siła działajaca na to ciało.\\
b) jaka jest zmiana energii kinetycznej tego ciała?\\

3.  Pociąg o masie $m$ jedzie ruchem jednostajnym po torze 
prostoliniowym. Jaką pracę wykonuje silnik lokomotywy na drodze $s$, 
jeżeli opory ruchu można opisać współczynnikiem tarcia $\mu$,
 a ruch odbywa się:\\
a) po torze poziomym,\\
b) po torze nachylonym pod kątem $\alpha$ do poziomu i pociąg jedzie
pod górę,\\
c) po torze nachylonym pod kątem $\alpha$ do poziomu i pociąg jedzie
w dół.\\

4. Człowiek przesuwa  ruchem jednostajnym skrzynię
o ciężarze 1000 N po podłodze na drodze 10 m.
Jaką siłą $F$ musi on działać na skrzynię, jeżeli
kierunek działania zorientowany jest po kątem 30$^0$
do poziomu? Jaką wykona przy tym pracę? Współczynnik
tarcia wynosi $\mu$. Rozważyć przypadki:\\
a) człowiek pcha skrzynię,\\
b) człowiek ciągnie skrzynię.\\


5. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej o
kącie
nachylenia $\alpha=30^0$ oraz średnią i maksymalną moc urządzenia 
wciągającego, jeżeli masa ciężaru wynosi 100 kg, długość równi 2
m, współczynnik tarcia 0.1, a przyspieszenie wciągania 1 m/s$^2$.
U podnóża równi ciężar był w spoczynku. \\

6. Oblicz średnią moc silnika samochodu o masie 1000 kg, który
poruszając się ruchem jednostajnie zmiennym w ciągu czasu 10 s od początku ruchu uzyskał prędkość 50 km/h. Współczynnik tarcia wynosi f=0.01.\\

7. Z wiatrówki strzelono do kawałka wosku leżącego w odległości 
$l$=50~cm od końca stołu. śrut o masie $m$ = 1~g, lecący poziomo z
 prędkością $v$=~150 m/s przebija wosk i leci dalej z prędkością
 $0.5~v$. Masa kawałka wosku wynosi $M$=50~g. Przy jakim współczynniku
 tarcia wosku o stół, wosk spadnie ze stołu?\\
 
8. Kamień o masie $m$ został rzucony w górę z prędkością 
początkową $v_0$. Spadając kamień minął miejsce wyrzucenia i wpadł
do studni o głębokości $l$. \\
a) Obliczyć wysokość $h$, na jaką wzleci kamień, korzystając z
zasady zachowania energii.\\
b) Z jaką prędkością kamień doleciał do dna studni?\\
c) Jaka siła działała na kamień po wyrzuceniu? Czy praca tej siły jest
dodatnia czy ujemna? \\

9. Aby ścisnąć sprężynę z położenia równowagii $x_1$=0 o $\Delta x$ nalezy wykonać pewną pracę $W_1$. Aby następnie ścisnąć ją o kolejny odcinek $\Delta x$ należy wykonać pracę $W_2$. Jaki jest stosunek prac $W_1/W_2$?\\

10. Obliczyć pracę w polu grawitacyjnym Ziemi potrzebną na podniesienie ciała o masie $m$ z wysokosci $h_1$ na wysokość $h_2$. Promień Ziemi wynosi $R_Z$. % Piekarski Kurzyk
~\\
~\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
ZESTAW 5
~\\
\begin{Large}
\bf{Zasada zachowania  energii i pędu }
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Wahadło matematyczne składa się z nici o długości $l$ i
 kulki o masie $m$. W chwili gdy kulka ma prędkość $v_0$, nić wahadła
 tworzy z pionem kąt $\theta _0$ $(0<\theta _0< \pi /2)$. Przy pomocy $g$
 oraz przy pomocy podanych wyżej wielkości określić:\\
a) całkowitą energię mechaniczną układu;\\
b) prędkość $v_1$ kulki w jej najniższym położeniu;\\
c) najmniejszą wartość prędkości $v_2$, którą mogłaby mieć $v_0$,
 aby nić podczas ruchu osiągnęła położenie poziome;\\
d) prędkość $v_3$ taką, że jeśli $v_0>v_3$ to wahadło nie będzie
 wykonywało drgań, lecz będzie poruszało się w sposób ciągły po
 okręgu koła w płaszczyźnie pionowej.


\item Dwie kule o danych masach i prędkościach początkowych zderzyły
 się centralnie.
 Zderzenie było doskonale sprężyste. Znaleźć prędkości końcowe kul

\item Zderzają sie centralnie dwie kule niesprężyste o masach m=4 kg i
 M=5 kg
poruszające się z prędkościami $v_1$=3 m/s i $V_1$=6 m/s.
Obliczyć prędkości kul po zderzeniu.

\item Trzy jednakowe kulki z plasteliny wiszą jedna pod drugą w
 odległościach $l$=10 cm (rys.). Dolnej kulce nadano prędkość $v$=12 m/s
 pionowo do góry. Jak wysoko (licząc od poziomu, na którym znajduje się
 środek górnej kulki) wzniosą sią te kulki po zderzeniach doskonale
 niesprężystych?\\
% \begin{small}
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle h=\frac{2}{9}~\frac{(\sqrt{v_1^2-2gl}-4gl )^2}{4g} $
%\end{small}




\item Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości
 stykają się (rys.). Kula o masie $m_1$=0.2 kg zostaje odchylona od pionu
 tak, że jej środek ciężkości wznosi się o $h_0$=4.5 cm do góry,
 a następnie puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniosą się kule po
 zderzeniu doskonale niesprężystym, jeśli masa drugiej kuli wynosi 
$m_2$ = 0.5 kg?\\
%\begin{small}
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle h=h_0 \frac{m_1}{m_1+m_2}$
%\end{small}

        \begin{figure}[H]
        \centering
        \epsfig{file=kule.eps,height=2.50cm} \hspace{1cm}
        \epsfig{figure=kulki.eps,height=3.0cm}
        \end{figure}

\item Ciało o masie $M$ spada z wysokości $H$. W połowie wysokości
zostaje trafione poziomo lecącym pociskiem, który wbija się w nie
niesprężyście. Masa pocisku wynosi $m=0.1M$, a jego prędkość 
wynosi $v$. Oblicz prędkość układu w momencie upadku na Ziemię.\\
%\begin{small} 
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle v_k=\sqrt {\left(\frac{m}{m+M}\right)^2 v^2+\left(\frac{M}{m+M}\right)^2 gH+gH}$
%\end{small}

\item Piłka o masie $m$ uderza pod katem $\alpha$ o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej sperężyście. Znaleźć średnią siłę $F$ z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padajacej piłki $v$, a czas zderzenia $\Delta t$. \\
% Jezierski s.148 z.D91
\begin{small}
\textit{Odp.:}
$\displaystyle F=\frac{2 m v \cos\alpha}{\Delta t}$
\end{small}



\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 6
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Dynamika bryły sztywnej}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}


\item Obliczyć moment bezwładności jednorodnego pręta o masie $M$ i 
długości 
$L$ względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez:\\
a) koniec pręta,\\
b) środek pręta.


\item Na bloczku o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I_0$
nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie $m$.\\
a) Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści
się na wysokość $h$.\\
b)  Jakie jest przyspieszenie styczne punktów na obwodzie koła.\\
c) Przyjmując, ze bloczek był początkowo w spoczynku obliczyć pracę
 wykonaną 
przez moment przyłożonej siły w ciągu 2 sekund.\\
d) Obliczyć przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego bloczka.\\
e) Pokazać, że w tym układzie obowiązuje zasada zachowania energii
mechanicznej.

\item Przez nieruchomy krążek złożony z dwóch bloczków o promieniach $R$ i $r$ przerzucono nieważką nić,
 na której końcach zamocowano masy $m_1$ i $m_2$. Moment bezwładności
 krążka względem osi obrotu wynosi I. Zakładamy, że nić nie ślizga się. 
Znaleźć przyspieszenie kątowe krążka i siły naciągu prostoliniowych 
odcinków nici w czasie ruchu. 


\item  Po równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ toczą się
w dół z tej samej wysokości kula i walec jednorodny.\\
(a) Wyznaczyć przyspieszenia środków mas tych ciał, jeśli ruch odbywa się
bez poślizgu.\\
(b) Znaleźć prędkość środków mas po przebyciu przez ciała drogi $s$,
jeżeli w chwili $t=0$ były w spoczynku.\\
(c) Powtórzyć obliczenia z (b) przy założeniu, że kulka i walec zsuwają
się bez tarcia.\\
(d) Znaleźć maksymalną wartość kąta $\alpha$, dla którego ruch odbywa 
się bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$.

\item Koło zamachowe, mające wraz z wałem moment bezwładności
I= 200 $kg \cdot m^2$ obraca się wykonując n=180 obr/min.
Po dwóch minutach, od chwili, gdy na koło przestał działać
moment siły zewnętrznej, zatrzymało się ono pod działaniem
tarcia w łożyskach. Przyjmując to tarcie jako stałe
obliczyć moment siły tarcia.


\item Pocisk o masie $m$ i prędkości $v_0$ uderza w lity walec o masie $M$ i promieniu $R$. Walec może obracać sie względem nieruchomej osi przechodzącej przez jego środek wzdluż osi walca. Walec jest początkowo w spoczynku, a miejsce uderzenia pocisku jest w odległości $d$ od osi obrotu. Jaka jest prędkość kątowa walca, jeżeli pocisk utkwił tuż przy jego powierzchni? 

\item Kula o promieniu r stacza się po pochyłości i przebiega pętlę
 pionową
o promieniu R.
Zaniedbując tarcie znaleźć najmniejszą wysokość h środka kuli nad
 środkiem pętli,
przy której jest to możliwe.


\item Kula o promieniu $r$ stacza się bez poślizgu z wierzchołka nieruchomej sfery o promieniu $R>r$. Znaleźć prędkość kątową kuli w miejscu oderwania się od sfery.
 

 \item Dwie tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich 
środek. Momenty bezwładności tarcz wynoszą $I_1$ i $I_2$, a ich
prędkości kątowe $\omega_1$ i $\omega_2$. Po upadku tarczy górnej
na dolną obie obracają się dalej jak jedno ciało. Oblicz:\\
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu,\\
b) pracę wykonaną przez siły tarcia.



\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  A}
\end{large}
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\

2. Chłopiec ciągnie pod górę sanki za sznurek skierowany pod kątem 20$^o$ do stoku góry nachylonej pod kątem 30$^o$ do poziomu. Ile wynosi siła, z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.2, a masa sanek wynosi 20~kg? Przyjmij, że chłopiec porusza się ruchem jednostajnym.\\

3. Blok o masie m=4 kg został przesunięty ze stałą prędkością po
 poziomej podłodze, na odległość d=4 m, przy pomocy liny wywierającej
 na ten blok siłę F=8 N i tworzącej z poziomem kąt $\theta=30.0^0$. 
Obliczyć:\\
a) całkowitą pracę wykonaną przy przesuwaniu bloku,\\
b) pracę wykonaną przez linę,\\
c) pracę wykonaną przez siłę tarcia,\\
d) współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy blokiem a podłogą.\\

4. Pocisk o masie $m$ uderza w klocek o masie $M$ zawieszony  na  nieważkiej nici o długości $l$. Znając końcowy kąt wychylenia klocka od pionu $\alpha$, obliczyć poziomą początkową prędkość pocisku w przypadku gdy:\\
a) pocisk po uderzeniu grzęźnie w klocku,\\
b) pocisk po uderzeniu odskakuje od ciała z prędkością $u$.\\

5. Człowiek o masie $M$ stoi na skraju obrotowego stolika o masie $m$ i promieniu $R$. Stolik obraca się z prędkością kątową $\omega$. Obliczyć pracę, jaką wykona człowiek przechodząc na środek stołu. Przyjąć, że stolik jest jednorodnym krążkiem, a człowiek punktem materialnym.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  B}
\end{large}
\end{center}

1. Kaskader ma za zadanie przeskoczyć z jednego dachu na drugi, który jest niżej o 5~ metrów w odległości 6~metrów. Jest w stanie rozpocząć skok z prędością 4.5~m/s, a startuje pod kątem 30$^o$. Czy wyląduje bezpiecznie? \\

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\vspace{-0.7cm}\includegraphics[scale=0.25]{klocki2_poz_rownia.eps}
\end{floatingfigure}
2. Pudło o masie 1~kg znajduje się na równi pochyłej nachylonej pok katem 40$^o$ do poziomu.
Przywiązano do niego paczkę o masie 3~kg znajdującą się na powierzchni poziomej (rys). Za pudło ciągniemy siłą 12~N, zakładając, że ciała poruszają się bez tarcia oblicz naprężenie liny.\\ %Walker zad 72 s. 35

3. Do klocka o masie M=1.0 kg wiszącego na lince o długości d=1.0m
terrorysta przyczepił materiał wybuchowy. Po eksplozji 1/11 masy klocka
odleciała z poziomą prędkością początkową $v_0$=20 m/s, a
pozostała masa  nie oderwała się od linki. Obliczyć:\\
a) o jaki maksymalny kąt wychyliła się wisząca na lince masa?\\
b) energię kinetyczną, jaką uzyskały obie masy.\\

4. Na ciało o masie 15 kg w chwili początkowej znajdujące się w
 spoczyku, działa wypadkowa siła 5.0 N. Obliczyć:\\
a) pracę wykonaną przez tę siłę w ciągu pierwszej, drugiej i trzeciej
 sekundy,\\
b) chwilową moc na końcu trzeciej sekundy.\\

5. Drewniana listwa o masie m=500 g i długości l=50 cm może obracać się wokół osi prostopadej do osi klocka i przechodzącej przez jego środek.
 W koniec listwy uderza kula o masie $m_1$=15 g i prędkości v= 300 m/s
prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. \\



\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  C}
\end{large}
\end{center}

1.  Z powierzchni Ziemi wyrzucono piłkę pionowo do góry z
 prędkością
$v_0$. Równocześnie z wysokości, na jaką wzniesie się piłka, zaczyna
spadać w dół kamień z tą samą prędkością $v_0$.
Obliczyć po jakim czasie i na jakiej wysokości te ciała się miną, a 
także prędkości w chwili mijania.\\%(Dz 1.6)


2. Na stole leży deska o masie $m_1$, a na niej znajduje się ciężarek o masie $m_2$. Do tego ciężarka przyczepiona jest nitka, która jest przerzucona przez lekki bloczek i obciążona ciężarkiem o masie $M$ (rys.). Współczynnik tarcia pomiędzy deską a stołem wynosi $f_1$, a pomiędzy ciężarkiem a deską $f_2$. Oblicz przyspieszenie ciężarka oraz deski.\\ 
% Aramidowicz 2.2 Odp.:a1=[m2f2-(m1+m2)f1]/m1,   a2= [M-m2f2]g/[M+m2] 

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\vspace{-0.7cm}\includegraphics[scale=0.25]{bloczki_praca.eps}
\end{floatingfigure}
3. Kanister o masie 20~kg zawieszony jest na ruchomym bloczku (rys.)\\
a) Jaką siłą należy ciągnąć za drugi koniec sznura, aby ciężar poruszał się ze stałą prędkością?\\
b) Jaką pracę wykona ta siła przy podnoszeniu kanistra o 2~cm?\\
c) Jaką pracę nad kanistrem wykona wtedy siła grawitacji?\\
%RHW 7/15  

4. Po równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ zsuwa się ciało z wysokości $h_0$. Na końcu równi ciało to odbija się sprężyście od ścianki prostopadłej do powierzchni równi. Oblicz na jaką wysokość $h_1$ wzniesie się ciało po odbiciu. Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi $f$. \\%Odp: h_1=h_0[(1-f ctg alpha)/(1+ctg alpha)]


5. Olbrzymie koło obraca się jednostajnie w płaszczyźnie poziomej z okresem T.\\
 a) Jaka jest prędkość $v_0$ oraz przyspieszenie normalne  osoby znajdującej się w odległości $r$ od osi obrotu? \\
b) Jakie jest przyspieszenie styczne tej osoby jeśli po zadziałaniu hamulców koło obracając się ruchem jednostajnie opóźnionym wykona jeszcze jeden pełny obrót?\\


\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  C}
\end{large}
\end{center}

1.  Z powierzchni Ziemi wyrzucono piłkę pionowo do góry z
 prędkością
$v_0$. Równocześnie z wysokości, na jaką wzniesie się piłka, zaczyna
spadać w dół kamień z tą samą prędkością $v_0$.
Obliczyć po jakim czasie i na jakiej wysokości te ciała się miną, a 
także prędkości w chwili mijania.\\%(Dz 1.6)


2. Na stole leży deska o masie $m_1$, a na niej znajduje się ciężarek o masie $m_2$. Do tego ciężarka przyczepiona jest nitka, która jest przerzucona przez lekki bloczek i obciążona ciężarkiem o masie $M$ (rys.). Współczynnik tarcia pomiędzy deską a stołem wynosi $f_1$, a pomiędzy ciężarkiem a deską $f_2$. Oblicz przyspieszenie ciężarka oraz deski.\\ 
% Aramidowicz 2.2 Odp.:a1=[m2f2-(m1+m2)f1]/m1,   a2= [M-m2f2]g/[M+m2] 

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\vspace{-0.7cm}\includegraphics[scale=0.25]{bloczki_praca.eps}
\end{floatingfigure}
3. Kanister o masie 20~kg zawieszony jest na ruchomym bloczku (rys.)\\
a) Jaką siłą należy ciągnąć za drugi koniec sznura, aby ciężar poruszał się ze stałą prędkością?\\
b) Jaką pracę wykona ta siła przy podnoszeniu kanistra o 2~cm?\\
c) Jaką pracę nad kanistrem wykona wtedy siła grawitacji?\\
%RHW 7/15  

4. Po równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ zsuwa się ciało z wysokości $h_0$. Na końcu równi ciało to odbija się sprężyście od ścianki prostopadłej do powierzchni równi. Oblicz na jaką wysokość $h_1$ wzniesie się ciało po odbiciu. Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi $f$. \\%Odp: h_1=h_0[(1-f ctg alpha)/(1+ctg alpha)]


5. Olbrzymie koło obraca się jednostajnie w płaszczyźnie poziomej z okresem T.\\
 a) Jaka jest prędkość $v_0$ oraz przyspieszenie normalne  osoby znajdującej się w odległości $r$ od osi obrotu? \\
b) Jakie jest przyspieszenie styczne tej osoby jeśli po zadziałaniu hamulców koło obracając się ruchem jednostajnie opóźnionym wykona jeszcze jeden pełny obrót?\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage


\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  D}
\end{large}
\end{center}

1. Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
 przebywając kolejno dwa równe odcinki drogi w czsach $t_1$=2 s i $t_2$=1 s.
 Znaleźć przyspieszenie ciała $a$ i prędkość na początku pierwszego
 odcinka.\\
 
2.  Kolarz rozpoczynając jazdę pierwsze 30 s jedzie ruchem
jednostajnie przyspieszonym. Jaką prędkość osiągnie po tym czasie,
jeżeli promień kół rowerowych wynosi 35 cm, a ich przyspieszenie
kątowe 0.5 rad/s?\\

3. Ciało o masie 20 kg jest pchane przez poziomą siłę $F$ w górę 
doskonale gładkiej $30^o$ równi pochyłej o długości 3 m.\\
a) Jeżeli prędkość u dołu wynosi 0.6 m/s, a u góry 3 m/s, obliczyć 
jaką pracę wykonała siła $F$.\\
b) Jaka jest wartość siły $F$?\\
c) Gdyby równia nie była gładka i $\mu_k$= 0.15, to do jakiego punktu 
równi dojdzie ciało? \\

4. Pocisk rzucony jest z prędkością 5 m/s pod kątem 60$^0$ do poziomu.
W najwyższym punkcie lotu rozrywa się na dwie równe części tak, że jedna
połówka zatrzymuje się, a następnie opada w dół.
Ile wynosi zasięg rzutu drugiej połówki?\\

5.  Po równi pochyłej o długości $L$, nachylonej pod kątem $\alpha$ do podstawy, toczy się bez poślizgu walec. Ile wynosi prędkość środka masy walca w najniższym punkcie równi.\\

~\\
~\\

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  D}
\end{large}
\end{center}

1. Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
 przebywając kolejno dwa równe odcinki drogi w czsach $t_1$=2 s i $t_2$=1 s.
 Znaleźć przyspieszenie ciała $a$ i prędkość na początku pierwszego
 odcinka.\\
 
2.  Kolarz rozpoczynając jazdę pierwsze 30 s jedzie ruchem
jednostajnie przyspieszonym. Jaką prędkość osiągnie po tym czasie,
jeżeli promień kół rowerowych wynosi 35 cm, a ich przyspieszenie
kątowe 0.5 rad/s?\\

3. Ciało o masie 20 kg jest pchane przez poziomą siłę $F$ w górę 
doskonale gładkiej $30^o$ równi pochyłej o długości 3 m.\\
a) Jeżeli prędkość u dołu wynosi 0.6 m/s, a u góry 3 m/s, obliczyć 
jaką pracę wykonała siła $F$.\\
b) Jaka jest wartość siły $F$?\\
c) Gdyby równia nie była gładka i $\mu_k$= 0.15, to do jakiego punktu 
równi dojdzie ciało? \\

4. Pocisk rzucony jest z prędkością 5 m/s pod kątem 60$^0$ do poziomu.
W najwyższym punkcie lotu rozrywa się na dwie równe części tak, że jedna
połówka zatrzymuje się, a następnie opada w dół.
Ile wynosi zasięg rzutu drugiej połówki?\\

5.  Po równi pochyłej o długości $L$, nachylonej pod kątem $\alpha$ do podstawy, toczy się bez poślizgu walec. Ile wynosi prędkość środka masy walca w najniższym punkcie równi.\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 7
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Ruch drgający i falowy}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Zdefiniuj ruch harmoniczny. Napisz i rozwiąż równanie
ruchu prostego oscylatora harmonicznego. Określ parametry tego ruchu.\\
Przyjmij że w chwili $t=0$: a) $x(0)=x_0$, a prędkość $v(0)=0$, b) $x(0)=0$, a $v(0)=v_0$.


\item Punkt materialny o masie $m$ zawieszono na nici o długości $l$ i wprawiono w ruch. Jakie będzie równanie tego ruchu? Znaleźć rozwiązanie tego równania dla małych drgań. Jak zmienia się energia potencjalna i kinetyczna w tym ruchu?

\item Opisz równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego 
oraz drgań wymuszonych oscylatora. Zdefiniuj pojęcie rezonansu.

\item Oblicz z jaką stałą czasową $\tau$ jest tłumiony ruch
 harmoniczny prosty,
jeżeli jego amplituda maleje dwukrotnie w czasie t=1 min.\\
Ile razy zmalała w tym czasie energia drgań?

\item Pokazać, że funkcja: $y(t,x)=a_0~\sin(\omega t ~-~kx)$ jest rozwiązaniem równania falowego:
\begin{displaymath}
\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y }{\partial t^2}
\end{displaymath}
Jaki jest związek między $\omega$, $k$, $v$? Jaki jest związek tych zmiennych z długością fali i okresem?

\item Płaską falę akustyczną można przedstawić równaniem:
\begin{displaymath}
y~=~0.1~sin(1320~t~-~5~x)
\end{displaymath}
Znaleźć:
\begin{itemize}
\item[a)] długość fali, częstotliwość, częstość i okres drgań,
\item[b)] prędkość rozchodzenia się fali,
\item[c)] maksymalną prędkość i przyspieszenie cząstek ośrodka.
\end{itemize}

\item Jaka jest amplituda fali wypadkowej powstałej w wyniku nałożenia się dwóch fal harmonicznych o takiej samej częstotliwości i amplitudach równych odpowiedno 1~cm i 2~cm, jeżeli oscylacje różnią się w fazie o $\pi/2$? Fale rozchodzą się w jednym kierunku.


\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 8
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Mechanika relatywistyczna}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Układ $U'$ porusza się względem osi $OX$ układu odniesienia $U$ ze stałą prędkością $v$. W układzie   $U'$ znajduje się pret o długości własnej $l_0$ tworzący z osią $OX'$ kąt $\alpha '$. Jaką długość pręta $l$ i jaki kąt $\alpha$ zmierzy obserwator spoczywający w $U$? %Jezierski s.129 

\item Mion utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 5~km z prędkością $0.99c$ (c-prędkość światła).\\ 
a) Jak długi jest czas życia mionu mierzony przez nas, a jaki czas życia mierzony w jego własnym układzie odniesienia?\\
b) Jaka jest grubość atmosfery przebyta przez mion, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia? % Jez s.130)

\item W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie 12~s nastąpiły dwa wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem słońca zarejestrowała oba te zdarzenia w odstępie 13~s.\\
a) Ile wynosi odległość przestrzenna $\Delta$l między wybuchami w układzie związanym z poruszającą się rakietą?\\
b) Jaką wartość i kierunek ma wektor prędkości rakiety? %Jez s.153

\item Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem zaszłyby: a) w tym samym miejscu? b) w tym samym czasie?



\item a) Dwa samoloty naddźwiękowe lecą ku sobie z prędkościami odpowiednio: 1500~km/h i 3000~km/h. Oblicz jaką prędkość pierwszego samolotu zmierzy obserwator w drugim samolocie. % Kąkol s. U7
b) Dwa akceleratory dają cząstki poruszające się w przeciwne strony z predkościami $v_1=v_2=0.9c$. Oblicz względność prędkość cząstek.% Jez s.131

\item Oblicz prędkość cząstki, której energia kinetyczna jest równa jej energii spoczynkowej. O ile wzrosła masa tej cząstki w stosunku do masy spoczynkowej? % Kąkol U10

\item Spoczywające ciało o masie $M$ rozpada się na dwa o masach spoczynkowych $m_1$ i $m_2$. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.  %Jezierski s. 135

\item Rozważmy elektron i proton, którym za pomocą akceleratora nadano taką samą energię kinetyczną 10~MeV.\\
a) Obliczyć prędkości protonu i elektronu korzystając za ścisłego wzoru relatywistycznego.\\
b) Porównać obliczone wyniki z wartościami prędkości obliczonymi ze wzoru nieralatywistycznego i policzyć ich błąd wzgledem punktu a).

\item Obliczyć energię równoważną masie 1~kg. 

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 9
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Mechanika płynów}
\end{Large}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Jaka część objętości góry lodowej wystaje ponad powierzchnię morza? Gęstość lodu wynosi $\rho_l$=0.92~$g/cm^3$, a gęstość wody morskiej $\rho_w$=1.03~$g/cm^3$ %RH s.434

\item Kawałek metalu jest zawieszony na sprężynie. Po zanurzeniu metalu w wodzie (o gęstości $\rho_l$=1.0~$g/cm^3$) długość sprężyny zmniejszyła się o $l_1$=2~cm. Gdy ten sam kawałek metalu zanurzono w cieczy o nieznanej gęstości $\rho_2$, długość sprężyny zmniejszyła się o $l_2$=1.6~cm. Obliczyć gęstość $\rho_2$. %Kruczek 18.20

\item Na wysokości 5~km ciśnienie atmosferyczne jest 2 razy mniejsze niż przy powierzchni planety. Ile razy jest mniejsze na wysokości 10~km? %http://www.iwiedza.net/zadania/zad107.html

\item Słup wody o wysokości 1~m umieszczony zostaje na Ziemi i Księżycu. Znaleźć przybliżony stosunek ciśnień hydrostatycznych słupów wody na Ziemi i na Księżycu? % http://www.iwiedza.net/zadania/zad081.html

\item Jakiej siły należy użyć, aby korek o ciężarze $Q$=2~N całkowicie zanurzyć w wodzie? Gęstość korka 0.2~$g/cm^3$.

\item Cylindryczną pipetę o długości L=240 mm zanurzono w rtęci, która wzniosła się w niej na wysokość l=100 mm. Następnie pipetę zatkano od góry korkiem i wyjęto. Część rtęci wypłynęła wówczas z pipety.\\
Jaka jest wysokość słupa rtęci pozostałej w pipecie, jeżeli wiadomo, że ciśnienie atmosferyczne wynosi p=1000 hPa?\\
Jak zmieni się poziom słupka rtęci, jeśli ciśnienie atmosferyczne wzrośnie o p=40 hPa? Pipeta ma stały przekrój i jest ustawiona pionowo, a gęstość rtęci wynosi 13.59 $g/cm^3$.
   
\item Na głębokości $h$=1~m poniżej poziomu wody znajduje się kulka drewniana o gęstości $\rho$=0.6~$g/cm^3$. Kulkę tę puszczono. Na jaką wysokość $x$ wyskoczy kulka ponad poziom wody? Siły tarcia pomijamy. %Kruczek 18.40
 
\item Wysokie, cylindryczne  naczynie napełnione wodą ma  trzy otwory w ścianie bocznej. Wzajemne odległości kolejnych otworów oraz odległość pierwszego otworu od dna wynosi $d$.\\
a) Oblicz zasięgi $x_1$, $x_2$, $x_3$ strumieni wypływających z wszystkich otworów, jeśli wysokość słupa wody nad trzeci otwór wynosi także $d$.\\
b) Czy relacje pomiędzy zasięgami ulegną zmianie, gdy wysokość słupa będzie większa (np. 5$d$)?\\
c) Czy dla jakielkolwiek wysokości $H$ nad ostatnim otworem pomiędzy zasięgami zachodzi relacja: $x_1>x_2>x_3$? %Salach zad.29 s.28
 
\item Cylindryczne naczynie o wysokości $h$ i powierzchni podstawy $S$ napełniono wodą. W dnie naczynia zrobiono otwór o powierzchni $s$. Zaniedbując lepkość wody, określić czas, po którym cała woda wycieknie z naczynia. % Zad. z WF

\item Zaniedbując lepkość, wyznaczyć okres małych drgań słupa wody znajdującego się w szklanej 
rurce wygiętej w kształcie litery U. % zzad z WF 

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 10
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Termodynamika}
\end{Large}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Butlę o pojemności 20 litrów napełniono tlenem w temperaturze 17$^0$C do ciśnienia $10^7$~Pa. Ile gazu ulotniło się z butli na skutek wady zaworu, jeżeli ponowne sprawdzenie ciśnienia w temperaturze 27$^0$C dało wynik $8\cdot 10^6$~Pa ($\mu=32~g/mol$)?

\item Zbiornik o pojemności 20~l zawiera mieszaninę wodoru i helu w temperaturze  20$^0$C pod ciśnieniem  $2\cdot 10^5$~Pa. Masa mieszaniny $m$=5~g. Obliczyć stosunek masy wodoru do masy tlenu w tej mieszaninie. %Jezierski IIcz

\item Jeden mol tlenu został ogrzany od temperatury 300~K do 400~K przy stałym ciśnieniu. Jaką ilość ciepła dostarczono do układu, jaka jest zmiana jego energii wewnętrznej i jaka praca została wykonana?

\item Powietrze o masie m=4 kg znajduje się pod ciśnieniem $p_1=4.05\cdot10^5$~Pa oraz w temperaturze $T_1$=298.2~K. Ciśnienie powietrza  zostało w stałej objętości obniżone do $p_2=1.01\cdot 10^5$ Pa.\\
Oblicz końcową temperaturę powietrza, pracę i ciepło zużyte do dokonania tego procesu. Ciepło powietrza w stałej objętości $c_v=753.6$ J/(kg*K).

\item  Powietrze o masie m=4 kg znajduje się pod ciśnieniem $p_1=4.05\cdot 10^5$~Pa oraz w temperaturze $T_1$=298.2~K. Ciśnienie powietrza  spadło w warunkach adiabatycznych   do $p_2=1.01\cdot 10^5$ Pa.\\
Oblicz końcową temperaturę powietrza, pracę i ciepło zużyte do dokonania tego procesu. Stała gazowa dla masy m=1 kg powietrza wynosi R=287.1 J/(kg*K).

\item Jeden mol powietrza pod ciśnieniem $p_1=10^5$~Pa i o objętości $V_1=22.44$~l został sprężony do połowy objętości początkowej:\\
a) izotermicznie,\\
b) izobarycznie.\\
Porównaj pracę wykonaną w obu przypadkach.

\item Mol wodoru znajduje się w temperaturze T=348,16 K oraz pod ciśnieniem $p=1.013\cdot 10^5$ Pa, a następnie przebiega odwracalny cykl Carnota, rozszerzając się izotermicznie do podwójnej objętości początkowej. \\
Obliczyć pracę na poszczególnych odcinkach cyklu. Wyznaczyć wydajność cyklu. Stała gazowa R=8.314 J/(mol*K).

\item  Obliczyć zmianę entropii mola gazu doskonałego rozprężającego się izotermicznie od ciśnienia $p_1=150$ Pa do ciśnienia $p_2=1$ Pa.
 
\item Średnia energia molekuł gazu jednoatomowego wynosi  $\langle \epsilon \rangle=6\cdot 10^{-21}$~J. Ciśnienie gazu w naczyniu wynosi $p=2\cdot 10^5$~Pa. Znaleźć liczbę molekuł tego gazu w 1~cm$^3$.
 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage


\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } % 1
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Elektron o masie spoczynkowej $m_0$ porusza się z prędkością równą 3/5 prędkości światła. Ile wynosi stosunek masy spoczynkowej do masy relatywistycznej elektronu? %Odp:4/5

\item Od obserwatora oddala się zegar z prędkością $4/5c$. Obliczyć długość drogi dla obserwatora i zegara, jaką przebedzie ten zegar w ciągu mierzonego przez siebie czasu 1~$\mu s$

\item Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie 3 s i amplitudzie 10 cm.
W chwili początkowej znajduje się w położeniu równowagii.
Ile wyniesie  odległość ciała od położenia równowagii po upływie 1/4 sekundy?

\item Maksymalna wartość energii kinetycznej ciała wykonującego drgania
harmoniczne o amplitudzie A wynosi E. Ile bedzie równa energia kinetyczna ciała w punkcie położonym w odległości 
x=A/2 od położenia równowagii?

\item Woda przepływa przez rurę o średnicy $d_1$=0.1~m z prędkością $v_1$=0.1~m/s. W pewnym miejscu rura się zwęża do średnicy $d_2$=0.05~m. Obliczyć prędkość przepływu wody przez wąską rurę. %Kr. 18-v2=(d1/d2)^2 v1=0.4m/s

\item Kawałek żelaza o ciężarze $Q$=2,3~N zanurzony jest w wodzie, a wskazanie wagi wynosi  $P$=2,0~N. Ile wynosi gęstość żelaza? Gęstość wody wynosi $\rho_w$=1,0~$g/cm^3$. % Kr. 18-23 Odp:rho=rho1 Q1/(Q-P)=7.67 g/cm3

\item Objętość pęcherzyka metanu powiększa się trzykrotnie przy wypływaniu z dna jeziora na powierzchnię. Temperatura na dnie jeziora wynosi $t_1=7^0C$, a na powierzchni  $t_2=17^0C$. Oblicz głębokość jeziora. Ciśnienie atmosferyczne wynosi $p_0=1.03 \cdot 10^5$~Pa, gęstość wody $\rho_w$=1,0~$g/cm^3$.. % Jez. Zad.3 Odp: h=19.9 m

\item Obliczyć pracę $W$ wykonaną przez gaz przy cyklicznej przemianie $ABC$ przedstawionej we współrzędnych $p,V$ na rysunku, jeżeli parametry stanu $A$ i  $B$ wynoszą odpowiednio: $p_1,V_1$ i $p_2,V_2$. Na których przemianach gaz pobiera ciepło, a na których oddaje? %Kr 17-18$
\begin{figure}[H]
\centering
\epsfig{figure=pV-1.eps,width=3cm}
\end{figure}

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } % 2
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Z jaką prędkością powinna poruszać się cząstka, aby jej energia kinetyczna była równa energii spoczynkowej? %odp sqrt3/2 c

\item Dwa pojazdy kosmiczne o długości 100~m każdy zblizają się do siebie ze stałymi prędkościami $v_1=v_2=0.5c$ względem Ziemi. Jaka jest długość tego pojazdu według obserwatora stojacego na Ziemi? %Odp: 5 sqrt3 m


 \item Mamy do dyspozycji sprężynę, którą można rozciągnąć
o 2 cm przykładając do niej siłę 8 N.\\
Sprężyną zamocowano poziomo i do jej końca przyczepiono ciało o masie 1 kg.
Następnie rozciągnięto ją o 4 cm od położenia równowagi i 
puszczono. Ponieważ ślizga się po powierzchni bez tarcia wykonuje
ruch harmoniczny prosty. Oblicz:\\
a) współczynnik sprężystości sprężyny,\\
b) okres drgań,\\
c) amplitudę ruchu,\\

\item Całkowita energia punktu materialnego o masie 1.5~kg w ruchu harmonicznym wynosi 0.2~J. Obliczyć energię potencjalną i kinetyczną punktu oraz jego prędkość w chwili, gdy wychylenie jest równe połowie amplitudy drgań.

\item Na statek załadowano ładunek o masie równej setnej części jego masy całkowitej. Ile razy zwiększyła się objętość części zanurzonej? %Odp: 1,01 razy

\item Rurą o średnicy $d$=0.2~m z prędkością $v_1$=0.05~m/s. Rura w sposób symetryczny rozgałęzia się na 4 rury, każda o średnicy  $d_1$=0.02~m. Obliczyć prędkość przepływu $v_1$ w każdej z rur. %KR. 18-9 Odp:v1=1/n (d/d1)^2 v = 1.25 m/s

\item Pewna masa gazu doskonałego rozszerza się tak, że proces na wykresie $p,V$ jest przedstawiony linią prostą przechodząca przez początek układu współrzędnych. Znana jest początkowa objętość gazu $V_0$, cisnienie $p_0$ oraz $Cp/Cv$. W stanie końcowym objętość wzrosła trzykrotnie. Obliczyć ciśnienie i temperaturę na końcu przemiany.

\item Dla danych z poprzedniego zadania obliczyć zmianę energii wewnętrznej gazu i pracę wykonaną przez gaz. % Jezierski zad 6.



\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } % 4
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Określić, jak długo trwa przelot strzały o długości $l_0$ z prędkością $v$ ($v \rightarrow c$) koło zegara odmierzającego czas. %Bujko s.236

\item Oblicz masę, pęd i energię elektronu rozpędzonego do prędkości $4/5~c$.

\item Obliczyć okres drgań oraz maksymalną prędkość ruchu metalowego walca zawieszonego na sprężynie, która wydłuży się pod jego ciężarem o $L$=25~mm (amplituda drgań walca $A$=$L$). 

\item Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się jego maksymalna energia kinetyczna, gdy zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplitudę pozostawimy bez zmiany? %Odp: zmaleje 4-krotnie 

\item Gdy ciężarek ołowiany ważono zanurzony w cieczy o nieznanej gęstości $\rho$, wskazanie wagi wynosiło $P_1$=0,9~N. Po wynurzeniu ciężarka z cieczy wskazanie wagi wynosiło  $P_1$=1~N. Obliczyć gęstość cieczy. Gęstość ołowiu wynosi $\rho_{Pb}$=1,13~$g/cm^3$. %Kr. 18.24 odp:rho=rho1(p1-p2)/p1

\item W naczyniu w kształcie walca, napełnionym wodą do wysokości $h$ zrobiono dwa otworki. Jeden jest na dole naczynia, drugi na wysokości 3/4 $h$ od dołu. Oblicz stosunek wypływu cieczy z obu otworków, jeżeli poziom cieczy utrzymywany jest na wysokosci $h$. %Odp:0.5 

\item Gaz doskonały w ilości jednego kilomola wykonuje cykl złożony z dwóch izochor i z dwóch izobar, przy czym objętość gazu wzrasta od $V_1=25~m^3$ do $V_2=40~m^3$, a ciśnienie wzrasta od $p_110^5$~Pa do $p_0=2 \cdot 10^5$~Pa (rys). Policz pracę wykonaną przez gaz w tym cyklu. %jezierski
\begin{figure}[H]
\centering
\epsfig{figure=Praca_pV1.eps,width=2.5cm}
\end{figure}

\item W zbiorniku pod ciśnienim $p_1$ znajduje się gaz o masie $m_1$. Do tego zbiornika wtłoczono dodatkowo izotermicznie taki sam gaz o masie $m_2$. Obliczyć ciśnienie końcowe gazu w zbiorniku. %Jezierski D1 Odp p=p1(1+m2/m1) 
~\\
~\\
~\\

\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } % 2
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Z jaką prędkością powinna poruszać się cząstka, aby jej energia kinetyczna była równa energii spoczynkowej? %odp sqrt3/2 c

\item Dwa pojazdy kosmiczne o długości 100~m każdy zblizają się do siebie ze stałymi prędkościami $v_1=v_2=0.5c$ względem Ziemi. Jaka jest długość tego pojazdu według obserwatora stojacego na Ziemi? %Odp: 5 sqrt3 m


 \item Mamy do dyspozycji sprężynę, którą można rozciągnąć
o 2 cm przykładając do niej siłę 8 N.\\
Sprężyną zamocowano poziomo i do jej końca przyczepiono ciało o masie 1 kg.
Następnie rozciągnięto ją o 4 cm od położenia równowagi i 
puszczono. Ponieważ ślizga się po powierzchni bez tarcia wykonuje
ruch harmoniczny prosty. Oblicz:\\
a) współczynnik sprężystości sprężyny,\\
b) okres drgań,\\
c) amplitudę ruchu,\\

\item Całkowita energia punktu materialnego o masie 1.5~kg w ruchu harmonicznym wynosi 0.2~J. Obliczyć energię potencjalną i kinetyczną punktu oraz jego prędkość w chwili, gdy wychylenie jest równe połowie amplitudy drgań.

\item Na statek załadowano ładunek o masie równej setnej części jego masy całkowitej. Ile razy zwiększyła się objętość części zanurzonej? %Odp: 1,01 razy

\item Rurą o średnicy $d$=0.2~m z prędkością $v_1$=0.05~m/s. Rura w sposób symetryczny rozgałęzia się na 4 rury, każda o średnicy  $d_1$=0.02~m. Obliczyć prędkość przepływu $v_1$ w każdej z rur. %KR. 18-9 Odp:v1=1/n (d/d1)^2 v = 1.25 m/s

\item Pewna masa gazu doskonałego rozszerza się tak, że proces na wykresie $p,V$ jest przedstawiony linią prostą przechodząca przez początek układu współrzędnych. Znana jest początkowa objętość gazu $V_0$, cisnienie $p_0$ oraz $Cp/Cv$. W stanie końcowym objętość wzrosła trzykrotnie. Obliczyć ciśnienie i temperaturę na końcu przemiany.

\item Dla danych z poprzedniego zadania obliczyć zmianę energii wewnętrznej gazu i pracę wykonaną przez gaz. % Jezierski zad 6.



\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } %3
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Oblicz prędkość elektronu, którego masa jest równa trzykrotnej masie spoczynkowej. %odp:2 sqrt2 10^8 m/s

\item Określić, jak długo trwa przelot strzały o długości $l_0$ z prędkością $v$ ($v \rightarrow c$) koło zegara odmierzającego czas. %Bujko s.236

\item W ruchu harmonicznym prostym o równaniu x=2 sin(0.2$\pi$t+$\pi$/2) ile wynoszą okres i amplituda?

\item Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się jego maksymalna energia kinetyczna, gdy zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplitudę pozostawimy bez zmiany? %Odp: zmaleje 4-krotnie 

\item Pewne ciało waży w wodzie pięć razy mniej niż w próżni. Obliczyć gęstość tego ciała, gdy $\rho_w$=1,0~$g/cm^3$.
%rho=5/4 rho_w

\item Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szkalnki o promieniu podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się parcie i ciśnienie wody na dno w drugiej szkalnce, w porównaniu ze szkalnką pierwszą? %Odp: ciśnienie zmaleje 4 razy

\item Jeden mol tlenu w temperaturze $T_0$=290~K poddano sprężaniu adiabatycznemu, tak, że jego ciśnienie wzrosło 10 razy. Obliczyć temperaturę gazu po sprężeniu.  Ile wynosi stosunek $\kappa=c_p/c_v$ dla cząsteczki tlenu? %Jezierski zad 7 

\item Oblicz pracę wykonaną przez gaz dla danych z poprzedniego zadania. 

\end{enumerate}
~\\
~\\
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } %3 drugi
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Oblicz prędkość elektronu, którego masa jest równa trzykrotnej masie spoczynkowej. %odp:2 sqrt2 10^8 m/s

\item Określić, jak długo trwa przelot strzały o długości $l_0$ z prędkością $v$ ($v \rightarrow c$) koło zegara odmierzającego czas. %Bujko s.236

\item W ruchu harmonicznym prostym o równaniu x=2 sin(0.2$\pi$t+$\pi$/2) ile wynoszą okres i amplituda?

\item Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się jego maksymalna energia kinetyczna, gdy zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplitudę pozostawimy bez zmiany? %Odp: zmaleje 4-krotnie 

\item Pewne ciało waży w wodzie pięć razy mniej niż w próżni. Obliczyć gęstość tego ciała, gdy $\rho_w$=1,0~$g/cm^3$.
%rho=5/4 rho_w

\item Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szkalnki o promieniu podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się parcie i ciśnienie wody na dno w drugiej szkalnce, w porównaniu ze szkalnką pierwszą? %Odp: ciśnienie zmaleje 4 razy

\item Jeden mol tlenu w temperaturze $T_0$=290~K poddano sprężaniu adiabatycznemu, tak, że jego ciśnienie wzrosło 10 razy. Obliczyć temperaturę gazu po sprężeniu.  Ile wynosi stosunek $\kappa=c_p/c_v$ dla cząsteczki tlenu? %Jezierski zad 7 

\item Oblicz pracę wykonaną przez gaz dla danych z poprzedniego zadania. 

\end{enumerate}

~\\
~\\

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  } %3 trzeci
\end{large}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Oblicz prędkość elektronu, którego masa jest równa trzykrotnej masie spoczynkowej. %odp:2 sqrt2 10^8 m/s

\item Określić, jak długo trwa przelot strzały o długości $l_0$ z prędkością $v$ ($v \rightarrow c$) koło zegara odmierzającego czas. %Bujko s.236

\item W ruchu harmonicznym prostym o równaniu x=2 sin(0.2$\pi$t+$\pi$/2) ile wynoszą okres i amplituda?

\item Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się jego maksymalna energia kinetyczna, gdy zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplitudę pozostawimy bez zmiany? %Odp: zmaleje 4-krotnie 

\item Pewne ciało waży w wodzie pięć razy mniej niż w próżni. Obliczyć gęstość tego ciała, gdy $\rho_w$=1,0~$g/cm^3$.
%rho=5/4 rho_w

\item Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szkalnki o promieniu podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się parcie i ciśnienie wody na dno w drugiej szkalnce, w porównaniu ze szkalnką pierwszą? %Odp: ciśnienie zmaleje 4 razy

\item Jeden mol tlenu w temperaturze $T_0$=290~K poddano sprężaniu adiabatycznemu, tak, że jego ciśnienie wzrosło 10 razy. Obliczyć temperaturę gazu po sprężeniu.  Ile wynosi stosunek $\kappa=c_p/c_v$ dla cząsteczki tlenu? %Jezierski zad 7 

\item Oblicz pracę wykonaną przez gaz dla danych z poprzedniego zadania. 

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (A)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h.\\
a) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu, jeżeli
współczynnik tarcia wynosi $\mu$=0.01.\\
b) Oblicz jaka siła działa na pociąg.

\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod pewnym kątem do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.  %Piekarski zad. 1 

\item Ciało o masie $m$ i gęstosci $\rho$ znajduje się na powierzchni cieczy o gęstości $\rho_0$. Następnie powoli i swobodnie zanurza się na głębokość $H$. Znaleźć zmianę energii potencjalnej ciała. %Piekarski zad.10

\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły działającej w ciągu dwóch sekund. Obliczyć przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.

\item Jednoatomowy gaz doskonały mający początkowo ciśnienie $p_0$ rozpręża się swobodnie do objętości dwa razy większej od początkowej. Następnie gaz ten jest powoli sprężany adiabatycznie aż do osiągnięcia początkowej objętości. Ile wynosi wówczas jego ciśnienie? %Walker przykl 20.12 s.159 

\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (B)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod pewnym kątem do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.  %Piekarski zad. 1 

\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły działającej w ciągu dwóch sekund. Obliczyć przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h.\\
a) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu, jeżeli
współczynnik tarcia wynosi $\mu$=0.01.\\
b) Oblicz jaka siła działa na pociąg.



\item Ciało o masie $m$ i gęstosci $\rho$ znajduje się na powierzchni cieczy o gęstości $\rho_0$. Następnie powoli i swobodnie zanurza się na głębokość $H$. Znaleźć zmianę energii potencjalnej ciała. %Piekarski zad.10

\item Jednoatomowy gaz doskonały mający początkowo ciśnienie $p_0$ rozpręża się swobodnie do objętości dwa razy większej od początkowej. Następnie gaz ten jest powoli sprężany adiabatycznie aż do osiągnięcia początkowej objętości. Ile wynosi wówczas jego ciśnienie? %Walker przykl 20.12 s.159 

\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (C)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły działającej w ciągu dwóch sekund. Obliczyć przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h.\\
a) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu, jeżeli
współczynnik tarcia wynosi $\mu$=0.01.\\
b) Oblicz jaka siła działa na pociąg.

\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod pewnym kątem do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.  %Piekarski zad. 1 

\item Jednoatomowy gaz doskonały mający początkowo ciśnienie $p_0$ rozpręża się swobodnie do objętości dwa razy większej od początkowej. Następnie gaz ten jest powoli sprężany adiabatycznie aż do osiągnięcia początkowej objętości. Ile wynosi wówczas jego ciśnienie? %Walker przykl 20.12 s.159 

\item Ciało o masie $m$ i gęstosci $\rho$ znajduje się na powierzchni cieczy o gęstości $\rho_0$. Następnie powoli i swobodnie zanurza się na głębokość $H$. Znaleźć zmianę energii potencjalnej ciała. %Piekarski zad.10


\end{enumerate}

\end{document}