\documentclass[11pt,titlepage]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{bm}
\usepackage{floatflt}
\usepackage{float}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{geometry}

\setlength{\textwidth}{19.5cm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\voffset}{-1.cm}
\setlength{\hoffset}{-2.5cm}
\begin{document}



\begin{center}
ZESTAW 1
~\\

\begin{Large}
\bf{Matematyka i  kinematyka }

\end{Large}
\end{center}



1. Dane są dwa wektory:
$\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}$ i
$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}$ 
Obliczyć:\\
a) długość każdego wektora,
b) iloczyn skalarny $\vec{a}\cdot\vec{b}$
c) kąt zawarty między nimi,\\
d) sumę i różnicę $\vec{a}+\vec{b}$ i  $\vec{a}-\vec{b}$,
e) iloczyn wektorowy $\vec{a}\times\vec{b}$.\\


2. Oblicz pochodną funkcji:\\
 a) $y = (2x^2 -5x+1)~e^x $.\\
 b) $\displaystyle y=\frac{x+1}{x-1}$ \\
 c) $y = (x^2 -x+1)^2 $. \\
 d) $ y= \sin ^2 \sqrt x$, $x>0$\\


\begin{floatingfigure}[r]{4cm}
\vspace{-1cm}\begin{tabular}{c|c|c}
t (s) & s (m) & v (m/s) \\ \hline 
0 & 0 & 0\\
1 & 5 & 10\\
2 & 20 & 20\\
3 & 45 & 30\\
4 & 80 & 40 \\
5 & 125 & 50\\
6 & 180 & 60
\end{tabular}
 \end{floatingfigure}
3.  W tabeli przedstawiono czas, drogę oraz prędkość  spadającej piłki:\\
a) Narysuj wykres odległości jako funkcji czasu. Zapisz równanie proponowanej krzywej. Oblicz i zaznacz prędkość średnią i chwilową piłki.\\
b) Narysuj wykres prędkości w funkcji czasu. Na jego podstawie oblicz drogę przebytą przez piłkę.\\
c) Narysuj wykres przyspieszenia w funkcji czasu.\\ 


4. Porównać swoją średnią prędkość w następujących przypadkach:\\
a) drogę 72 metrów przebywa się z prędkością 0.5~m/s, a następnie biegnie
się wzdłuż takiego samego odcinka drogi po tej samej linii prostej z 
prędkością 3~m/s,\\
b) najpierw po torze prostoliniowym idzie się przez 1~minutę z prędkością 
0.5~m/s, a następnie biegnie się tak samo długo z prędkością 3~m/s.  \\
c) Ile wynosiłaby średnia prędkość, gdybyśmy w jedną stronę biegli, a spowrotem maszerowali?\\

5. Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w 
następujący sposób:
$\vec{r}=5t\hat{i}+\exp(-t)\hat{j}+\sin(4t)\hat{k}$
Znajdź zależność prędkości i przyspieszenia od czasu tego punktu
materialnego.\\

6. Proton ma w pewnej chwili prędkość (w m/s): $\vec v= 4 \hat i - 2 \hat j + 3 \hat k$, a w 4 sekundy potem: $\vec v= -2 \hat i - 2 \hat j + 5 \hat k$. Wyznacz średnie przyspieszenie w czasie tych 4 sekund wyrażając je: a) za pomocą wersorów, b) przez jego długość i kierunek.\\ %RHW 

7. Dwie cząstki 1 i 2 poruszają się wzdłuż osi x i y z prędkościami 
$\vec{v_1}=2\hat{i}$ cm/s i $\vec{v_2}=3\hat{j}$ cm/s.
W chwili t=0 są one w punktach o współrzędnych : $x_1$=-3 cm, $y_1$=0; 
$x_2$=0, $y_2$=-3 cm.\\
a) Znaleźć wektor $\vec{r_2}-\vec{r_1}$, który określi położenie 
cząstki 2 względem 1 w funkcji czasu.\\
b) Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbliżej siebie?\\


% Kruczek 1.1 
%\begin{floatingfigure}[r]{6cm}
\begin{flushright}
\begin{small}
\textit{Agnieszka Obłąkowska-Mucha}\\
 http://home.agh.edu.pl/$\tilde{~}$amucha
\end{small}
\end{flushright}
%\end{floatingfigure}

\newpage
\begin{center}
ZESTAW 1
~\\

\begin{Large}
\bf{Matematyka i  kinematyka }

\end{Large}
\end{center}



1. Dane są dwa wektory:
$\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}$ i
$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}$ 
Obliczyć:\\
a) długość każdego wektora,
b) iloczyn skalarny $\vec{a}\cdot\vec{b}$
c) kąt zawarty między nimi,\\
d) sumę i różnicę $\vec{a}+\vec{b}$ i  $\vec{a}-\vec{b}$,
e) iloczyn wektorowy $\vec{a}\times\vec{b}$.\\


2. Oblicz pochodną funkcji:\\
 a) $y = (2x^2 -5x+1)~e^x $.\\
 b) $\displaystyle y=\frac{x+1}{x-1}$ \\
 c) $y = (x^2 -x+1)^2 $. \\
 d) $ y= \sin ^2 \sqrt x$, $x>0$\\


\begin{floatingfigure}[r]{4cm}
\vspace{-1cm}\begin{tabular}{c|c|c}
t (s) & s (m) & v (m/s) \\ \hline 
0 & 0 & 0\\
1 & 5 & 10\\
2 & 20 & 20\\
3 & 45 & 30\\
4 & 80 & 40 \\
5 & 125 & 50\\
6 & 180 & 60
\end{tabular}
 \end{floatingfigure}
3.  W tabeli przedstawiono czas, drogę oraz prędkość  spadającej piłki:\\
a) Narysuj wykres odległości jako funkcji czasu. Zapisz równanie proponowanej krzywej. Oblicz i zaznacz prędkość średnią i chwilową piłki.\\
b) Narysuj wykres prędkości w funkcji czasu. Na jego podstawie oblicz drogę przebytą przez piłkę.\\
c) Narysuj wykres przyspieszenia w funkcji czasu.\\ 


4. Porównać swoją średnią prędkość w następujących przypadkach:\\
a) drogę 72 metrów przebywa się z prędkością 0.5~m/s, a następnie biegnie
się wzdłuż takiego samego odcinka drogi po tej samej linii prostej z 
prędkością 3~m/s,\\
b) najpierw po torze prostoliniowym idzie się przez 1~minutę z prędkością 
0.5~m/s, a następnie biegnie się tak samo długo z prędkością 3~m/s.  \\
c) Ile wynosiłaby średnia prędkość, gdybyśmy w jedną stronę biegli, a spowrotem maszerowali?\\

5. Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w 
następujący sposób:
$\vec{r}=5t\hat{i}+\exp(-t)\hat{j}+\sin(4t)\hat{k}$
Znajdź zależność prędkości i przyspieszenia od czasu tego punktu
materialnego.\\

6. Proton ma w pewnej chwili prędkość (w m/s): $\vec v= 4 \hat i - 2 \hat j + 3 \hat k$, a w 4 sekundy potem: $\vec v= -2 \hat i - 2 \hat j + 5 \hat k$. Wyznacz średnie przyspieszenie w czasie tych 4 sekund wyrażając je: a) za pomocą wersorów, b) przez jego długość i kierunek.\\ %RHW 

7. Dwie cząstki 1 i 2 poruszają się wzdłuż osi x i y z prędkościami 
$\vec{v_1}=2\hat{i}$ cm/s i $\vec{v_2}=3\hat{j}$ cm/s.
W chwili t=0 są one w punktach o współrzędnych : $x_1$=-3 cm, $y_1$=0; 
$x_2$=0, $y_2$=-3 cm.\\
a) Znaleźć wektor $\vec{r_2}-\vec{r_1}$, który określi położenie 
cząstki 2 względem 1 w funkcji czasu.\\
b) Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbliżej siebie?\\


% Kruczek 1.1 
%\begin{floatingfigure}[r]{6cm}
\begin{flushright}
\begin{small}
\textit{Agnieszka Obłąkowska-Mucha}\\
 http://home.agh.edu.pl/$\tilde{~}$amucha
\end{small}
\end{flushright}
%\end{floatingfigure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
ZESTAW 2
~\\
\begin{Large}

\bf{Kinematyka }

\end{Large}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item Prędkość samochodu maleje jednostajnie od 45 km/h do 39 km/h
na odcinku 50 m.
a) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia?
b) Jak długo jechał samochód?
c) Ile czasu upłynie do zatrzymania?
d) Jaką drogę przejedzie do zatrzymania?

\item Dwa samochody poruszają sie w tym samym kierunku, z prędkościami $v_1$ i $v_2$ po tym samym torze prostym, W pewnej chwili drugi samochód wyprzedza pierwszy o $x_0$. Znaleźć:\\
a) czas $t_1$, po którym się spotkają,\\
b) miejsce spotkania.\\
c) Określić, jak zmienia się w czasie odległość między samochodami.\\
d) Kiedy zadanie ma rozwiązanie?

\item Ciało spadające swobodnie przebywa ostatnie $h_1$=20 m swej drogi w 
ciągu $t_1$=0.5 s. Znaleźć wysokość h, z jakiej spada to ciało.

\item Z balonu unoszącego się do góry z prędkością 12 m/s, na
wysokości 80 m nad ziemią upuszczono paczkę. Po jakim czasie paczka
spadła na Ziemię?

\item Z jaką prędkością początkową $v_0$ należy rzucić piłkę 
w dół, aby podskoczyła ona na wysokość h=15 m powyżej poziomu 
wyrzucenia (tarcie zaniedbać, a piłkę uważać za doskonale sprężystą)?

\item Znaleźć prędkość kuli, jeżeli po wystrzale z pistoletu w
kierunku poziomym kula przebiła dwie pionowe kartki papieru ustawione w 
odległości 20 m od siebie, przy czym okazało się, że otwór w drugiej
kartce znajduje się o 5 cm niżej niż otwór w pierwszej kartce.

\item Samolot musi wypuść kapsułę ratowniczą dla rozbitka na morzu. Prędkość samolotu wynosi 200~km/h i leci on na wysokości 500~m. Wyznacz kąt $\alpha$, pod jakim pilot widzi rozbitka w chwili najlepszej do opuszczenia kapsuły. b) Wyznacz prędkość kapsuły w chwili, gdy wpada ona do wody (wyraź ją poprzez wersory i długośc i kierunek wektora). %RHW przykl 4.6 s. 69 

\item Piłka została wyrzucona w powietrze. Na wysokości 9~m jej obserwowana prędkość wynosi $\vec{v}=7.6\hat{i}+6.1\hat{j}$ m/s.\\
a) Do jakiej wysokości wzniesie się piłka?\\
b) Jaką odległość poziomą przebędzie piłka?\\
c) Jaka jest prędkość piłki (wartość, kierunek) tuż przed uderzeniem
 w ziemię?

\item U podnóża zbocza wznoszącego się pod kątem $\beta$ do poziomu
wystrzelono z armaty. Kula wyleciała z lufy z prędkością $v_0$ pod
kątem $\alpha$ do poziomu ($\alpha>\beta$). Wyznaczyć współrzędne
punktu, w którym kula trafi w zbocze.

\item  Z brzegu szczeliny o gładkich ścianach odległych od siebie
o $x_0$ wystrzelono małą kulkę stalową z prędkością $v_{0x}$ w 
kierunku poziomym. Kulka odbija się od ścian szczeliny opadjąc w dół.
W jakich odległościach znajdują się punkty kolejnych odbić kulki od ścian szczeliny? 
%KR
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero

\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero

\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero
\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero

\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero

\begin{center}
TEST 2 (A)
\end{center}

1. Z jaką prędkością początkową $v_0$ trzeba wyrzucić rakietę pod kątem 45$^0$ względem poziomu, aby rozbłysła w najwyższym punkcie toru, jeżeli czas palenia zapalnika wynosi 6~s?\\

2. Na rysunku przedstawiono wykres $v_x(t)$. Jakim ruchem porusza się to ciało? Oblicz, w jakiej odległości od startu było to cialo po 10~s ruchu. \\% zero


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

\begin{center}
TEST 2 (B)
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

2. Na rysunku pokazano zalezność $v(t)$ dla punktu poruszającego się po lini prosetej. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Wyznacz przyspieszenie tego punktu. \\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\

\begin{center}
TEST 2 (C)
\end{center}

1. Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości 2 m nad poziomem
 spadł w odległości 7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony. \\

2. Na rysunku przedstawiono zależnośc szybkości od czasu. Jakim ruchem porusza sie to ciało? Jaką drogę przebyło w czasie trzech sekund?\\


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1.  Struga wody opuszcza rurę z prędkością 30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći 60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest
 $n$ = 3 razy większa
od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała wynosiła
$v_0$= 9.8 m/s. Obliczyć wysokość początkową rzutu.\\


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\ %Wolny 

2. Z armaty wystrzelono pocisk z prędkością $v_0$ po kątem
$\alpha$ do poziomu. Z jakiej wysokości $y_0$ należy puścić swobodnie
ciało, aby zostało trafione przez pocisk, jeżeli linia pionowa, wzdłuż
której spada ciało znajduje się w odległości $x_0$ od armaty? %Kruczek


\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\ %Wolny 

2. Z armaty wystrzelono pocisk z prędkością $v_0$ po kątem
$\alpha$ do poziomu. Z jakiej wysokości $y_0$ należy puścić swobodnie
ciało, aby zostało trafione przez pocisk, jeżeli linia pionowa, wzdłuż
której spada ciało znajduje się w odległości $x_0$ od armaty? %Kruczek


\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\ %Wolny 

2. Z armaty wystrzelono pocisk z prędkością $v_0$ po kątem
$\alpha$ do poziomu. Z jakiej wysokości $y_0$ należy puścić swobodnie
ciało, aby zostało trafione przez pocisk, jeżeli linia pionowa, wzdłuż
której spada ciało znajduje się w odległości $x_0$ od armaty? %Kruczek





\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\ %Wolny 

2. Z armaty wystrzelono pocisk z prędkością $v_0$ po kątem
$\alpha$ do poziomu. Z jakiej wysokości $y_0$ należy puścić swobodnie
ciało, aby zostało trafione przez pocisk, jeżeli linia pionowa, wzdłuż
której spada ciało znajduje się w odległości $x_0$ od armaty? %Kruczek


\begin{center}
TEST 2
\end{center}

1. Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ją przez ogrodzenie o wysokości 2~m oddalone o 10~m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6~m nad ziemią.\\ %Wolny 

2. Z armaty wystrzelono pocisk z prędkością $v_0$ po kątem
$\alpha$ do poziomu. Z jakiej wysokości $y_0$ należy puścić swobodnie
ciało, aby zostało trafione przez pocisk, jeżeli linia pionowa, wzdłuż
której spada ciało znajduje się w odległości $x_0$ od armaty? %Kruczek


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
ZESTAW 3
~\\
\begin{Large}

\bf{Dynamika }

\end{Large}
\end{center}


1.  Cząstka, na którą działają trzy siły, porusza się ze stałą prędkością $\vec v = 2 \hat i -7 \hat j~[m/s]$. Dwie z nich są równe: $\vec F_1=2\hat i +3 \hat j[N]$, $\vec F_2=-5\hat i+8 \hat j[N]$. Wyznacz trzecią siłę.\\

2. Sześcian mający ciężar W spoczywa na chropowatej równi pochyłej,
 tworzącej kąt $\theta$ z poziomem.\\
a) ile wynosi najmniejsza siła potrzebna do wprowadzenia ciała w ruch w 
dół równi?\\
b) ile wynosi najmniejsza siła potrzebna do wprowadzenia ciała w
 ruch w górę równi?\\
c) ile wynosi najmniejsza siła pozioma, która spowoduje zsuwanie 
się sześcianu po równi?\\


3. Traktor ciągnie zaczepioną na linie gładką płytę kamienną o masie $m$ po poziomej powierzchni na odcinku drogi $s$. Współczynnik tarcia wynosi $\mu_0$. Jaki kąt $\alpha_0$ powinna tworzyć lina z powierzchnią, aby naprężenie liny było najmniejsze?\\


4.  Wyznaczyć wskazania dynamometrów $A$ i $B$ w układzie przedstawionym
na rysunku, jeśli $m_1$=300~kg, a $m_2$=100~kg. Masy bloczków można
zaniedbać.\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{dynamometry.eps}
\hspace{1cm}
\includegraphics[scale=0.15]{dwie_masy.eps}
\end{center}
5. Jaką siłę należy przyłożyć do masy $M$ (rys.), aby poruszała się ona
z przyspieszeniem $a$? Siła tarcia działa tylko między masą $m$ a $M$, a
współczynik tarcia wynosi $\mu$.\\

6. Sanki zaczynają się ześlizgiwać z górki o wysokości h=10 m i
 kącie nachylenia $\alpha = 30^0$ i z rozpędu jadą jeszcze po poziomym 
śniegu poza stokiem. Po przebyciu poziomego odcinka drogi s=15 m zatrzymują 
się. Oblicz:\\
a) ile wynosi współczynnik tarcia f,\\
b) jak długo trwał ruch sanek.\\


7. Dwa ciała o masach m i M połączone nierozciągliwą nicią (rys.)
Wyznaczyć przyspieszenie każdego z ciał, siłę naciągu nici.
Współczynnik tarcia ciał o podłoże wynosi $f$.\\
\begin{figure}[H] 
\centering
\epsfig{figure=dwa_klocki.eps,height=2.cm} 
\hspace{1cm}
\epsfig{figure=klo_pr_row.eps,height=2.cm}
\end{figure}

\begin{floatingfigure}[r]{40mm}
\hspace{-1cm}
\includegraphics[scale=0.33]{klocki_rownia.eps}
 \end{floatingfigure}
8.  Z jakim przyspieszeniem powinien poruszać się wózek, aby położenie mas $ m_1$ i $ m_2$ pozostawało takie samo? Współczynnik tarcia między masami i wózkiem wynosi $f$.\\

9. Bardzo mały sześcian o masie $m$ znajduje się wewnątrz lejka
obracającego się wokół pionowej osi, ze stałą szybkością $\nu$~obr/s.
Ściana lejka tworzy z poziomem kąt $\alpha$. Współczynnik tarcia
statycznego pomiędzy sześcianem a lejkiem wynosi $f$, a odległość 
środka sześcianu od osi obrotu wynosi $r$. Jaka jest największa i
najmniejsza wartość $\nu$, przy której sześcian nie będzie się poruszał
względem lejka? \\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\newpage
\begin{center}
ZESTAW 4
~\\
\begin{Large}
\textbf{Praca, energia, pęd}
\end{Large}
\end{center}

1. Bryła lodu ulega przemieszczeniu $\vec d= 15m\, \hat i\, -12m\, \hat j$ po linii prostej przez siłę: $\vec F=210N\,\hat i\,-\,150N\, \hat j$. Jaką pracę wykonuje ta siła? \\ 

 \begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.35]{blok_3f.eps}
\end{floatingfigure}
2. Na rysunku pokazane są trzy siły przyłożone do bloku, który przesuwa się o 3 metry po gładkiej podłodze. Wielkości sił wynoszą: $F_1$= 5N, $F_2$= 9N i  $F_3$= 3N. Podczas ruchu:\\
a) jaka jest wpadkowa siła działajaca na to ciało.\\
b) jaka jest zmiana energii kinetycznej tego ciała?\\

3.  Pociąg o masie $m$ jedzie ruchem jednostajnym po torze 
prostoliniowym. Jaką pracę wykonuje silnik lokomotywy na drodze $s$, 
jeżeli opory ruchu można opisać współczynnikiem tarcia $\mu$,
 a ruch odbywa się:\\
a) po torze poziomym,\\
b) po torze nachylonym pod kątem $\alpha$ do poziomu i pociąg jedzie
pod górę,\\
c) po torze nachylonym pod kątem $\alpha$ do poziomu i pociąg jedzie
w dół.\\

4. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej o
kącie
nachylenia $\alpha=30^0$ oraz średnią i maksymalną moc urządzenia 
wciągającego, jeżeli masa ciężaru wynosi 100 kg, długość równi 2
m, współczynnik tarcia 0.1, a przyspieszenie wciągania 1 m/s$^2$.
U podnóża równi ciężar był w spoczynku. \\

5. Oblicz średnią moc silnika samochodu o masie 1000 kg, który
poruszając się ruchem jednostajnie zmiennym w ciągu czasu 10 s od początku ruchu uzyskał prędkość 50 km/h. Współczynnik tarcia wynosi f=0.01.\\

6. Ile wynosi siła oddziaływania między dwoma wagonami tramwaju o masach odpowiedno 10~t i 8~t, jeżeli na pierwszy wagon działa siła 10~kN? Oblicz, z jakim największym przyspieszeniem  
może poruszać się ten tramwaj, jeżeli wytrzymałość połączenia pomiędzy wagonami wynosi 40~kN.\\

7. Z wiatrówki strzelono do kawałka wosku leżącego w odległości 
$l$=50~cm od końca stołu. śrut o masie $m$ = 1~g, lecący poziomo z
 prędkością $v$=~150 m/s przebija wosk i leci dalej z prędkością
 $0.5~v$. Masa kawałka wosku wynosi $M$=50~g. Przy jakim współczynniku
 tarcia wosku o stół, wosk spadnie ze stołu?\\
 
8. Aby ścisnąć sprężynę z położenia równowagii $x_1$=0 o $\Delta x$ należy wykonać pewną pracę $W_1$. Aby następnie ścisnąć ją o kolejny odcinek $\Delta x$ należy wykonać pracę $W_2$. Jaki jest stosunek prac $W_1/W_2$?\\

9. Obliczyć pracę w polu grawitacyjnym Ziemi potrzebną na podniesienie ciała o masie $m$ z wysokosci $h_1$ na wysokość $h_2$. Promień Ziemi wynosi $R_Z$. % Piekarski Kurzyk
~\\
~\\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
ZESTAW 5
~\\
\begin{Large}
\bf{Zasada zachowania  energii i pędu }
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Wahadło matematyczne składa się z nici o długości $l$ i
 kulki o masie $m$. W chwili gdy kulka ma prędkość $v_0$, nić wahadła
 tworzy z pionem kąt $\theta _0$ $(0<\theta _0< \pi /2)$. Przy pomocy $g$
 oraz przy pomocy podanych wyżej wielkości określić:\\
a) całkowitą energię mechaniczną układu;\\
b) prędkość $v_1$ kulki w jej najniższym położeniu;\\
c) najmniejszą wartość prędkości $v_2$, którą mogłaby mieć $v_0$,
 aby nić podczas ruchu osiągnęła położenie poziome;\\
d) prędkość $v_3$ taką, że jeśli $v_0>v_3$ to wahadło nie będzie
 wykonywało drgań, lecz będzie poruszało się w sposób ciągły po
 okręgu koła w płaszczyźnie pionowej.


\item Dwie kule o danych masach i prędkościach początkowych zderzyły
 się centralnie.
 Zderzenie było doskonale sprężyste. Znaleźć prędkości końcowe kul

\item Zderzają sie centralnie dwie kule niesprężyste o masach m=4 kg i
 M=5 kg
poruszające się z prędkościami $v_1$=3 m/s i $V_1$=6 m/s.
Obliczyć prędkości kul po zderzeniu.

\item Trzy jednakowe kulki z plasteliny wiszą jedna pod drugą w
 odległościach $l$=10 cm (rys.). Dolnej kulce nadano prędkość $v$=12 m/s
 pionowo do góry. Jak wysoko (licząc od poziomu, na którym znajduje się
 środek górnej kulki) wzniosą sią te kulki po zderzeniach doskonale
 niesprężystych?\\
% \begin{small}
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle h=\frac{2}{9}~\frac{(\sqrt{v_1^2-2gl}-4gl )^2}{4g} $
%\end{small}




\item Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości
 stykają się (rys.). Kula o masie $m_1$=0.2 kg zostaje odchylona od pionu
 tak, że jej środek ciężkości wznosi się o $h_0$=4.5 cm do góry,
 a następnie puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniosą się kule po
 zderzeniu doskonale niesprężystym, jeśli masa drugiej kuli wynosi 
$m_2$ = 0.5 kg?\\
%\begin{small}
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle h=h_0 \frac{m_1}{m_1+m_2}$
%\end{small}

        \begin{figure}[H]
        \centering
        \epsfig{file=kule.eps,height=2.50cm} \hspace{1cm}
        \epsfig{figure=kulki.eps,height=3.0cm}
        \end{figure}

\item Ciało o masie $M$ spada z wysokości $H$. W połowie wysokości
zostaje trafione poziomo lecącym pociskiem, który wbija się w nie
niesprężyście. Masa pocisku wynosi $m=0.1M$, a jego prędkość 
wynosi $v$. Oblicz prędkość układu w momencie upadku na Ziemię.\\
%\begin{small} 
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle v_k=\sqrt {\left(\frac{m}{m+M}\right)^2 v^2+\left(\frac{M}{m+M}\right)^2 gH+gH}$
%\end{small}

\item Piłka o masie $m$ uderza pod katem $\alpha$ o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej sperężyście. Znaleźć średnią siłę $F$ z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padajacej piłki $v$, a czas zderzenia $\Delta t$. \\
% Jezierski s.148 z.D91
%\begin{small}
%\textit{Odp.:}
%$\displaystyle F=\frac{2 m v \cos\alpha}{\Delta t}$
%\end{small}



\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
ZESTAW 3
~\\
\begin{Large}

\bf{Ruch po okręgu}

\end{Large}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Zadania z Zestawu 2.

\item a) Przedstawić promień wodzący $\vec{r}$ punktu materialnego
 poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu z prędkością katową $\omega$, korzystając z wektorów jednostkowych 
$\vec{i}$ oraz $\vec{j}$.
Mając tak przedstawione $\vec{r}$ znaleźć odpowiednie wyrażenia
 na prędkość $\vec{v}$ i przyspieszenie $\vec{a}$ punktu materialnego.\\
b) Udowodnić, że prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego.\\
c) Udowodnić, że przyspieszenie jest skierowane do środka koła.

\item Obliczyć prędkość danego punktu w ruchu obrotowym Ziemi:\\
a) na równiku,\\
b) na szerokości geograficznej $\phi=48^0$.\\
Obliczyć przyspieszenie odśrodkowe w punkcie o szerokośći geograficznej 
$\phi$. Promień Ziemi wynosi R$_{Ziemi}$=6370 km.


\item  Koło o promieniu R= 2 m obraca się tak, że kąt obrotu promienia
kała $\phi$ zależy od czasu t w następujący sposób:\\
$\phi(t)=~A~+Bt~+~Ct^2$
gdzie B= 4 rad/s, C= 3 rad/s$^2$.\\
Wyznaczyć po czasie t= 2 s od momentu rozpoczęcia ruchu dla punktów
położonych w odległości 3R/4 od osi obrotu:\\
a) prędkość kątową,\\
b) prędkość liniową,\\
c) przyspieszenie styczne, normalne i całkowite.

\item Ciało porusza się po okręgu tak, że kąt pomiędzy wektorem
przyspieszenia $\vec{a}$ a prędkości liniowej $\vec{v}$ wynosi
$\alpha$= 30$^0$. Obliczyć stosunek przyspieszenia dośrodkowego
do stycznego.




\end{enumerate}



\newpage
\begin{Large}
\begin{center}
Zestaw 10\\
\bf{Grawitacja}
\end{center}
\end{Large}

\begin{enumerate}

\item Cząstka o masie $m_1$=0.67~kg znajduje się w odległości $D$=23~cm od jednego z końców jednorodnego preta o długosci $L$=3~m i masie $M$=5~kg w jego osi. Oblicz wartość siły grawitacyjnej $\vec F$, jaką działa pręt na cząstkę. %Walker przykł 14.9 s.105

\item Cztery kule o masach: 100~kg, 300~kg, 400~kg i 500~kg znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 2~m. Wyznacz wartość i kierunek wypadkowej siły grawitacyjnej, jaką działają te kule an kulę o masie 250~kg umieszczoną w środku kwadratu. Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna tego układu? Jaka praca zostanie wykonana przez siłę grawitacyjną przy usunięciu środkowej kuli? % RHW nowy zad 14.9 i 14.26
\item Statek kosmiczny o masie $m$ krąży swobodnie (bez napędu) po orbicie
okołoziemskiej o promieniu $R$. Obliczyć całkowitą energię mechaniczną 
  statku.

\item Z powierzchni Ziemi wyrzucono pionowo do góry z prędkością
początkową $v_0$. Na jaką wysokość wzniesie się to ciało? Jaką powinno 
mieć najmniejszą prędkość, aby nigdy nie spadło na Ziemię?

\item Promień Marsa stanowi 0.53 promienia Ziemi, masa Marsa stanowi 0.11
masy Ziemi. Porównać ciężary ciała o jednakowej masie na Ziemi i Marsie.


\item Gwiazda podwójna składa sie z dwóch mas $m_1$ i $m_2$, które 
obracają 
się wokół wspólnego środka masy po kołowych orbitach.
 Ich wzajemna odległość wynosi $r$.
 Z jaką predkością kątową obraca sią ten  układ? 

\item Rakieta o masie 150~kg została wystrzelona radialnie z powierzchni 
Ziemi i na wysokości 200~km ponad powierzchnią ma prędkość 3.70~km/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną rakiety na wysokości 1000~km.\\
b) Jaka jest maksymalna wysokość na jaką może wznieść się ta rakieta?

\item W kuli o promieniu $R$ wydrążono kulisty otwór o promieniu $r$. Masa kuli bez wydrążenia wynosiła $M$. Oblicz siłę grawitacyją, z jaką kula przyciąga masę $m$ znajdującą się w odległości $d$ od jej środka.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{masa_wydrazona.eps}
\end{center}
% RHW 14/Ex. 13

\item Masa Słońca wynosi $M_s$=2$\cdot$10$^{30}$~kg, a jego promień jest w przybliżeniu równy $R_s$=7$\cdot$10$^8$~m.\\
a) Na podstawie wzoru na wartość drugiej prędkości kosmicznej oblicz, jaki byłby promień Słońca, gdyby stało się ono czarną dziurą (wtedy światło nie może się z niej wydostać).\\
b) Ile razy większa niż obecnie byłaby wtedy wartość natężenia pola grawitacyjnego w pobliżu powierzchni Słońca. 
%Salach 28

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}

Zestaw 11
~\\
~\\
\begin{Large}
\bf{Ruch drgający i falowy}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Zdefiniuj ruch harmoniczny. Napisz i rozwiąż równanie
ruchu prostego oscylatora harmonicznego. Określ parametry tego ruchu.\\
Przyjmij że w chwili $t=0$: a) $x(0)=x_0$, a prędkość $v(0)=0$, b) $x(0)=0$, a $v(0)=v_0$.


\item Punkt materialny o masie $m$ zawieszono na nici o długości $l$ i wprawiono w ruch. Jakie będzie równanie tego ruchu? Znaleźć rozwiązanie tego równania dla małych drgań. Jak zmienia się energia potencjalna i kinetyczna w tym ruchu?

\item Opisz równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego 
oraz drgań wymuszonych oscylatora. Zdefiniuj pojęcie rezonansu.

\item Oblicz z jaką stałą czasową $\tau$ jest tłumiony ruch
 harmoniczny prosty,
jeżeli jego amplituda maleje dwukrotnie w czasie t=1 min.\\
Ile razy zmalała w tym czasie energia drgań?

\item Pokazać, że funkcja: $y(t,x)=a_0~\sin(\omega t ~-~kx)$ jest rozwiązaniem równania falowego:
\begin{displaymath}
\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y }{\partial t^2}
\end{displaymath}
Jaki jest związek między $\omega$, $k$, $v$? Jaki jest związek tych zmiennych z długością fali i okresem?

\item Płaską falę akustyczną można przedstawić równaniem:
\begin{displaymath}
y~=~0.1~sin(1320~t~-~5~x)
\end{displaymath}
Znaleźć:
\begin{itemize}
\item[a)] długość fali, częstotliwość, częstość i okres drgań,
\item[b)] prędkość rozchodzenia się fali,
\item[c)] maksymalną prędkość i przyspieszenie cząstek ośrodka.
\end{itemize}

\item Jaka jest amplituda fali wypadkowej powstałej w wyniku nałożenia się dwóch fal harmonicznych o takiej samej częstotliwości i amplitudach równych odpowiedno 1~cm i 2~cm, jeżeli oscylacje różnią się w fazie o $\pi/2$? Fale rozchodzą się w jednym kierunku.


\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
\begin{Large}
\bf{Zestaw dodatkowy}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{small}
\item Prędkość samochodu maleje jednostajnie od 45 km/h do 39 km/h
na odcinku 50 m.\\
a) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia?\\
b) Jak długo jechał samochód?\\
c) Ile czasu upłynie do zatrzymania?\\
d) Jaką drogę przejedzie do zatrzymania?

\item Pociąg przebywa ruchem jednostajnie opóźnionym dwa kolejne
odcinki toru o jednakowych długościach $l$ w czasach $t_A$ i $t_B$.
Znaleźć opóźnienie pociągu oraz prędkość początkową $v_0$, z jaką
wjechał na pierwszy odcinek toru. %kr

\item Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość $v_1$=29 m/s, 
a w punkcie B $v_2$=49 m/s. Jaka jest długość AB i w jakim czasie ciało
 przebyło tę odległość?

\item Kamień wyrzucony z wysokości h=2~m nad poziomem Ziemi pod kątem 
$\alpha=40^0$ do poziomu, spadł na ziemię w odległości s=42 m od miejsca
wyrzutu. Z jaką prędkością $v_0$ kamień został wyrzucony i jak długo
 był w powietrzu?

\item Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości h=2 m nad poziomem
 spadł w odległości s=7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony.

\item Dwa ciała wyrzucono równocześnie z dwóch różnych punktów.
Jedno ciało zostało rzucone poziomo z prędkością początkową
$v_{ox}$ z wieży o wysokości H, drugie z pewną prędkością $v_{0}$ pod pewnym kątem $\alpha$
 Jakie powinny być: prędkość $v_{0}$, b) kąt $\alpha$, aby ciała zderzyły się nad ziemią?
%kr 3.16

\item Na ciało o masie $m=500$ g działa siła $F=10$ N przez czas $t=4$ s.
Jakim ruchem porusza się ciało podczas działania siły?\\
Jaka będzie prędkość końcowa $v$ ciała?\\
Ile wynosi droga $s$ przebyta przez to ciało?\\
Jaka jest prędkość średnia?\\
Oblicz ile czasu upłynie nastepnie do zatrzymania ciała, gdy po czasie 4s siła 5N bedzie działała w kierunku przeciwnym.

\item Na szczycie równi pochyłej o długości l i kącie nachylenia 
$\theta$ znajduje się ciało o masie $m$, które zaczyna zsuwać się w
 dół. \\
a) Przyjmując, że współczynnik tarcia wynosi $\mu$, obliczyć
 przyspieszenie ciała oraz prędkość ciała przy podstawie równi.\\
b) Po zsunięciu się z równi ciało przesuwa się na pewną odległość
 $d$ po takiej samej powierzchni, ale poziomej. Obliczyć tę odległość.

\item  Jaką prędkość początkową należy nadać ciału o masie $m$, 
aby wjechało na szczyt równi o długości $l$ i kącie nachylenia $\alpha$,
jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$? Oblicz czas $t$ trwania ruchu.

\item Trzy ciała (rys) połączone są nićmi. Do pierwszego ciała 
przyłożono siłę $F_1$, do trzeciego $F_2$. Obliczyć przyspieszenie 
każdego z ciał.
 \begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{figure=rys_524.eps,height=0.5cm}
\end{figure}

\item Ciało o masie 20 kg jest pchane przez poziomą siłę $F$ w górę 
doskonale gładkiej $30^o$ równi pochyłej o długości 3 m.\\
a) Jeżeli prędkość u dołu wynosi 0.6 m/s, a u góry 3 m/s, obliczyć 
jaką pracę wykonała siła $F$.\\
b) Jaka jest wartość siły $F$?\\
c) Gdyby równia nie była gładka i $\mu_k$= 0.15, to do jakiego punktu 
równi dojdzie ciało? 

\item Jaką pracę należy wykonać, aby przesunąć ciężar Q=10 N wzdłuż
 równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha= 30^0$ i wysokości h=10 m? 
Tarcie zaniedbać.

\item Blok lodu o masie 50 kg ześlizguje się z równi o długości 1.5 m
 i wysokości 0.9 m. Mężczyzna pcha ten lód siłą równoległą do równi
 w ten sposób, ze prędkość ześlizgiwania jest stała.
Współczynnik tarcia między lodem a równią wynosi 0.10. Znaleźć:\\
a) siłę wywieraną przez mężczynę na blok,\\
b) pracę wykonaną przez mężczyznę,\\
c) pracę wykonaną przez się grawitacyjną,\\
d) pracę wykonaną przez siłę, jaką powierzchnia działa na blok,\\
e) pracę wykonaną przez siłę wypadkową przy przemieszczaniu bloku,\\
f) zmianę energii kinetycznej bloku.  

\item    Oblicz średnią moc silnika samochodu o masie 1000 kg, który
poruszając się ruchem jednostajnie zmiennym w ciągu czasu 10 s od początku ruchu uzyskał prędkość 50 km/h. Współczynnik tarcia wynosi f=0.01.

\item Piłkę o masie 50~g wyrzucono przez okno pod kątem 30$^o$ w górę od poziomu z prędkością początkową o wartości 8~m/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną piłki w najwyższym punkcie jej toru.\\
b) Oblicz wartość prędkości piłki, gdy znajdzie się ona o 3 metry poniżej punktu wyrzucenia. 
% Walker s.59 zad 77 rozdz.8 Odp: a) 1.2 J, b) 11 m/s

\item Obliczyć energię potencjalną, kinetyczną oraz sumę tych energii
 dla ciała o masie m=200 g wzniesionego na wysokość H=4 m i puszczonego
 swobodnie. Obliczenia przeprowadzić dla wysokości 4 m, 3 m i 0 m.


\item Kula z plasteliny o masie 50~g poruszająca się z prędkością 0,2~m/s uderza centralnie w drugą taką samą kulę będącą w spoczynku. Oblicz prędkości obu kul po zderzeniu.

\item Piłkę puszczono swobodnie z wysokości $h$ nad podłożem. Podczas odbicia piłka traci 1/3 swojej energii mechaniczej. Oblicz na jaką wysokość wzniesie się ona po 4 odbiciach i ile energii mechanicznej zamieniło się w energię wewnętrzną.

\item Pocisk o masie $m_1$ i prędkości $v_1$ trafia w ciało o masie $m_2$ , które porusza się z prękością $v_2<v_1$, wzdłuż tej samej prostej co pocisk. Znaleźć prędkość drugiego ciała po trafieniu, jeżeli wiadomo, że pocisk poleciał dalej z prędkością $v_1'$. Zbadać przypadki, gdy ciało porusza się w tą samą stronę co pocisk oraz gdy porusza się w stronę przeciwną. % Kruczek 10.12

\item W najniższym punkcie pochylni spoczywa wózek o masie $m$. Drugi
taki sam wózek puszczono z wysokości $h$, a wyniku zderzenia wózki się
połączyły i dalej poruszały razem. Na jaką wysokość wjadą wózki
po zderzeniu?

\item Pocisk o masie $m$ uderza w klocek o masie $M$ zawieszony  na  nieważkiej nici o długości $l$. Znając końcowy kąt wychylenia klocka od pionu $\alpha$, obliczyć poziomą początkową prędkość pocisku w przypadku gdy:\\
a) pocisk po uderzeniu grzęźnie w klocku,\\
b) pocisk po uderzeniu odskakuje od wahadła z prędkością $u$,
c) pocisk po uderzeniu spada.  

\item Jednorodny krążek zaczyna obracać się wokół
 nieruchomej osi i przyspiesza ze stałym przyspieszeniem kątowym.
 Początkowo obraca się z prędkością 10 obr/s. Po 60 pełnych obrotach
 jego prędkość kątowa wynosi 15 obr/s. Obliczyć:\\
a) przyspieszenie kątowe,\\
b) czas, w jakim dokonane zostało wspomniane 60 obrotów,\\
c) czas potrzebny do osiągnięcia prędkości kątowej 10 obr/s,\\
d) liczbę obrotów krążka od chwili rozpoczęcia ruchu do chwili,
 w której osiągnął on prędkość kątową 10 obr/s. 


\item Jednorodny walec o promieniu R i masie M stacza się z równi
 pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$. Współczynnik tarcia wynosi $f$.
 Znaleźć równanie ruchu, gdy walec toczy się z poślizgiem i bez poślizgu.
 Obliczyć prędkość liniową u podstawy równi,
 jeżeli stacza się z wysokości h (obydwa przypadki).


\item Przez nieruchomy krążek o promieniu R przerzucono nieważką nić,
 na której końcach zamocowano masy $m_1$ i $m_2$. Moment bezwładności
 krążka względem osi obrotu wynosi I. Zakładamy, że nić nie ślizga się. 
Znaleźć przyspieszenie kątowe krążka i siły naciągu prostoliniowych 
odcinków nici w czasie ruchu. 
 
\item Na wale o średnicy d=4 cm nawinięta jest nić, 
do której końca przywiązano 
ciężar o masie 100g.
Obliczyć moment bezwładności I, jeżeli ciężar opada z przyspieszeniem 
a=9.8 $cm/s^2$

\item Moment bezwładności koła napędowego silnika wynosi
 I= 0.2 $kg\cdot m^2$.
W jakim czasie uzyska on prędkość kątową $\omega$=1800 obr/min,
jeżeli moc silnika wynosi P=200 W.

\item Drewniana listwa o masie m=500 g i długości l=50 cm może obracać się wokół osi prostopadej do osi klocka i przechodzącej przez jego środek.
 W koniec listwy uderza kula o masie $m_1$=15 g i prędkości v= 300 m/s
prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. %Jezierski zad 109

\item Stolik poziomy obraca się z prędkościa kątową $\omega$.
Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach
w odległości $l$ od osi obrotu dwa ciężarki o masie $m$ każdy.
Jak zmieni się prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce?
Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu. Moment bezwładności stolika
wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi $I$.

\item Pocisk o masie 100~ton został wystrzelony z pierwszą prędkościa kosmiczną pionowo do góry. Obliczyć, jaką siłą pole grawitacyjne Ziemi będzie działać na pocisk w najwyższym punkcie jego toru.


\item Statek kosmiczny o masie $m$ krąży swobodnie (bez napędu) po orbicie
okołoziemskiej o promieniu $R$. Obliczyć całkowitą energię mechaniczną  statku.

\item Pewna planeta ma masę 5$\cdot$10$^{23}$ kg i promień 2$\cdot$10$^{6}$ m. Ciało o masie 10~kg ma być wystrzelone z jej powierzchni.\\
a) Jeżeli ciało zostało wystrzelone z początkową energią kinetyczną 5$\cdot$10$^{7}$~J, jaka będzie jego energia kinetyczna w odległości 4$\cdot$10$^{6}$ m od środka tej planety?\\
b) Jeżeli ciało ma sie znaleźć na orbicie o promieniu  8$\cdot$10$^{6}$ m, z jaką energią powinno być wystrzelone? %RHW



\item Określić, jak długo trwa przelot strzały o długości $l_0$ z prędkością $v$ ($v \rightarrow c$) koło zegara odmierzającego czas.

\item Od obserwatora oddala się zegar z prędkością $4/5c$. Obliczyć długość drogi, jaką przebedzie ten zegar w ciągu mierzonego przez siebie czasu 1~$\mu s$

\item  Oblicz masę, pęd i energię elektronu rozpędzonego do prędkości $4/5~c$. \

\end{small}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
\begin{Large}
\bf{I kolokwium zaliczeniowe}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości h=2 m nad poziomem
 spadł w odległości s=7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony.

\item Trzy ciała (rys) połączone są nićmi. Do pierwszego ciała 
przyłożono siłę $F_1$, do trzeciego $F_2$. Obliczyć przyspieszenie 
każdego z ciał i napreżenie liny przyłożone do masy $m_2$.
 \begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{figure=rys_524.eps,height=1cm}
\end{figure}

\item Na szczycie równi pochyłej o długości l i kącie nachylenia 
$\theta$ znajduje się ciało o masie $m$, które zaczyna zsuwać się w
 dół. \\
a) Przyjmując, że współczynnik tarcia wynosi $\mu$, obliczyć
 przyspieszenie ciała oraz prędkość ciała przy podstawie równi.\\
b) Po zsunięciu się z równi ciało przesuwa się na pewną odległość
 $d$ po takiej samej powierzchni, ale poziomej. Obliczyć tę odległość.

\item W najniższym punkcie pochylni spoczywa wózek o masie $m$. Drugi
taki sam wózek puszczono z wysokości $h$, a wyniku zderzenia wózki się
połączyły i dalej poruszały razem. Na jaką wysokość wjadą wózki
po zderzeniu?

\item Stolik poziomy obraca się z prędkościa kątową $\omega$.
Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach
w odległości $l$ od osi obrotu dwa ciężarki o masie $m$ każdy.
Jak zmieni się prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce?
Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu. Moment bezwładności stolika
wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi $I$.
\end{enumerate}

~\\
~\\
~\\



\begin{center}
\begin{Large}
\bf{I kolokwium zaliczeniowe}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Kamień rzucony w kierunku poziomym z wysokości h=2 m nad poziomem
 spadł w odległości s=7 m od miejsca wyrzucenia. Znaleźć prędkość
 $v_0$ z jaką został wyrzucony.

\item Trzy ciała (rys) połączone są nićmi. Do pierwszego ciała 
przyłożono siłę $F_1$, do trzeciego $F_2$. Obliczyć przyspieszenie 
każdego z ciał i napreżenie liny przyłożone do masy $m_2$.
 \begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{figure=rys_524.eps,height=1cm}
\end{figure}

\item Na szczycie równi pochyłej o długości l i kącie nachylenia 
$\theta$ znajduje się ciało o masie $m$, które zaczyna zsuwać się w
 dół. \\
a) Przyjmując, że współczynnik tarcia wynosi $\mu$, obliczyć
 przyspieszenie ciała oraz prędkość ciała przy podstawie równi.\\
b) Po zsunięciu się z równi ciało przesuwa się na pewną odległość
 $d$ po takiej samej powierzchni, ale poziomej. Obliczyć tę odległość.

\item W najniższym punkcie pochylni spoczywa wózek o masie $m$. Drugi
taki sam wózek puszczono z wysokości $h$, a wyniku zderzenia wózki się
połączyły i dalej poruszały razem. Na jaką wysokość wjadą wózki
po zderzeniu?

\item Stolik poziomy obraca się z prędkościa kątową $\omega$.
Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach
w odległości $l$ od osi obrotu dwa ciężarki o masie $m$ każdy.
Jak zmieni się prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce?
Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu. Moment bezwładności stolika
wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi $I$.
\end{enumerate}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
\begin{Large}
\bf{I kolokwium zaliczeniowe}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Janek rzucił poziomo piłką przez okno o wysokości 4~m z prędkością 3~m/s. Oblicz, czy udało mu sie trafić w samochód nauczycielki, znajdujacy się 10~m od bloku? 

\item   Trzy klocki  (rys) połączone są nićmi. Początkowo spoczywają, a po zwolnieniu poruszają się z przyspieszeniem 2~m/s$^2$. Oblicz wartość siły tarcia działajecej na klocek $2M$, wiedząc, że M=3~kg.
 \begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{figure=klocki3_stol.eps,height=1cm}
\end{figure}

\item  Jaką prędkość początkową należy nadać ciału o masie $m$, 
aby wjechało na szczyt równi o długości $l$ i kącie nachylenia $\alpha$,
jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$? Oblicz czas $t$ trwania ruchu. Ile wynosi praca wykonana przez: a) siłę wypadkową , b) siłę tarcia, c) siłę ciężkości.

\item Pocisk o masie $m$ uderza w klocek o masie $M$ zawieszony  na  nieważkiej nici o długości $l$. Znając końcowy kąt wychylenia klocka od pionu $\alpha$, obliczyć poziomą początkową prędkość pocisku w przypadku gdy:\\
a) pocisk po uderzeniu grzęźnie w klocku,\\
b) pocisk po uderzeniu odskakuje od wahadła z prędkością $u$,
c) pocisk po uderzeniu spada.  


\item Na wale o średnicy d=4 cm nawinięta jest nić, 
do której końca przywiązano 
ciężar o masie 100g.
Obliczyć moment bezwładności I, jeżeli ciężar opada z przyspieszeniem 
a=9.8 $cm/s^2$

\end{enumerate}


~\\
~\\
~\\
\begin{center}
\begin{Large}
\bf{I kolokwium zaliczeniowe}
\end{Large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Janek rzucił poziomo piłką przez okno o wysokości 4~m z prędkością 3~m/s. Oblicz, czy udało mu sie trafić w samochód nauczycielki, znajdujacy się 10~m od bloku? 

\item   Trzy klocki  (rys) połączone są nićmi. Początkowo spoczywają, a po zwolnieniu poruszają się z przyspieszeniem 2~m/s$^2$. Oblicz wartość siły tarcia działajecej na klocek $2M$, wiedząc, że M=3~kg.
 \begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{figure=klocki3_stol.eps,height=1cm}
\end{figure}

\item  Jaką prędkość początkową należy nadać ciału o masie $m$, 
aby wjechało na szczyt równi o długości $l$ i kącie nachylenia $\alpha$,
jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$? Oblicz czas $t$ trwania ruchu. Ile wynosi praca wykonana przez: a) siłę wypadkową , b) siłę tarcia, c) siłę ciężkości.

\item Pocisk o masie $m$ uderza w klocek o masie $M$ zawieszony  na  nieważkiej nici o długości $l$. Znając końcowy kąt wychylenia klocka od pionu $\alpha$, obliczyć poziomą początkową prędkość pocisku w przypadku gdy:\\
a) pocisk po uderzeniu grzęźnie w klocku,\\
b) pocisk po uderzeniu odskakuje od wahadła z prędkością $u$,
c) pocisk po uderzeniu spada.  


\item Na wale o średnicy d=4 cm nawinięta jest nić, 
do której końca przywiązano 
ciężar o masie 100g.
Obliczyć moment bezwładności I, jeżeli ciężar opada z przyspieszeniem 
a=9.8 $cm/s^2$

\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}
\item Kolarz przebył  pierwsze 26km w czasie 1 godziny, a następne 42km w czasie 3 godzin. Średnia szybkość kolarza wynosiła: %5

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 17km/h & b) 19 km/h & c) 20 km/h& d) 18km/h
\end{tabular}

\item  W ciągu 4 sekund ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej przebyło drogę 20m. Prędkość końcowa miała wartość: %17

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 5m/s & b) 10m/s & c) 20m/s& d) 40m/s
\end{tabular}

\item Aby maksymalna wysokość wzniesienia wynosiła 45m, ciało należy wyrzucić pionowo z prędkością początkową o wartości: %39

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 900m/s & b) 90m/s & c) 40m/s& d) 30m/s
\end{tabular}

\item Ciało wyrzucone ukośnie z prędkością o wartości 12m/s pod kątem 45$^0$ do podłoża. Prędkość w najwyższym punkcie toru bedzie miała wartość: %45

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 6$\sqrt 2$ m/s & c) 3$\sqrt 2$ m/s& d) 6$\sqrt 3$ m/s
\end{tabular}


\item Traktor z przyczepą jedzie ze stałą prędkością, ciągnąc ją siłą o wartości $F=10^4$~N. Ciężar przyczepy wynosi  $F_c=10^5$~N. Wartość wypadkowej wszystkich sił działających na przyczepę wynosi:
%56

\begin{tabular}{ r r r r}
a) $10^4$~N & b) $\sqrt {F^2+F_c^2} = \sqrt{(10^4)^2+10^5)^2}$~N & c) zero & d) nie da się obliczyć - brak informacji o sile tarcia
\end{tabular}

\item Jeżeli pominiemy opory, to przyspieszenie układu przedstawionego na rysunku wynosi:%68

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 1/4 g & b) 2/7 g & c) 1/8 g& d) 1/7 g
\end{tabular}
\begin{center}
\vspace{-1.cm} \hspace{12cm}\includegraphics[scale=0.35]{klocki_test1.eps}
\end{center}


\item Na równi pochyłej leży klocek. Klocek zaczyna się zsuwać przy kącie nachylenia równym 45$^0$. Współczynnik tarcia statycznego wynosi: %76

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 0,5 & c) $\sqrt2$/2 & d) 1.
\end{tabular}

\item Winda o masie $m$ zjeżdża do kopalni z przyspieszeniem o wartości 1/6 g. Naprężenie liny, na której jest zawieszona kabina wynosi: %88

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 5/6 mg & b) 6 mg & c) 1/6 mg& d) 7/6 mg
\end{tabular}


\item Wózek o masie $2m$ poruszający się z prędkością $v$ zderza się ze spoczywającym wózkiem o masie $3m$. Wózki łączą się i poruszają dalej z prędkością o wartości: %98

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 3/5 v & b) 2/5 v & c) 2/3 v & d) 3/2 v
\end{tabular}

\item Na ciało o masie 1~kg, spoczywające na poziomej powierzchni zaczyna działać siła równoległa do podłoża o wartości 2~N. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. Praca wykonana nad ciałem przez wypadkową tych sił na drodze 1~m wynosi: %108

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 0,2 J & b) 2 J& c) 2,98 J& d) 1,02 J
\end{tabular}

\item Na ciało o masie 1~kg, początkowo spoczywające, zostaje wprawione w ruch jednostajnie przyspieszony i po 2 sekundach osiąga szybkość 10~m/s. Moc chwilowa urządzenia przyspieszajacego po 1 sekundzie ma wartość % 114

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 100W & b) 75W & c) 50W& d) 25W 
\end{tabular}

\item Kulka o masie $m$ jest przyczepiona na końcu sznurka o długości $R$ i wiruje w płaszczyźnie pionowej po okręgu tak, że w górnym położeniu nitka nie jest napięta. Szybkość kulki w dolnym położeniu wynosi: %137

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\sqrt {5gR}$ & b) $\sqrt {gR/m}$ & c) $\sqrt {4gR}$ & d) $\sqrt {gR}$
\end{tabular}


\item Ciało o masie $m$ wyrzucono pod kątem 60$^0$ do poziomu z prędkością $\vec v$. Jeżeli pominiemy opory powietrza, to energia potencjalna ciała w najwyższym punkcie toru ma wartość: %121

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle\frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{mv^2}{8}$ & c) $\displaystyle\frac{7mv^2}{8}$ & d) $\displaystyle\frac{3mv^2}{8}$
\end{tabular}

\item Na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie jest cztery razy mniejsze niż na powierzchni Ziemi, gdy: %142

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $h=R_Z$ & b) $ h=2 R_Z$& c) $h=4 R_Z$& d) $h=\frac{1}{2} R_Z$ 
\end{tabular}

\item Cienkościenna rura o promieniu $R$ i masie $M$ toczy się bez poślizgu tak, ze jej środek masy ma szybkość $v$. Jej energia kinetyczna wynosi: 
%171

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle \frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{m R v^2}{8}$ & c) $mv^2$ & d) $2mv^2$
\end{tabular}

\item Dwa obciążniki zamocowane na pręcie, będące w ruchu jednostajnym obrotowym posiadają prędkość liniową $v$. Po nagłym rozsunieciu się obciążników na odległość dwa razy wiekszą ich prędkość liniowa wyniesie. %%odp: D

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $4 v$ & b) $2 v $& c) $v $& d) $0.5 v$ 
\end{tabular} 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{dwa_obciazniki.eps}
\end{center}

\end{enumerate}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}

\item  W ciągu 4 sekund ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej przebyło drogę 20m. Prędkość końcowa miała wartość: %17

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 5m/s & b) 10m/s & c) 20m/s& d) 40m/s
\end{tabular}

\item Kolarz przebył  pierwsze 26km w czasie 1 godziny, a następne 42km w czasie 3 godzin. Średnia szybkość kolarza wynosiła: %5

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 17km/h & b) 19 km/h & c) 20 km/h& d) 18km/h
\end{tabular}

\item Ciało wyrzucone ukośnie z prędkością o wartości 12m/s pod kątem 45$^0$ do podłoża. Prędkość w najwyższym punkcie toru bedzie miała wartość: %45

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 6$\sqrt 2$ m/s & c) 3$\sqrt 2$ m/s& d) 6$\sqrt 3$ m/s
\end{tabular}

\item Aby maksymalna wysokość wzniesienia wynosiła 45m, ciało należy wyrzucić pionowo z prędkością początkową o wartości: %39

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 900m/s & b) 90m/s & c) 40m/s& d) 30m/s
\end{tabular}

\item Na równi pochyłej leży klocek. Klocek zaczyna się zsuwać przy kącie nachylenia równym 45$^0$. Współczynnik tarcia statycznego wynosi: %76

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 0,5 & c) $\sqrt2$/2 & d) 1.
\end{tabular}


\item Traktor z przyczepą jedzie ze stałą prędkością, ciągnąc ją siłą o wartości $F=10^4$~N. Ciężar przyczepy wynosi  $F_c=10^5$~N. Wartość wypadkowej wszystkich sił działających na przyczepę wynosi:
%56

\begin{tabular}{ r r r r}
a) $10^4$~N & b) $\sqrt {F^2+F_c^2} = \sqrt{(10^4)^2+10^5)^2}$~N & c) zero & d) nie da się obliczyć - brak informacji o sile tarcia
\end{tabular}

\item Jeżeli pominiemy opory, to przyspieszenie układu przedstawionego na rysunku wynosi:%68

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 1/4 g & b) 2/7 g & c) 1/8 g& d) 1/7 g
\end{tabular}
\begin{center}
\vspace{-1.cm} \hspace{12cm}\includegraphics[scale=0.35]{klocki_test1.eps}
\end{center}


\item Wózek o masie $2m$ poruszający się z prędkością $v$ zderza się ze spoczywającym wózkiem o masie $3m$. Wózki łączą się i poruszają dalej z prędkością o wartości: %98

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 3/5 v & b) 2/5 v & c) 2/3 v & d) 3/2 v
\end{tabular}

\item Winda o masie $m$ zjeżdża do kopalni z przyspieszeniem o wartości 1/6 g. Naprężenie liny, na której jest zawieszona kabina wynosi: %88

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 5/6 mg & b) 6 mg & c) 1/6 mg& d) 7/6 mg
\end{tabular}


\item Na ciało o masie 1~kg, początkowo spoczywające, zostaje wprawione w ruch jednostajnie przyspieszony i po 2 sekundach osiąga szybkość 10~m/s. Moc chwilowa urządzenia przyspieszajacego po 1 sekundzie ma wartość % 114

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 100W & b) 75W & c) 50W& d) 25W 
\end{tabular}

\item Na ciało o masie 1~kg, spoczywające na poziomej powierzchni zaczyna działać siła równoległa do podłoża o wartości 2~N. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. Praca wykonana nad ciałem przez wypadkową tych sił na drodze 1~m wynosi: %108

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 2 J & b) 1.02 J& c) 2,98 J& d) 0,2 J
\end{tabular}

\item Ciało o masie $m$ wyrzucono pod kątem 60$^0$ do poziomu z prędkością $\vec v$. Jeżeli pominiemy opory powietrza, to energia potencjalna ciała w najwyższym punkcie toru ma wartość: %121

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle\frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{mv^2}{8}$ & c) $\displaystyle\frac{7mv^2}{8}$ & d) $\displaystyle\frac{3mv^2}{8}$
\end{tabular}

\item Kulka o masie $m$ jest przyczepiona na końcu sznurka o długości $R$ i wiruje w płaszczyźnie pionowej po okręgu tak, że w górnym położeniu nitka nie jest napięta. Szybkość kulki w dolnym położeniu wynosi: %137

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\sqrt {5gR}$ & b) $\sqrt {gR/m}$ & c) $\sqrt {4gR}$ & d) $\sqrt {gR}$
\end{tabular}

\item Cienkościenna rura o promieniu $R$ i masie $M$ toczy się bez poślizgu tak, ze jej środek masy ma szybkość $v$. Jej energia kinetyczna wynosi: 
%171

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle \frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{m R v^2}{8}$ & c) $mv^2$ & d) $2mv^2$
\end{tabular}


\item Na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie jest cztery razy mniejsze niż na powierzchni Ziemi, gdy: %142

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $h=R_Z$ & b) $ h=2 R_Z$& c) $h=4 R_Z$& d) $h=\frac{1}{2} R_Z$ 
\end{tabular}



\item Dwa obciążniki zamocowane na pręcie, będące w ruchu jednostajnym obrotowym posiadają prędkość liniową $v$. Po nagłym rozsunieciu się obciążników na odległość dwa razy wiekszą ich prędkość liniowa wyniesie. %%odp: a

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $0.5 v$ & b) $ v $& c) $2v $& d) $4 v$ 
\end{tabular} 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{dwa_obciazniki.eps}
\end{center}

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}

\item  W ciągu 4 sekund ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej przebyło drogę 20m. Prędkość końcowa miała wartość: %17

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 40m/s & b) 20m/s & c) 10m/s& d) 5m/s
\end{tabular}

\item Kolarz przebył  pierwsze 26km w czasie 1 godziny, a następne 42km w czasie 3 godzin. Średnia szybkość kolarza wynosiła: %5

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 20km/h & b) 19 km/h & c) 18 km/h& d) 17km/h
\end{tabular}

\item Ciało wyrzucone ukośnie z prędkością o wartości 12m/s pod kątem 45$^0$ do podłoża. Prędkość w najwyższym punkcie toru będzie miała wartość: %45

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 6$\sqrt 2$ m/s & c) 3$\sqrt 2$ m/s& d) 6$\sqrt 3$ m/s
\end{tabular}

\item Aby maksymalna wysokość wzniesienia wynosiła 45m, ciało należy wyrzucić pionowo z prędkością początkową o wartości: %39

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 900m/s & b) 90m/s & c) 40m/s& d) 30m/s
\end{tabular}

\item Na równi pochyłej leży klocek. Klocek zaczyna się zsuwać przy kącie nachylenia równym 45$^0$. Współczynnik tarcia statycznego wynosi: %76

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) zero & b) 1 & c) $\sqrt2$/2 & d) 0.5
\end{tabular}




\item Jeżeli pominiemy opory, to przyspieszenie układu przedstawionego na rysunku wynosi:%68

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 1/4 g & b) 1/2 g & c) 1/8 g& d) 1/3 g
\end{tabular}
\begin{center}
\vspace{-1.cm} \hspace{12cm}\includegraphics[scale=0.35]{klocki_test2.eps}
\end{center}


\item Wózek o masie $2m$ poruszający się z prędkością $v$ zderza się ze spoczywającym wózkiem o masie $3m$. Wózki łączą się i poruszają dalej z prędkością o wartości: %98

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 2/5 v & b) 3/5 v & c) 2/3 v & d) 3/2 v
\end{tabular}


\item Traktor z przyczepą jedzie ze stałą prędkością, ciągnąc ją siłą o wartości $F=10^4$~N. Ciężar przyczepy wynosi  $F_c=10^5$~N. Wartość wypadkowej wszystkich sił działających na przyczepę wynosi:
%56

\begin{tabular}{ r r r r}
a) $10^4$~N & b) $\sqrt {F^2+F_c^2} = \sqrt{(10^4)^2+10^5)^2}$~N & c) zero & d) nie da się obliczyć - brak informacji o sile tarcia
\end{tabular}

\item Na ciało o masie 1~kg, początkowo spoczywające, zostaje wprawione w ruch jednostajnie przyspieszony i po 2 sekundach osiąga szybkość 10~m/s. Moc chwilowa urządzenia przyspieszajacego po 1 sekundzie ma wartość % 114

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 25W & b) 50W & c) 75W& d) 100W 
\end{tabular}

\item Winda o masie $m$ zjeżdża do kopalni z przyspieszeniem o wartości 1/6 g. Naprężenie liny, na której jest zawieszona kabina wynosi: %88

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 1/6 mg & b) 6 mg & c) 5/6 mg& d) 7/6 mg
\end{tabular}


\item Ciało o masie $m$ wyrzucono pod kątem 60$^0$ do poziomu z prędkością $\vec v$. Jeżeli pominiemy opory powietrza, to energia potencjalna ciała w najwyższym punkcie toru ma wartość: %121

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle\frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{mv^2}{8}$ & c) $\displaystyle\frac{7mv^2}{8}$ & d) $\displaystyle\frac{3mv^2}{8}$
\end{tabular}

\item Na ciało o masie 1~kg, spoczywające na poziomej powierzchni zaczyna działać siła równoległa do podłoża o wartości 2~N. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. Praca wykonana nad ciałem przez wypadkową tych sił na drodze 1~m wynosi: %108

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) 2 J & b) 1.02 J& c) 2,98 J& d) 0,2 J
\end{tabular}




\item Cienkościenna rura o promieniu $R$ i masie $M$ toczy się bez poślizgu tak, ze jej środek masy ma szybkość $v$. Jej energia kinetyczna wynosi: 
%171

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\displaystyle \frac{mv^2}{2}$ & b) $\displaystyle\frac{m R v^2}{8}$ & c) $mv^2$ & d) $2mv^2$
\end{tabular}


\item Na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie jest cztery razy mniejsze niż na powierzchni Ziemi, gdy: %142

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $h=R_Z$ & b) $ h=2 R_Z$& c) $h=4 R_Z$& d) $h=\frac{1}{2} R_Z$ 
\end{tabular}

\item Kulka o masie $m$ jest przyczepiona na końcu sznurka o długości $R$ i wiruje w płaszczyźnie pionowej po okręgu tak, że w górnym położeniu nitka nie jest napięta. Szybkość kulki w dolnym położeniu wynosi: %137

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $\sqrt {5gR}$ & b) $\sqrt {gR/m}$ & c) $\sqrt {4gR}$ & d) $\sqrt {gR}$
\end{tabular}

\item Dwa obciążniki zamocowane na pręcie, będące w ruchu jednostajnym obrotowym posiadają prędkość liniową $v$. Po nagłym rozsunieciu się obciążników na odległość dwa razy wiekszą ich prędkość liniowa wyniesie. %%odp: a

\begin{tabular}{p{3cm} p{3cm} p{3cm} p{3cm}}
a) $0.5 v$ & b) $ v $& c) $2v $& d) $4 v$ 
\end{tabular} 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{dwa_obciazniki.eps}
\end{center}

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}


\item  Na stole przymocowano, jedna za drugą, masy $m_1$, $m_2$, $m_3$. Znaleźć:\\
a) przyspieszenie układu\\
b) naprężenia wszystkich nici\\
Przyjąć, że współczynnik tarcia klocków o stól wynosi $k$.
%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{blok.png}

\item Cztery jednakowe ciała o równych masah 20~g każde, leżą na jednej prostej w pewnych odległościach od siebie. W skrajne ciało uderza z prędkością 10~m/s takie samo ciało. traktując zderzenia jako doskonale niesprężyste, znaleźć  energię kinetyczną ciał po wszystkich zderzeniach. % mvo=5mvk, Ek=5mv^2/2

\item Chłopiec ciągnie ze stałą prędkością pod góre sanki za sznurek skierowany pod kątem $\alpha$ do stoku góry, która nachylona jest pod kątem $\beta$ do poziomu. Ile wynosi siła, z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$, a masa sanek wynosi $m$.


\item Jednorodny pret o masie $M$ i długości $l$ jest osadzony na osi pionowej  przechodzącej przez jego środek. Pocisk o masie $m$ lecący poziomo z prędkością $v_0$ wbija sie w niego. Jaka jest prędkość kątowa pręta po zderzeniu?  

\end{enumerate}

~\\

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}

\item Jednorodny pret o masie $M$ i długości $l$ jest osadzony na osi pionowej  przechodzącej przez jego środek. Pocisk o masie $m$ lecący poziomo z prędkością $v_0$ wbija sie w niego. Jaka jest prędkość kątowa pręta po zderzeniu?  

\item Chłopiec ciągnie ze stałą prędkością pod góre sanki za sznurek skierowany pod kątem $\alpha$ do stoku góry, która nachylona jest pod kątem $\beta$ do poziomu. Ile wynosi siła, z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$, a masa sanek wynosi $m$.

\item Cztery jednakowe ciała o równych masah 20~g każde, leżą na jednej prostej w pewnych odległościach od siebie. W skrajne ciało uderza z prędkością 10~m/s takie samo ciało. traktując zderzenia jako doskonale niesprężyste, znaleźć  energię kinetyczną ciał po wszystkich zderzeniach. % mvo=5mvk, Ek=5mv^2/2

\item  Na stole przymocowano, jedna za drugą, masy $m_1$, $m_2$, $m_3$. Znaleźć:\\
a) przyspieszenie układu\\
b) naprężenia wszystkich nici\\
Przyjąć, że współczynnik tarcia klocków o stól wynosi $k$.
%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{blok.png}



\end{enumerate}

~\\

\begin{large}
\begin{center}
\bf{KOLOKWIUM ZALICZENIOWE II}
\end{center}
\end{large}

\begin{enumerate}

\item Chłopiec ciągnie ze stałą prędkością pod góre sanki za sznurek skierowany pod kątem $\alpha$ do stoku góry, która nachylona jest pod kątem $\beta$ do poziomu. Ile wynosi siła, z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$, a masa sanek wynosi $m$.

\item  Na stole przymocowano, jedna za drugą, masy $m_1$, $m_2$, $m_3$. Znaleźć:\\
a) przyspieszenie układu\\
b) naprężenia wszystkich nici\\
Przyjąć, że współczynnik tarcia klocków o stól wynosi $k$.
%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{blok.png}

\item Cztery jednakowe ciała o równych masah 20~g każde, leżą na jednej prostej w pewnych odległościach od siebie. W skrajne ciało uderza z prędkością 10~m/s takie samo ciało. traktując zderzenia jako doskonale niesprężyste, znaleźć  energię kinetyczną ciał po wszystkich zderzeniach. % mvo=5mvk, Ek=5mv^2/2

\item Jednorodny pret o masie $M$ i długości $l$ jest osadzony na osi pionowej  przechodzącej przez jego środek. Pocisk o masie $m$ lecący poziomo z prędkością $v_0$ wbija sie w niego. Jaka jest prędkość kątowa pręta po zderzeniu?  

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  A }
\end{large}
\end{center}

1. Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
 przebywając kolejno dwa równe odcinki drogi $s$ w czasach $t_1$=2 s i $t_2$=1 s.
 Znaleźć przyspieszenie ciała $a$ i prędkość na początku pierwszego
 odcinka.\\

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\hspace{-1cm}\includegraphics[scale=0.35]{Mm_sciana.eps}
\end{floatingfigure}
2. Układ pokazany na rysunku jest w równowadze, ale zaczyna się poruszać jeśli jakakolwiek dodatkowa masa zostaje dołożona do ciężarka m=5 kg. Jaki jest współczynnik tarcia statycznego pomiędzy klockiem o masie M=10kg a płaszczyzną na której on spoczywa. \\


3. Samochód o masie $m$= 500 kg wjeżdża z wyłączonym
silnikiem pod górę o kącie nachylenia $\alpha$= 30$^0$ z prędkością
72 km/h. \\
a) Obliczyć, jaką drogę $s$ przebędzie samochód, jeżeli 
opory ruchu opisać można współczynnikiem tarcia $\mu$=0.2.\\
b) Jaką moc powinien rozwijać silnik samochodu, aby poruszał się on
na tym odcinku ze stałą prędkością 72 km/h.\\


4. Trzy klocki połączone ze sobą przesuwają się po gładkim, poziomym stole pod wpływem siły $T_3$=60 N przyłożonej do jednego z klocków.
 Znaleźć naprężenia  $T_1$ i $T_2$, jeśli $m_1$=10 kg, $m_2$=20 kg,
 $m_3$=30 kg.\\

5. Tramwaj jadący z prędkością $v$ wjechał na zakręt o promieniu
 R. Przy jakiej wartości współczynnika tarcia $\mu$ paczka leżąca na
podłodze wagonu pozostanie nieruchoma?\\

~\\
~\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  B }
\end{large}
\end{center}

1. Struga wody opuszcza rurę z prędkością v=30 m/s pod kątem
 $\alpha=40^0$ do poziomu. Na jakiej wysokości trafia ona w ścianę 
znajdującą się w odleglośći d=60 m od wylotu strugi (zaniedbać opór
 powietrza)?\\

2. Jaką prędkość początkową należy nadać ciału o masie $m$, aby wjechało na szczyt równi pochyłej o długości $l$ i kącie nachylenia $\alpha$, jeżeli współczynnik tarcia wynosi $f$? Oblicz czas trwania ruchu. Ile wynosi praca wykonana przez: a) siłę wypadkową, b) siłę tarcia, c) siłę ciężkości.\\

3.  Przez nieważki krążek przytwierdzony do sufitu windy przełożono nieważką nić, a na jej końcach zawieszono cieżarki o masach $m_1$ i $m_2$. Winda porusza się z przyspieszeniem $a_w$. Znaleźć:\\
a) siłę z jaką krążek działa na sufit windy.\\
b) przyspieszenie cieżarka o masie $m_1$.\\

4. Pociąg o masie m=900 ton rusza ze stacji i po czasie t=3 min nabywa
 prędkość v=90 km/h.
Obliczyć moc lokomotywy.\\


5. Dwa ciała o masach m i M połączone nierozciągliwą nicią (rys.)
znajdują się na równi pochyłej  o kątach nachylenia $\alpha$ i $\beta$.
Wyznaczyć przyspieszenie każdego  z ciał oraz siłę naciągu nici.
Współczynnik tarcia pomiędzy  ciałami a równią wynosi f.\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{rownia2.eps}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  C }
\end{large}
\end{center}

1. Z jaką prędkością wyrzucono kamień w kierunku poziomym, z góry 
mającej średnią pochyłość $\alpha$ do horyzontu, jeżeli kamień 
upadł na zbocze góry w odległości d od miejsca wyrzutu?  \\

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\hspace{-0.5cm}\includegraphics[scale=0.35]{klocki2_poz_rownia.eps}
\end{floatingfigure}
2. Pudło o masie 1~kg znajduje się na równi pochyłej nachylonej pod kątem 40$^o$ do poziomu.
Przywiązano do niego paczkę o masie 3~kg znajdującą się na powierzchni poziomej (rys). Za pudło ciągniemy siłą 12~N. Zakładając, że ciała poruszają się bez tarcia oblicz naprężenie liny.\\ %Walker zad 72 s. 35

3. Na wirującej tarczy w odległości $x$ od jej środka położono
monetę o masie $m$. Jaka może być największa prędkość kątowa $\omega_m$
tarczy, przy której moneta nie zmieni swojego położenia ( współczynnik
tarcia wynosi $\mu$)?\\

5. Przy wbijaniu pali w ziemię młotem o ciężarze 1000~N, który porusza się 
z prędkością $v$=10 m/s ziemia stawia opór równy 50~kN. Znaleźć, na jaką glębokość
wbija się pal przy każdym uderzeniu młota. Jaka jest średnia moc przy jednym uderzeniu?\\


4. Trzy ciała (rys) połączone są nićmi. Do pierwszego ciała 
przyłożono siłę $F_1$, do trzeciego $F_2$. Obliczyć przyspieszenie 
każdego z ciał.\\
\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.4]{rys_524.eps}}
\end{center}
~\\
~\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{I Sprawdzian pisemny  D }
\end{large}
\end{center}


1. Dwa ciała wyrzucono równocześnie z dwóch różnych punktów.
Jedno ciało zostało rzucone poziomo z prędkością początkową
$v_{ox}$ z wieży o wysokości H, drugie pionowo z prędkością $v_{0y}$
z miejsca odległego o d od podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość
$v_{0y}$, aby ciała zderzyły się nad ziemią?\\

2. Robotnik ciągnie  siłą o wartości 210~N pok kątem 30$^0$ do podłoża skrzynię  o masie 50~kg. Skrzynia może poruszać się bez tarcia. Jaką pracę wykona nad skrzynią w czasie jej przemieszczania o 3~m:\\
a) siła przyłożona przez robotnika?\\
b) działająca na skrzynię siła ciężkości?\\
c) siła działająca ze strony podłogi?\\
d) Jaka będzie całkowita praca wykonana na tej drodze nad skrzynią?\\ %RH. zad 7 rozdz.

3.  Kulka o masie $m$ wisi na nici o długości $l$ i obraca się wokół pionowej osi poruszając się po poziomym okręgu o promieniu $r$. a) Jaka jest prędkość kątowa kulki? b) Jakie jest naprężenie nici?\\


4. Do nieważkiej nici przerzuconej przez nieruchomy bloczek 
przyczepiono
klocek o masie 3.5 kg. Jakie przyspieszenie nada temu klockowi
fiła $F$= 40 N przyłożona do drugiego końca nici i skierowana pionowo
w dół?\\

5. Samochód wjeżdżając na wznoszący się odcinek drogi miał prędkość
początkową $v_0$= 10~m/s. W tym momencie przestał dziłać silnik
samochodu. Znaleźć drogę, jaką przebył samochód do chwili zatrzymania się 
oraz czas ruchu jednostajnie opóźnionego, jeżeli efektywny współczynnik
tarcia wynosi 0.5, a kąt nachylenia drogi wynosi 10$^0$.\\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny A  }
\end{large}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item Trzy masy, $M$=1~kg, $2M$ i $2M$ połączono w szytywny układ w kształcie trójkata prostokątnego o boku 30~cm. Trójkat jest przyczepiony w środku jednego z boków. Oblicz pracę potrzebną do nadania temu układowi, będącemu początkowo w spoczynku, prędkości kątowej 5~rad/s. 

\item W pewnym numerze cyrkowym klaun o masie 60~kg zostaje wystrzelony z działa z prędkością 16~m/s pod  kątem 30$^\circ$ i ląduje na siatce umieszczonej 4~m wyżej niż punkt wystrzelenia. Oblicz energię klauna w najwyższym punkcie i w chwili spadku do siatki.

\item Mały fiat (700~kg) poruszający się z prędkością 60 km/h, na skrzyżowaniu zderza się z ciężarówką (30 ton, prędkość 110 km/h). Drogi krzyżowały sie pod kątem prostym, a fiacik wbił się w ciężarówkę. Wyznacz prędkości końcowe samochodów.


\item O ile cm spadnie w czasie t=2 s masa m=5g zawieszona na sznurku 
nawiniętym
na walec o promieniu r=2 cm napędzającym koło o momencie bezwładności
I=200 $kg\cdot cm^2$?\\
Obliczyć pracę W ciężaru w tym czasie, porównać ją z energią kinetyczną
koła oraz z energią kinetyczną spadającej masy.


\item Pod górę równi o kącie nachylenia 30$^\circ$ wtacza się kula. Przy podstawie równi środek masy kuli miał prędkość 16~m/s.\\
a) Jak daleko wtoczy się kula na równią?\\
b) Ile czasu upłynie do chwili powrotu kuli do podstawy równi?
\end{enumerate}

~\\
~\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  B}
\end{large}
\end{center}

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kwadrat.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Pocisk podczas wystrzału pionowego osiągnął maksymalną wysokość 3000~m i rozerwał się na dwie cząści o masach 3~kg i 2~kg. Odłamki poruszały się pionowo - jeden w dół, drugi w górę. Znaleźć prędkości odłamków w dwie sekundy po wybuchu. Całkowita energia bezpośrednio po wybuchu wynosiła 250 000~J.\\ % Bendrikow zad. 195

3. Na wale o średnicy d=4 cm nawinięta jest nić, 
do której końca przywiązano 
ciężar o masie 100g.
Obliczyć moment bezwładności I, jeżeli ciężar opada z przyspieszeniem 
a=9.8 $cm/s^2$\\

4.  Piłkę o masie 50~g wyrzucono przez okno pod kątem 30$^o$ w górę od poziomu z prędkością początkową o wartości 8~m/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną piłki w najwyższym punkcie jej toru.\\
b) Oblicz wartość prędkości piłki, gdy znajdzie się ona o 3 metry poniżej punktu wyrzucenia.\\ 
% Walker s.59 zad 77 rozdz.8 Odp: a) 1.2 J, b) 11 m/s

5. Z jakim przyspieszeniem toczy się  bez poślizgu po równi pochyłej o  kącie nachylenia 30$^0$ cienka obręcz o masie $m$ i promieniu $R$?



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny A  }
\end{large}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item Trzy masy, $M$=1~kg, $2M$ i $2M$ połączono w szytywny układ w kształcie trójkata prostokątnego o boku 30~cm. Trójkat jest przyczepiony w środku jednego z boków. Oblicz pracę potrzebną do nadania temu układowi, będącemu początkowo w spoczynku, prędkości kątowej 5~rad/s. 

\item W pewnym numerze cyrkowym klaun o masie 60~kg zostaje wystrzelony z działa z prędkością 16~m/s pod  kątem 30$^\circ$ i ląduje na siatce umieszczonej 4~m wyżej niż punkt wystrzelenia. Oblicz energię klauna w najwyższym punkcie i w chwili spadku do siatki.

\item Mały fiat (700~kg) poruszający się z prędkością 60 km/h, na skrzyżowaniu zderza się z ciężarówką (30 ton, prędkość 110 km/h). Drogi krzyżowały sie pod kątem prostym, a fiacik wbił się w ciężarówkę. Wyznacz prędkości końcowe samochodów.


\item O ile cm spadnie w czasie t=2 s masa m=5g zawieszona na sznurku 
nawiniętym
na walec o promieniu r=2 cm napędzającym koło o momencie bezwładności
I=200 $kg\cdot cm^2$?\\
Obliczyć pracę W ciężaru w tym czasie, porównać ją z energią kinetyczną
koła oraz z energią kinetyczną spadającej masy.


\item Pod górę równi o kącie nachylenia 30$^\circ$ wtacza się kula. Przy podstawie równi środek masy kuli miał prędkość 16~m/s.\\
a) Jak daleko wtoczy się kula na równią?\\
b) Ile czasu upłynie do chwili powrotu kuli do podstawy równi?
\end{enumerate}

~\\
~\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  B}
\end{large}
\end{center}

\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kwadrat.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Pocisk podczas wystrzału pionowego osiągnął maksymalną wysokość 3000~m i rozerwał się na dwie cząści o masach 3~kg i 2~kg. Odłamki poruszały się pionowo - jeden w dół, drugi w górę. Znaleźć prędkości odłamków w dwie sekundy po wybuchu. Całkowita energia bezpośrednio po wybuchu wynosiła 250 000~J.\\ % Bendrikow zad. 195

3. Na wale o średnicy d=4 cm nawinięta jest nić, 
do której końca przywiązano 
ciężar o masie 100g.
Obliczyć moment bezwładności I, jeżeli ciężar opada z przyspieszeniem 
a=9.8 $cm/s^2$\\

4.  Piłkę o masie 50~g wyrzucono przez okno pod kątem 30$^o$ w górę od poziomu z prędkością początkową o wartości 8~m/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną piłki w najwyższym punkcie jej toru.\\
b) Oblicz wartość prędkości piłki, gdy znajdzie się ona o 3 metry poniżej punktu wyrzucenia.\\ 
% Walker s.59 zad 77 rozdz.8 Odp: a) 1.2 J, b) 11 m/s

5. Z jakim przyspieszeniem toczy się  bez poślizgu po równi pochyłej o  kącie nachylenia 30$^0$ cienka obręcz o masie $m$ i promieniu $R$?



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  C}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kolo.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Kamień o masie 5~kg spadał z pewnej wysokości przez 2 sekundy. Znaleźć energię kinetyczną kamienia w połowie wysokości.\\

3.  W spoczywającą drewnianą kulę o masie $m_1$ uderza od dołu pocisk o masie $m_2$ poruszający się z prędkością $v$ pionowo do góry. Pocisk przebija kulę. Oblicz, na jaką wysokość wzniesie się pocisk, jeżeli kula wzniosła się na wysokość $h_1$.\\

4.  Kula o promieniu $r$ stacza się po pochyłości i przebiega pętlę
 pionową o promieniu $R$.
Zaniedbując tarcie znaleźć najmniejszą wysokość h środka kuli nad
 środkiem pętli,
przy której jest to możliwe.\\

5. Na bloczku o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I_0$
nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie $m$.
Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści
się na wysokość $h$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
~\\
~\\

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  D}
\end{large}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ciało zostało rzucone pionowo do góry z prędkością 50~m/s. Na jakiej wysokości jego energia kinetyczna bedzie równa potencjalnej? %ok.60m

\item Jaką siłą i jak przyłożoną trzeba ciągnąć sznur nawinięty na walcu o promieniu
$R$ i momencie bezwładności $I$, aby w ciągu czasu $t$ doprowadzić walec 
do wykonywania $n$ obrotów w ciągu sekundy dookoła osi walca?

\item Po równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ zsuwa się ciało z wysokości $h_0$. Na końcu równi ciało to odbija się sprężyście od ścianki prostopadłej do powierzchni równi. Oblicz na jaką wysokość $h_1$ wzniesie się ciało po odbiciu. Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi $f$. %Odp: h_1=h_0[(1-f ctg alpha)/(1+ctg alpha)]


\item Z wierzchołka dużej nieruchomej półkuli o promieniu $R$ zaczyna
staczać się bez poślizgu mała kulka o promieniu $r$.
 Na jakiej wysokości, licząc od podłoża oderwie się mała 
kulka od dużej? Jaka będzie wtedy jej prędkość katowa? (rys)

\item Drewniana listwa o masie 500 g i długości 50 cm może obracać się wokół
osi prostopadej do osi listwy  i przechodzącej przez punkt odległo o 10~cm od końca.
 W punkt odległy o 5~cm od drugiego końca  listwy uderza kula o masie =15 g i prędkości 300 m/s prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. %Jezierski zad 109

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  C}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kolo.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Kamień o masie 5~kg spadał z pewnej wysokości przez 2 sekundy. Znaleźć energię kinetyczną kamienia w połowie wysokości.\\

3.  W spoczywającą drewnianą kulę o masie $m_1$ uderza od dołu pocisk o masie $m_2$ poruszający się z prędkością $v$ pionowo do góry. Pocisk przebija kulę. Oblicz, na jaką wysokość wzniesie się pocisk, jeżeli kula wzniosła się na wysokość $h_1$.\\

4.  Kula o promieniu $r$ stacza się po pochyłości i przebiega pętlę
 pionową o promieniu $R$.
Zaniedbując tarcie znaleźć najmniejszą wysokość h środka kuli nad
 środkiem pętli,
przy której jest to możliwe.\\

5. Na bloczku o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I_0$
nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie $m$.
Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści
się na wysokość $h$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
~\\
~\\

\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  D}
\end{large}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ciało zostało rzucone pionowo do góry z prędkością 50~m/s. Na jakiej wysokości jego energia kinetyczna bedzie równa potencjalnej? %ok.60m

\item Jaką siłą i jak przyłożoną trzeba ciągnąć sznur nawinięty na walcu o promieniu
$R$ i momencie bezwładności $I$, aby w ciągu czasu $t$ doprowadzić walec 
do wykonywania $n$ obrotów w ciągu sekundy dookoła osi walca?

\item Po równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ zsuwa się ciało z wysokości $h_0$. Na końcu równi ciało to odbija się sprężyście od ścianki prostopadłej do powierzchni równi. Oblicz na jaką wysokość $h_1$ wzniesie się ciało po odbiciu. Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi $f$. %Odp: h_1=h_0[(1-f ctg alpha)/(1+ctg alpha)]


\item Z wierzchołka dużej nieruchomej półkuli o promieniu $R$ zaczyna
staczać się bez poślizgu mała kulka o promieniu $r$.
 Na jakiej wysokości, licząc od podłoża oderwie się mała 
kulka od dużej? Jaka będzie wtedy jej prędkość katowa? (rys)

\item Drewniana listwa o masie 500 g i długości 50 cm może obracać się wokół
osi prostopadej do osi listwy  i przechodzącej przez punkt odległo o 10~cm od końca.
 W punkt odległy o 5~cm od drugiego końca  listwy uderza kula o masie =15 g i prędkości 300 m/s prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. %Jezierski zad 109

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  E}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kolo.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Na poziomo wirującym pręcie o masie $M$ siedzi małpka o masie $m$.
Pręt ma długość $l$ i wiruje z prędkością  $\omega$. Jaka będzie 
prędkość pręta, po przejściu małpki do środka?\\


3. Piłkę o masie 50~g wyrzucono przez okno pod kątem 30$^o$ w górę od poziomu z prędkością początkową o wartości 8~m/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną piłki w najwyższym punkcie jej toru.\\
b) Oblicz wartość prędkości piłki, gdy znajdzie się ona o 3 metry poniżej punktu wyrzucenia.\\ 
% Walker s.59 zad 77 rozdz.8 Odp: a) 1.2 J, b) 11 m/s


4. Platforma kolejowa o masie $M_1$=19 ton porusza się z prędkością 
v=20 km/h.
Na platformie znajduje się armata o masie $m_2$=1.5 tony, której lufa 
skierowana jest pod kątem 30$^\circ$  w kierunku ruchu platformy.
Jaką prędkość $v_2$ uzyska platforma po wystrzale z armaty, jeżeli
 pocisk o masie
 $m_3$= 60 kg wylatuje z prękością $v_1$=800 m/s?\\


5. Na bloczku o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I_0$
nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie $m$.
Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści
się na wysokość $h$.

~\\
~\\


\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  F}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kwadrat.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2.  Kula o promieniu $r$ stacza się po pochyłości i przebiega pętlę
 pionową o promieniu $R$.
Zaniedbując tarcie znaleźć najmniejszą wysokość h środka kuli nad
 środkiem pętli,
przy której jest to możliwe.\\

3. Drewniana listwa o masie 500 g i długości 50 cm może obracać się wokół
osi prostopadej do osi listwy  i przechodzącej przez punkt odległo o 10~cm od końca.
 W punkt odległy o 5~cm od drugiego końca  listwy uderza kula o masie =15 g i prędkości 300 m/s prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. \\%Jezierski zad 109


 4. Kula wylatuje z lufy karabinu z prędkością v=600 m/s, masa kuli
 wynosi m=10 g,
masa karbinu M=3,75 kg.
Wyznaczyć prędkość odskoku karabinu podczas wystrzału.\\

5. Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć na jaką wysokość wzniesie się ciało poruszające się po drodze złożonej z dwóch odcinków: poziomego o długości $s_1$ i nachylonego pod katem $\alpha$. Na początku drogi $s_1$ ciało miało prędkość $v_1$, a współczynniki tarcia wynoszą odpowiednio $f_1$ i $f_2$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  E}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kolo.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2. Na poziomo wirującym pręcie o masie $M$ siedzi małpka o masie $m$.
Pręt ma długość $l$ i wiruje z prędkością  $\omega$. Jaka będzie 
prędkość pręta, po przejściu małpki do środka?\\


3. Piłkę o masie 50~g wyrzucono przez okno pod kątem 30$^o$ w górę od poziomu z prędkością początkową o wartości 8~m/s.\\
a) Oblicz energię kinetyczną piłki w najwyższym punkcie jej toru.\\
b) Oblicz wartość prędkości piłki, gdy znajdzie się ona o 3 metry poniżej punktu wyrzucenia.\\ 
% Walker s.59 zad 77 rozdz.8 Odp: a) 1.2 J, b) 11 m/s


4. Platforma kolejowa o masie $M_1$=19 ton porusza się z prędkością 
v=20 km/h.
Na platformie znajduje się armata o masie $m_2$=1.5 tony, której lufa 
skierowana jest pod kątem 30$^\circ$  w kierunku ruchu platformy.
Jaką prędkość $v_2$ uzyska platforma po wystrzale z armaty, jeżeli
 pocisk o masie
 $m_3$= 60 kg wylatuje z prękością $v_1$=800 m/s?\\


5. Na bloczku o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I_0$
nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie $m$.
Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści
się na wysokość $h$.

~\\
~\\


\begin{center}
\begin{large}
\bf{II Sprawdzian pisemny  F}
\end{large}
\end{center}


\begin{floatingfigure}[r]{35mm}
\includegraphics[scale=0.5]{sily_kwadrat.eps}
\end{floatingfigure}
1. Na rysunku przedstawiono siły działające na dziwną karuzelę, która
może obracać się względem punktu P. Wyznacz wypadkowy moment siły działający na to ciało (wszystkie potrzebne wymiary i kąty są znane).  \\

2.  Kula o promieniu $r$ stacza się po pochyłości i przebiega pętlę
 pionową o promieniu $R$.
Zaniedbując tarcie znaleźć najmniejszą wysokość h środka kuli nad
 środkiem pętli,
przy której jest to możliwe.\\

3. Drewniana listwa o masie 500 g i długości 50 cm może obracać się wokół
osi prostopadej do osi listwy  i przechodzącej przez punkt odległo o 10~cm od końca.
 W punkt odległy o 5~cm od drugiego końca  listwy uderza kula o masie =15 g i prędkości 300 m/s prostopadej do listwy. Określić prędkość kątową, jaką uzyska listwa, 
jeżeli pocisk w niej utkwi. \\%Jezierski zad 109


 4. Kula wylatuje z lufy karabinu z prędkością v=600 m/s, masa kuli
 wynosi m=10 g,
masa karbinu M=3,75 kg.
Wyznaczyć prędkość odskoku karabinu podczas wystrzału.\\

5. Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć na jaką wysokość wzniesie się ciało poruszające się po drodze złożonej z dwóch odcinków: poziomego o długości $s_1$ i nachylonego pod katem $\alpha$. Na początku drogi $s_1$ ciało miało prędkość $v_1$, a współczynniki tarcia wynoszą odpowiednio $f_1$ i $f_2$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\newpage 

\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (A)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h jadąc po torach o współczynniku tarcia  $\mu$=0.01.\\
a) Jakie siły działają  na pociąg?\\
b) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu oraz pozostałe siły znalezione w podpuncie a).\\
c) Jaki zakręt mógłby pokonać bezpiecznie ten pociąg?\\
d) Na jakie wzniesienie mogłby wjechać ten pociag?
 
\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod kątem $\alpha$ do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć:\\
a) na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.\\
b) jaka była prędkość w połowie czasu wznoszenia,\\
c) energię mechaniczną w momencie wyrzucenia, w najwyższym punkcie lotu i w momencie uderzenia o ziemię.  %Piekarski zad. 1 


\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono przez 10 sekund stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć: \\
a) ile obrotów wykonał krążek,\\
b) przyspieszenie dośrodkowe punktu odległego o $x$ od krawędzi krążka,\\
c) przyspieszenie kątowe,\\
d) pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły. \\
e) przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.\\
f) po 10 sekundach na obwodzie krążka usiadła pszczółka o masie $m$, z jaką prędkością kątową obraca się teraz krążek?


\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (B)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod kątem $\alpha$ do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć:\\
a) na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.\\
b) jaka była prędkość w połowie czasu wznoszenia,\\
c) energię mechaniczną w momencie wyrzucenia, w najwyższym punkcie lotu i w momencie uderzenia o ziemię.  %Piekarski zad. 1 

\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono przez 10 sekund stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć: \\
a) ile obrotów wykonał krążek,\\
b) przyspieszenie dośrodkowe punktu odległego o $x$ od krawędzi krążka,\\
c) przyspieszenie kątowe,\\
d) pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły. \\
e) przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.\\
f) po 10 sekundach na obwodzie krążka usiadła pszczółka o masie $m$, z jaką prędkością kątową obraca się teraz krążek?

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h jadąc po torach o współczynniku tarcia  $\mu$=0.01.\\
a) Jakie siły działają  na pociąg?\\
b) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu oraz pozostałe siły znalezione w podpuncie a).\\
c) Jaki zakręt mógłby pokonać bezpiecznie ten pociąg?\\
d) Na jakie wzniesienie mogłby wjechać ten pociag?




\end{enumerate}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\newpage 

\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (C)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h jadąc po torach o współczynniku tarcia  $\mu$=0.01.\\
a) Jakie siły działają  na pociąg?\\
b) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu oraz pozostałe siły znalezione w podpuncie a).\\
c) Jaki zakręt mógłby pokonać bezpiecznie ten pociąg?\\
d) Na jakie wzniesienie może wjechać ten pociąg?
 
\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod kątem $\alpha$ do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć:\\
a) na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.\\
b) jaka była prędkość w połowie czasu wznoszenia,\\
c) energię mechaniczną w momencie wyrzucenia, w najwyższym punkcie lotu i w momencie uderzenia o ziemię.  %Piekarski zad. 1 


\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono przez 10 sekund stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć: \\
a) ile obrotów wykonał krążek,\\
b) przyspieszenie dośrodkowe punktu odległego o $x$ od krawędzi krążka,\\
c) przyspieszenie kątowe,\\
d) pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły. \\
e) przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.\\
f) po 10 sekundach na obwodzie krążka usiadła pszczółka o masie $m$, z jaką prędkością kątową obraca się teraz krążek?


\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{large}
\bf{Kolokwium zaliczeniowe I (D)}
\end{large}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Ciału znajdującemu się na pewnej wysokości nad powierzchnią ziemi nadano prędkość skierowaną do góry pod kątem $\alpha$ do poziomu. Wiedząc, że prędkość początkowa wynosiła $v_0$, a końcowa (w momencie upadku na ziemię) $v_k=k~v_0$, obliczyć:\\
a) na jakiej wysokości znajdowało się ciało w momencie wyrzutu.\\
b) jaka była prędkość w połowie czasu wznoszenia,\\
c) energię mechaniczną w momencie wyrzucenia, w najwyższym punkcie lotu i w momencie uderzenia o ziemię.  %Piekarski zad. 1 

\item Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ zawieszono na łożysku, które obraca się bez tarcia. Na obwodzie krążka nawinięty jest lekki sznur, do którego końca przyłożono przez 10 sekund stałą siłę $T$ skierowaną w dół. Przyjmując, że krążek był początkowo w spoczynku, obliczyć: \\
a) ile obrotów wykonał krążek,\\
b) przyspieszenie dośrodkowe punktu odległego o $x$ od krawędzi krążka,\\
c) przyspieszenie kątowe,\\
d) pracę wykonaną przez moment przyłożonej siły. \\
e) przyrost energii kinetycznej ruchu obrotowego krążka.\\
f) po 10 sekundach na obwodzie krążka usiadła pszczółka o masie $m$, z jaką prędkością kątową obraca się teraz krążek?

\item Pociąg o masie $m$ = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie
10 min osiąga prędkość 36 km/h jadąc po torach o współczynniku tarcia  $\mu$=0.01.\\
a) Jakie siły działają  na pociąg?\\
b) Obliczyć pracę którą wykonały maszyny napędowe pociągu oraz pozostałe siły znalezione w podpuncie a).\\
c) Jaki zakręt mógłby pokonać bezpiecznie ten pociąg?\\
d) Na jakie wzniesienie może wjechać ten pociąg? 




\end{enumerate}



\end{document}
