Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Dla trójwymiarowej studni potencjału operator energii potencjalnej V(x_i) dany jest formułą:

Rozwiązanie: Rozpatrujemy elektron w sześciennej studni potencjału o krawędzi a. Wówczas otrzymujemy równanie Schrödingera następującej postaci: (1.1) Stosując metodę separacji zmiennych przedstawiamy funkcję falową w postaci iloczynu Zatem równanie pierwsze uzyskuje postać: Dzieląc obustronnie przez X(x)Y(y)Z(z) i rozdzielając względem pochodnych cząstkowych otrzymujemy trzy równania, których rozwiązania dają nam postać funkcji falowej. Przykładowo dla zmiennej x dostajemy: Konieczność zerowania się funkcji na granicach studni (0 i a) narzuca warunki na wartości k_x: Stałą A dobieramy tak, aby funkcja była unormowana. Ostatecznie funkcja falowa jest postaci (po unormowaniu) Dzęki stałej k możemy uzyskać zalezność energii, która ma postać:

Znależć zależność poziomu Fermiego w temperaturze zera bezwzględnego od gęstości elektronowej n: , oraz zależność średniej energii na elektron od energii Fermiego .

Rozwiązanie: Stany energetyczne o energii nie przekraczającej określonej wartości E można przedstawić jako punkty wewnątrz kuli w przestrzeni wektora falowego k. Promień tej kuli ma wartość k taką że: (2.1) Składowe wektora falowego k przyjmują wartości skwantowane: Zatem w przestrzeni k, element o "objętości jednostkowej" równej reprezentowany jest przez jeden dozwolony wektor k równy aby otrzymać liczbę stanów dozwolonych wewnątrz kuli o promieniu k należy jej objętość podzielić przez a potem pomnożyć przez 2 (gdyż oprócz trzech liczb kwantowych k_x, k_y, k_z istnieje jeszcze spinowa liczba kwantowa m_s przyjmująca dwie wartości). Liczba stanów dozwolonych wynosi więc: (2.2) Stąd k jest równe: (2.3) gdzie n=N/V jest koncentracją elektronów w objętości próbki V.
W temperaturze zera bezwzględnego wszystkie stany o energii mniejszej od pewnej wartości nazywanej energią Fermiego są zapełnione przez elektrony, natomiast stany o energii większej od energii Fermiego są nieobsadzone. Wstawiając równanie (2.3) do (2.1) otrzymujemy szukaną zależność energii Fermiego od koncentracji elektronów: (2.4) Wstawiając równanie (2.1) do (2.2) otrzymujemy: (2.5) Różniczkując (2.5) dostajemy wzór na liczbę stanów o energii zawartej w przedziale od E do E + dE: (2.6) Możemy teraz obliczyć sumaryczną energię wszystkich elektronów w temperaturze zera bezwzględnego, równą: (2.7) Średnią energię przypadającą na jeden elektron otrzymamy dzieląc sumaryczną energię elektronów (2.7) przez liczbę elektronów (2.5): (2.8)

Proszę znaleźć gęstość stanów D(k) w przestrzeni wektora falowego i g(E) w przestrzeni energii dla cząstki w nieskończonej jedno-, dwu- i trzywymiarowej studni potencjału.

Rozwiążmy równanie Schrödingera dla potencjału Kroniga-Penney'a (będącego przedstawionym na rysunku przybliżeniem potencjału rdzeni sieci krystalicznej) i energii cząstki E < E₀

żądamy ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej:

Warunek periodyczności rozwiązania (twierdzenie Blocha) narzuca kolejne dwa warunki:

gdzie:

Równanie (4) można rozwiązać ze względu na E(k) numerycznie. Jego prawa strona zmienia się w przedziale [-1,+1]. Wektor falowy k jest czysto urojony w przedziałach energii, gdzie lewa strona równania (4) jest większa od +1 lub mniejsza od -1. Pęd cząstki musi być rzeczywisty, więc eletkron nie może mieć energii, dla których k jest urojone. Prowadzi to do istnienia dozwolonych i wzbronionych pasm energii w ciałach stałych. Wyznaczyć numerycznie zależność E(k). Przyjąć d = 2 A, m = m_e w przedziale energii od 0 eV do 200 eV. Jak zmienia się szerokość pierwszego dozwolonego pasma w funkcji stałej sieci krystalicznej d (d = 1 A, d = 1,5 A, d = 2 A dla E₀b = 25 eVA? Jak zmienia się ta szerokość w funkcji E₀ (E₀ = 50 eVA, E₀ = 75 eVA, E₀b = 100 eVA dla d = 1 A)?

Rozwiązanie: Algorytm numerycznego rozwiązania równania:

1. Ustaw E=0,
2. Oblicz lewą stronę równania,
3. Oblicz wartość wektora falowego jeżeli lewa strona równania zawiera się w przedziale <-1,1,
4. Inkrementuj energię,
5. Jeżeli E<200 eV to skocz do punktu 2,

Tu jest appllet...

Pod wpływen zewnętrznego pola elektrycznego elektrony swobodne w metalach doznają przyśpieszenia zgodnie z prawami Newtona. Jednak w obecności potencjału sieci krystalicznej zachowują się jakby były obdarzone efektywną masą m^* różną od masy spoczynkowej m, i mogącą być zarówno większą od m (a nawet nieskończoną) lub mniejszą od m (a nawet ujemną), gdyż formalna definicja tego parametru związana jest z wypukłością związku dyspersyjnego E(k):

• Pokazać, że dla gazu elektronów swobodnych (o kwadratowym związku dyspersyjnym) m^*=m_e
• Eksperymentalnie znaleziona energia Fermiego dla sodu wynosi E_F=2.5 eV. Korzystając ze związku znaleźć masę efektywną elektronów walencyjnych w sodzie. Sód jest jednowartościowy, jego masa atomowa wynosi 22.99 g/mol, zaś gęstość 0.97 g/cm³.

Rozwiązanie: Dla elektronów swobodnych zależność między energią a wektorem falowym ma postać: Różniczkując ten wzór dwukrotnie otrzymujemy Następnie wstawiając to do wzoru na m^* dostajemy m^*=m_e. Dla elektronów znajdujących się w krysztale wzór na energię Fermiego wygląda następująco: stąd Należy zatem obliczyć koncentrację elektronów n=N/V, gdzie N jest liczbą elektronów walencyjnych, a V objętością próbki. Ponieważ sód jest jednowartościowy liczba elektronów walencyjnych równa jest liczbie atomów, a tą możemy obliczyć wykorzystując masę molową: Energia Fermiego wynosi: E_F=4ˇ10^-19 [J]. Szukana masa efektywna jest równa: m^*=1.1495ˇ10^-30 [kg] (m^*/me = 1.262)

Autorzy: Piotr Kopyt, Przemysław Musiał, Krzysztof Niemiec