Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Trzy ładunki punktowe (+q, +q, -q) umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Określić natężenie pola i potencjał V:

• w środku trójkąta,
• w środku boku trójkąta.

Rozwiązanie:
a) Z zasady superpozycji wiadomo, że , gdzie są wektorami natężenia pochodzącymi od poszczególnych ładunków. Z prawa Culomba oraz definicji obliczamy poszczególne natężenia. Potencjał natomiast jest algebraiczną (tj. ze znakami) sumą wartości potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków.

W przypadku, gdy wszystkie ładunki są dodatnie mamy:

E = 0

b)

W przypadku, gdy badamy natężenie na boku trójkąta między ładunkami (+q) i (+q), wektory natężenia pochodzące od tych identycznych ładunków zniosą się. Pozostanie jedynie wektor natężenia pochodzący od ładunku (-q).

Zwrot tego wektora jest w kierunku ładunku (-q)

Potencjał:

W przypadku trzech jednakowych ładunków dodatnich, wartość natężenia wypadkowego nie zmieni się, zmieni się natomiast kierunek, tym razem zwrot w kierunku od ładunku (+q).

Zmieni się też potencjał:

Znaleźć gradienty następujących pól:

Rozwiązanie: W celu rozwiązania zadania należy zaznajomić się z kilkoma pojęciami:
Operator Hamiltona (nabla) jest to operator różniczkowy, który można formalnie traktować jako wektor.
Gradientem pola skalarnego nazywamy pole wektorowe

Wyznaczyć natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez:

• płaszczyznę naładowaną równomiernie z gęstością powierzchniową ładuku
• dwie równoległe płaszczyzny, z których jedna jest naładowana równomiernie z gęstością powierzchniową +, a druga z gęstością -

Rozwiązanie: a) Problem najłatwiej rozwiązać stosując prawo Gaussa. Za powierzchnię Gaussowską wybieramy walec o osi symetrii prostopadłej do powierzchni wytwarzającej pole. Mamy wówczas: gdzie: - względna przenikalność magnetyczna próżni, - względna przenikalność magnetyczna materiału płyty, - gęstość powierzchniowa ładunku, - koło "wycięte" przez walec na płycie, - powierzchnia walca.
Ponieważ całkowanie odbywa się po powierzchni zamkniętej, na całkę z lewej strony równania złożą się całki po pobocznicy i dwóch podstawach walca. Ponieważ jednak, wektor normalny pobocznicy jest równoległy do wektora natężenia , to ich iloczyn skalarny równy jest 0. W takim razie zostaje tylko całka po podstawach.

b) W tym przypadku, natężenia pól zsumują się między płaszczyznami, na zewnątrz natomiast się zniosą, gdyż wektory natężeń, pochodzące od obu płaszczyzn, mają te same wartości ale przeciwne zwroty. Mamy więc:

Wyznaczyć potencjał V i natężenie pola elektrostatycznego jako funkcję odległości od środka kuli o promieniu R, wewnątrz której znajduje się ładunek elektryczny rozłożony z gęstością objętościową spełniającą zależność , gdzie i a - stałe.

Rozwiązanie:
W celu wyliczenia natężenia i potencjału V należy rozpatrzyć 2 przypadki:

• r<R
  policzymy z prawa Gaussa, za powierzchnie gaussowskie wybierając sfery o środku w środku kuli. Aby wyznaczyć ładunek wewnątrz takiej sfery o priomieniu r musimy ją podzielić na bardzo cienkie sfery o grubości dr: element objetości d obliczymy jako różnicę objętości 2 kul: o promieniach r i (r+dr). Wewnatrz sfery o promieniu r Natomiast V znajdujemy z zależności:
• r>=R
  

  Całkowity ładunek zgromadzony w kuli wyraża się wzorem:

  i w miarę zwiększania promieni sfer gaussowskich nie ulega już zmianie. Natężenie i potencjał z tych samych zależnosci jak dla r<R.

UWAGA! Należy tak dobrać stałe całkowania aby potencjał był ciągły!

Wyznaczyć potencjał V i natężenie pola elektrostatycznego naładowanej, nieskończenie długiej, prostoliniowej, metalowej nici. Wykreślić jako funkcję odległości od osi nici wartości obu tych wielkości. Przyjąć, że gęstość liniowa ładunku na nici jest stała i równa .

Rozwiązanie:
Znów skorzystamy z prawa Gaussa. Ze względu na symetrię problemu jako powierzchnię gaussowską wybieramy powierzchnię walca o promieniu r. Pole wytworzone przez nić musi być ze względu na symetrię zagadnienia polem wektorowym osiowym. Na powierzchni bocznej walca wartość E jest więc stała. Należy zauważyć, że wartość strumienia E przez podstawy walca jest równa 0. Wartość potencjału V wyliczamy w oparciu o wyliczone wcześniej E korzystając z wzoru Ostatecznie

Sformułować i przedyskutować równania Maxwella. Jakie wnioski dotyczące tych pól wynikają z otrzymanych równań gdy:

• pola elektryczne i magnetyczne nie zależą od czasu,
• nie ma w przestrzeni prądów ani ładunków elektrycznych?

Rozwiązanie: Równania Maxwella w postaci całkowej i różniczkowej
Z postaci całkowej w różniczkową przechodzimy dzięki poniższym twierdzeniom:

• Gaussa-Ostrogradskiego:
• Stokesa:

Przykład przejścia z postaci całkowej na różniczkową dla prawa Gaussa dla pola elektrycznego:

Ponieważ powyższe równanie musi być słuszne dla dowolnej objętości V - muszą być równe funkcje podcałkowe, tzn.

Korzystając z równań Maxwella oraz tożsamości

Rozwiązanie:
Z praw Maxwella wiemy, że: Działając na to równanie obustronnie operatorem nabla otrzymujemy: skąd przy (także z praw Maxwella): po podstawieniu otrzymujemy:

Jaką siłą działają na siebie dwa równoległe przewodniki o długości l umieszczone w odległości a, przez które płyną prądy o natężeniach I₁ i I₂? Na podstawie wyniku sformułować definicję ampera absolutnego.

Rozwiązanie: Korzystając z prawa Ampera, znajdujemy natężenie pola magnetycznego pochodzącego od przewodu (1) w odległości a od przewodu: Ponieważ przewodnik (2) umieszczony jest w polu przewodu (1), więc działa na niego siła elektrodynamiczna:

Przyjmując teraz: a=1m, I₁=I₂=1A otrzymujemy wartość siły, przypadającej na jednostkę długości, z jaką przyciągać się przewodniki oddalone o jednostkową odległość, w których płyną prądy o jednostkowych natężeniach: F=2 10^-7 N.

W polu długiego przewodu, w którym płynie prąd I₁ znajduje się ramka prostokątna o wymiarach axb, przez którą płynie prąd I₂. Odłegłość osi symetrii ramki od przewodu wynosi c. Obliczyć siłę i moment siły działający na ramkę gdy:

• ramka leży w jednej płaszczyźnie z przewodem,
• ramka jest do tej płaszczyzny prostopadła.

a) Siła elektrodynamiczna działająca na elementy ramki wynosi dla każdego boku, przy czym siły działające na boki a ramki równoważą się i do siły wypadkowej nic nie wnoszą. Wartości indukcji B₁ i B₂ pochodzą od przewodnika z prądem I₁ a zależą od odległości boku ramki od tego przewodnika. Aby znaleźć te wielkości korzystamy z prawa Ampera.
Ostatecznie:

Natomiast wypadkowy moment działający na ramkę równy jest 0.

b)

Siła elektrodynamiczna działająca na boki ramki o długości a w tym wypadku też będzie równa zero, a siły działająca na boki ramki o długości b są równe co do wartoci. Siła ta wynosi:

Siłę wypadkową najlepiej jest obliczać z twierdzenia cosinusów. Po prostych obliczeniach otrzymujemy, że:

W obliczeniach momentu działającego na ramkę, należy zwrócić uwagę na zależnoci trygonometryczne na rysunku.

Korzystając z prawa Ampera oraz Biota-Savarta-Laplace'a wyznaczyć wartość natężenia pola magnetycznego w punkcie P na rysunku poniżej. Dane jest natężenie prądu I oraz promień pętli R.

Rozwiązanie:
Do rozwiązania zadania wykorzystamy prawo Ampera oraz prawo Biota-Savarta-Laplace'a. Wartość natężenia pola magnetycznego H w punkcie P najlepiej wyznaczyć jako sumę dwóch natężeń H₁+H₂, gdzie H₁ to wartość natężenia pola magnetycznego w odległości R od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika, zaś H₂ to wartość natężenia pola magnetycznego w środku pierścienia o promieniu R,

Wartość H₁ obliczamy korzystając z prawa Ampera. Podczas obliczeń warto zauważyć, że H₁ można wyłączyć przed znak całki. Wartość H₂ obliczamy korzystając z prawa Biota-Savarta-Laplace'a. Po wyliczeniu wartości indukcji magnetycznej korzystając z zależności wyliczamy wartość H₂.
Odpowiedź:

Znaleźć ruch przewodnika spadającego w polu grawitacyjnym wzdłuż pary przewodów zwartych oporem R. Masa poprzeczki m, długość poprzeczki l, opór poprzeczki i przewodów jest zaniedbywalny w porównaniu z oporem R. Prostopadle do płaszczyzny przewodów działa stałe pole magnetyczne o indukcji B. Prędkość początkowa poprzeczki v_O=0.

Rozwiązanie:

Rozwiązując zadanie należy skorzystać z prawa indukcji Faraday'a oraz prawa Ohma.

Na początku, gdy prędkość poprzeczki v₀=0 jedyną siłą działającą na poprzeczkę jest siła ciężkości Q=mg. Należy zauważyć, że poprzeczka spadając powoduje zmianę wartości strumienia indukcji magnetycznej (bo zmienia się wartość powierzchni przez którą przenika pole). Na skutek zmiany wartości strumienia w obwodzie pojawia się prąd indukcyjny.

Wówczas na ramkę zaczyna działać siła elektrodynamiczna. Siła elektrodynamiczna to siła, która działa na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym a jej wartość liczymy ze wzoru .
Kierunek i zwrot siły wyznaczamy z reguły trzech palców lewej dłoni. Kierunek tej siły jest taki sam jak siły ciężkości Q, lecz zwroty tych sił są przeciwne. Wypadkowa siła działająca na poprzeczkę jest różnicą siły ciężkości i siły elektrodynamicznej. Aby wyliczyć zależności x(t), należy najpierw rozwiązać równanie różniczkowe niejednorodne pierwszego rzędu, w którym niewiadpmą jest prędkość v, a następnie obustronnie całkując otrzymamy zależność x(t). Stałą całkowania wyliczamy w oparciu o warunki początkowe: x(0)=0.

Autorzy: Szymon Nocoń, Piotr Nowak, Dariusz Kościelniak, Michał Kułakowski