Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Mechanika kwantowa - zadania

Korzystając z postulatów Bohra znaleźć poziomy energii jonów wodoropodobnych:

wskazówka

Sprawdzić równania operatorowe:

Korzystając z przedstawienia Jordana znaleźć operatory:

energii kinetycznej dla cząstki swobodnej,
energii potencjalnej oscylatora harmonicznego,
z-owej składowej momentu pędu L_z.

Wykazać, że u(x) = exp (-x²/2) jest funkcją własną operatora d²/dx²-x² i znaleźć wartość własną dla tego operatora odpowiadającą wektorowi u(x). Odpowiednikiem jakiej klasycznej wielkości może być operator ?
wskazówka

Korzystając z przedstawienia Jordana zapisać równanie operatorowe , gdzie
- operator energii kinetycznej,
- operator energii potencjalnej,
- operator energii całkowitej. (po dołożeniu za operatorami funkcji falowej Y(x,t) jest to równanie Schrödingera z czasem). Następnie zakładając niezależność energii potencjalnej od czasu oraz stosując metodę rozdzielenia zmiennych (wzór)

wyprowadzić równanie Schrödingera (bez czasu):
znaleźć zależność

Zapoznać się z probabilistyczną interpretacją funkcji falowej Y(x,t).
wskazówka

Pokazać, że dla cząstki swobodnej funkcja falowa spełnia równanie (falowe) Schrödingera (z czasem).
wskazówka

Wartość średnią dowolnego operatora dla układu znajdującego się w stanie opisanym unormowaną funkcją falową liczymy jako: . Znaleźć średnią energię kinetyczną w stanie >w układzie jednowymiarowym.
wskazówka

Dla jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału operator energii potencjalnej V(x) dany jest formułą:

Rozwiązać równanie Schrödingera dla cząstki w studni zakładając zerowanie się funkcji falowej na brzegach studni:

. Znaleźć dopuszczalne wartości energii cząstki w studni.
wskazówka

Cząstka o energii E<V₀ opisana falą płaską wzór nadchodząca z lewej strony zderza się ze skokiem potencjału:

Znaleźć amplitudę fali odbitej oraz amplitudę i pęd fali przechodzącej w prawo.
wskazówka

Nieunormowana funkcja falowa cząstki swobodnej poruszającej się po linii prostej dana jest formułą:

gdzie p i

są stałe. Znaleźć średnią wartość położenia

i pędu

cząstki w tym stanie.

W wyniku zderzenia fotonu o długości fali l₀ z elektronem swobodnym (lub słabo związanym) następuje rozproszenie fotonu (tzw. rozpraszanie comptonowskie), któremu towarzyszy zmiana długości fali fotonu (l₀ --> l) oraz kierunku o kąt . Korzystając z praw zachowania energii i pędu wyprowadzić wzór na comptonowską zmianę długości fali.
Prawo zachowania pędu najwygodniej zapisać korzystając z twierdzenia cosinusów:
,
do prawa zachowania energii energie elektronu najlepiej liczyć z niezmiennika relatywistycznego:
.
wskazówka

Autorzy: Artur Dragan, Artur Majka, Konrad Kozikowski