Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Relatywistyka

[Transformacja Galileusza] [Postulaty Einsteina] [Transformacja Lorentza] [Kontrakcja długości] [Dylatacja czasu] [Efekt Dopplera] [Zadania]

TRANSFORMACJA GALILEUSZA

Rozważmy dwa układy U i U' poruszające się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v. Dla uproszczenia przyjmijmy, że ruch ten odbywa sie równolegle do osi OX.
Rozważmy punkt P o współrzędnych (x,y,z) w układzie U. Jeżeli punkt ten pozostaje w układzie U w spoczynku to jego współrzędne w układzie U' są dane następującymi wzorami:

x' = x -vt
y' = y
z' = z
t' = t

Przy czym, za rzecz oczywistą przyjmujemy, że czas w obu układach mija jednakowo.
Powyższe związki między współrzędnymi nazywamy transformacją Galileusza.

Jeżeli zastosujemy to przekształcenie do praw Newtona to okaże się, że otrzymamy te same prawa tylko w układzie primowanym. Oznacza to, ze prawa mechaniki sa takie same we wszystkich układach inercjalnych. Nie można więc poprzez dokonywanie doświadczeń mechanicznych stwierdzić, czy układ porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, czy pozostaje w spoczynku.

Wraz z rozwojem badań nad zjawiskami elektromagnetycznymi, które znalazły swe ukoronowanie w sformułowanych przez J. C. Maxwella równaniach, powstało pytanie czy i nowo odkryte prawa spełniają zasadę względności.
Otóż okazuje się, że kiedy przekształcimy równania Maxwella w transformacji Galileusza to nie pozostaną one niezmienione. Oznaczałoby to, iż jest możliwe stwierdzenie za pomocą doświadczeń elektromagnetycznych czy układ porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym czy pozostaje w spoczynku.

Jednak wszystkie doświadczenia, w których starano się ten fakt wykorzystać dawały wyniki negatywne - nie wykryto ruchu Ziemi.
Ponieważ wszystko wskazywało na to, że równania Maxwella są poprawne, błąd musiał leżeć gdzie indziej.

POSTULATY EINSTEINA

W tym czasie H. A. Lorentz zaobserwował rzecz dziwną i godną uwagi. Mianowicie, gdy dokonał w równaniach Maxwella podstawienia:

x' = (x - ut)
y' = y
z' = z
t' = (t - xu/c2)
postać tych równań nie uległa zmianie!
To niezwykle ciekawe spostrzeżenie właściwie wykorzystał jednak dopiero A. Einstein.
Sformułował on teorię, którą oparł na dwóch postulatach:

I. Prawa fizyki mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia.
II. Prędkość światła jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Okazuje się, że transformacje Lorentza można łatwo wyprowadzić korzystając z drugiego postulatu, co pokażemy później.
Skoro transformacja Lorentza wynika z drugiego postulatu, Einstein najwyraźniej uważa ją za poprawną. Jak jednak należy zmodyfikować prawa Newtona, aby ich postać nie zmieniała się pod wpływem transformacj Lorentza, czyli by był spełniony postulat pierwszy ? Okazuje się, że wystarczy w równaniach Newtona zastąpić masę m wyrażeniem:


Jest to wzór na masę relatywistyczną. Jak widać masa relatywistyczna nie jest stała lecz zależy od prędkości.
Powstają oczywiście wątpliwości jak ten wzór może być prawdziwy skoro w życiu codziennym nie obserwujemy zmian masy.
Jednak prędkości z jakimi mamy do czynienia na codzień są na tyle małe w stosunku do prędkości światła, że przyrost masy jest niedostrzegalny.

TRANSFORMACJA LORENTZA

Zacznijmy może od wyprowadzenia samej transformacji Lorentza.
Ponieważ oczekujemy, że będzie przekształcała prostą w prostą, zakładamy że jest ona postaci liniowej.

x' = Ax + Bt
t' = Mx + Nt

dx' = Adx + Bdt
dt' = Mdx + Ndt

gdzie v to prędkość ciała dla obserwatora z układu U, a v' to prędkość tego ciała dla obserwatora z układu U' Rozważmy teraz trzy przypadki szczególne:

  1. v = 0
  2. v' = 0
  3. v = v' = c

Otrzymujemy wówczas:

  1. v' = B/N = -u

    2. gdzie u - prędkość względna układów U i U'


    3. Av + B = 0
    v = -B/A = -u

    Z 1. i 2. wynika że N = A

  3. Mc2 + Ac = Ac + B
    B = Mc2
    M = B/c2 = -Au/c2

Czyli:

N = A
M = -Au/c2
B = -Au

Współczynnik A otrzymamy korzystając z symetrii problemu:

x' = Ax - Aut
t' = -Axu/c2 + At

x = Ax' + Aut'
t = Ax'u/c2 + At'


(W równaniach na x i t wystarczy zmienić znak przy u)
Podstawiając do trzeciego wzoru za x' z pierwszego równania otrzymujemy:


x = A(Ax - Aut) + Au(-Axu/c2 + At)


Po dalszych przekształceniach znajdujemy A:

Za ułamek ten podstawmy .
Wówczas układ równań przyjmie postać:

x' = (x - ut)
t' = (t - xu/c2)

x = (x' + ut)
t = (t' + xu/c2)

KONTRAKCJA DŁUGOŚCI
Porównajmy teraz niektóre wyniki obserwacji prowadzonych z dwóch układów U i U'

Wyobraźmy sobie punkt P', którego współrzędna x' jest różna od zera, natomiast y' oraz z' są równe 0. Punkt ten jest nieruchomy względem układu współrzędnych.
Jaką odległość O'P' między punktami O' i P' zmierzą obserwatorzy O i O' ?

Wyobraźmy sobie układy U i U', i odcinek o końcach x1' i x2' w układzie U'. Długość tego odcinka dla obserwatora O' wynosi:
x2' - x1' = l0

Jaką długość ma ten sam odcinek dla obserwatora O ?

x2' - x1' = (x2 - ut2) - (x1 - ut1)

Ponieważ t2 = t1(obserwacji obu końców odcinka dokonujemy w tej samej chwili)

x2' - x1' = (x2 - x1)
l0 = l

Czyli odległości są największe w układzie własnym obserwatora (w układzie, w którym obserwator pozostaje w spoczynku).


DYLATACJA CZASU

Wyobrażmy sobie, że w początku O' układu U' zachodzą dwa zdarzenia (np. początek i koniec jakiegoś procesu). Jakie odstępy czasu między tymi zdarzeniami zmierzą w swoich układach obserwatorzy O i O' ?
Przyjmijmy, że odstęp między tymi zdarzeniami wynosi:

t2' - t1' = t0

Wnioskując analogicznie jak w przykładzie powyższym - tym razem pamiętając, że zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w układzie primowanym (x2'=x1') - otrzymamy zależność:

t = t0
Oznacza to, że czas mija najszybciej w układzie własnym obserwatora, czyli w układzie w którym obserwator pozostaje w spoczynku

RELATYWISTYCZNE ZJAWISKO DOPPLERA

Oprócz wymienionych wyżej zjawisk występujących przy prędkościach porównywalnych z prędkością światła, zachodzą także inne, jak chociażby efekt Dopplera.
Zjawisko to pierwotnie zostało odkryte w przypadku fal dźwiękowych i zinterpretowano jako konsekwencję ruchu zródła lub obserwatora względem powietrza - ośrodka, w którym rozchodzą się fale dźwiękowe. Jakkolwiek rozchodzenie się światła w próżni zachodzi bez udziału takiego przenoszącego fale ośrodka, to jednak ze względu na dylatację czasu oraz kontrakcję długości występuje w przypadku światła relatywistyczne zjawisko Dopplera.
W przypadku gdy źródło i obserwator poruszają się względem siebie po tej samej prostej ze względną prędkością v mamy do czynienia z podłużnym relatywistycznym efektem Dopllera. Wówczas związek między emitowaną (f0) a rejestrowaną (f) częstotliwością fali wyraża się poprzez:


w przypadku gdy źródło i obserwator oddalają się od siebie, oraz:

gdy zbliżają się do siebie, i jest konsekwencją zastosowania wzorów transformacji Lorentza na pęd i energię, do opisu zachowania fotonu.

Autorzy: Jacek Nowak, Krzysztof Kusiak