\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsfonts}%
\usepackage{amssymb}%
\usepackage{eufrak}
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{93}
\setcounter{chapter}{12}
\sloppy



\chapter{Zadania egzaminacyjne}

\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz sum\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania:
\[
\left(  8z+1-i\right)  ^{2}-2^{7}iz^{4}=0.
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $u_{0}=\left(  1,2,1\right)  $. Rozwa\.{z}my
odwzorowanie
\[
f:\mathbb{R}^{3}\ni v\rightarrow u_{0}\times v\in\mathbb{R}^{3},
\]
gdzie $\times$ oznacza iloczyn wektorowy.

\begin{description}
\item[a)] Uzasadnij, \.{z}e $f$ jest endomorfizmem.

\item[b)] Wyznacz j\k{a}dro oraz obraz endomorfizmu $f$.
\end{description}

\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my dwie macierze:
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 0 & 4\\
0 & -1 & 0\\
-2 & 0 & -3
\end{array}
\right)  ,\text{\quad}B=\left(
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right)  .
\]


\begin{description}
\item[a)] Sprawd\'{z}, czy macierze $A$ i $B$ s\k{a} podobne.

\item[b)] Wyznacz macierz $I+A^{2}+A^{4}\ldots+A^{100}$.
\end{description}

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:2x+y-z=0,\text{
}x-2y+z=0\right\}
\]
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$. Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(
1,-1,1\right)  $ na podprzestrze\'{n} $V$. W przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$
przyjmij naturalny iloczyn skalarny.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$,
dla kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
a-1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -a\\
-1 & -a & 4
\end{array}
\right)
\]
ma tylko nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 10.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej zaznacz zbi\'{o}r:%
\[
\left\{  z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{6}\leqslant\arg\frac{i}{\left(
z+iz\right)  ^{2}}<\frac{\pi}{4}\right\}  .
\]


\item[Zadanie 2.] W zbiorze $Z=\mathbb{Q}\backslash\left\{  1\right\}  $
wprowadzamy dzia\l anie $\ast$ okre\'{s}lone wzorem $a\ast b=a+b-ab.$
Sprawd\'{z}, czy struktura $\left(  Z,\ast\right)  $ jest grup\k{a}.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz macierz Jordana endomorfizmu $F:\Pi_{2}\ni
f\rightarrow f+f^{\prime}\in\Pi_{2}$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x+y=-a\left(  1+y\right) \\
2x+y=ax-2\\
2x+ay=1-a
\end{array}
\right.
\]
posiada niezerowe rozwi\k{a}zanie.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny macierzy $u^{\ast}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 1\\
-2 & -1 & 1
\end{array}
\right]  $ na podprzestrze\'{n} $\left\{  \left[
\begin{array}
[c]{lll}%
a & b & c\\
b & c & d
\end{array}
\right]  :a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}  $ przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times3}$.
Przyjmij iloczyn skalarny $\left[  a_{ij}\right]  \circ\left[  b_{ij}\right]
=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{i=1}^{2}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{2}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{j=1}^{3}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{j=1}^{3}}
%EndExpansion
a_{ij}b_{ij}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 24.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Dnia 10 lutego 2011 roku studenci pierwszego roku jednej z
krakowskich uczelni zdawali pisemny egzamin z algebry liniowej. Ka\.{z}dy ze
student\'{o}w uzyska\l \ inn\k{a} liczb\k{e} punkt\'{o}w. W grupie
zdaj\k{a}cych wprowadzono dwa dzia\l ania: $r_{1},$ kt\'{o}re z dw\'{o}ch
os\'{o}b wybiera t\k{e}, kt\'{o}ra uzyska\l a\l epszy wynik z egzaminu oraz
$r_{2}$, kt\'{o}re z dw\'{o}ch os\'{o}b wybiera osob\k{e} m\l odsz\k{a}
(decyduje numer PESEL).

\begin{description}
\item[a)] Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna z\l o\.{z}ona z
powy\.{z}szej grupy student\'{o}w oraz dzia\l ania $r_{1}$ jest grup\k{a}?

\item[b)] Sprawd\'{z} rozdzielno\'{s}\'{c} dzia\l ania $r_{1}$ wzgl\k{e}dem
dzia\l ania $r_{2}$.
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Prosta $y=ax+b$ przecina wykres funkcji $y=2x^{5}%
-x^{3}+4x^{2}+3x-7$ w pi\k{e}ciu r\'{o}\.{z}nych punktach $\left(  x_{1}%
,y_{1}\right)  ,$ $\left(  x_{2},y_{2}\right)  ,$ $\left(  x_{3},y_{3}\right)
,$ $\left(  x_{4},y_{4}\right)  ,$ $\left(  x_{5},y_{5}\right)  .$ Poka\.{z},
\.{z}e liczba $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}$ nie zale\.{z}y od
parametr\'{o}w $a$ i $b$.

\item[Zadanie 3.] Niech $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ b\k{e}dzie macierz\k{a},
tak\k{a} \.{z}e
\[
A+A^{-1}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 2 & -1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Czy macierz $A^{3}+\left(  A^{-1}\right)  ^{3}$ jest diagonalizowalna?
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 4.] Zbadaj, w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru
$a\in\mathbb{R}$, wymiar obrazu endomorfizmu $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow
\mathbb{R}^{3}$ okre\'{s}lonego wzorem%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left(  -2x+\left(  -1-a\right)  y+z,ax-az,-x+\left(
a+a^{2}\right)  y+z\right)  .
\]


\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,2,3\right)  $
na podprzestrze\'{n} \linebreak liniow\k{a} $x+y+z=0$ przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$. Przyjmij naturalny iloczyn skalarny.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $a,b,c\in\mathbb{C}$ to pierwiastki wielomianu
$f\left(  x\right)  =3x^{3}-14x^{2}+x+62.$ Oblicz
\[
\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}.
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $\mathbb{R}_{\ast}^{n\times m}$ oznacza zbi\'{o}r
macierzy wymiaru $n\times m$ o elementach nale\.{z}\k{a}cych do zbioru
$\mathbb{R}_{\ast}=\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. W zbiorze
$\mathbb{R}_{\ast}^{n\times m}$ wprowadzamy dzia\l anie $\circ$ okre\'{s}lone
wzorem:
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & \cdots & a_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nm}%
\end{array}
\right]  \circ\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
b_{11} & \cdots & b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{nm}%
\end{array}
\right]  :=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11}b_{11} & \cdots & a_{1m}b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}b_{n1} & \cdots & a_{nm}b_{nm}%
\end{array}
\right]  .
\]
Czy struktura $\left(  \mathbb{R}_{\ast}^{n\times m},\circ\right)  $ jest
grup\k{a} abelow\k{a}? Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 3.] Spo\'{s}r\'{o}d rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania
\[
\left(  z^{3}-27i\right)  \left(  z^{2}-\left(  3+i\right)  z+2+2i\right)  =0
\]
wybierz te, kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}%
:0\leqslant\operatorname*{Arg}z<\frac{\pi}{2}\right\}  .$

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{R}%
^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ postaci
\[
L\left(  x,y,z\right)  =\left(  x+z,3x+2z,z\right)  .
\]
Czy istnieje baza przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, w kt\'{o}rej macierz $A_{L}$
odwzorowania $L$ jest diagonalna? Odpowied\'{z} uzasadnij; w przypadku
pozytywnej odpowiedzi wyznacz t\k{e} baz\k{e}.

\item[Zadanie 5.] W przestrzeni $\mathbb{R}^{3\times3}$ iloczyn skalarny $s$
okre\'{s}lono wzorem:
\[
s\left(  \left[  a_{ij}\right]  ,\left[  b_{ij}\right]  \right)
=\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}a_{ij}b_{ij}.
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wektora
\[
u=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 3\\
0 & 2 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
na podprzestrze\'{n} $V=\left\{  A\in\mathbb{R}^{3\times3}:A=A^{T}\right\}  $.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 09.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
5 & 0 & 1\\
2 & 6 & -2\\
-1 & 0 & 7
\end{array}
\right)  ,\text{\qquad}u_{0}=\left(
\begin{array}
[c]{r}%
1\\
0\\
-1
\end{array}
\right)  .
\]
W zbiorze $V=\left\{  v\in\mathbb{R}^{3}:\left(  A-6I\right)  v=0\right\}  $
wprowadzamy dzia\l anie $\otimes$ okre\'{s}lone wzorem
\[
v_{1}\otimes v_{2}=\left(  u_{0}\times v_{1}\right)  -\left(  v_{2}\times
u_{0}\right)  ,
\]
gdzie $\times$ to iloczyn wektorowy. Sprawd\'{z} czy: a) dzia\l anie $\otimes$
jest wewn\k{e}trzne w zbiorze $V$; b) dzia\l anie $\otimes$ jest przemienne;
c) dzia\l anie $\otimes$ posiada element neutralny. Czy struktura algebraiczna
$\left(  V,\otimes\right)  $ jest grup\k{a}?

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie
\[
\left(  \sqrt[4]{32}\left(  \sin\frac{\pi}{8}+i\cos\frac{\pi}{8}\right)
z+1+i\right)  ^{2}+z^{4}=0
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$.

\item[Zadanie 3.] Znajd\'{z} rozwi\k{a}zania poni\.{z}szego uk\l adu
r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y-z+t=1\\
y+3z-3t=1\\
x+y+z-t=1
\end{array}
\right.  .
\]


\item[Zadanie 4.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$,
dla kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 1-a^{2}\\
1 & 0 & 1+a^{2}\\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 5.] Na rzeczywistej przestrzeni liniowej $V$:%
\[
V=\operatorname*{span}\left\{  \sin x,\cos x,x\sin x,x\cos x\right\}
\]
okre\'{s}lono odwzorowanie liniowe $\mathcal{L}:f\rightarrow f+f^{\prime}.$
Wyznacz $\ker\mathcal{L}$, $\operatorname{Im}\mathcal{L}$ oraz sprawd\'{z},
czy jest to endomorfizm na $V$; w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz
r\'{o}wnie\.{z} jego rzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 24.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'{z}, czy zbi\'{o}r $G=\left\{  \left(
t,2^{t}\right)  :t\in\mathbb{R}\right\}  $ wraz z dzia\l aniem $h\left(
\left(  x_{1},y_{1}\right)  ,\left(  x_{2},y_{2}\right)  \right)  =\left(
x_{1}+x_{2}+2,4y_{1}y_{2}\right)  $ tworzy grup\k{e}. Czy jest to grupa abelowa?

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie $z^{6}-2z^{3}+2=0$ ze
wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$.

\item[Zadanie 3.] Spo\'{s}r\'{o}d wielomian\'{o}w $v_{1}\left(  x\right)
=x^{3}+2x^{2}+x-1,$ $v_{2}\left(  x\right)  =2x^{3}+4x^{2}-x-2,$ $v_{3}\left(
x\right)  =x,$ $v_{4}\left(  x\right)  =x^{3}+2x^{2}+x+1$ wyznacz te,
kt\'{o}re s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne; nast\k{e}pnie uzupe\l nij je do bazy
przestrzeni wielomian\'{o}w stopnia co najwy\.{z}ej cztery.

\item[Zadanie 4.] Czy macierze
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & 2 & 3\\
0 & 2 & 2\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right)  ,\text{\quad}B=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0\\
3 & 2 & -1
\end{array}
\right)
\]
s\k{a} podobne? Odpowied\'{z} uzasadnij; w przypadku pozytywnej odpowiedzi
wyznacz macierz ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz d\l ugo\'{s}\'{c} wektora $\overrightarrow{AB}$,
gdzie $A$ to punkt w kt\'{o}rym prosta $l:\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z-6}{3}$
przecina p\l aszczyzn\k{e} $\pi:$ $4\left(  x+1\right)  +2y+6z=0$, a $B$ to
rzut ortogonalny, w sensie naturalnego iloczynu skalarnego przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$, wektora $u=\left(  1,-1,6\right)  $ na podprzestrze\'{n}
liniow\k{a} $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:2x+y+3z=0\}$.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 01.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz sum\k{e} oraz iloczyn wszystkich element\'{o}w
zbioru $\sqrt[2013]{1+i}$.

\item[Zadanie 2.] Dla jakich warto\'{s}ci parametru $p\in\mathbb{R}$ uk\l ad
r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
x+p^{2}y+z & =-p\\
x+y-pz & =p^{2}\\
y+z & =1
\end{array}
\right.
\]
ma dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie? Zbadaj liczb\k{e} jego rozwi\k{a}za\'{n}
w pozosta\l ych przypadkach.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$
dla kt\'{o}rych funkcja
\[
\varphi:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  \rightarrow\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  ^{T}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2a & -4\\
-2 & a-1 & 0\\
2a & 0 & 2-a
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  \in\mathbb{R}%
\]
przyjmuje jedynie warto\'{s}ci nieujemne.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,0,0\right)  $
na podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x+6y-z=0,-x+2y+z=0,3x+2y-3z=0\right\}  .
\]
W przestrzeni $V$ przyjmujemy naturalny iloczyn skalarny przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 5.] Niech $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$. Uzasadnij, \.{z}e
je\.{z}eli dla pewnej liczby naturalnej $n$ zachodzi $A^{n}=\mathbf{0}%
_{2\times2},$ to $A^{2}=\mathbf{0}_{2\times2}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 08.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Uzasadnij, \.{z}e punkty $\left(  a_{1},b_{1}\right)
,\left(  a_{2},b_{2}\right)  ,\left(  a_{3},b_{3}\right)  $ stanowi\k{a}
wierzcho\l ki tr\'{o}jk\k{a}ta r\'{o}wnobocznego o \'{s}rodku w punkcie
$\left(  0,0\right)  $ wtedy i tylko wtedy, gdy ich wsp\'{o}\l rz\k{e}dne
spe\l niaj\k{a} nast\k{e}puj\k{a}ce warunki:
\[%
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{1}+a_{2}+a_{3}=0\medskip & \quad & a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}%
-b_{1}b_{2}-b_{1}b_{3}-b_{2}b_{3}=0\\
b_{1}+b_{2}+b_{3}=0 &  & a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}%
+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}=0
\end{array}
.
\]


\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie $\left(  z+a\right)  ^{3}=i$ ze
wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$; nast\k{e}pnie zaznacz na
p\l aszczy\'{z}nie zespolonej te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{C}$, dla
kt\'{o}rych rozwi\k{a}zania te nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{
z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{2}<\operatorname*{Arg}z<\pi\right\}  .$

\item[Zadanie 3.] Oblicz odleg\l o\'{s}\'{c} punktu przeci\k{e}cie si\k{e}
prostych $l_{1}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2t\\
y=-t\\
z=4-3t
\end{array}
\right.  $ oraz $l_{2}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+t\\
y=-3+t\\
z=3-t
\end{array}
\right.  $ $\left(  t\in\mathbb{R}\right)  $ od podprzestrzeni liniowej
$V\subset\mathbb{R}^{3}$ rozpi\k{e}tej przez wektory $u_{1}=\left(
1,0,1\right)  ,$ $u_{2}=\left(  2,1,0\right)  $.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my endomorfizm $F:\pi_{2}\ni f\rightarrow f\left(
0\right)  +f\left(  1\right)  x+f\left(  -1\right)  x^{2}\in\pi_{2},$ gdzie
$\pi_{2}$ to rzeczywista (tj. nad cia\l em $\mathbb{R}$) przestrze\'{n}
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} dwa z
naturalnymi dzia\l aniami dodawania wielomian\'{o}w i mno\.{z}enia wielomianu
przez skalar. Sprawd\'{z}, czy endomorfizm $F$ jest diagonalizowalny; w
przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz dla niego baz\k{e} Jordana przestrzeni
$\pi_{2}$.

\item[Zadanie 5.] Rozwa\.{z}my baz\k{e} przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$
$v_{1}=\left(  1,0,2\right)  ,v_{2}=\left(  -1,1,0\right)  ,v_{3}=\left(
1,1,1\right)  $ ortonormaln\k{a} wzgl\k{e}dem iloczynu skalarnego $s$. Wyznacz
k\k{a}t, wzgl\k{e}dem tego iloczynu skalarnego, pomi\k{e}dzy wektorami
$u=\left(  1,2,3\right)  $ oraz $w=\left(  1,1,4\right)  $.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 19.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $\mathcal{T}_{3}$ oznacza zbi\'{o}r macierzy
tr\'{o}jk\k{a}tnych g\'{o}rnych wymiaru $3\times3$ z jedynkami na
przek\k{a}tnej. Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(
\mathcal{T}_{3},\cdot\right)  $ jest grup\k{a}; dzia\l anie $\cdot$ to iloczyn macierzy.

\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy macierz $A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 9 & 6\\
-1 & 4 & 3\\
-1 & 5 & 4
\end{array}
\right]  $ jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz wektory w\l asne endomorfizmu
\[
F:\pi_{2}\ni f\left(  x\right)  \rightarrow-f\left(  x\right)  +f^{\prime
}\left(  x\right)  -f^{\prime\prime}\left(  x\right)  +f\left(  0\right)
\in\pi_{2},
\]
gdzie $\pi_{2}$ to rzeczywista przestrze\'{n} wielomian\'{o}w stopnia nie
wi\k{e}kszego ni\.{z} dwa z naturalnymi dzia\l aniami dodawania
wielomian\'{o}w i mno\.{z}enia wielomianu przez skalar.

\item[Zadanie 4.] Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ ma posta\'{c}
$\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =-\lambda^{3}-3\lambda^{2}+\lambda+2.$
Oblicz wyznacznik macierzy $A^{3}+A^{2}-A-I$.

\item[Zadanie 5.] Spo\'{s}r\'{o}d wektor\'{o}w
\[
v_{1}=\left(  1,3,1,-1\right)  ,v_{2}=\left(  2,4,0,-6\right)  ,v_{3}=\left(
0,2,2,4\right)  ,v_{4}=\left(  0,1,-1,-5\right)
\]
wybierz baz\k{e} rzeczywistej przestrzeni wektorowej
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}%
:x+y-3z+w=0,2x-y+z=0\right\}  ;
\]
nast\k{e}pnie uzupe\l nij j\k{a} do bazy przestrzeni
\[
W=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}:3x-2z+w=0\right\}  .
\]

\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 04.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] W zbiorze $K=\left(  0,+\infty\right)  $ wprowadzamy
dzia\l ania:
\[
a\oplus b=ab,\qquad a\odot b=a^{\ln b}.
\]
Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(  K,\oplus,\odot\right)  $ jest cia\l em.

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie ze wzgl\k{e}du na
niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$:%
\[
z^{4}-z^{3}+\left(  1-i\right)  z+i-1=0\text{.}%
\]


\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe%
\[
f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
-x+3z,-3x-4y-3z,9x+5z\right)  \in\mathbb{R}^{3}.
\]
Sprawd\'{z}, czy istnieje baza przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ z\l o\.{z}ona z
wektor\'{o}w w\l asnych endomorfizmu $f$; w przypadku pozytywnej odpowiedzi,
wyznacz jego macierz w tej bazie.

\item[Zadanie 4.] Czy odwzorowanie $f:\pi_{3}\rightarrow\pi_{2}$ okre\'{s}lone
wzorem%
\[
f\left(  \varphi\right)  \left(  t\right)  =\left(  t+1\right)  \varphi
^{\prime\prime}\left(  t-1\right)  +\varphi^{\prime}\left(  t+1\right)
\]
jest liniowe? Je\.{z}eli tak, wyznacz jego j\k{a}dro oraz obraz.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$) wektora $u=\left(  2,1,2\right)  $ na
podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:-x+8y-\sqrt{2}z=0,2\sqrt
{2}y-z=0\right\}  .
\]

\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 11.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Przedstaw graficznie zbi\'{o}r tych parametr\'{o}w
$a\in\mathbb{C}$ dla kt\'{o}rych wszystkie rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania
\[
z^{2}+2\left(  a+i\right)  z+a^{2}+2ai-1-i=0
\]
nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}:-\pi<\operatorname*{Arg}%
z<-\frac{\pi}{2}\right\}  $.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz baz\k{e} Jordana przestrzeni $\pi_{2}$ dla
endomorfizmu $F:\pi_{2}\rightarrow\pi_{2}$ okre\'{s}lonego wzorem%
\[
F:at^{2}+bt+c\rightarrow\left(  4a+4b\right)  t^{2}+\left(  2b-2c+a\right)
t+a+2b+2c\text{.}%
\]


\item[Zadanie 3.] Suma wyraz\'{o}w w ka\.{z}dym wierszu macierzy
$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ jest r\'{o}wna $s$. Uzasadnij, \.{z}e $s$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$ oraz wyznacz odpowiadaj\k{a}cy tej
warto\'{s}ci w\l asnej wektor w\l asny.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my dwie bazy przestrzeni $\pi_{n}$:%
\[
e:\left\{  e_{0}=1,e_{1}=1+x,e_{2}=x+x^{2},e_{3}=x^{2}+x^{3},\ldots
,e_{n}=x^{n-1}+x^{n}\right\}
\]
oraz%
\[
\widetilde{e}:\left\{  \widetilde{e}_{0}=x^{n},\widetilde{e}_{1}%
=x^{n}+1,\widetilde{e}_{2}=x^{n}+x,\widetilde{e}_{3}=x^{n}+x^{2}%
,\ldots,\widetilde{e}_{n}=x^{n}+x^{n-1}\right\}  .
\]
Wyznacz macierz $P^{-1}$, gdzie $P$ oznacza macierz przej\'{s}cia od bazy $e$
do bazy $\widetilde{e}$.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz odleg\l o\'{s}\'{c} prostej $l$ od p\l aszczyzny
$\pi$, je\.{z}eli%
\[
l:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2t\\
y=-1+t\\
z=t
\end{array}
\right.  ,\text{ }t\in\mathbb{R},\text{\qquad}\pi:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+t+s\\
y=-2+t-2s\\
z=3+2t-s
\end{array}
\right.  ,\text{ }t,s\in\mathbb{R}\text{.}%
\]

\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 18.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz liczb\k{e} tych element\'{o}w zbioru $\sqrt[2016]%
{2014i},$ kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} r\'{o}wnie\.{z} do zbioru
\[
\left\{  z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{4}<\operatorname*{Arg}z<\frac{\pi}%
{3}\right\}  .
\]


\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & -4 & 4\\
-2 & 1 & -2\\
-4 & 4 & -5
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna; nast\k{e}pnie wyznacz macierz $A^{2014}$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $\alpha\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych macierz%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
4 & 1-\alpha & -2\\
1-\alpha & 1 & \alpha\\
-2 & \alpha & 4
\end{array}
\right)
\]
ma jedynie nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz baz\k{e} j\k{a}dra oraz baz\k{e} obrazu odwzorowania
liniowego
\[
F:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
x+y-z,2y-2z,x-y+z,3x\right)  \in\mathbb{R}^{4}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 5.] W przestrzeni $\pi_{2}$ iloczyn skalarny $\circ$
okre\'{s}lono wzorem%
\[
\left(  a_{1}t^{2}+b_{1}t+c_{1}\right)  \circ\left(  a_{2}t^{2}+b_{2}%
t+c_{2}\right)  :=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}.
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wielomianu $u\left(  t\right)  =(t-1)^{2}$ na
podprzestrze\'{n} $V=\left\{  f\in\pi_{2}:f \text{--funkcja parzysta}\right\}
. $
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Zaznacz na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej poni\.{z}sze zbiory:

\begin{description}
\item[a)] $A=\left\{  z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}\left(  z^{4}\right)
-\left\vert z\right\vert ^{2}\operatorname{Im}\left(  z^{2}\right)
\leq0\right\}  $

\item[b)] $B=\left\{  z\in\mathbb{C}:-\frac{\pi}{2}\leq\operatorname*{Arg}%
\left[  \left(  z-iz\right)  ^{2}\right]  \leq0\right\}  .$
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Niech $A$ b\k{e}dzie macierz\k{a} kwadratow\k{a} o
elementach rzeczywistych.

\begin{description}
\item[a)] Oblicz $\det(2A)$ wiedz\k{a}c, \.{z}e $\det(3A)=54$ oraz
$\det(4A)=128$.

\item[b)] Jakie warto\'{s}ci mo\.{z}e przyj\k{a}\'{c} wyznacznik macierza $A$,
je\.{z}eli
\[
A^{T}\left(  AA^{T}\right)  ^{-1}\left(  AA^{T}\right)  ^{T}-\left(  \det
A^{2}\right)  \left[  \left(  \det A\right)  A\right]  ^{T}=0.
\]

\end{description}

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R},$ dla
kt\'{o}rych podany uk\l ad r\'{o}wna\'{n} ma niezerowe rozwi\k{a}zanie:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
a^{2}x+y+z=1\\
2x-y+3z=0\\
3x+4z=a
\end{array}
\right.  .
\]


\item[Zadanie 4.] Wyznacz, o ile istniej\k{a}, te warto\'{s}ci parametr\'{o}w
$a,b\in\mathbb{R}$ dla kt\'{o}rych macierze%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & a-1 & b\\
-6 & 3 & -5\\
-4 & 2 & -3
\end{array}
\right)  , \text{\qquad}B=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & b-2 & 0\\
-1 & a & -1\\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\]
s\k{a} podobne.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 10.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczba $s_{0}=1+i\sqrt{2}$ jest jednym z rozwi\k{a}za\'{n}
r\'{o}wnania%
\[
s^{6}-2s^{5}+5s^{4}-4s^{3}+8s^{2}-4s+6=0.
\]
Wyznacz pozosta\l e rozwi\k{a}zania tego r\'{o}wnania oraz wybierz
spo\'{s}r\'{o}d nich te, kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{
z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{2}<\operatorname*{Arg}z\leq\pi\right\}  $.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz rzut ortogonalny, w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, wektora $\left(  1,1,1\right)  $ na
j\k{a}dro odwzorowania liniowego $F:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)
\rightarrow\left(  y-2x+z,y-z,x-2y+z\right)  \in\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 3.] Zbadaj liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x-ay+z=1\\
-2x-y-z=1\\
2x-y=2\\
-x-ay-2z=2
\end{array}
\right.
\]
w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$.

\item[Zadanie 4.] Niech $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ b\k{e}dzie macierz\k{a}
postaci%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & -1 & 0\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right)  .
\]


\begin{description}
\item[(a)] Sprawd\'{z}, czy macierz $A$ jest diagonalizowalna.

\item[(b)] Wyznacz $A^{2015}$.
\end{description}
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 26.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] \ \ 

\begin{description}
\item[(a)] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie w zbiorze liczb zespolonych:
$z^{3}=-8\overline{z}$.

\item[(b)] Zaznacz na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej liczby zespolone $z$
spe\l niaj\k{a}ce warunek $\left\vert z^{2}+4\right\vert >\left\vert
z-2i\right\vert $.
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Wyznacz macierz $X$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} r\'{o}wnanie%
\[
A+B^{T}(X^{T})^{-1}A=\left[  A^{T}\left(  (A^{-1}+B)^{-1}+I\right)  \right]
^{T}.
\]


\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my cztery punkty $A(0,1,0),$ $B(-1,2,1),$
$C(1,0,1),$ $D(1,-1,1).$ Wyznacz odleg\l o\'{s}\'{c} pomi\k{e}dzy prostymi
$l_{AB}$ oraz $l_{CD}$ przechodz\k{a}cymi odpowiednio przez punkty $A,B$ oraz
$C,D$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1-a & 1\\
1-a & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right)
\]
ma jedynie nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}


\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 29.01.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $z_{0},z_{1},\ldots,z_{4}$ b\k{e}d\k{a} pierwiastkami
algebraicznymi stopnia $5$ z $32$. Oblicz%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k=0}^{4}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k=0}^{4}}
%EndExpansion
\left\vert 2i-z_{k}\right\vert ^{2}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Wielomian $\varphi_{A}\left(  x\right)  =-x^{3}+4x^{2}+2x-1$
jest wielomianem charakterystycznym macierzy $A$. Wyznacz wielomiany
charakterystyczne macierzy: a) $2A-I,$ b) $(A+2I)^{T},$ c) $A^{-1}$.

\item[Zadanie 3.] Niech
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
a & b & 0\\
b & 5 & 2\\
b & -1 & 4
\end{array}
\right)  \text{, }v_{1}=\left(  1,1,-1\right)  ^{T}.
\]
Wyznacz te warto\'{s}ci parametr\'{o}w $a,b\in\mathbb{R},$ dla kt\'{o}rych
wektor $v_{1}$ jest wektorem w\l asnym macierzy $A$. Nast\k{e}pnie
sprawd\'{z}, czy otrzymana macierz jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{2}$ z iloczynem
skalarnym $\circ$ okre\'{s}lonym wzorem
\[
x\circ y=x^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
2 & -1\\
-1 & 2
\end{array}
\right)  y\text{.}%
\]
Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie iloczynu skalarnego $\circ$) wektora
$u=\left(  1,3\right)  ^{T}$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a}
przez wektor $e=\left(  1,1\right)  ^{T}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 05.02.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wiedz\k{a}c, \.{z}e $z$ jest liczb\k{a} zespolon\k{a} o
argumencie g\l \'{o}wnym $\alpha\in\left(  \frac{\pi}{2},\pi\right)  $ oraz o
module $\left\vert z\right\vert >1$, znajd\'{z} argument g\l \'{o}wny liczby
zespolonej $\frac{\overline{\left(  -iz\right)  }z^{3}}{1-\left\vert
z\right\vert ^{2}}$.

\item[Zadanie 2.] Wektory $y,v_{2},v_{3},\ldots,v_{n}\in\mathbb{R}^{n}$
tworz\k{a} baz\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$, ortogonaln\k{a} w sensie
naturalnego iloczyny skalarnego $\circ$ przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$ (tj.
$v\circ w=v^{T}w$). Niech $x\in\mathbb{R}^{n}$ b\k{e}dzie dowolnym niezerowym wektorem.

\begin{description}
\item[(a)] Poka\.{z}, \.{z}e wektory $x,v_{2},v_{3},\ldots,v_{n}$ s\k{a}
wektorami w\l asnymi macierzy $xy^{T}$ oraz wyznacz odpowiadaj\k{a}ce im
warto\'{s}ci w\l asne.

\item[(b)] Wyka\.{z}, \.{z}e $\det\left(  I_{n}-xy^{T}\right)  =1-y^{T}%
x\text{.}$
\end{description}

\item[Zadanie 3.] Wyznacz liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[r]{r}%
x+2y-z+2w=1\\
2x+4y+z-2w=2\\
-x-2y-2z+4w=1
\end{array}
\right.  \text{.}%
\]


\item[Zadanie 4.] Zbadaj okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej
$\varphi\left(  x,y,z\right)  =2x^{2}-2xz+2y^{2}-2yz+z^{2}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 17.02.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Czy zbi\'{o}r liczb niewymiernych z do\l \k{a}czon\k{a}
liczb\k{a} $1$, z naturalnym dzia\l aniem mno\.{z}enia liczb tworzy grup\k{e}?
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 2.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe%
\[
F:\pi_{3}\ni ax^{3}+bx^{2}+cx+d\rightarrow\left(  a+b-c\right)  x^{2}+\left(
2b+d\right)  x+2c-b\in\pi_{2}\text{.}%
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wielomianu $u\left(  x\right)  =x^{2}+2x+2$ na
podprzestrze\'{n} $\operatorname{Im}F$ (tj. na obraz odwzorowania $F$)
przestrzeni $\pi_{2}$ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny $\left\langle
f,g\right\rangle =\int_{-1}^{1}f\left(  x\right)  g\left(  x\right)  dx$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz sum\k{e} wszystkich liczb zespolonych $z$
spe\l niaj\k{a}cych r\'{o}wnanie $z^{3}=\left(  -2+2\sqrt{3}i\right)
\overline{z}$.

\item[Zadanie 4.] Wykorzystuj\k{a}c posta\'{c} Jordana macierzy $A=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
4 & 0\\
3i & 1
\end{array}
\right)  $ wyznacz cztery r\'{o}\.{z}ne macierze $B$ spe\l niaj\k{a}ce
r\'{o}wnanie $B^{2}=A$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 31.01.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Czy zbi\'{o}r $G=\left\{  A\in\mathbb{R}^{n\times
n}:\left\vert \det A\right\vert =1\right\}  $ z dzia\l aniem mno\.{z}enia
macierzy tworzy grup\k{e}? Czy jest to grupa abelowa? Odpowiedzi pozytywne
uzasadnij, negatywn\k{a} poprzyj stosownym przyk\l adem.

\item[Zadanie 2.] Czy ka\.{z}da macierz $A\in\mathbb{C}^{2\times2}$
spe\l niaj\k{a}ca r\'{o}wnanie $\left(  A-I\right)  ^{2}\left(  A+2I\right)
=0$ jest diagonalizowalna? Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych obraz $\operatorname{Im}f$ odwzorowania liniowego
\[
f:\mathbb{R}^{4}\ni\left(  x,y,z,w\right)  \rightarrow\left(
x+ay-z,2x-2y+aw,x-y-w\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
\]
tworzy p\l aszczyzn\k{e} w $\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 4.] W przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times2}$ iloczyn skalarny
zdefiniowano wzorem $A\circ B=\operatorname*{tr}\left(  A^{T}B\right),$
gdzie $\operatorname*{tr}\left(  \cdot\right)  $ oznacza \'{s}lad macierzy.
Wyznacz rzut ortogalny macierzy $I_{2}$ (tj. macierzy jednostkowej wymiaru
$2\times2$) na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a} przez macierze
$E_{1}=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right)  $ oraz $E_{2}=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & -1\\
1 & 0
\end{array}
\right)  $.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 07.02.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wykorzystuj\k{a}c wzory Vi\`{e}te'a, znajd\'{z} wszystkie
rozwi\k{a}zania uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=-1-i\\
xy+xz+yz=2+i\\
xyz=-2
\end{array}
\right.  ,\text{\quad w kt\'{o}rym }x,y,z\in\mathbb{C}.
\]


\item[Zadanie 2.] Wyznacz macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ o
warto\'{s}ciach w\l asnych $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1$ oraz $\lambda_{3}%
=0$, kt\'{o}rym odpowiadaj\k{a} wektory w\l asne $v_{\lambda_{1}}=\left(
1,1,1\right)  ^{T},$ $v_{\lambda_{2}}=\left(  1,0,1\right)  ^{T}$ oraz
$v_{\lambda_{3}}=\left(  1,-1,0\right)  ^{T}$. W rozwi\k{a}zaniu wykorzystaj
posta\'{c} Jordana poszukiwanej macierzy.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych nier\'{o}wno\'{s}\'{c}%
\[
x^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
1 & -a
\end{array}
\right)  x\geqslant y^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
a & 2\\
2 & a
\end{array}
\right)  y
\]
jest prawdziwa dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}^{2}$.

\item[Zadanie 4.] Niech $v,w\in\mathbb{R}^{3}$ b\k{e}d\k{a} wektorami
spe\l niaj\k{a}cymi warunek $v\circ v=w\circ w=1,$ $v\circ w=%
%TCIMACRO{\U{bd}}%
%BeginExpansion
\frac12
%EndExpansion
$, gdzie $\circ$ oznacza naturalny iloczyn skalarny w $\mathbb{R}^{3}$.
Wyznacz ortonormaln\k{a} baz\k{e} podprzestrzeni liniowej rozpi\k{e}tej przez
wektory $v$ oraz $w$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 15.02.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}


\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Znajd\'{z} wszystkie liczby naturalne $n$, dla kt\'{o}rych
dok\l adnie dwa rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania $z^{n}=1+i\sqrt{3}$
nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}:0\leq\operatorname*{Arg}%
z<\frac{\pi}{2}\right\}  $. Wyznacz te rozwi\k{a}zania.

\item[Zadanie 2.] Punkt $x_{0}\in X$ nazywamy punktem sta\l ym odwzorowania
$f:X\rightarrow X$, je\.{z}eli $f\left(  x_{0}\right)  =x_{0}$. Wyznacz
wszystkie punkty sta\l e odwzorowania $f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(
x,y,z\right)  \rightarrow\left(  2y+z,x+y-3z,-x+3y+z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\geq0$, dla kt\'{o}rych
macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & a & 1+a\\
1 & 3 & -1\\
-1 & a & 4
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 4.] Niech $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Oblicz:

\begin{description}
\item[(a)] $\det\left(  A+B\right)  $ wiedz\k{a}c, \.{z}e $\det B^{T}A=2$ oraz
$\det\left(  B^{-1}+A^{-1}\right)  =-3$;

\item[(b)] $\det\left(  A^{T}B^{-1}-I\right)  $ wiedz\k{a}c, \.{z}e
$\det\left(  B^{T}-A\right)  =5,$ $\det\left(  -B\right)  =-\det B\neq0$ oraz
$B^{4}=B$.
\end{description}
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 29.01.2018}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $a,b,c\in\mathbb{C}$ to pierwiastki wielomianu
$f\left(  x\right)  =\allowbreak x^{3}-\left(  1-i\right)  x^{2}-x-i$. Wyznacz
$\mathfrak{Re}\left(  w\right)  ,$ gdzie%
\[
w=\left(  \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)  ^{2018}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Wiadomo, na podstawie twierdzenia Cayleya--Hamiltona, \.{z}e
wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej jest jej wielomianem
zeruj\k{a}cym. Wykorzystuj\k{a}c ten fakt uzasadnij, \.{z}e dla dowolnej
macierzy $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ oraz dla dowolnej liczby naturalnej $n$
istniej\k{a} liczby $\alpha_{n},\beta_{n}\in\mathbb{R}$, dla kt\'{o}rych
$A^{n}=\alpha_{n}A+\beta_{n}I_{2}$.

\item[Zadanie 3.] Sprawd\'{z}, czy istnieje baza przestrzeni $\pi_{2}$ (tj.
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} $2$), w
kt\'{o}rej macierz\k{a} endomorfizmu $F:\pi_{2}\ni ax^{2}+bx+c\rightarrow
\left(  2a-b\right)  x^{2}+2bx+2c+b\in\pi_{2}$ jest macierz
\[
A_{F}=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)  .
\]
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 4.] Zbadaj liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}
\[
\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & a-1 & 2\\
2 & 2 & 2\\
-1 & 1 & a
\end{array}
\right)  x=\left(
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
a\\
-1
\end{array}
\right)
\]
w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$. $\ $
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 05.02.2018}\vspace{-8pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ to pierwiastki algebraiczne
czwartego stopnia z liczby $z=20+18i$. Wyznacz
\[
w=\left(  1-z_{1}\right)  ^{2}+\left(  1-z_{2}\right)  ^{2}+\left(
1-z_{3}\right)  ^{2}+\left(  1-z_{4}\right)  ^{2}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $a\neq b$ b\k{e}d\k{a} dowolnymi elementami. W zbiorze
$\mathcal{F}=\{f_{1},f_{2}\}$, gdzie $f_{1},f_{2}$ to funkcje prowadz\k{a}ce z
$\left\{  a,b\right\}  $ w $\left\{  a,b\right\}  $ postaci%
\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
a, & \text{dla }x=a\\
b, & \text{dla }x=b
\end{array}
\right.  ,\hspace{2cm}f_{2}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
b, & \text{dla }x=a\\
a, & \text{dla }x=b
\end{array}
\right.  ,
\]
wprowadzamy dzia\l anie $\circ$ sk\l adania odwzorowa\'{n}, tj. $\left(
f\circ g\right)  \left(  x\right)  =f\left(  g\left(  x\right)
\right)  $. Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(  \mathcal{F}%
,\circ\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a}.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz baz\k{e} Jordana przestrzeni $\pi_{1}$ (tj.
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} jeden) dla
endomorfizmu $F:\pi_{1}\ni ax+b\rightarrow\left(  3a-b\right)  x+a+b\in\pi
_{1}$. Sprawd\'{z} poprawno\'{s}\'{c} wyniku poprzez wyznaczenie macierzy
reprezentuj\k{a}cej endomorfizm $F$ w uzyskanej bazie.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$) elementu $u=\left(  6,2,-4\right)
^{T}$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a} przez wektory
$v_{1}=\left(  2,0,-1\right)  ^{T},$ $v_{2}=\left(  1,-5,2\right)  ^{T}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
Automatyka i robotyka\hfill termin III -- 12.02.2018}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $\alpha\in\mathbb{R}$ oraz $n\in\mathbb{N}$. Podane
liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:%
\begin{align*}
&
\begin{array}
[c]{ll}%
z_{1}=\left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)  ^{n},\quad & z_{2}=\left(
\cos\alpha-i\sin\alpha\right)  ^{n},
\end{array}
\\
&
\begin{array}
[c]{ll}%
z_{3}=\left(  \sin\alpha+i\cos\alpha\right)  ^{n}, \quad & z_{4}=\left(  \sin
\alpha-i\cos\alpha\right)  ^{n}.
\end{array}
\end{align*}


\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy podane macierze s\k{a} podobne
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)  ,\text{\qquad}B=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right) ;
\]
w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz macierz $P$ dla kt\'{o}rej
$A=PBP^{-1}$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz wszystkie miejsca zerowe wielomianu $\varphi\left(
x\right)  =x^{6}+1$; nast\k{e}pnie przedstaw go jako iloczyn wielomian\'{o}w
rzeczywistych stopnia co najwy\.{z}ej drugiego.

\item[Zadanie 4.] Niech $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ b\k{e}dzie macierz\k{a}
postaci%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 1\\
2 & 2a+1 & 3a\\
-1 & a & a+1
\end{array}
\right)  \text{.}%
\]
Wyznacz zbi\'{o}r tych parametr\'{o}w $a\in\mathbb{R}$, dla kt\'{o}rych
funkcja $\varphi:\mathbb{R}^{3}\ni x\rightarrow x^{T}Ax\in\mathbb{R}$
przyjmuje jedynie warto\'{s}ci nieujemne.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 1. -- 31.01.2019\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}

\noindent Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}$ to pierwiastki wielomianu
$$f\left(  s\right)  =-s^{4}+\left(  1+i\right)  s^{3}+is+1.$$ Zaznacz na
p\l aszczy\'{z}nie zespolonej zbi\'{o}r liczb $\lambda\in\mathbb{C}$
spe\l niaj\k{a}cych warunek $%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{4}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{4}}
%EndExpansion
\left\vert \lambda+s_{k}\right\vert ^{2}<%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{4}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{4}}
%EndExpansion
\left\vert \overline{\lambda}+s_{k}\right\vert ^{2}$.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych zbi\'{o}r $$\left\{  A\in\mathbb{R}^{n\times n}:\det A=a\right\}  $$
z dzia\l aniem mno\.{z}enia macierzy tworzy grup\k{e}.

\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my endomorfizm $f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(
x,y,z\right)  \rightarrow\left(  ax+y,2y,bz-y\right)  \in\mathbb{R}^{3}$,
gdzie $a,b\in\mathbb{R}$ to nieznane parametry. Dobierz je w ten spos\'{o}b,
aby endomorfizm $f$ posiada\l \ jedn\k{a} potr\'{o}jn\k{a} warto\'{s}\'{c}
w\l asn\k{a}; nast\k{e}pnie sprawd\'{z}, czy jest on w\'{o}wczas diagonalizowalny.

\item[Zadanie 4.] W przestrzeni $\pi_{3}$ ($\pi_{k}$ -- przestrze\'{n}
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia co najwy\.{z}ej $k$) wprowadzamy iloczyn
skalarny $$\left\langle f,g\right\rangle =%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=0}^{3}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=0}^{3}}
%EndExpansion
f^{\left(  k\right)  }\left(  0\right)  g^{\left(  k\right)  }\left(
0\right), $$ gdzie $h^{(k)}$ oznacza $k$-tą pochodną $h$, $h^{(0)}=h$. Wyznacz rzut ortogonalny elementu $u\left(  x\right)  =\left(
x+1\right)  ^{3}$ na podprzestrze\'{n} $\pi_{2}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 2. -- 06.02.2019\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}

\noindent Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'{z}, czy zbi\'{o}r rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania
$s^{2019}=1$ z dzia\l aniem $$h\left(  s_{1},s_{2}\right)  =\overline
{s_{1}s_{2}}$$ tworzy grup\k{e}.

\item[Zadanie 2.] Niech $f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
ax+y,2y,bz-y\right)  \in\mathbb{R}^{3}.$ Wyznacz te warto\'{s}ci parametr\'{o}w $a,b\in\mathbb{R}$,
dla kt\'{o}rych endomorfizm $f$ jest diagonalizowalny.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz bazy ortonormalne (w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego w $\mathbb{R}^{3}$) j\k{a}dra oraz obrazu endomorfizmu z
poprzedniego zadania. Przyjmij $a=b=0$.

\item[Zadanie 4.] Punkt $x_{0}\in X$ nazywam punktem sta\l ym odwzorowania
$f:X\rightarrow X$ je\.{z}eli $f\left(  x_{0}\right)  =x_{0}$. Zbadaj
liczb\k{e} punt\'{o}w sta\l ych odwzorowania
\[
f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(  2x+\left(
a-1\right)  y+2z+1,x-y,2x+2y+\left(  a+1\right)  z-2\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
\]
w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 3. -- 14.02.2019\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}

\noindent Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Znajd\'{z} wszystkie liczby zespolone $z$ spe\l niaj\k{a}ce
warunek $z^{3}\left\vert z\right\vert =(4-4\sqrt{3}i) \overline{z}$.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz, o ile istnieje, macierz o wektorach w\l asnych
$$v_{1}=\left(  2,1,1\right)  ^{T},v_{2}=\left(  -1,1,0\right)  ^{T}%
,v_{3}=(3,0,1)^{T}.$$ Ile jest takich macierzy?

\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n} liniowych $Ax=b$, gdzie
$A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ oraz $b\in\mathbb{R}^{2}$. Niech $w_{A}\ $oraz
$w_{1},w_{2}$ oznaczaj\k{a} wyznacznik macierzy $A$ oraz
wyznaczniki macierzy powsta\l ych z macierzy $A$ przez zast\k{a}pienie odpowiednio
jej pierwszej i drugiej kolumny wektorem $b$. Co wiemy o liczbie
rozwi\k{a}za\'{n} uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $Ax=b$, je\.{z}eli $w_{A}=w_{1}%
=w_{2}=0$? Odpowied\'{z} uzasadnij; podaj stosowne przyk\l ady.

\item[Zadanie 4.] Zbadaj okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej
$$\varphi\left(  x,y,z\right)  =\allowbreak x^{2}+4xy+2xz+5y^{2}+2yz+3z^{2},$$
nast\k{e}pnie wyznacz liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania $\varphi
\left(  x,y,z\right)  =a$ w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru
$a\in\mathbb{R}$.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 1. -- 31.01.2020\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'{z}, czy zbi\'{o}r liczb ca\l kowitych $\mathbb{Z}$
z dzia\l aniem $x\ast y=\left(  -1\right)  ^{x}y+\left(  -1\right)  ^{y}x$
tworzy grup\k{e}. Nast\k{e}pnie, wykorzystuj\k{a}c w\l asno\'{s}ci struktury
$\left(  \mathbb{Z},\ast\right)  $, znajd\'{z} rozwi\k{a}zania ca\l kowite $x$
r\'{o}wnania $\left(  \left(  2\ast x\right)  -x\right)  \ast x=0.$

\item[Zadanie 2.] Znajd\'{z} baz\k{e} Jordana przestrzeni $\pi_{1}$ (tj.
wielomian\'{o}w stopnia co najwy\.{z}ej pierwszego) dla endomorfizmu
$F:\pi_{1}\ni\varphi\left(  x\right)  \rightarrow\varphi^{\prime}\left(
1\right)  +3\varphi\left(  0\right)  +\left(  \varphi\left(  5\right)
-2\varphi\left(  0\right)  \right)  x\in\pi_{1}$. Sprawd\'{z}
poprawno\'{s}\'{c} wyniku, wyznaczaj\k{a}c macierz endomorfizmu $F$ w tej
bazie. Czy endomorfizm $F$ jest diagonalizowalny?

\item[Zadanie 3.] Zbadaj okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej
$\varphi\left(  x,y,z\right)  =x^{2}+4xy+\left(  a+4\right)  y^{2}%
-2ayz+2az^{2}$ w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny elementu $u=\left(  1,1,1,1\right)
$ na obraz odwzorowania liniowego
\[
\varphi:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
0,x+y,2x-2y+z,0\right)  \in\mathbb{R}^{4};
\]
w przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$ przyjmij naturalny iloczyn skalarny.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 2. -- 07.02.2020\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}


\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Znajd\'{z} wszystkie rozwi\k{a}zania $z\in\mathbb{C}$ r\'ownania
$z^{5}-\left(  \operatorname*{ctg}\beta+i\right)  ^{4}\overline{z}=0$,\linebreak
w kt\'orym $\beta\in\left(  0,\pi\right)  $.

\item[Zadanie 2.] Czy ka\.zda macierz $A\in\mathbb{C}^{4\times4}$ spe\l niaj\k{a}ca warunek
$$\operatorname*{rank}\left(  A+I\right)  =\operatorname*{rank}\left(  A-I\right)=2$$ jest diagonalizowalna?
Odpowied\'{z} uzasadnij; w przypadku, gdy jest ona pozytywna wyznacz
$A^{2020}$.

\item[Zadanie 3.] Wielomian $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =-\lambda
^{3}+3\lambda-1$ jest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy
kwadratowej $A$. Oblicz wyznacznik oraz \'{s}lad macierzy $-A^{3}+A^{2}+3A-I$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych nier\'{o}wno\'{s}\'{c}%
\[
\left(  x+y\right)  ^{2}+\left(  x-y\right)  ^{2}  >axy
\]
jest spe\l niona przez wszystkie liczby $x,y\in\mathbb{R}\ $%
spe\l niaj\k{a}ce warunek $x^{2}+y^{2}>0$.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent Egzamin z algebry liniowej -- Automatyka i
robotyka\ WEAIiIB \hfill Termin 3. -- 13.02.2020\vspace{-0.35cm}

\noindent\rule{\textwidth}{0.2pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Znajd\'{z} wszystkie rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania $\left(
z-i\right)  ^{2}+\left(  \overline{z}+i\right)  ^{2}=0$ oraz zaznacz na
p\l aszczy\'{z}nie zespolonej te spo\'{s}r\'{o}d nich, dla kt\'{o}rych
$\frac{\pi}{6}<\operatorname*{Arg}z<\frac{\pi}{3}$.

\item[Zadanie 2.] Znajd\'{z}, dla macierzy $$A=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
-1 & 2\\
0 & 1
\end{array}
\right),  $$ jej rozk\l ad na iloczyn macierzy $P\cdot J_{A}\cdot P^{-1}$,
gdzie $J_{A}$ to macierz Jordana, a $P$ macierz nieosobliwa. Nast\k{e}pnie,
wykorzystuj\k{a}c ten rozk\l ad, wska\.{z} cztery r\'{o}\.{z}ne macierze
$B\in\mathbb{C}^{2\times2}$ spe\l niaj\k{a}ce warunek $B^{2}=A$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz baz\k{e} j\k{a}dra oraz baz\k{e} obrazu odwzorowania
liniowego $$F:\pi_{1}\ni\varphi\left(  x\right)  \rightarrow x\varphi^{\prime
}\left(  0\right)  +x^{2}\varphi^{\prime}\left(  1\right)  \in\pi_{2};$$
$\pi_{n}$ oznacza przestrze\'{n} wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia co
najwy\.{z}ej $n$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny $u^{\ast}$ wektora $u=\left(
3,4,-1\right)  $ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} $\left\{  \left(
x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:z=0\right\}  $. Jak\k{a} interpretacj\k{e}
geometryczn\k{a} ma wielko\'{s}\'{c} $\left\Vert u-u^{\ast}\right\Vert $?\newline W
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ rozwa\.{z}amy naturalny iloczyn skalarny.
\end{description}

\end{document}