\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Wednesday, June 27, 2018 13:23:22}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents


\setcounter{page}{3}

\sloppy


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Podstawowe struktury algebraiczne}

\section{Dzia\l ania wewn\k{e}trzne}

Niech $X$ b\k{e}dzie zbiorem niepustym. Dowoln\k{a} funkcj\k{e} $h:X\times
X\rightarrow X$ nazywamy \textcolor{blue}{dzia\l aniem wewn\k{e}trznym} w
zbiorze $X$. Dzia\l anie wewn\k{e}trzne, jak ka\.{z}d\k{a} funkcj\k{e},
mo\.{z}emy okre\'{s}la\'{c} na wiele sposob\'{o}w:

\begin{itemize}
\item s\l ownie: w grupie student\'{o}w jednej z krakowskich uczelni
ucz\k{e}szczaj\k{a}cych regularnie na wyk\l ad z algebery liniowej
(zak\l adamy, \.{z}e jest to zbi\'{o}r niepusty) wprowadzamy dzia\l anie,
kt\'{o}re z pary element\'{o}w wybiera element starszy (decyduje numer PESEL);

\item graficznie: aby zdefiniowa\'{c} funkcj\k{e} $h:\mathbb{N\times
N}\rightarrow\mathbb{N}$ wystarczy w uk\l adzie $Oxyz$ zaznaczy\'{c} stosowne kropki;

\item tabel\k{a} dzia\l a\'{n}: w zbiorze $X=\left\{  \clubsuit,\spadesuit
,\maltese\right\}  $ wprowadzamy dzia\l anie $h$:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|}\hline
$h$ & $\clubsuit$ & $\spadesuit$ & $\maltese$\\\hline
$\clubsuit$ & $\clubsuit$ & $\spadesuit$ & $\maltese$\\\hline
$\spadesuit$ & $\spadesuit$ & $\maltese$ & $\clubsuit$\\\hline
$\maltese$ & $\clubsuit$ & $\maltese$ & $\spadesuit$\\\hline
\end{tabular}
,
\]
na przyk\l ad: $h\left(  \spadesuit,\maltese\right)  =\clubsuit$; $h\left(
\maltese,\spadesuit\right)  =\maltese$;

\item wzorem: $h:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni\left(  x,y\right)  \rightarrow
x+y \in\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\subsection{W\l asno\'{s}ci dzia\l a\'{n} wewn\k{e}trznych}

Niech $h$ b\k{e}dzie dzia\l aniem wewn\k{e}trznym w zbiorze $X.$

\begin{definition}
Element $e\in X$ spe\l niaj\k{a}cy warunek%
\begin{equation}
\forall x\in X\text{\qquad}h\left(  e,x\right)  =h\left(  x,e\right)  =x
\end{equation}
nazywamy \textcolor{blue}{elementem neutralnym} dzia\l ania $h.$
\end{definition}

\bigskip

Zak\l adaj\k{a}c, \.{z}e w zbiorze $X$ dla pewnego dzia\l ania
wewn\k{e}trznego $h$ istniej\k{a} dwa elementy neutralne $e_{1}$ i $e_{2}$,
mamy:%
\[
e_{1}=h\left(  e_{1},e_{2}\right)  =e_{2}.
\]
St\k{a}d wynika nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Je\.{z}eli element neutralny istnieje to jest jedyny.
\end{theorem}

\begin{definition}
\bigskip\noindent\textit{Dzia\l anie wewn\k{e}trzne }$h:X\times X\rightarrow
X$\textit{ nazywamy \textcolor{blue}{dzia\l aniem \l \k{a}cznym}, je\.{z}eli}%
\begin{equation}
\forall x,y,z\in X\text{\qquad}h\left(  x,h\left(  y,z\right)  \right)
=h\left(  h\left(  x,y\right)  ,z\right)  .
\end{equation}

\end{definition}

\begin{definition}
\textit{Dzia\l anie wewn\k{e}trzne }$h:X\times X\rightarrow X$\textit{
nazywamy \textcolor{blue}{dzia\l aniem przemiennym}, je\.{z}eli}%
\begin{equation}
\forall x,y\in X\text{\qquad}h\left(  x,y\right)  =h\left(  y,x\right)  .
\end{equation}

\end{definition}

\noindent Niech $h:X\times X\rightarrow X$ b\k{e}dzie dzia\l aniem
wewn\k{e}trznym o elemencie neutralnym $e$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli dla elementu $x\in X$ istnieje element $\widetilde{x}\in X$
spe\l niaj\k{a}cy warunek
\[
h\left(  \widetilde{x},x\right)  =h\left(  x,\widetilde{x}\right)  =e
\]
to element $\widetilde{x}$ nazywamy \textcolor{blue}{elementem symetrycznym}
dla elementu $x$ wzgl\k{e}dem \linebreak dzia\l ania $h$.
\end{definition}

Za\l \'{o}\.{z}my, \.{z}e $\widetilde{x}_{1},\widetilde{x}_{2}$ s\k{a} dwoma
elementami symetrycznymi dla elementu $x$ wzgl\k{e}dem dzia\l ania
\l \k{a}cznego (!) $h$ o elemencie neutralnym $e$. W\'{o}wczas%
\[
\widetilde{x}_{1}=h\left(  e,\widetilde{x}_{1}\right)  =h\left(  h\left(
\widetilde{x}_{2},x\right)  ,\widetilde{x}_{1}\right)  =h\left(  \widetilde
{x}_{2},h\left(  x,\widetilde{x}_{1}\right)  \right)  =h\left(  \widetilde
{x}_{2},e\right)  =\widetilde{x}_{2},
\]
sk\k{a}d wynika nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
\label{t1} Je\.{z}eli dzia\l anie wewn\k{e}trzne jest \l \k{a}czne oraz
posiada element neutralny to ka\.{z}dy element posiada co najwy\.{z}ej jeden
element symetryczny.
\end{theorem}

\begin{example}
W zbiorze $X=\left\{  a,b,c\right\}  $ wprowadzamy dzia\l anie $h$
okre\'{s}lone poni\.{z}sz\k{a} tabel\k{a}:
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|}\hline
$h$ & $a$ & $b$ & $c$\\\hline
$a$ & $a$ & $b$ & $c$\\\hline
$b$ & $b$ & $a$ & $a$\\\hline
$c$ & $c$ & $a$ & $a$\\\hline
\end{tabular}
\ .
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e dzia\l anie $h$ posiada element neutralny
$e=a.$ Poniewa\.{z} elementy $b$ oraz $c$ posiadaj\k{a} po dwa elementy
odwrotne, kt\'{o}rymi s\k{a} $b$ oraz $c$:%
\[
h(b,b)=h(b,c)=h(c,b)=h(c,c)=e=a,
\]
zatem, na podstawie twierdzenia \ref{t1}, dzia\l anie to nie jest
\l \k{a}czne. Faktycznie:
\[
c=h(h(b,b),c)\neq h(b,h(b,c))=b.
\]

\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie grup\k{e} krakowskich student\'{o}w
ucz\k{e}szczaj\k{a}cych na wyk\l ad z algebry liniowej. \L atwo sprawdzi\'{c},
\.{z}e wprowadzone w tym zbiorze \linebreak dzia\l anie jest \l \k{a}czne i
przemienne. Elementem neutralnym wzgl\k{e}dem tego dzia\l ania jest
najm\l odszy element (tj. \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots); jest on jednocze\'{s}nie
jedynym elementem, kt\'{o}ry posiada element symetryczny; jest nim on sam.
\end{example}

\section{Grupy, pier\'{s}cienie, cia\l a}

Niech $G$ b\k{e}dzie dowolnym zbiorem niepustym, a $h:G\times G\rightarrow G$
dzia\l aniem wewn\k{e}trznym w $G$.

\begin{definition}
Par\k{e} $\left(  G,h\right)  $nazywamy \textcolor{blue}{grup\k{a}}, je\.{z}eli:

\begin{itemize}
\item dzia\l anie $h$ jest \l \k{a}czne;

\item dzia\l anie $h$ posiada element neutralny;

\item ka\.{z}dy element $G$ posiada element symetryczny wzgl\k{e}dem
dzia\l ania $h$ w $G$.
\end{itemize}

\noindent Je\.{z}eli dzia\l anie $h$ jest przemienne, to grup\k{e} $(G,h)$
nazywamy \textcolor{blue}{grup\k{a} abelow\k{a}} (przemienn\k{a}).
\end{definition}

\begin{example}
Ka\.{z}da z poni\.{z}szych struktur jest grup\k{a}:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \mathbb{Z},+\right)  ,$ tj. zbi\'{o}r liczb ca\l kowitych z
dzia\l aniem dodawania liczb; elementem neutralnym jest $e=0,$ elementem
symetrycznym dla dowolnej liczby $z\in\mathbb{Z}$ jest liczba $\widetilde
{z}=-z$ (nazywana w tym przypadku elementem przeciwnym);

\item[b)] $\left(  \mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  ,\bullet\right)  ,$
tj. zbi\'{o}r liczb rzeczywistych bez zera z dzia\l aniem mno\.{z}enia liczb;
elementem neutralnym jest $e=1,$ elementem symetrycznym dla dowolnej liczby
$r\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $ jest liczba $\widetilde
{r}=\frac{1}{r}$ (nazywana w tym przypadku elementem odwrotnym);

\item[c)] $\left(  \mathbb{Z}_{m},+_{\operatorname{mod}m}\right)  ,$ gdzie,
dla ustalonej liczby naturalnej $m$, $\mathbb{Z}_{m}=\left\{  0,1,\ldots
,m-1\right\}  $ oraz dla $a,b\in\mathbb{Z}_{m}$ $\left(  a+b\right)
_{\operatorname{mod}m}$ (czyt. $a+b$ modulo $m$) to reszta z dzielenia $a+b$
przez $m$ (np. $\left(  2+5\right)  _{\operatorname{mod}6}%
=7_{\operatorname{mod}6}=1$). Elementem neutralnym wzgl\k{e}dem dzia\l ania
$+_{\operatorname{mod}m}$ jest $e=0;$ elementem symetrycznym dla
$n\in\mathbb{Z}_{m}\backslash\left\{  0\right\}  $ jest $\widetilde{n}=m-n;$
$\widetilde{0}=0$;

\item[d)] $\left(  \mathcal{B}\left(  X\right)  ,\circ\right)  ,$ tj.
zbi\'{o}r bijekcji okre\'{s}lonych na niepustym zbiorze $X$ o warto\'{s}ciach
w $X$, z dzia\l aniem sk\l adania odwzorowa\'{n}: $\left(  f\circ g\right)
\left(  x\right)  =f\left(  g\left(  x\right)  \right)  ,$ dla $x\in X$.
Elementem neutralnym jest funkcja identyczno\'{s}\'{c} $\operatorname*{id}%
_{X}:X\ni x\rightarrow x\in X$; \linebreak elementem symetrycznym dla bijekcji
$f$ jest funkcja do niej odwrotna $f^{-1}$ (r\'{o}wnie\.{z} bijekcja -- zob.
\textit{Wyk\l ad z analizy matematycznej}).
\end{description}

\noindent Grupy z punkt\'{o}w a), b) i c) s\k{a} abelowe; grupa z punktu d), w
przypadku, gdy zbi\'{o}r $X$ liczy wi\k{e}cej ni\.{z} dwa elementy, nie jest abelowa.
\end{example}

Niech teraz $h_{1}$ i $h_{2}$ b\k{e}d\k{a} dwoma dzia\l aniami
wewn\k{e}trznymi w niepustym zbiorze $G$.

\begin{definition}
Struktur\k{e} $\left(  G,h_{1},h_{2}\right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{cia\l em}, je\.{z}eli:

\begin{itemize}
\item $\left(  G,h_{1}\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a}, tj.

\begin{itemize}
\item dzia\l anie $h_{1}$\textit{ jest wewn\k{e}trzne w }$G$\textit{;}

\item dzia\l anie $h_{1}$\textit{ jest \l \k{a}czne;}

\item \textit{dzia\l anie }$h_{1}$\textit{ posiada w }$G$\textit{ element
neutralny }$e_{1}$\textit{;}

\item \textit{ka\.{z}dy element }$G$\textit{ posiada element symetryczny
wzgl\k{e}dem dzia\l ania }$h_{1}$\textit{;}

\item \textit{dzia\l anie }$h_{1}$\textit{ jest przemienne;}
\end{itemize}

\item $\left(  G\backslash\left\{  e_{1}\right\}  ,h_{2}\right)  $\textit{
jest grup\k{a} abelow\k{a}, tj.}

\begin{itemize}
\item dzia\l anie $h_{2}$ jest wewn\k{e}trzne w $G\backslash\left\{
e_{1}\right\}  $;

\item dzia\l anie $h_{2}$\textit{ jest \l \k{a}czne;}

\item \textit{dzia\l anie }$h_{2}$\textit{ posiada w }$G\backslash\left\{
e_{1}\right\}  $\textit{ element neutralny;}

\item \textit{ka\.{z}dy element }$G\backslash\left\{  e_{1}\right\}  $\textit{
posiada element symetryczny wzgl\k{e}dem dzia\l ania }$h_{2}$\textit{;}

\item \textit{dzia\l anie }$h_{2}$\textit{ jest przemienne;}
\end{itemize}

\item \textit{dzia\l anie }$h_{2}$\textit{ jest rozdzielne wzgl\k{e}dem
dzia\l ania }$h_{1},$\textit{ tzn.}%
\begin{equation}
\forall x,y,z\in G\text{\qquad}h_{2}\left(  x,h_{1}\left(  y,z\right)
\right)  =h_{1}\left(  h_{2}\left(  x,y\right)  ,h_{2}\left(  x,z\right)
\right)  . \label{w1}%
\end{equation}

\end{itemize}
\end{definition}

Je\.{z}eli struktura $\left(  G,h_{1},h_{2}\right)  $ spe\l nia wszystkie
warunki definicji 1.6, za wyj\k{a}tkiem warunku m\'{o}wi\k{a}cego, \.{z}e
ka\.{z}dy element $G\backslash\left\{  e_{1}\right\}  $ posiada element
symetryczny wzgl\k{e}dem dzia\l ania $h_{2}$, to struktur\k{e} t\k{e} nazywamy \textcolor{blue}{pier\'{s}cieniem}.

\bigskip Zauwa\.{z}my, \.{z}e oznaczaj\k{a}c dzia\l anie $h_{1}$ przez
\quotedblbase$+$\textquotedblright, a dzia\l anie $h_{2}$ przez \quotedblbase
$\bullet$\textquotedblright$,$ tzn.:%
\[
h_{1}\left(  x,y\right)  =x+y,\text{\qquad}h_{2}\left(  x,y\right)  =x\bullet
y,
\]
warunek (\ref{w1}) przyjmuje dobrze znan\k{a} posta\'{c}:%
\[
\forall x,y,z\in G\text{\qquad}x\bullet\left(  y+z\right)  =x\bullet
y+x\bullet z.
\]


\begin{example}
Niech $\Pi$ oznacza zbi\'{o}r wszystkich wielomian\'{o}w o
wsp\'{o}\l czynnikach rzeczywistych:%
\[
\Pi=\left\{  x\rightarrow a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}%
:a_{i}\in\mathbb{R}\text{ }\left(  i=0,\ldots,n\right)  ,n\in\mathbb{N}%
\right\}  .
\]
\L atwo sprawdzi\'{c}, \.{z}e struktura $\left(  \Pi,+,\bullet\right)  ,$
gdzie $+$ oraz $\bullet$ to naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia
wielomian\'{o}w, jest pier\'{s}cieniem; warunek g) nie jest spe\l niony,
gdy\.{z} odwrotno\'{s}\'{c} wielomianu na og\'{o}\l \ nie jest wielomianem
(kiedy jest?).
\end{example}

\begin{example}
Ka\.{z}da z poni\.{z}szych struktur jest cia\l em (\'{c}wiczenie):

\begin{itemize}
\item $\left(  \mathbb{R},+,\bullet\right)  ,$ gdzie $+$ oraz $\bullet$ to
naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia liczb;

\item $\left(  \mathbb{Q}\left[  r\right]  ,+,\bullet\right)  ,$ gdzie
$r\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ oraz $\mathbb{Q}\left[  r\right]
=\left\{  x+ry:x,y\in\mathbb{Q}\right\}  ,$ a $+$ oraz $\bullet$ to naturalne
dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia liczb;

\item $\left(  \mathcal{L}\left(  \mathbb{R}\right)  ,+,\circ\right)  $, gdzie
$\mathcal{L}\left(  \mathbb{R}\right)  =\left\{  f:\mathbb{R}\ni x\rightarrow
ax\in\mathbb{R}:a\in\mathbb{Q}\right\}  $ oraz $+$ i $\circ$ to naturalne
dzia\l ania dodawania oraz sk\l adania funkcji.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}
\label{ex26} Na zako\'{n}czenie wyka\.{z}emy, \.{z}e zbi\'{o}r $\mathbb{R}%
^{2}$ z dzia\l aniami dodawania i mno\.{z}enia okre\'{s}lonymi poni\.{z}ej:
\begin{align*}
\left(  x_{1},y_{1}\right)  +\left(  x_{2},y_{2}\right)   &  :=\left(
x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)  ,\\
\left(  x_{1},y_{1}\right)  \bullet\left(  x_{2},y_{2}\right)   &  :=\left(
x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)
\end{align*}
r\'{o}wnie\.{z} jest cia\l em.

Wprost z definicji dzia\l a\'{n} wynika, \.{z}e s\k{a} one wewn\k{e}trzne oraz
przemienne. Dodatkowo, \l \k{a}czno\'{s}\'{c} dzia\l ania $+$ jest oczywista
(wynika z \l \k{a}czno\'{s}ci zwyk\l ego dodawania liczb rzeczywistych), w
przypadku dzia\l ania $\bullet$ sprawdzamy j\k{a} przez bezpo\'{s}rednie
proste rachunki. Podobnie wykazujemy rozdzielno\'{s}\'{c} $\bullet$
wzgl\k{e}dem $+$. Wprost z definicji dzia\l ania $+$ wynika r\'{o}wnie\.{z},
\.{z}e $e_{+}=\left(  0,0\right)  $ jest jego elementem neutralnym, natomiast
elementem symetrycznym (w przypadku dzia\l ania oznaczanego $+$ nazywany
\textit{elementem przeciwnym}) dla elementu $\left(  x,y\right)  $ jest
$\left(  -x,-y\right)  $. Rozwi\k{a}zuj\k{a}c uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
xe_{1}-ye_{2}=x\\
xe_{2}+ye_{1}=y
\end{array}
\right.
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadome $e_{1},e_{2}$, znajdziemy element neutralny
$e_{\bullet}=\left(  e_{1},e_{2}\right)  $ dla dzia\l ania $\bullet$. Po
prostych rachunkach otrzymujemy $e_{\bullet}=\left(  1,0\right)  .$ Podobnie,
rozwi\k{a}zuj\k{a}c uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x\widetilde{x}-y\widetilde{y}=1\\
x\widetilde{y}+y\widetilde{x}=0
\end{array}
\right.
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadome $\widetilde{x},\widetilde{y}$ znajdziemy element
symetryczny $\left(  \widetilde{x},\widetilde{y}\right)  $ (w przypadku
dzia\l ania oznaczanego $\bullet$ nazywany \textit{elementem odwrotnym}) dla
dowolnego niezerowego elementu $\left(  x,y\right)  $. Po prostych rachunkach
otrzymujemy:%
\[
\left(  \widetilde{x},\widetilde{y}\right)  =\left(  \frac{x}{x^{2}+y^{2}%
},\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right)  .
\]

\end{example}


\end{document}