\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{8}
\setcounter{chapter}{1}
\sloppy

\chapter{Liczby zespolone}

Zbi\'{o}r $\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}$ z dzia\l aniami $+$ oraz $\cdot$
okre\'{s}lonymi poni\.{z}ej:
\begin{align}
\left(  x_{1},y_{1}\right)  +\left(  x_{2},y_{2}\right)   &  :=\left(
x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)  ,\label{w00}\\
\left(  x_{1},y_{1}\right)  \cdot\left(  x_{2},y_{2}\right)   &  :=\left(
x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)  \label{w22}%
\end{align}
jest cia\l em (zob. przyk\l ad 1.6, str. 6); jest to tzw.
\textcolor{blue}{cia\l o liczb zespolonych}. Przypomnijmy, \.{z}e elementem
neutralnym dla dodawania jest $\mathbf{0}=\left(  0,0\right)  ,$ dla
mno\.{z}enia $\mathbf{1}=\left(  1,0\right)  .$ Elementem przeciwnym dla
elementu $\left(  x,y\right)  $ jest $\left(  -x,-y\right)  ,$ elementem
odwrotnym dla dowolnego niezerowego elementu $\left(  x,y\right)  $ jest%
\[
\left(  x,y\right)  ^{-1}=\left(  \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{-y}{x^{2}+y^{2}%
}\right)  .
\]
Dowolny element $z=\left(  x,y\right)  \in\mathbb{C}$ mo\.{z}emy
interpretowa\'{c} jako punkt (wektor) p\l aszczyzny $\mathbb{R}^{2}$.
Poniewa\.{z}%
\begin{equation}
z=\left(  x,y\right)  =\left(  x,0\right)  +\left(  0,y\right)  =\left(
x,0\right)  +\left(  y,0\right)  \cdot\left(  0,1\right)  \label{w2}%
\end{equation}
zatem, uto\.{z}samiaj\k{a}c liczb\k{e} zespolon\k{a} postaci $\left(
t,0\right)  $ z liczb\k{a} rzeczywist\k{a} $t$ oraz przyjmuj\k{a}c oznaczenie
$i=\left(  0,1\right)  ,$ uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c r\'{o}wno\'{s}\'{c}
(\ref{w2}), otrzymujemy
\textcolor{blue}{posta\'{c} kanoniczn\k{a} }(dwumienn\k{a}) liczby zespolonej%
\[
z=x+iy;
\]
$x=\mathfrak{Re}\left(  z\right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{cz\k{e}\'{s}ci\k{a}
rzeczywist\k{a}}, $y=\mathfrak{Im}\left(  z\right)  $
\textcolor{blue}{cz\k{e}\'{s}ci\k{a} urojon\k{a}} liczby zespolonej $z.$ Dwie
liczby zespolone s\k{a} r\'{o}wne, je\.{z}eli maj\k{a} r\'{o}wne
cz\k{e}\'{s}ci rzeczywiste oraz cz\k{e}\'{s}ci urojone. Liczb\k{e} $i=\left(
0,1\right)  $ nazywamy \textcolor{blue}{jednostk\k{a} urojon\k{a}}.
Zauwa\.{z}my, \.{z}e
\[
i^{2}=\left(  0,1\right)  \cdot\left(  0,1\right)  =\left(  -1,0\right)  =-1.
\]
Posta\'{c} kanoniczna liczby zespolonej umo\.{z}liwia dodawanie i mno\.{z}enie
liczb zespolonych tak samo jak wielomian\'{o}w, tzn. \textit{podobny do
podobnego} (w przypadku dodawania):%
\[
z_{1}+z_{2}=x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})
\]
oraz \textit{ka\.{z}dy przez ka\.{z}dy} (w przypadku mno\.{z}enia):
\[
z_{1}\cdot z_{2}=\left(  x_{1}+iy_{1}\right)  \left(  x_{2}+iy_{2}\right)
=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+iy_{1}x_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}=\ldots
\]
i dalej, uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c warunek $i^{2}=-1$,%
\[
\ldots=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i\left(  x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}\right)  .
\]
Por\'{o}wnaj te wyniki ze wzorami (\ref{w00}) oraz (\ref{w22}).

\section{Sprz\k{e}\.{z}enie, modu\l \ oraz argument liczby zespolonej}

Z ka\.{z}d\k{a} liczb\k{a} zespolon\k{a} $z=x+iy$ mo\.{z}emy stowarzyszy\'{c}
liczb\k{e} zespolon\k{a}\linebreak$\overline{z}=x-iy$ nazywan\k{a}
\textcolor{blue}{sprz\k{e}\.{z}eniem} liczby $z$, oraz liczb\k{e}
rzeczywist\k{a} $\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ nazywan\k{a}
\textcolor{blue}{modu\l em} liczby zespolonej.

\subsection{W\l asno\'{s}ci sprz\k{e}\.{z}enia oraz modu\l u liczby
zespolonej}

\noindent Niech $z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}$; w\'owczas:

\begin{itemize}
\item $z+\overline{z}=2\mathfrak{Re}\left(  z\right)  ,$ $z-\overline
{z}=2\mathfrak{Im}\left(  z\right)  ;$

\item $\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}};$
$\overline{\left(  \frac{z_{1}}{z_{2}}\right)  }=\frac{\overline{z_{1}}%
}{\overline{z_{2}}},$ dla $z_{2}\neq0$ (\footnote{Dzielenie przez liczb\k{e}
zespolon\k{a} $z$ rozumiemy jako mno\.{z}enie przez liczb\k{e} $z^{-1}$.});

\item $z\cdot\overline{z}=\left\vert z\right\vert ^{2};$

\item $\left\vert z_{1}\cdot z_{2}\right\vert =\left\vert z_{1}\right\vert
\left\vert z_{2}\right\vert ,$ $\left\vert \frac{z_{1}}{z_{2}}\right\vert
=\frac{\left\vert z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert },$ dla
$z_{2}\neq0$;

\item $\left\vert z_{1}+z_{2}\right\vert \leq\left\vert z_{1}\right\vert
+\left\vert z_{2}\right\vert .$
\end{itemize}

\noindent Niech $z=x+iy$ b\k{e}dzie dowoln\k{a} niezerow\k{a} liczb\k{a}
zespolon\k{a}. W\'{o}wczas%
\begin{equation}
z=x+iy=\left\vert z\right\vert \left(  \frac{x}{\left\vert z\right\vert
}+i\frac{y}{\left\vert z\right\vert }\right)  =\left\vert z\right\vert \left(
\cos\alpha+i\sin\alpha\right)  , \label{w3}%
\end{equation}
gdzie k\k{a}t $\alpha=\arg\left(  z\right)  ,$ nazywany
\textcolor{blue}{argumentem} liczby zespolonej, wyznaczamy rozwi\k{a}zuj\k{a}c
uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[%
%TCIMACRO{\QATOPD{\{}{.}{\cos\alpha=\frac{x}{\left\vert z\right\vert }}%
%{\sin\alpha=\frac{y}{\left\vert z\right\vert }}}%
%BeginExpansion
\genfrac{\{}{.}{0pt}{}{\cos\alpha=\frac{x}{\left\vert z\right\vert }%
}{\sin\alpha=\frac{y}{\left\vert z\right\vert }}%
%EndExpansion
.
\]


Mo\.{z}na \l atwo wykaza\'{c}, \.{z}e w dowolnym przedziale postaci $[r,$
$r+2\pi)$ lub $(r,$ $r+2\pi]$ $\left(  r\in\mathbb{R}\right)  $ uk\l ad ten ma
dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie, a dowolne dwa jego rozwi\k{a}zania
r\'{o}\.{z}ni\k{a} si\k{e} o ca\l kowit\k{a} wielokrotno\'{s}\'{c} $2\pi.$ Ten
z argument\'{o}w liczby zespolonej, kt\'{o}ry le\.{z}y w przedziale $(-\pi
,\pi]$ nazywamy \textcolor{blue}{argumentem g\l \'{o}wnym }i oznaczamy
$\operatorname*{Arg}\left(  z\right)  $.

\begin{example}
Dla liczby $z=1-i$ mamy: $\mathfrak{Re}\left(  1-i\right)  =1,$ $\mathfrak{Im}%
\left(  1-i\right)  =-1,$ $\left\vert 1-i\right\vert =\sqrt{2}.$ Aby
wyznaczy\'{c} argument liczby $1-i$ musimy rozwi\k{a}za\'{c} uk\l ad
r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin\alpha=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}%
\end{array}
\right.  .
\]
Jego rozwi\k{a}zaniem jest ka\.{z}da z liczb $-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ $\left(
k\in\mathbb{Z}\right)  $; zatem $\operatorname*{Arg}\left(  1-i\right)
=-\frac{\pi}{4}$. Ostatecznie, uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c (\ref{w3}), mo\.{z}emy
napisa\'{c}
\[
1-i=\sqrt{2}\left(  \cos\left(  -\frac{\pi}{4}\right)  +i\sin\left(
-\frac{\pi}{4}\right)  \right)  .
\]

\end{example}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Rys_zesp_01.png}

{\footnotesize {Wykres 1. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej, jej
modu\l u, sprz\k{e}\.zenia oraz argumentu.} }
\end{center}

\section{Posta\'{c} trygonometryczna liczby zespolonej}

Znaj\k{a}c modu\l \ $\left\vert z\right\vert $ oraz argument $\alpha$ liczby
zespolonej $z$ mo\.{z}emy zapisa\'{c} j\k{a} w postaci%
\[
z=\left\vert z\right\vert \left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)
\]
nazywanej \textcolor{blue}{postaci\k{a} trygonometryczn\k{a}} liczby
zespolonej. Dwie niezerowe liczby zespolone s\k{a} r\'{o}wne je\.{z}eli
maj\k{a} r\'{o}wne modu\l y i argumenty g\l \'{o}wne (ich argumenty mog\k{a}
si\k{e} natomiast r\'{o}\.{z}ni\'{c} o ca\l kowit\k{a} wielokrotno\'{s}\'{c}
$2\pi$). Liczba $0$ jest jedyn\k{a} liczb\k{a} zespolon\k{a} jednoznacznie
okre\'{s}lon\k{a} przez jej modu\l .

\subsection{Mno\.{z}enie oraz dzielenie liczb zespolonych zapisanych w postaci
trygonometrycznej}

\bigskip\noindent Niech $z_{1}=\left\vert z_{1}\right\vert \left(  \cos
\alpha_{1}+i\sin\alpha_{1}\right)  $ oraz $z_{2}=\left\vert z_{2}\right\vert
\left(  \cos\alpha_{2}+i\sin\alpha_{2}\right)  $. W\'{o}wczas:%
\begin{align*}
z_{1}z_{2}  &  =\left\vert z_{1}\right\vert \left(  \cos\alpha_{1}+i\sin
\alpha_{1}\right)  \left\vert z_{2}\right\vert \left(  \cos\alpha_{2}%
+i\sin\alpha_{2}\right) \\
&  =\left\vert z_{1}\right\vert \left\vert z_{2}\right\vert \left(  \left(
\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}-\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}\right)  +i\left(
\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{2}+\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}\right)  \right)
\end{align*}
oraz dla $z_{2}\neq0$%
\begin{align*}
\frac{z_{1}}{z_{2}}  &  =\frac{\left\vert z_{1}\right\vert \left(  \cos
\alpha_{1}+i\sin\alpha_{1}\right)  }{\left\vert z_{2}\right\vert \left(
\cos\alpha_{2}+i\sin\alpha_{2}\right)  }=\frac{\left\vert z_{1}\right\vert
}{\left\vert z_{2}\right\vert }\frac{\left(  \cos\alpha_{1}+i\sin\alpha
_{1}\right)  \left(  \cos\alpha_{2}-i\sin\alpha_{2}\right)  }{\left\vert
\cos\alpha_{2}+i\sin\alpha_{2}\right\vert ^{2}}\\
&  =\frac{\left\vert z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert }\left(
\left(  \cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}\right)
+i\left(  \sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}-\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{2}\right)
\right)  .
\end{align*}
St\k{a}d, po zastosowaniu wzor\'{o}w
\begin{align*}
\cos\left(  \alpha_{1}\pm\alpha_{2}\right)   &  =\allowbreak\cos\alpha_{1}%
\cos\alpha_{2}\mp\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}\\
\sin\left(  \alpha_{1}\pm\alpha_{2}\right)   &  =\sin\alpha_{1}\cos\alpha
_{2}\pm\sin\alpha_{2}\cos\alpha_{1}%
\end{align*}
otrzymujemy prosty przepis na iloczyn oraz iloraz liczb zespolonych zapisanych
\pagebreak w postaci trygonometrycznej:

\begin{description}
\item[(a)] $z_{1}z_{2}=\left\vert z_{1}\right\vert \left\vert z_{2}\right\vert
\left(  \cos\left(  \alpha_{1}+\alpha_{2}\right)  +i\sin\left(  \alpha
_{1}+\alpha_{2}\right)  \right)  ;$

\item[(b)] $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left\vert z_{1}\right\vert }{\left\vert
z_{2}\right\vert }\left(  \cos\left(  \alpha_{1}-\alpha_{2}\right)
+i\sin\left(  \alpha_{1}-\alpha_{2}\right)  \right)  ,$ gdzie $z_{2}\neq0.$
\end{description}

Ze wzor\'{o}w tych wynikaj\k{a} nast\k{e}puj\k{a}ce w\l asno\'{s}ci argumentu
iloczynu oraz argumentu ilorazu liczb zespolonych:

\begin{itemize}
\item $\arg\left(  z_{1}z_{2}\right)  =\arg z_{1}+\arg z_{2}+2k\pi$, dla
$k\in\mathbb{Z};$

\item $\arg\left(  \frac{z_{1}}{z_{2}}\right)  =\arg z_{1}-\arg z_{2}+2k\pi$,
dla $k\in\mathbb{Z}$;
\end{itemize}

ponadto, poniewa\.{z} $\operatorname*{Arg}\left(  z\cdot\overline{z}\right)
=0$:

\begin{itemize}
\item $\arg\overline{z}=-\arg z+2k\pi$, dla $k\in\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

\subsection{Wz\'{o}r de Moivre'a}

Ze wzoru na iloczyn liczb zespolonych wyra\.{z}onych w postaci
trygonometrycznej wynika, \.{z}e
\[
\left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)  ^{2}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha.
\]
Zale\.{z}no\'{s}\'{c} t\k{e} mo\.{z}na w prosty spos\'{o}b uog\'{o}lni\'{c}
uzyskuj\k{a}c tzw. \textcolor{blue}{wz\'{o}r de Moivre'a} (dow\'{o}d
indukcyjny -- \'{c}wiczenie).

\begin{lemma}
[Wz\'{o}r de Moivre'a]Dla $\alpha\in\mathbb{R}$ oraz $n\in\mathbb{Z}$
zachodzi:
\[
\left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)  ^{n}=\cos\left(  n\alpha\right)
+i\sin\left(  n\alpha\right)  \text{.}%
\]

\end{lemma}

\begin{example}
Aby obliczy\'{c} warto\'{s}\'{c} wyra\.{z}enia
\[
w=\frac{\left(  -1-\sqrt{3}i\right)  ^{9}}{\left(  -1+i\right)  ^{4}}%
\]
wygodnie jest jego licznik i mianownik sprowadzi\'{c} do postaci
trygonometrycznej, a nast\k{e}pnie zastosowa\'{c} do nich wz\'{o}r de
Moivre'a.\newline Niech $z_{1}=-1-i\sqrt{3}$ oraz $z_{2}=-1+i$. W\'{o}wczas
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\cos\alpha_{1}=\frac{\mathfrak{Re}z_{1}}{\left\vert z_{1}\right\vert }%
=-\frac{1}{2}\medskip\\
\sin\alpha_{1}=\frac{\mathfrak{Im}z_{1}}{\left\vert z_{1}\right\vert }%
=-\frac{\sqrt{3}}{2}%
\end{array}
\right.  \text{\qquad oraz\qquad}\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\cos\alpha_{2}=\frac{\mathfrak{Re}z_{2}}{\left\vert z_{2}\right\vert }%
=-\frac{\sqrt{2}}{2}\medskip\\
\sin\alpha_{2}=\frac{\mathfrak{Im}z_{2}}{\left\vert z_{2}\right\vert }%
=\frac{\sqrt{2}}{2}%
\end{array}
\right.  .
\]
Zatem $\operatorname*{Arg}\left(  z_{1}\right)  =-\frac{2}{3}\pi$ oraz
$\operatorname*{Arg}\left(  z_{2}\right)  =\frac{3}{4}\pi.$ Mamy wi\k{e}c:%
\[
w=\frac{\left(  -1-\sqrt{3}i\right)  ^{9}}{\left(  -1+i\right)  ^{4}}%
=\frac{\left(  2\left(  \cos\left(  -\frac{2}{3}\pi\right)  +i\sin\left(
-\frac{2}{3}\pi\right)  \right)  \right)  ^{9}}{\left(  \sqrt{2}\left(
\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)  \right)  ^{4}}=\ldots
\]
stosuj\k{a}c teraz wz\'{o}r de Moivre'a, otrzymujemy%
\[
\ldots=\frac{\left(  2^{9}\left(  \cos\left(  -6\pi\right)  +i\sin\left(
-6\pi\right)  \right)  \right)  }{\left(  2^{2}\left(  \cos3\pi+i\sin
3\pi\right)  \right)  }=2^{7}\left(  \cos\left(  -9\pi\right)  +i\sin\left(
-9\pi\right)  \right)  =-2^{7}.
\]
Obliczaj\k{a}c bezpo\'srednio warto\'{s}\'{c} wyra\.{z}enia $w$ przy pomocy
programu Mathematica firmy Wolfram Research otrzymamy:%
\[
w=-128 + 3,55271\times10^{-14}i.
\]

\end{example}

\section{Pierwiastek $n-$tego stopnia z liczby zespolonej}

Niech $n\in\mathbb{N}$ b\k{e}dzie ustalon\k{a} liczb\k{a} naturaln\k{a}, a
$c\in\mathbb{C}$ ustalon\k{a} liczb\k{a} zespolon\k{a}. Rozwa\.{z}my
nast\k{e}puj\k{a}ce r\'{o}wnanie%
\begin{equation}
z^{n}=c. \label{w31}%
\end{equation}
Ka\.{z}d\k{a} liczb\k{e} zespolon\k{a} $z$ dla kt\'{o}rej r\'{o}wnanie
(\ref{w31}) jest prawdziwe nazywa\'{c} b\k{e}dziemy jego rozwi\k{a}zaniem.
Celem naszym b\k{e}dzie podanie przepisu pozwalaj\k{a}cego znajdywa\'{c}
(wszystkie) rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania (\ref{w31}).

Zapiszmy szukane rozwi\k{a}zanie $z$ oraz zadan\k{a} liczb\k{e} $c$ w postaci
trygonometrycznej:%
\[
z=\left\vert z\right\vert \left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)
,\text{\qquad}c=\left\vert c\right\vert \left(  \cos\gamma+i\sin\gamma\right)
,
\]
a nast\k{e}pnie podstawmy je do r\'{o}wnania (\ref{w31}). Po zastosowaniu
wzoru de Moivre'a otrzymujemy r\'{o}wnanie%
\[
\left\vert z\right\vert ^{n}\left(  \cos n\alpha+i\sin n\alpha\right)
=\left\vert c\right\vert \left(  \cos\gamma+i\sin\gamma\right)  ,
\]
z kt\'{o}rego natychmiast wynika, \.{z}e%
\[
\left\vert z\right\vert ^{n}=\left\vert c\right\vert \text{,\qquad}%
n\alpha=\gamma+2k\pi,\text{ }k\in\mathbb{Z}%
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie:%
\[
\left\vert z\right\vert =\sqrt[n]{\left\vert c\right\vert }\text{,\qquad
}\alpha=\frac{\gamma+2k\pi}{n},\text{ }k\in\mathbb{Z}\text{.}%
\]


\begin{theorem}
\textit{Je\.{z}eli }$c\in\mathbb{C}\backslash\left\{  0\right\}
$\textit{\ oraz }$n\in\mathbb{N}$ \textit{to r\'{o}wnanie }$z^{n}%
=c$\textit{\ posiada }$n$\textit{\ r\'{o}\.{z}nych rozwi\k{a}za\'{n} }%
$z_{0},\ldots,z_{n-1}$\textit{\ przy czym}%
\begin{equation}
z_{k}=\sqrt[n]{\left\vert c\right\vert }\left(  \cos\frac{\gamma+2k\pi}%
{n}+i\sin\frac{\gamma+2k\pi}{n}\right)  , \label{32}%
\end{equation}
\textit{dla}$\mathit{\ }k=0,\ldots,n-1;$ $\gamma=\arg c.$
\end{theorem}

\noindent\textbf{Uwaga }Dla $c\in\mathbb{C}$ zapis $\sqrt[n]{c}$ oznacza
zbi\'{o}r (!) wszystkich liczb zespolonych, kt\'{o}rych $n$--ta pot\k{e}ga to
$c$; jest to wi\k{e}c zbi\'{o}r rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania $z^{n}=c,$ tj.%
\[
\sqrt[n]{c}=\left\{  z_{0},\ldots,z_{n-1}\right\}  ,
\]
gdzie liczby $z_{k}$ okre\'{s}la wz\'{o}r (\ref{32}). Ten sam zapis stosuje
si\k{e} r\'{o}wnie\.{z} dla znanej ze szko\l y \'{s}redniej funkcji
pierwiastkowej
\[
\sqrt{\cdot}:\mathbb{R}_{+}\ni x\rightarrow\sqrt{x}\in\mathbb{R}_{+}.
\]
W\ tych dw\'{o}ch przypadkach ten sam zapis ma zastosowanie do r\'{o}\.{z}nych
obiekt\'{o}w: w pierwszym przypadku oznacza zbi\'{o}r, w drugim liczb\k{e}. O
tym, \.{z}e \l atwo o pomy\l k\k{e} najlepiej niech \'{s}wiadczy fakt, \.{z}e
w wielu podr\k{e}cznikach mo\.{z}na znale\'{z}\'{c} niepoprawny zapis
$\sqrt{-1}=i$. Swoj\k{a} drog\k{a}, czym nale\.{z}y zast\k{a}pi\'{c} symbol
$\bigtriangleup$, aby wyra\.{z}enie $\sqrt{-1}\bigtriangleup i$ by\l o poprawne?

\subsection{Interpretacja geometryczna pierwiastka z liczby zespolonej}

\noindent U\.{z}ytecznym przepisem na rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania (\ref{w31})
jest r\'{o}wnie\.{z}, wynikaj\k{a}ca ze wzoru (\ref{32}), formu\l a%
\begin{align}
z_{k}  &  =z_{0}\left(  \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\right)
^{k}\label{33}\\
&  =z_{k-1}\left(  \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\right)
,\text{\quad}k=1,\ldots,n
\end{align}
w kt\'{o}rej $z_{0}$ jest jednym z rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania (\ref{w31}).
Wynika z niej, \.{z}e liczba zespolona (wektor p\l aszczyzny zespolonej)
$z_{1}$ powstaje w wyniku obrotu $z_{0}$ o k\k{a}t $\frac{2\pi}{n};$ podobnie
$z_{2}$ to wynik obrotu $z_{1}$ o ten sam k\k{a}t. Og\'{o}lnie, $z_{k+1}$
powstaje z obrotu $z_{k}$ o k\k{a}t $\frac{2\pi}{n}$. Innymi s\l owy, liczby
$z_{0},\ldots,z_{n-1}$ b\k{e}d\k{a}ce rozwi\k{a}zaniami r\'{o}wnania $z^{n}=c$
stanowi\k{a} wierzcho\l ki $n-$k\k{a}ta foremnego wpisanego w okr\k{a}g o
promieniu $\sqrt[n]{\left\vert c\right\vert }$ (zob. wykres 2).

\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Zesp_rys_02.png}

{\footnotesize {Wykres 2. Interpretacja geometryczna rozwi\k{a}za\'n
r\'ownania $z^{5}=c$.} }
\end{center}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my r\'{o}wnanie $z^{3}=1-i.$ Aby znale\'{z}\'{c} jego
rozwi\k{a}zania pos\l u\.{z}ymy si\k{e} wzorem (\ref{32}). Poniewa\.{z}
$\left\vert c\right\vert =\left\vert 1-i\right\vert =\sqrt{2}$ oraz
$\gamma=\operatorname*{Arg}\left(  1-i\right)  =-\frac{\pi}{4}$ (zob.
przyk\l ad 3.1), mamy%
\begin{align*}
z_{0}  &  =\sqrt[6]{2}\left(  \cos\left(  \frac{-\frac{\pi}{4}}{3}\right)
+i\sin\left(  \frac{-\frac{\pi}{4}}{3}\right)  \right)  =\sqrt[6]{2}\left(
\cos\frac{\pi}{12}-i\sin\frac{\pi}{12}\right)  ,\\
z_{1}  &  =\sqrt[6]{2}\left(  \cos\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{3}+i\sin
\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{3}\right)  =\sqrt[6]{2}\left(  -\sin\frac{\pi}%
{12}+i\cos\frac{\pi}{12}\right)  ,\\
z_{2}  &  =\sqrt[6]{2}\left(  \cos\frac{-\frac{\pi}{4}+4\pi}{3}+i\sin
\frac{-\frac{\pi}{4}+4\pi}{3}\right)  =\sqrt[6]{2}\left(  -\cos\frac{\pi}%
{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)  =\frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}.
\end{align*}

\end{example}

\begin{example}
Wykorzystuj\k{a}c wyliczon\k{a} w poprzednim przyk\l adzie warto\'{s}\'{c}
pierwiastka $z_{2}$ oraz stosuj\k{a}c wz\'{o}r (\ref{33}), obliczymy
\quotedblbase jawne\textquotedblright\ warto\'{s}ci pozosta\l ych dw\'{o}ch
pierwiastk\'{o}w. Otrzymujemy odpowiednio:%
\begin{align*}
z_{0}  &  =z_{2}\left(  \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)
=\frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}\left(  -\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)
=\frac{1+i}{\sqrt[3]{2}}\left(  \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
z_{1}  &  =z_{2}\left(  -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)  ^{2}%
=\frac{1+i}{\sqrt[3]{2}}\left(  \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)  .
\end{align*}

\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my r\'{o}wnanie $z^{4}\left\vert z\right\vert =-\overline{z}.$ Jego
rozwi\k{a}za\'{n} poszukamy w postaci trygonometrycznej $z=r\left(  \cos
\alpha+i\sin\alpha\right)  .$ Mamy:%
\[
z^{4}\left\vert z\right\vert =r^{5}\left(  \cos4\alpha+i\sin4\alpha\right)
\]
oraz%
\[
-\overline{z}=\left(  \cos\pi+i\sin\pi\right)  \cdot r\left(  \cos\left(
-\alpha\right)  +i\sin\left(  -\alpha\right)  \right)  =r\left(  \cos\left(
\pi-\alpha\right)  +i\sin\left(  \pi-\alpha\right)  \right)  .
\]
Por\'{o}wnuj\k{a}c modu\l y oraz argumenty tych liczb otrzymujemy uk\l ad
r\'{o}wna\'{n}:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
r^{5}=r\\
4\alpha=\pi-\alpha+2k\pi,\text{ }k\in\mathbb{Z}%
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}rego rozwi\k{a}zaniem jest $r\in\left\{  0,1\right\}  $ oraz $\alpha
\in\left\{  \pm\frac{\pi}{5},\pm\frac{3\pi}{5},\pi\right\}  .$ Ostatecznie,
rozwi\k{a}- zaniem wyj\'{s}ciowego r\'{o}wnania s\k{a} liczby%
\[
\left\{  -1,0,\cos\frac{\pi}{5}\pm i\sin\frac{\pi}{5},\cos\frac{3\pi}{5}\pm
i\sin\frac{3\pi}{5}\right\}  .
\]

\end{example}

\section{Posta\'{c} wyk\l adnicza liczby zespolonej*}

Wychodz\k{a}c od postaci trygonometrycznej liczby zespolonej
\[
z=\left\vert z\right\vert \left(  \cos\alpha+i\sin\alpha\right)
\]
oraz uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c wz\'{o}r (kt\'{o}rego uzasadnienie wymaga
znajomo\'{s}ci szereg\'{o}w pot\k{e}gowych)
\[
e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha\text{\quad(dla }\alpha\in\mathbb{R)}%
\]
otrzymujemy tzw.
\textcolor{blue}{posta\'{c} wyk\l adnicz\k{a} liczby zespolonej}:%
\[
z=re^{i\alpha},
\]
w kt\'{o}rej $r\geq0$ to modu\l , a $\alpha\in\mathbb{R}$ argument liczby
zespolonej $z$.\medskip

\noindent\textbf{Ciekawostka} Zapisuj\k{a}c liczb\k{e} $-1$ w postaci
wyk\l adniczej otrzymujemy zwarty wz\'{o}r \l \k{a}cz\k{a}cy pi\k{e}\'{c}
najwa\.{z}niejszych sta\l ych matematycznych: $0$ (element neutralny
dodawania), $1$ (element neutralny mno\.{z}enia)$,i,e$ oraz $\pi$%
\[
e^{i\pi}+1=0.
\]
Przez wielu, wz\'{o}r ten jest uznawany za najpi\k{e}kniejszy wz\'{o}r matematyki.
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Wielomiany -- podstawowe wiadomo\'{s}ci}

Funkcj\k{e} postaci
\begin{equation}
f\left(  s\right)  =a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_{1}s+a_{0,} \label{w41}%
\end{equation}
gdzie $n\in\mathbb{N}$, $a_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=0,\ldots,n\right)  ,$
$a_{n}\neq0$ nazywamy \textcolor{blue}{wielomianem rzeczywistym} stopnia $n$;
je\.{z}eli wsp\'{o}\l czynniki $a_{i}$ $\left(  i=0,\ldots,n\right)  $
przyjmuj\k{a} warto\'{s}ci zespolone, to funkcj\k{e} t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{wielomianem zespolonym}. Stopie\'{n} wielomianu $f$ oznaczamy
jako $\deg f$ (ang. degree).

\section{Miejsca zerowe wielomianu}

Ka\.{z}d\k{a} liczb\k{e} $s_{0}\in\mathbb{C}$ dla kt\'{o}rej $f\left(
s_{0}\right)  =0$ nazywamy \textcolor{blue}{miejscem zerowym} (zerem,
pierwiastkiem) wielomianu $f$. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e ka\.{z}dy wielomian
rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co\ najmniej jeden pierwiastek
rzeczywisty. Prawdziwe jest r\'{o}wnie\.{z}, du\.{z}o trudniejsze do
wykazania, nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
[Podstawowe twierdzenie algebry, Gauss 1799]Ka\.{z}dy wielomian (zespolony)
dodatniego stopnia ma miejsce zerowe.
\end{theorem}

Twierdzenie to w po\l \k{a}czeniu z poni\.{z}szym twierdzeniem (tzw.
twierdzeniem B\'{e}zout; nie jest ono autorstwa B\'{e}zout, ale pod tak\k{a}
nazw\k{a} jest znane) odgrywa kluczow\k{a} rol\k{e} w wielu dzia\l ach matematyki.

\begin{theorem}
[Twierdzenie B\'{e}zout]Je\.{z}eli $s_{0}$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$
oraz $\deg f>0,$ to wielomian ten dzieli si\k{e} bez reszty przez wielomian
$s-s_{0};$ wielomian $f$ mo\.{z}na w\'{o}wczas zapisa\'{c} w postaci%
\[
f\left(  s\right)  =\left(  s-s_{0}\right)  g\left(  s\right)  ,
\]
gdzie $g$ jest pewnym wielomianem stopnia $\deg f-1$.\textit{ }
\end{theorem}

M\'{o}wimy, \.{z}e liczba $s_{0}$ jest pierwiastkiem $k$--krotnym ($k\geq1$)
wielomianu $f$ je\.{z}eli wielomian ten jest podzielny (bez reszty) przez
wielomian $\left(  s-s_{0}\right)  ^{k}$, ale nie jest podzielny przez
wielomian $\left(  s-s_{0}\right)  ^{k+1}$. Wykorzystuj\k{a}c pochodne,
warunki te mo\.{z}emy r\'{o}wnowa\.{z}nie wyrazi\'{c} jako
\[
f\left(  s_{0}\right)  =f^{\prime}\left(  s_{0}\right)  =f^{\prime\prime
}\left(  s_{0}\right)  =...=f^{\left(  k-1\right)  }\left(  s_{0}\right)
=0\text{,\qquad}f^{\left(  k\right)  }\left(  s_{0}\right)  \neq0.
\]


\begin{example}
Wyznaczymy te warto\'{s}ci parametru $a\geq0$, dla kt\'{o}rych wielomian
\[
\varphi\left(  x\right)  =x^{3}-9x^{2}+\left(  a+27\right)  x-a^{2}-3a-27
\]
ma pierwiastki wielokrotne.

Poniewa\.{z}%
\[
\varphi^{\prime}\left(  x\right)  =3x^{2}-18x+a+27=3\left(  x-3\right)
^{2}+a,
\]
zatem dla $a>0$ wielomian $\varphi$, jako ci\k{a}g\l a funkcja rosn\k{a}ca
spe\l niaj\k{a}ca warunek
\[
\varphi\left(  x\right)  \rightarrow\pm\infty\text{\qquad}(x\rightarrow
\pm\infty),
\]
posiada dok\l adnie jeden rzeczywisty pierwiastek; musi zatem posiada\'{c}
r\'{o}wnie\.{z} dwa pojedyncze pierwiastki nierzeczywiste. Z kolei, dla $a=0$
mamy%
\[
\varphi\left(  x\right)  =x^{3}-9x^{2}+27x-27=\left(  x-3\right)  ^{3},
\]
czyli $\varphi$ posiada jeden pierwiastek $x_{0}=3$ o krotno\'{s}ci $k=3$.
\end{example}

\subsection{Pierwiastki wielomian\'{o}w o wsp\'{o}\l czynnikach ca\l kowitych}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wsp\'{o}\l czynniki wielomianu $f\left(  s\right)
=a_{n}s^{n}+\ldots+a_{1}s+a_{0}$ s\k{a} liczbami ca\l kowitymi. \L atwo
w\'{o}wczas stwierdzi\'{c}, \.{z}e liczba ca\l kowita $s_{0}\neq0$ jest jego
pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy%
\begin{equation}
-s_{0}(a_{n}s_{0}^{n-1}+\ldots+a_{2}s_{0}+a_{1})=a_{0}. \label{ww0}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} liczba $a_{n}s_{0}^{n-1}+\ldots+a_{2}s_{0}+a_{1}$ jest
ca\l kowita, zatem warunek (\ref{ww0}) oznacza, \.{z}e $s_{0}$ jest
dzielnikiem wyrazu $a_{0}$. Wynika st\k{a}d nast\k{e}puj\k{a}cy

\begin{lemma}
Pierwiastk\'{o}w ca\l kowitych wielomianu o wsp\'{o}\l czynnikach
ca\l kowitych nale\.{z}y poszukiwa\'{c} jedynie w\'{s}r\'{o}d dzielnik\'{o}w
jego wyrazu wolnego.
\end{lemma}

Liczba wymierna $s_{0}=\frac{m}{k}$ (zak\l adamy tu, \.{z}e liczby $m,k$
s\k{a} nieskracalne, tj. nie posiadaj\k{a} nietrywialnego wsp\'{o}lnego
dzielnika) jest pierwiastkiem $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy%
\[
a_{n}\left(  \frac{m}{k}\right)  ^{n}+a_{n-1}\left(  \frac{m}{k}\right)
^{n-1}\ldots+a_{1}\frac{m}{k}+a_{0}=0,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
a_{n}m^{n}+a_{n-1}m^{n-1}k+\ldots+a_{1}mk^{n-1}+a_{0}k^{n}=0.
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e%
\begin{equation}
a_{0}k^{n}=-m\left(  a_{n}m^{n-1}+a_{n-1}m^{n-2}k+\ldots+a_{1}k^{n-1}\right)
\label{ww1}%
\end{equation}
oraz%
\begin{equation}
a_{n}m^{n}=-k(a_{n-1}m^{n-1}+\ldots+a_{1}mk^{n-2}+a_{0}k^{n-1}). \label{ww2x}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $m$ nie dzieli $k^{n}$ zatem z warunku (\ref{ww1}) wynika, \.{z}e
$m$ jest dzielnikiem $a_{0}$; podobnie z warunku (\ref{ww2x}) wynika, \.{z}e
$k$ jest dzielnikiem $a_{n}$.

\begin{lemma}
Je\.{z}eli liczba $\frac{p}{q},$ gdzie $p,q\in\mathbb{Z}$ ($q\neq0$) s\k{a}
liczbami nieskracalnymi, jest pierwiastkiem wielomianu o wsp\'{o}\l czynnikach
ca\l kowitych, to $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a $q$ jest dzielnikiem
wsp\'{o}\l czynnika wiod\k{a}cego.
\end{lemma}

Z \textit{Podstawowego twierdzenia algebry} oraz z \textit{twierdzenia
B\'{e}zout} wynika, \.{z}e \textcolor{blue}{ka\.{z}dy wielomian
stopnia $n\geq1$ ma dok\l adnie $n$ pierwiastk\'{o}w} (licz\k{a}c z
krotno\'{s}ciami); oznaczaj\k{a}c te pierwiastki przez $s_{1},\ldots,s_{n}$,
wielomian (\ref{w41}) mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci iloczynowej%
\begin{equation}
f\left(  s\right)  =a_{n}\left(  s-s_{1}\right)  \cdots\left(  s-s_{n}\right)
. \label{w42}%
\end{equation}


\begin{example}
\bigskip Rozwa\.{z}my wielomian $f\left(  s\right)  =s^{4}+1.$ Jego
pierwiastkami s\k{a} liczby
\[
s_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}%
+\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{3}%
=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i;
\]
posta\'{c} iloczynowa wielomianu $f$ to
\[
f\left(  s\right)  =\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)
\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac
{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  x-\frac{\sqrt{2}}{2}%
-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  .
\]

\end{example}

\L atwo zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e je\.{z}eli liczba zespolona jest zerem
wielomianu \textit{rzeczywistego}, to liczba do niej sprz\k{e}\.{z}ona
r\'{o}wnie\.{z}, tj.%
\[
f\left(  s_{0}\right)  =0\Leftrightarrow f\left(  \overline{s_{0}}\right)
=0\text{.}%
\]
Z twierdzenia B\'{e}zout wynika wi\k{e}c, \.{z}e je\.{z}eli $s_{0}\ $jest
zespolonym nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego, to
wielomian ten dzieli si\k{e} bez reszty przez tr\'{o}jmian kwadratowy%
\[
\left(  s-s_{0}\right)  \left(  s-\overline{s_{0}}\right)  =s^{2}%
-2\mathfrak{Re}\left(  s_{0}\right)  s+\left\vert s_{0}\right\vert ^{2}.
\]
W takim przypadku, ka\.{z}de dwa czynniki rozk\l adu (\ref{w42}) wielomianu
$f$ zawieraj\k{a}ce pierwiastki parami sprz\k{e}\.{z}one, tj. $s-s_{i}$ oraz
$s-\overline{s_{i}}$, mog\k{a} zosta\'{c} wymno\.{z}one. Otrzymamy w\'{o}wczas
rozk\l ad dowolnego wielomianu rzeczywistego na iloczyn wielomian\'{o}w
rzeczywistych stopnia pierwszego oraz tr\'{o}jmian\'{o}w kwadratowych
nierozk\l adalnych (tzn. o ujemnym wyr\'{o}\.{z}niku):
\[
f\left(  s\right)  =a_{n}\left(  s-s_{1}\right)  ^{l_{1}}\cdots\left(
s-s_{m}\right)  ^{l_{m}}\left(  s^{2}+\alpha_{1}s+\beta_{1}\right)  ^{k_{1}%
}\cdots\left(  s^{2}+\alpha_{r}s+\beta_{r}\right)  ^{k_{r}},
\]
gdzie $s_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,m\right)  ;$ $\alpha_{i}%
,\beta_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,r\right)  ;$ $\deg f=l_{1}%
+\ldots+l_{m}+2\left(  k_{1}+\ldots+k_{r}\right)  $.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie wielomian $f\left(  s\right)  =s^{4}+1.$ Rozk\l ad tego
wielomianu na iloczyn wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia co najwy\.{z}ej
dwa uzyskamy z jego postaci iloczynowej:%
\begin{align*}
f\left(  s\right)   &  =s^{4}+1\\
&  =\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(
s+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac{\sqrt{2}}%
{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}%
}{2}i\right) \\
&  =\left(  s^{2}+\sqrt{2}s+1\right)  \left(  s^{2}-\sqrt{2}s+1\right)  .
\end{align*}

\end{example}

\pagebreak

\section{Wzory Vi\`{e}te'a}

Niech $f$ b\k{e}dzie wielomianem (rzeczywistym lub zespolonym) stopnia $n>0$
postaci
\[
f\left(  s\right)  =a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_{1}s+a_{0}=a_{n}\left(
s-s_{1}\right)  \cdots\left(  s-s_{n}\right)  .
\]
Poni\.{z}sze wzory Vi\`{e}te'a ustalaj\k{a} zwi\k{a}zki pomi\k{e}dzy
wsp\'{o}\l czynnikami wielomianu $f$, a jego pierwiastkami:%
\[%
\begin{cases}
s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n-1}+s_{n}=\tfrac{-a_{n-1}}{a_{n}}\\
s_{1}s_{2}+\dots+s_{1}s_{n}+s_{2}s_{3}+\dots+s_{2}s_{n}+\dots+s_{n-1}%
s_{n}=\tfrac{a_{n-2}}{a_{n}}\\
\vdots\\
s_{1}s_{2}\cdots s_{n}=(-1)^{n}\tfrac{a_{0}}{a_{n}}%
\end{cases}
.
\]


\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y-z=-1\\
xy-xz-yz=1\\
xyz=1
\end{array}
\right.  .
\]
Wprowadzaj\k{a}c pomocnicz\k{a} niewiadom\k{a} $w=-z$ otrzymujemy uk\l ad
r\'{o}wnowa\.{z}ny postaci%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+w=-1\\
xy+xw+yw=1\\
xyw=-1
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}rego rozwi\k{a}zaniami, na podstawie wzor\'{o}w Vi\`{e}te'a, s\k{a}
pierwiastki wielomianu $s\rightarrow s^{3}+s^{2}+s+1.$ Poniewa\.{z}%
\[
s^{3}+s^{2}+s+1=s^{2}\left(  s+1\right)  +s+1=\left(  s^{2}+1\right)  \left(
s+1\right)  =\left(  s+i\right)  \left(  s-i\right)  \left(  s+1\right)  ,
\]
zatem poszukiwan\k{a} tr\'{o}jk\k{a} rozwi\k{a}za\'{n} $\left(  x,y,w\right)
$ jest ka\.{z}dy z element\'{o}w:
\[
\left(  -1,i,-i\right)  ,\left(  -1,-i,i\right)  ,\left(  i,-i,-1\right)
,\left(  -i,i,-1\right)  ,\left(  i,-1,-i\right)  ,\left(  -i,-1,i\right)  .
\]
Uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c, \.{z}e $z=-w,$ rozwi\k{a}zania $\left(  x,y,z\right)  $
wyj\'{s}ciowego uk\l adu tworz\k{a} poni\.{z}sze tr\'{o}jki:%
\[
\left(  -1,i,i\right)  ,\left(  -1,-i,-i\right)  ,\left(  i,-i,1\right)
,\left(  -i,i,1\right)  ,\left(  i,-1,i\right)  ,\left(  -i,-1,-i\right)  .
\]

\end{example}

\section{R\'{o}wnania algebraiczne}

R\'{o}wnanie postaci
\begin{equation}
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0,}=0,\text{\quad}a_{n}\neq0
\label{w43}%
\end{equation}
nazywamy \textcolor{blue}{r\'{o}wnaniem algebraicznym stopnia $n$}.
Zauwa\.{z}my, \.{z}e r\'{o}wnanie (\ref{w43}) jest uog\'{o}lnieniem
r\'{o}wnania $z^{n}=c$, kt\'{o}rego rozwi\k{a}zanie by\l o tre\'{s}ci\k{a}
poprzedniego wyk\l ady (zob. podrozdzia\l ~3.3). Poniewa\.{z} lew\k{a}
stron\k{e} r\'{o}wnania (\ref{w43}) mo\.{z}na sprowadzi\'{c} do postaci
iloczynowej (\ref{w42}), wnioskujemy, \.{z}e r\'{o}wnanie (\ref{w43}) ma $n$
rozwi\k{a}za\'{n} (liczonych z krotno\'{s}ciami).

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia pierwszego}

Dla $n=1$ jedynym rozwi\k{a}zaniem r\'{o}wnania (\ref{w43}) jest $x_{0}%
=-\frac{a_{0}}{a_{1}}$.

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia drugiego}

Dla $n=2$ lew\k{a} stron\k{e} r\'{o}wanania (\ref{w43}) mo\.{z}emy
sprowadzi\'{c} do postaci kanonicznej%
\[
a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(  x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}\right)  ^{2}%
-\frac{a_{1}^{2}}{4a_{2}}+a_{0}=a_{2}\left(  x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}\right)
^{2}-\frac{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}{4a_{2}}.
\]
W przypadku, gdy wyr\'{o}\.{z}nik $\bigtriangleup=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$ jest
rzeczywisty i nieujemny, rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania (\ref{w43}) mo\.{z}emy
wyrazi\'{c} w postaci
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}},\text{\qquad}%
x_{2}=\frac{-a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}.
\]
Je\.{z}eli wyr\'{o}\.{z}nik $\bigtriangleup=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$ jest ujemny
rozwi\k{a}zania te przyjmuj\k{a} posta\'{c}%
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-i\sqrt{4a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}}}{2a_{2}},\text{\qquad}%
x_{2}=\frac{-a_{1}+i\sqrt{4a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}}}{2a_{2}}.
\]
W og\'{o}lnym przypadku, przyjmuj\k{a}c $\sqrt{\bigtriangleup}=\left\{
\delta,-\delta\right\}  $ mamy%
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-\delta}{2a_{2}},\text{\qquad}x_{2}=\frac{-a_{1}+\delta
}{2a_{2}}.
\]


\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia trzeciego}

Aby uzyska\'{c} og\'{o}lne wzory na rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania
algebraicznego stopnia trzeciego wygodnie jest przyj\k{a}\'{c}, nie trac\k{a}c
og\'{o}lno\'{s}ci, \.{z}e $a_{3}=1:$
\begin{equation}
x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0. \label{w43b}%
\end{equation}
Dokonuj\k{a}c podstawienia $x=y-\frac{a_{2}}{3}$ r\'{o}wnanie (\ref{w43b})
przekszta\l camy do postaci%
\begin{align}
0  &  =\left(  y-\frac{a_{2}}{3}\right)  ^{3}+a_{2}\left(  y-\frac{a_{2}}%
{3}\right)  ^{2}+a_{1}\left(  y-\frac{a_{2}}{3}\right)  +a_{0}\nonumber\\
&  =y^{3}+\frac{3a_{1}-a_{2}^{2}}{3}y-\frac{9a_{1}a_{2}-27a_{0}-2a_{2}^{3}%
}{27}. \label{w43c}%
\end{align}
Przyjmuj\k{a}c $p=\frac{3a_{1}-a_{2}^{2}}{3},q=\frac{9a_{1}a_{2}%
-27a_{0}-2a_{2}^{3}}{27}$ otrzymujemy r\'{o}wnanie
\begin{equation}
y^{3}+yp-q=0, \label{w43d}%
\end{equation}
kt\'{o}re, po dokonaniu kolejnego podstawienia $y=z-\frac{p}{3z},$ prowadzi do
r\'{o}wnania%
\[
\left(  z^{3}\right)  ^{2}-qz^{3}-\frac{1}{27}p^{3}=0,
\]
kt\'{o}re jest r\'{o}wnaniem algebraicznym stopnia drugiego wzgl\k{e}dem
niewiadomej $w=z^{3}$%
\[
w^{2}-qw-\frac{1}{27}p^{3}=0.
\]
R\'{o}wnanie to potrafimy ju\.{z} rozwi\k{a}za\'{c} uzyskuj\k{a}c poszukiwane
rozwi\k{a}zania dowolnego r\'{o}wnania algebraicznego stopnia trzeciego --
tzw. wzory Cardano.

\begin{example}
Wyznaczymy pierwiastki wielomianu $f\left(  x\right)  =x^{3}-6x^{2}+18x-18$.
Dokonuj\k{a}c podstawienia $x=y+2$ otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =f\left(  y+2\right)  =\left(  y+2\right)  ^{3}-6\left(  y+2\right)
^{2}+18\left(  y+2\right)  -18\\
&  =y^{3}+6y+2.
\end{align*}
Poniewa\.{z} $p=6,$ $q=-2,$ zatem wprowadzaj\k{a}c kolejn\k{a} zamian\k{e}
zmiennych $y=z-\frac{2}{z},$ otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =\left(  z-\frac{2}{z}\right)  ^{3}+6\left(  z-\frac{2}{z}\right)
+2=z^{3}-\frac{8}{z^{3}}+2\\
&  =z^{-3}\left(  z^{6}+2z^{3}-8\right)  .
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e pierwiastki wyj\'{s}ciowego wielomianu znajdziemy
wyznaczaj\k{a}c zera wielomianu $z\rightarrow z^{6}+2z^{3}-8.$
Podstawiaj\k{a}c $w=z^{3}$ otrzymujemy%
\[
0=w^{2}+2w-8=\left(  w+1\right)  ^{2}-9=\left(  w-2\right)  \left(
w+4\right)  ,
\]
sk\k{a}d%
\[
z^{3}-2=0\text{\qquad}\vee\text{\qquad}z^{3}+4=0.
\]
Mamy kolejno%
\begin{align*}
0  &  =z^{3}-2=\left(  z-\sqrt[3]{2}\right)  \left(  z^{2}+\sqrt[3]%
{2}z+\sqrt[3]{4}\right) \\
&  =\left(  z-\sqrt[3]{2}\right)  \left(  z+\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{4}}\right)  \left(  z+\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}-i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{4}}\right) \\
0  &  =z^{3}+4=\left(  z+\sqrt[3]{4}\right)  \left(  z^{2}-\sqrt[3]%
{4}z+\sqrt[3]{16}\right) \\
&  =\left(  z+\sqrt[3]{4}\right)  \left(  z-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}-i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{16}}\right)  \left(  z-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}+i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{16}}\right)  .
\end{align*}
Dla ka\.{z}dego z sze\'{s}ciu wyznaczonych powy\.{z}ej pierwiastk\'{o}w $z$
wyliczamy kolejno warto\'{s}ci $y=z-\frac{2}{z}$, a nast\k{e}pnie $x=y+2$.
Otrzymujemy sze\'{s}\'{c} pierwiastk\'{o}w%
\begin{align*}
x_{1}  &  =\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}+2,\text{\quad}x_{2,3}=\frac{1}{2}%
\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+2\pm i\left(  \frac{1}{2}\sqrt[3]{2}%
\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}\sqrt{3}\right)  ,\\
x_{4}  &  =\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}+2,\text{\quad}x_{5,6}=\frac{1}{2}%
\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+2\pm i\left(  \frac{1}{2}\sqrt[3]{2}%
\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}\sqrt{3}\right)  .
\end{align*}
Zauwa\.{z}my na koniec, \.{z}e pierwiastki $x_{1},x_{2},x_{3}$ r\'{o}wne
s\k{a} odpowienio pierwiastkom $x_{4},x_{5},x_{6}$. Poniewa\.{z} wyj\'{s}ciowy
wielomian by\l \ stopnia trzeciego wi\k{e}c jego trzy r\'{o}\.{z}ne zera to
$x_{1},x_{2},x_{3}$.
\end{example}

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia czwartego}

Podobnie jak w przypadku r\'{o}wna\'{n} algebraicznych stopnia pierwszego,
drugiego i trzeciego, istniej\k{a} og\'{o}lne wzory (uzyskane przez Ferrari,
opublikowane przez Cardano w \textit{Artis Magnae}\footnote{Dzie\l o to, obok
dzie\l a M. Kopernika \textit{De revolutionibus orbium coelestium} oraz A.
Wezaliusza \textit{De humani corporis fabrica} uznawane jest za
najwa\.zniejsze dzie\l o naukowe doby renesansu.} w 1545 r.) pozwalaj\k{a}ce
wyznacza\'{c} analityczn\k{a} posta\'{c} dowolnego r\'{o}wnania stopnia czwartego.

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia $n\geq5$}

Dla r\'{o}wna\'{n} algebraicznych stopnia $n\geq5$ wykazano, \.{z}e podanie
og\'{o}lnych wzor\'{o}w na ich rozwi\k{a}zania wykorzystuj\k{a}cych
wy\l \k{a}cznie dzia\l ania dodawanie, odejmowanie, mno\.{z}enie, dzielenie
oraz pierwiastkowanie nie jest mo\.{z}liwe (prace Abela, Ruffiniego, Galois'a)!

\bigskip

\noindent\textbf{Ciekawostka }Liczba b\k{e}d\k{a}ca rozwi\k{a}zaniem
r\'{o}wnania algebraicznego o ca\l kowitych wsp\'{o}\l czynnikach nazywana
jest \textcolor{blue}{liczb\k{a} algebraiczn\k{a}. }Na przyk\l ad $\sqrt[3]%
{2}$, jako rozwi\k{a}zanie r\'{o}wnania $s^{3}-2$, jest liczb\k{a}
algebraiczn\k{a}; z\ kolei liczby $\pi,$ $e$ czy $2^{\sqrt{2}}$ nie s\k{a}
liczbami algebraicznymi (dowody ich niealgebraiczno\'{s}ci s\k{a} bardzo
trudne). Zbi\'{o}r wszystkich liczb algebraicznych (a jest ich przeliczalnie
wiele), z naturalnymi dzia\l aniami dodawania oraz mno\.{z}enia liczb, tworzy cia\l o.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Przestrzenie liniowe}
Niech $X$ b\k{e}dzie dowolnym zbiorem niepustym.

\begin{definition}
Tr\'{o}jk\k{e} $\left(  X,+,\bullet\right)  $ nazywamy \textcolor{blue}{rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} }(liniow\k{a}) je\.{z}eli:

\begin{description}
\item[(a)] $+:X\times X\rightarrow X$ jest dzia\l aniem wewn\k{e}trznym w $X$,
takim \.{z}e struktura $\left(  X,+\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a};

\item[(b)] $\bullet:X\times\mathbb{R}\rightarrow X$ jest dzia\l aniem
zewn\k{e}trznym w $X$, takim \.{z}e r\'{o}wno\'{s}ci:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $\alpha\bullet\left(  x+y\right)  =\left(  \alpha\bullet
x\right)  +\left(  \alpha\bullet y\right)  ;$

\item[$\rhd$] $\left(  \alpha+\beta\right)  \bullet x=\left(  \alpha\bullet
x\right)  +\left(  \beta\bullet x\right)  ;$

\item[$\rhd$] $\alpha\bullet\left(  \beta\bullet x\right)  =\left(
\alpha\beta\right)  \bullet x;$

\item[$\rhd$] $1\bullet x=x$
\end{itemize}

\item zachodz\k{a} dla dowolnych $x,y\in X$ oraz $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
\end{description}

\label{defpwek}
\end{definition}

\noindent Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy
\textcolor{blue}{wektorami}; elementy cia\l a nazywamy \textcolor{blue}{skalarami}.

\begin{example}
Ka\.{z}da z poni\.{z}szych struktur jest rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a}:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $ z naturalnymi
dzia\l aniami dodawania wektor\'{o}w oraz mno\.{z}enia wektora przez
liczb\k{e}:%
\begin{align*}
&  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  +\left(  y_{1},\ldots,y_{n}\right)
\overset{df}{=}\left(  x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \text{,}\\
&  \alpha\bullet\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \overset{df}{=}\left(
\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{n}\right)  ;
\end{align*}


\item[b)] $\left(  \mathbb{C},+,\bullet\right)  $ z naturalnymi dzia\l aniami
dodawania oraz mno\.{z}enia liczb;

\item[c)] $\left(  \mathcal{F}\left(  A,\mathbb{R}\right)  ,+,\bullet\right)
$ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia funkcji
przez liczb\k{e}.
\end{description}
\end{example}
\newpage
\begin{example}
Poni\.{z}sze struktury nie s\k{a} przestrzeniami wektorowymi:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $ z dzia\l aniami:%
\begin{align*}
\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  +\left(  y_{1},\ldots,y_{n}\right)   &
:=\left(  x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \text{,}\\
\alpha\bullet\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)   &  :=\left(  \alpha
x_{1},0,\ldots,0\right)  ;
\end{align*}


\item[b) ] $\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f\left(  0\right)
=1\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia
funkcji przez liczb\k{e}.
\end{description}
\end{example}

\L atwo wykaza\'{c}, korzystaj\k{a}c z definicji~\ref{defpwek}, \.{z}e w
dowolnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej $\left(  X,+,\bullet\right)  $
prawdziwe s\k{a} nast\k{e}puj\k{a}ce zale\.{z}no\'{s}ci:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $0\bullet x=\alpha\bullet0=0;$

\item[$\rhd$] $\alpha\bullet x=0\Rightarrow\alpha=0$ lub $x=0;$

\item[$\rhd$] $-\left(  \alpha\bullet x\right)  =\left(  -\alpha\right)  \bullet
x=\alpha\bullet\left(  -x\right)  $
\end{itemize}

\noindent dla dowolnych $x\in X,$ $\alpha\in\mathbb{R}.$

\bigskip\noindent\textbf{Uwaga} W powy\.{z}szych warunkach wyst\k{e}puj\k{a}
dwa r\'{o}\.{z}ne$\ $zera -- jedno to element neutralny dla dodawania w grupie
$\left(  X,+\right)  ,$ drugie to element neutralny dla dodawania w grupie
$\left(  \mathbb{R},+\right)  .$ Podobnie, znaki \quotedblbase$-$%
\textquotedblright\ wyst\k{e}puj\k{a}ce w ostatnim warunku to dwa
r\'{o}\.{z}ne minusy -- pierwszy oznacza element przeciwny dla elementu grupy
$\left(  X,+\right)  ,$ drugi wskazuje element przeciwny w grupie $\left(
\mathbb{R},+\right)  $.

\section{Podprzestrze\'{n} liniowa}

Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} oraz niech $Y\subset X$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli zbi\'{o}r $Y$ oraz dzia\l ania $+$ i $\bullet$ przestrzeni $X$
spe\l niaj\k{a} warunki:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $x,y\in Y\Rightarrow x+y\in Y;$

\item[$\rhd$] $\alpha\in\mathbb{R},$ $x\in Y\Rightarrow\alpha\bullet x\in Y;$

\item[$\rhd$] $Y\neq\varnothing$
\end{itemize}
to tr\'{o}jk\k{e} $\left(  Y,+,\bullet\right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{podprzestrzeni\k{a}
liniow\k{a}} przestrzeni $\left(  X,+,\bullet\right)  $.
\end{definition}

\noindent Warunki z powy\.zszej definicji r\'{o}wnowa\.{z}ne s\k{a}
poni\.{z}szym dw\'{o}m:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$\textit{\ }$x,y\in Y\Rightarrow\alpha\bullet
x+\beta\bullet y\in Y;$

\item[$\rhd$] $0\in Y$.
\end{itemize}

\noindent\L atwo pokaza\'{c}, \.{z}e
\textcolor{blue}{ka\.{z}da podprzestrze\'{n}
liniowa $Y$  przestrzeni liniowej $X$ jest przestrzeni\k{a}
liniow\k{a} z dzia\l aniami indukowanymi z przestrzeni $X$}.

\begin{example}
Niech $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R}$ b\k{e}d\k{a} dowolnymi
ustalonymi liczbami. Zbi\'{o}r
\[
\left\{  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \in\mathbb{R}^{n}:%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}x_{k}=0\right\}
\]
z naturalnymi dzia\l aniami dodawania wektor\'{o}w oraz mno\.{z}enia wektora
przez liczb\k{e} jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni liniowej z
przyk\l adu 4.1.a.
\end{example}

\begin{example}
Zbi\'{o}r $\left\{  z\in\mathbb{C}:\alpha\mathfrak{Re}z+\beta\mathfrak{Im}%
z=0\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania oraz mno\.{z}enia liczb
zespolonych jest, dla dowolnych $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$,
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni liniowej z przyk\l adu 4.1.b.
\end{example}

\begin{example}
Zbi\'{o}r $\left\{  f\in\mathcal{F}\left(  \mathbb{R},\mathbb{R}\right)
:\forall x\text{ }f\left(  x\right)  =f\left(  -x\right)  \right\}  $ z
naturalnymi dzia\l a-\linebreak niami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia
funkcji przez liczb\k{e} jest podprzestrzeni\k{a} \linebreak liniow\k{a}
przestrzeni liniowej z przyk\l adu 4.1.c (dla $A=\mathbb{R}$).
\end{example}

\bigskip

\noindent Bezpo\'{s}rednio z definicji wynika, \.{z}e zbi\'{o}r pusty tworzy
przestrze\'{n} liniow\k{a}, ale nie jest on podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
\.{z}adnej przestrzeni.

\begin{example}
Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie niepust\k{a} przestrzeni\k{a}
liniow\k{a}. W\'{o}wczas $\left(  \left\{  0\right\}  ,+,\bullet\right)  $
jest najmniejsz\k{a} (w sensie inkluzji) podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
przestrzeni $\left(  X,+,\bullet\right)  .$
\end{example}

\section{Liniowa niezale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w}

Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a}.

\begin{definition}
Powiemy, \.{z}e wektory $v_{1},\ldots,v_{n}\in X$ s\k{a}
\textcolor{blue}{liniowo
niezale\.{z}ne}, je\.{z}eli dla dowolnych skalar\'{o}w $\alpha_{1}%
,\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R}$ zachodzi implikacja:%
\begin{equation}
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}=0\Rightarrow\alpha_{1}=\ldots
=\alpha_{n}=0. \label{w60}%
\end{equation}
Wektory, kt\'{o}re nie s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne s\k{a}
\textcolor{blue}{liniowo
zale\.{z}ne}.
\end{definition}

\bigskip\noindent Wyra\.{z}enie $\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}$
nazywamy \textcolor{blue}{kombinacj\k{a} liniow\k{a}} wektor\'{o}w
$v_{1},\ldots,v_{n}.$ Zbi\'{o}r wszystkich kombinacji liniowych wektor\'{o}w
$v_{1},\ldots,v_{n}\ $przestrzeni wektorowej $X$, tj. zbi\'{o}r%
\[
\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{n}\right\}  \overset{df}%
{=}\left\{
%TCIMACRO{\tsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}v_{i}:\alpha_{i}\in\mathbb{R}\text{ }\left(  i=1,\ldots,n\right)
\right\}
\]
tworzy podprzestrze\'{n} liniow\k{a} przestrzeni $X$ (\'{c}wiczenie).

Zauwa\.{z}my, \.{z}e zaprzeczenie warunku (\ref{w60}), tj. liniowa
zale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$, oznacza, \.{z}e
przynajmniej jeden z tych wektor\'{o}w jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} pozosta\l ych.

\begin{example}
Aby sprawdzi\'{c} liniow\k{a} zale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w
\[
v_{1}=\left(  1,0,-1\right)  ,v_{2}=\left(  -1,1,1\right)  ,v_{3}=\left(
3,-1,-3\right)
\]
nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c}, wynikaj\k{a}ce z warunku (\ref{w60}),
r\'{o}wnanie%
\[
\alpha_{1}\left(  1,0,-1\right)  +\alpha_{2}\left(  -1,1,1\right)  +\alpha
_{3}\left(  3,-1,-3\right)  =\left(  0,0,0\right)
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadome $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R}$.
R\'{o}wnanie to prowadzi do uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0\\
\alpha_{2}-\alpha_{3}=0\\
-\alpha_{1}+\alpha_{2}-3\alpha_{3}=0
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}rego rozwi\k{a}zaniem jest: $\alpha_{1}=-2t,$ $\alpha_{2}=\alpha_{3}=t$
$\left(  t\in\mathbb{R}\right)  $. Oznacza to, \.{z}e warunek (\ref{w60}) nie
jest spe\l niony, czyli badane wektory s\k{a} liniowo zale\.{z}ne. Faktycznie,
z postaci rozwi\k{a}zania wynika, \.{z}e $v_{2}=2v_{1}-v_{3}$.
\end{example}

\section{Baza i wymiar przestrzeni wektorowej}

Niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ b\k{e}d\k{a} ustalonymi wektorami rzeczywistej przestrzeni
wektorowej $X$. Je\.{z}eli ka\.{z}dy element przestrzeni $X$ mo\.{z}na
wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e} liniow\k{a} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$,
tzn. dla dowolnego $y\in X$
\begin{equation}
y=\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}, \label{w62}%
\end{equation}
dla pewnych $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R},$ to m\'{o}wimy, \.{z}e
wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ \textcolor{blue}{generuj\k{a}
przestrze\'{n}} $X$. Ka\.{z}dy liniowo niezale\.{z}ny uk\l ad (ci\k{a}g --
istotna kolejno\'{s}\'{c}) wektor\'{o}w przestrzeni wektorowej $X$
generuj\k{a}cy t\k{e} przestrze\'{n} nazywamy \textcolor{blue}{baz\k{a}} tej
przestrzeni. Liczb\k{e} element\'{o}w bazy przestrzeni wektorowej $X$
oznaczamy $\dim X$ i nazywamy \textcolor{blue}{wymiarem} przestrzeni
wektorowej. Wsp\'{o}\l czynniki $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$
wyst\k{e}puj\k{a}ce w r\'{o}wnaniu (\ref{w62}) nazywamy
\textcolor{blue}{wsp\'{o}\l
rz\k{e}dnymi wektora} $y$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$. Niezwykle wa\.{z}ne
jest zdanie sobie sprawy z tego, \.{z}e wsp\'{o}\l rz\k{e}dne te s\k{a}
wyznaczone w spos\'{o}b jednoznaczny. Aby to wykaza\'{c}, przypu\'{s}\'{c}my,
\.{z}e wektor $y$ okre\'{s}lony r\'{o}wnaniem (\ref{w62}) mo\.{z}na
r\'{o}wnie\.{z} zapisa\'{c} w postaci%
\begin{equation}
y=\beta_{1}v_{1}+\ldots+\beta_{n}v_{n}. \label{w63}%
\end{equation}
Poka\.{z}emy, \.{z}e w\'{o}wczas $\alpha_{i}=\beta_{i}$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $. Z zale\.{z}no\'{s}ci (\ref{w62})-(\ref{w63})
otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}-\left(  \beta_{1}v_{1}%
+\ldots+\beta_{n}v_{n}\right) \\
&  =\left(  \alpha_{1}-\beta_{1}\right)  v_{1}+\ldots+\left(  \alpha_{n}%
-\beta_{n}\right)  v_{n}.
\end{align*}
Liniowa niezale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$ prowadzi do
warunk\'{o}w $\alpha_{i}-\beta_{i}=0$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $.


\bigskip
\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci bazy przestrzeni wektorowej:}
\begin{itemize}
\item[(i)] \textit{Ka\.{z}da niepusta przestrze\'{n} wektorowa posiada
baz\k{e}.}

\item[(ii)] \textit{Je\.{z}eli wektory }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ s\k{a}
baz\k{a} pewnej przestrzeni liniowej, to dla dowolnych niezerowych
skalar\'{o}w }$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$\textit{\ wektory }$\alpha
_{1}v_{1},\ldots,\alpha_{n}v_{n}$\textit{\ r\'{o}wnie\.{z} s\k{a} baz\k{e} tej
przestrzeni.}

\item[(iii)] \textit{Wszystkie bazy tej samej przestrzeni wektorowej s\k{a}
r\'{o}wnoliczne.}

\item[(iv)] \textit{Wektory }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ }$n-$%
\textit{wymiarowej przestrzeni liniowej s\k{a} jej baz\k{a} wtedy i tylko
wtedy, gdy s\k{a} wektorami liniowo niezale\.{z}nymi.}

\item[(v)] \textit{Ka\.{z}dy uk\l ad wektor\'{o}w liniowo niezale\.{z}nych
przestrzeni wektorowej }$X$ \textit{mo\.{z}e by\'{c} rozszerzony do bazy
przestrzeni }$X$\textit{.}
\end{itemize}

\begin{example}
\textbf{\ }Rozwa\.{z}my rzeczywist\k{a} przestrze\'{n} liniow\k{a} $\left(
\mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $. Dla dowolnego wektora $\left(
x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \in\mathbb{R}^{n}\ $mamy:%
\begin{align*}
\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)   &  =\left(  x_{1},0,\ldots,0\right)
+\left(  0,x_{2},0,\ldots,0\right)  +\ldots+\left(  0,\ldots,0,x_{n}\right)
\\
&  =x_{1}\left(  1,0,\ldots,0\right)  +x_{2}\left(  0,1,0,\ldots,0\right)
+\ldots+x_{n}\left(  0,\ldots,0,1\right)  ,
\end{align*}
zatem wektory $e_{1}=\left(  1,0,\ldots,0\right)  ,e_{2}=\left(
0,1,0,\ldots,0\right)  ,\ldots,e_{n}=\left(  0,\ldots,0,1\right)  $
generuj\k{a} przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{n};$ poniewa\.{z} wektory te s\k{a}
r\'{o}wnie\.{z} liniowo niezale\.{z}ne, wi\k{e}c stanowi\k{a} one baz\k{e}
przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$-- jest to tzw. \textcolor{blue}{baza kanoniczna}.
Wniosek: $\dim\mathbb{R}^{n}=n.$
\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my rzeczywist\k{a} przestrze\'{n} liniow\k{a} $\left(
\mathbb{C},+,\bullet\right)  $. Z postaci kanonicznej liczby zespolonej
wynika, \.{z}e ka\.{z}da liczba zespolona jest kombinacj\k{a} liniow\k{a}
wektor\'{o}w $1,i;$ wektory te s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne, wi\k{e}c stanowi\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $\mathbb{C}$. Wniosek: $\dim\mathbb{C=}2$.
\end{example}

\begin{example}
Niech $Y=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x+y-z=0,x+y+z=0\right\}  $. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $Y$ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$; wyznaczmy
wi\k{e}c jej baz\k{e}. Rozwi\k{a}zuj\k{a}c uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
wynikaj\k{a}cy z warunku okre\'{s}laj\k{a}cego przynale\.{z}no\'{s}\'{c} do
przestrzeni $Y$, otrzymamy: $x=t,y=-t,z=0$ $\left(  t\in\mathbb{R}\right)  .$
Dowolny element przestrzeni $Y$ ma wi\k{e}c posta\'{c}: $\left(
t,-t,0\right)  =t\left(  1,-1,0\right)  .$ Oznacza to, \.{z}e $Y$ jest
jednowymiarow\k{a} podprzestrzeni\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{3} $,
kt\'{o}rej baz\k{a} jest wektor $\left(  1,-1,0\right)  $.
\end{example}

\begin{example}
Niech $\Pi_{n}$ oznacza zbi\'{o}r wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie
wi\k{e}kszego ni\.{z} $n$. \L atwo sprawdzi\'{c}, \.{z}e struktura $\left(
\Pi_{n},+,\bullet\right)  $, gdzie $+$ oraz $\bullet$ to naturalne dzia\l ania
dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e}, jest
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad $\mathbb{R}$. Baz\k{e} tej przestrzeni
tworz\k{a} jednomiany: $1,x,x^{2},\ldots,x^{n};$ mamy wi\k{e}c: $\dim\Pi
_{n}=n+1$. \newline Niech teraz, dla $a\in\mathbb{R}$,
\[
\Pi_{n}\left(  a\right)  =\left\{  w\in\Pi_{n}:w\left(  a\right)  =0\right\}
.
\]
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $\Pi_{n}\left(  a\right)  $ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni $\Pi_{n}$. Z\ twierdzenia
B\'{e}zout wynika, \.{z}e dowolny element $w\in\Pi_{n}\left(  a\right)  $
mo\.{z}na zapisa\'{c} w postaci
\begin{equation}
w\left(  x\right)  =\left(  x-a\right)  g\left(  x\right)  ,\label{w61}%
\end{equation}
dla pewnego $g\in\Pi_{n-1}.$ Poniewa\.{z} baz\k{a} $\Pi_{n-1}$ s\k{a}
jednomiany $1,x,x^{2},\ldots,x^{n-1}$, zatem na podstawie (\ref{w61}),
wielomian $w$ jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} wielomian\'{o}w
\[
x-a,x\left(  x-a\right)  ,x^{2}\left(  x-a\right)  ,\ldots,x^{n-1}\left(
x-a\right)  .
\]
Wielomiany te s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne (dlaczego?), zatem stanowi\k{a}
baz\k{e} przestrzeni $\Pi_{n}\left(  a\right)  $. Wniosek: $\dim\Pi_{n}\left(
a\right)  =n$.
\end{example}

\bigskip\noindent\textbf{\'{C}wiczenie }Wyznacz baz\k{e}
przestrzeni\textbf{\ }$\Pi_{n}\left(  a\right)  $ w przypadku, gdy
$a\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Macierze}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{R\'{o}wnania liniowe}

\section{Przekszta\l cenia liniowe}

Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi
nad cia\l em $\mathbb{F}$.

\begin{definition}
Funkcj\k{e} $f:X\rightarrow Y$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki:

\begin{description}
\item[a)] dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X:f\left(  x_{1}+x_{2}\right)
=f\left(  x_{1}\right)  +f\left(  x_{2}\right)  ;$

\item[b)] dla dowolnych $x\in X,\alpha\in\mathbb{F}$ $:$ $f\left(  \alpha
x\right)  =\alpha f\left(  x\right)  $
\end{description}

nazywamy \textcolor{blue}{przekszta\l ceniem liniowym}.
\end{definition}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wymiary przestrzeni $X$ oraz $Y$ s\k{a}
sko\'{n}czone; niech $\dim X=n$ oraz $\dim Y=m.$ Przyjmijmy, \.{z}e wektory
$e_{1},\ldots,e_{n}$ stanowi\k{a} baz\k{e} przestrzeni $X$, a wektory
$\tilde{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{m}$ baz\k{e} przestrzeni $Y$. Z odwzorowaniem
liniowym $f:X\rightarrow Y$ mo\.{z}emy w\'{o}wczas stowarzyszy\'{c} macierz
$A_{f}=\left[  a_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{m\times n},$ kt\'{o}rej
$i$--t\k{a} kolumn\k{e} $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $ tworz\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne wektora $f\left(  e_{i}\right)  $ wyra\.{z}onego jako
kombinacja li- niowa wektor\'{o}w bazowych przestrzeni $Y$:%
\[%
\begin{array}
[c]{cll}%
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  e_{1}\right)  =a_{11}\tilde{e}_{1}+a_{21}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{m1}\tilde{e}_{m},\\
f\left(  e_{2}\right)  =a_{12}\tilde{e}_{1}+a_{22}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{m2}\tilde{e}_{m},\\
\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\
f\left(  en\right)  =a_{1n}\tilde{e}_{1}+a_{2n}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{mn}\tilde{e}_{m}%
\end{array}
& \rightsquigarrow & A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}%
\end{array}
\right]  .
\end{array}
\]


\begin{example}
Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$
okre\'{s}lone wzorem%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left(  x+y-z,2x+z\right)  .
\]
Przyjmuj\k{a}c w przestrzeniach $X$ oraz $Y$ bazy kanoniczne mamy:%
\begin{align*}
f\left(  e_{1}\right)   &  =f\left(  1,0,0\right)  =\left(  1,2\right)
=\tilde{e}_{1}+2\tilde{e}_{2},\\
f\left(  e_{2}\right)   &  =f\left(  0,1,0\right)  =\left(  1,0\right)
=\tilde{e}_{1},\\
f\left(  e_{3}\right)   &  =f\left(  0,0,1\right)  =\left(  -1,1\right)
=-\tilde{e}_{1}+\tilde{e}_{2}.
\end{align*}
Odwzorowanie $f$ jest wi\k{e}c reprezentowane przez macierz
\[
A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ;
\]
innymi s\l owy%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{example}
Niech $F:\Pi_{1}\rightarrow\Pi_{2}$ b\k{e}dzie odwzorowaniem okre\'{s}lonym
wzorem:%
\[
F\left(  f\right)  =\left\{  x\rightarrow2xf\left(  x\right)  -f\left(
x\right)  \right\}  .
\]
\L atwo sprawdzi\'{c}, \.{z}e $F$ jest odwzorowaniem liniowym. Przyjmuj\k{a}c
w przestrzeniach $\Pi_{1}$ oraz $\Pi_{2}$ bazy%
\begin{align*}
\text{w }\Pi_{1}  &  :e_{1}\left(  x\right)  =1,e_{2}\left(  x\right)  =x\\
\text{w }\Pi_{2}  &  :\tilde{e}_{1}\left(  x\right)  =1,\tilde{e}_{2}\left(
x\right)  =x,\tilde{e}_{3}\left(  x\right)  =x^{2}%
\end{align*}
mamy:%
\begin{align*}
F\left(  e_{1}\right)   &  =F\left(  1\right)  =2x-1=-\tilde{e}_{1}+2\tilde
{e}_{2},\\
F\left(  e_{2}\right)   &  =F\left(  x\right)  =2x^{2}-x=0\tilde{e}_{1}%
-\tilde{e}_{2}+2\tilde{e}_{3}.
\end{align*}
Przy przyj\k{e}tych bazach, odwzorowanie $F$ reprezentowane jest przez macierz%
\[
A_{F}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-1 & 0\\
2 & -1\\
0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie odwzorowanie $F$ z przyk\l adu 6.2. Przyjmuj\k{a}c w
przestrzeni $\Pi_{1}$ baz\k{e}
\begin{align*}
e_{1}(x)  &  =x+1,\\
e_{2}(x)  &  =x-1,
\end{align*}
a w przestrzeni $\Pi_{2}$ baz\k{e}
\begin{align*}
\tilde{e}_{1}(x)  &  =x-1,\\
\tilde{e}_{2}(x)  &  =x+1,\\
\tilde{e}_{3}(x)  &  =x^{2},
\end{align*}
mamy%
\begin{align*}
F\left(  e_{1}\right)   &  =F\left(  x+1\right)  =2x\left(  x+1\right)
-\left(  x+1\right)  =2x^{2}+x-1=\tilde{e}_{1}+2\tilde{e}_{3},\\
F\left(  e_{2}\right)   &  =F\left(  x-1\right)  =2x\left(  x-1\right)
-\left(  x-1\right)  =2x^{2}-3x+1=\alpha_{21}\tilde{e}_{1}+\alpha_{22}%
\tilde{e}_{2}+2\tilde{e}_{3}.
\end{align*}
Skalary $\alpha_{21},\alpha_{22}$ wyznaczymy rozwi\k{a}zuj\k{a}c r\'{o}wnanie
\[
-3x+1=\alpha_{21}\left(  x-1\right)  +\alpha_{22}\left(  x+1\right)  .
\]
Po prostych rachunkach otrzymujemy: $\alpha_{21}=-2,\alpha_{22}=-1.$ Tym razem
odwzo- rowanie $F$ jest reprezentowane przez macierz%
\[
A_{F}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -2\\
0 & -1\\
2 & 2
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

Z powy\.{z}szych przyk\l ad\'{o}w wynika, \.{z}e
\textcolor{blue}{posta\'{c} macierzy
reprezentuj\k{a}cej \linebreak odwzorowanie liniowe $f:X\rightarrow
Y$ zale\.{z}y od sposobu wyboru baz w przestrzeniach $X,Y$}.

\section{J\k{a}dro i obraz odwzorowania liniowego}

Niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym, a $V\subset X$ i
$W\subset Y$ dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi. \L atwo sprawdzi\'{c}
(\'{c}wiczenie), \.{z}e zbiory%
\begin{align*}
f\left(  V\right)   &  =\left\{  y\in Y:\exists x\in V:y=f\left(  x\right)
\right\}  ,\\
f^{-1}\left(  W\right)   &  =\left\{  x\in X:\exists y\in W:y=f\left(
x\right)  \right\}
\end{align*}
z dzia\l aniami indukowanymi z przestrzeni $X$ oraz $Y$, s\k{a}
podprzestrzeniami \linebreak liniowymi, odpowiednio, przestrzeni $X$ oraz $Y$.

\begin{definition}
Zbi\'{o}r $\ker f=f^{-1}\left(  \left\{  0\right\}  \right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{j\k{a}drem} odwzorowania $f;$ zbi\'{o}r $\operatorname{Im}%
f=f\left(  X\right)  $ nazywamy \textcolor{blue}{obrazem} odwzorowania $f$.
\end{definition}

Z obserwacji poprzedzaj\k{a}cej powy\.{z}sz\k{a} definicj\k{e} wynika, \.{z}e

\begin{itemize}
\item \textit{j\k{a}dro odwzorowania liniowego }$f:X\rightarrow Y$\textit{
jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni }$X;$

\item \textit{obraz odwzorowania liniowego }$f:X\rightarrow Y$\textit{ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni }$Y$.
\end{itemize}

Przy wyznaczaniu j\k{a}dra oraz obrazu odwzorowania liniowego przydatne bywa
nast\k{e}puj\k{a}ce twierdzenie.

\begin{theorem}
Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} sko\'{n}czenie wymiarowymi przestrzeniami
liniowymi oraz niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym.
W\'{o}wczas%
\begin{equation}
\dim X=\dim\ker f+\dim\operatorname{Im}f. \label{71}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $\dim\ker f=k\ $oraz $\dim X=n$; oczywi\'{s}cie $k\leq n$.
Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wektory $e_{1},\ldots,e_{k}$ tworz\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $\ker f$. Wektory te mo\.{z}emy uzupe\l ni\'{c} o wektory
$e_{k+1},\ldots,e_{n}$ tak, aby $\operatorname*{span}\left\{  e_{1}%
,\ldots,e_{n}\right\}  =X$. Aby wykaza\'{c} r\'{o}wno\'{s}\'{c} (\ref{71})
wystarczy udowodni\'{c}, \.{z}e $\operatorname{Im}f=\operatorname*{span}%
\left\{  f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  \right\}  $ oraz, \.{z}e
wektory $f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $ s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.

Niech $y\in\operatorname{Im}f$. Oznacza to, \.{z}e istnieje $x\in X$ dla
kt\'{o}rego $y=f\left(  x\right)  $. Poniewa\.{z} $x\in X=\operatorname*{span}%
\left\{  e_{1},\ldots,e_{n}\right\}  $ zatem
\begin{align*}
y  &  =f\left(  x\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}+%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right) \\
&  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  +f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}f\left(  e_{i}\right)  ,
\end{align*}
wi\k{e}c $\operatorname{Im}f=\operatorname*{span}\left\{  f(e_{k+1}%
),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  \right\}  $.

Wyka\.{z}emy teraz, \.{z}e wektory $f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $
s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne. Mamy%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}f\left(  e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =0,
\]
zatem $%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\in\ker f=\operatorname*{span}\left\{  e_{1},\ldots
,e_{k}\right\}  $. St\k{a}d, istniej\k{a} skalary $\alpha_{1},\ldots
,\alpha_{k}$ dla kt\'{o}rych%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}=%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i},
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}=0.
\]
Z liniowej niezale\.{z}no\'{s}ci wektor\'{o}w $e_{1},\ldots,e_{n}$ wynika,
\.{z}e $\alpha_{i}=0$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $.
\end{proof}

Z\ powy\.{z}szego dowodu wynika, \.{z}e $\operatorname{Im}%
f=\operatorname*{span}\left\{  f(e_{1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)
\right\}  ,$ gdzie $e_{1},\ldots,e_{n}$ jest dowoln\k{a} baz\k{a} przestrzeni
$X$. Niech $A_{f}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} odwzorowania $f$ przy ustalonych
bazach przestrzeni $X$ oraz $Y$. Poniewa\.{z} $i$--ta kolumna macierzy $A_{f}$
to wsp\'{o}\l rz\k{e}dne wektora $f\left(  e_{i}\right)  $ w ustalonej bazie
przestrzeni $X$, zatem liczba liniowo niezale\.{z}nych kolumn macierzy $A_{f}$
r\'{o}wna jest liczbie liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w spo\'{s}r\'{o}d
wektor\'{o}w $f(e_{1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $.

\begin{theorem}
Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} sko\'{n}czenie wymiarowymi przestrzeniami
liniowymi, niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym oraz
niech $A_{f}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} odwzorowania $f$ (przy ustalonych bazach
przestrzeni $X$ oraz $Y$). W\'{o}wczas%
\[
\dim\operatorname{Im}f=\operatorname*{rank}\left(  A_{f}\right)  .
\]

\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie odwzorowanie z przyk\l adu 6.3:%
\[
F:\Pi_{1}\ni f\rightarrow\left\{  x\rightarrow2xf\left(  x\right)  -f\left(
x\right)  \right\}  \in\Pi_{2}.
\]
W\'{o}wczas%
\begin{align*}
\ker F  &  =\left\{  x\rightarrow ax+b:2x\left(  ax+b\right)  -ax-b\equiv
0\right\} \\
&  =\left\{  x\rightarrow ax+b:2ax^{2}+\left(  2b-a\right)  x-b\equiv
0\right\}  =\left\{  0\right\}  .
\end{align*}
Zatem%
\[
2=\dim\Pi_{1}=\dim\ker F+\dim\operatorname{Im}F=0+\dim\operatorname{Im}F.
\]
St\k{a}d $\operatorname{Im}F=\operatorname*{span}\left\{  e_{1},e_{2}\right\}
,$ gdzie
\begin{align*}
e_{1}\left(  x\right)   &  =F\left(  1\right)  =2x-1\\
e_{2}\left(  x\right)   &  =F\left(  x\right)  =2x^{2}-x=x\left(  2x-1\right)
.
\end{align*}
Ostatecznie $\operatorname{Im}F=\Pi_{2}\left(  \frac{1}{2}\right)  .$
\end{example}

\section{Uk\l ady r\'{o}wna\'{n} liniowych}

Rozwa\.{z}my uk\l ad $m$ r\'{o}wna\'{n} liniowych o $n$ niewiadomych
$x_{1},\ldots,x_{n}$:%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}%
\end{array}
\right.  , \label{72}%
\end{equation}
$a_{ij},b_{i}\in\mathbb{F}$ dla $1\leq i\leq m,1\leq j\leq n;$ $\mathbb{F}%
=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}$. W przypadku, gdy $b_{1}=\cdots
=b_{m}=0$ uk\l ad (\ref{72}) nazywamy \textcolor{blue}{uk\l adem jednorodnym}.
Przyjmuj\k{a}c oznaczenia:%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{llll}%
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}%
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}b=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}%
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}x=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{m}%
\end{array}
\right]
\]
uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci
macierzowej:%
\begin{equation}
Ax=b. \label{73}%
\end{equation}


\subsection{Twierdzenie Cramera}

W przypadku, gdy liczba r\'{o}wna\'{n} uk\l adu (\ref{72}) jest r\'{o}wna
liczbie niewiadomych, macierz $A$ jest macierz\k{a} kwadratow\k{a}. Je\.{z}eli
jest to macierz nieosobliwa to uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) nazywamy
\textcolor{blue}{uk\l adem Cramera}. Rozwi\k{a}zanie r\'{o}wnania (\ref{73})
-- a wi\k{e}c i uk\l adu (\ref{72}) -- mo\.{z}na w\'{o}wczas prosto
wyliczy\'{c} wykorzystuj\k{a}c macierz $A^{-1}$:%
\[
x=A^{-1}b.
\]
Rozwi\k{a}zanie uk\l adu r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z}
wyrazi\'{c} stosuj\k{a}c \textcolor{blue}{wzory Cramera}.

\begin{theorem}
[Cramer]Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$, $b\in\mathbb{F}^{n}$. Je\.{z}eli
macierz $A$ jest nieosobliwa, to uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{73}) posiada
dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie \linebreak$x=\left(  x_{1},\ldots
,x_{n}\right)  $:%
\begin{equation}
x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A}\text{\qquad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  ,
\label{74}%
\end{equation}
macierz $A_{i}$ oznacza macierz powsta\l \k{a} z macierzy $A$ przez
zast\k{a}pienie jej $i$--tej kolumny wektorem $b$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $a_{\cdot i}$ oraz $I_{\cdot i}$ oznaczaj\k{a} $i$--te kolumny
odpowiednio macierzy $A$ oraz macierzy jednostkowej $I_{n}$. W\'{o}wczas%
\begin{align*}
\frac{\det A_{i}}{\det A}  &  =\frac{\det\left[  a_{\cdot1},a_{\cdot2}%
,\ldots,a_{\cdot i-1},b,a_{\cdot i+1},\ldots,a_{\cdot n}\right]  }{\det A}\\
&  =\det\left(  A^{-1}\left[  a_{\cdot1},a_{\cdot2},\ldots,a_{\cdot
i-1},b,a_{\cdot i+1},\ldots,a_{\cdot n}\right]  \right) \\
&  =\det\left[  A^{-1}a_{\cdot1},A^{-1}a_{\cdot2},\ldots,A^{-1}a_{\cdot
i-1},A^{-1}b,A^{-1}a_{\cdot i+1},\ldots,A^{-1}a_{\cdot n}\right] \\
&  =\det\left[  I_{\cdot1},I_{\cdot2},\ldots,I_{\cdot i-1},x,I_{\cdot
i+1},\ldots,I_{\cdot n}\right]  =x_{i}.
\end{align*}

\end{proof}

\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e uk\l ad r\'{o}wna\'{n} jednorodnych ma zawsze
przynajmniej jedno rozwi\k{a}zanie (jakie?). Z twierdzenia Cramera wynika
natomiast, \.{z}e je\.{z}eli jednorodny uk\l ad r\'{o}wna\'{n} liniowych jest
uk\l adem Cramera, to rozwi\k{a}zanie to jest jego jedynym rozwi\k{a}zaniem.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y-z=1\\
2x+y-2z=0\\
x-y+2z=2
\end{array}
\right.  .
\]
Mamy%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 1 & -2\\
1 & -1 & 2
\end{array}
\right]  \text{\quad oraz\quad}b=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
0\\
2
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\det A=-3$ zatem jest to uk\l ad Cramera, kt\'{o}rego
rozwi\k{a}zanie okre\'{s}la wz\'{o}r (\ref{74}):%
\[
x=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
0 & 1 & -2\\
2 & -1 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=\frac{2}{3},\text{\quad}y=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -2\\
1 & 2 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=2,\text{\quad}z=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=\frac{5}{3}.
\]

\end{example}

\subsection{Twierdzenie Kroneckera--Capellego}

Rozwa\.{z}my, jak poprzednio, uk\l ad r\'{o}wna\'{n} liniowych $Ax=b,$ gdzie
$A\in\mathbb{F}^{m\times n},b\in\mathbb{F}^{m}$. Niech $U\in\mathbb{F}%
^{m\times\left(  n+1\right)  }$ b\k{e}dzie macierz\k{a} powsta\l \k{a} z
macierzy $A$ przez do\l \k{a}czenie do tej ostatniej dodatkowej kolumny --
wektora $b$, tj.%
\[
U=\left[
\begin{array}
[c]{ll}%
\left.
\begin{array}
[c]{llll}%
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}%
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\ldots\\
b_{m}%
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\]
Macierz $U$ nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a} uzupe\l nion\k{a}}. Jest
jasne, \.{z}e $\operatorname*{rank}U\geq\operatorname*{rank}A$. Z postaci
r\'{o}wnania (\ref{72}), kt\'{o}re mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci:%
\[
x_{1}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{11}\\
a_{21}\\
\ldots\\
a_{m1}%
\end{array}
\right]  +x_{2}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{12}\\
a_{22}\\
\ldots\\
a_{m2}%
\end{array}
\right]  +\ldots+x_{n}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\ldots\\
a_{mn}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\ldots\\
b_{m}%
\end{array}
\right]
\]
wynika, \.{z}e uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $Ax=b$ ma rozwi\k{a}zanie wtedy i tylko
wtedy, gdy wektor $b$ jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} kolumn macierzy $A$.
Warunek ten mo\.{z}emy r\'{o}wnowa\.{z}nie wyrazi\'{c} jako
r\'{o}wno\'{s}\'{c} $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U$.

\begin{theorem}
[Kroneckera-Capellego]Uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $Ax=b,$ gdzie $A\in
\mathbb{F}^{m\times n},b\in\mathbb{F}^{m}$, ma rozwi\k{a}zanie wtedy i tylko
wtedy, gdy $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U.$ Ponadto:

\begin{itemize}
\item je\.{z}eli $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=n$ ($n$-- liczba
niewiadomych) to rozwi\k{a}zanie to jest jedyne;

\item je\.{z}eli $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=r<n$ to
rozwi\k{a}za\'{n} jest niesko\'{n}czenie wiele; wszystkie one daj\k{a} si\k{e}
wyrazi\'{c} jako funkcja zale\.{z}na od $n-r$ parametr\'{o}w.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.  .
\]
Mamy $n=3$ oraz%
\[
U=\left[  A|b\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & -1 & 2\\
1 & -2 & 1
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-1\\
-2
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\]
Rz\k{e}dy macierzy $A$ oraz $U$ wyznaczymy korzystaj\k{a}c z metody eliminacji
Gaussa:%
\begin{align*}
\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & -1 & 2\\
1 & -2 & 1
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-1\\
-2
\end{array}
\end{array}
\right]   &  =\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
0 & -3 & 0\\
0 & -3 & 0
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-3\\
-3
\end{array}
\end{array}
\right] \\
&  =\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
0 & -3 & 0
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-3
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=2.$ Z
twierdzenia 6.4 wynika wi\k{e}c, \.{z}e rozwa\.{z}any uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
posiada niesko\'{n}czenie wiele rozwi\k{a}za\'{n} zale\.{z}nych od jednego
$(n-\operatorname*{rank}A)$ parametru. Wyznaczymy te rozwi\k{a}zania.\newline%
\textbf{Spos\'{o}b 1.} Maj\k{a}c wyj\'{s}ciowy uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
sprowadzony do postaci tr\'{o}jk\k{a}tnej, poszukiwane rozwi\k{a}zanie
wyznaczymy metod\k{a} \textit{systematycznego rugowania}:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.  \Leftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
-3y=-3
\end{array}
\right.  \Leftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=-t\\
y=1\\
z=t
\end{array}
,\text{\quad}t\in\mathbb{R}\right.  .
\]
\newline\textbf{Spos\'{o}b 2.} Skoro $\operatorname*{rank}A=2$ to macierz $A$
zawiera nieosobliw\k{a} podmacierz stopnia $2$; odnajdujemy t\k{e} macierz w
rozwi\k{a}zywanym uk\l adzie r\'{o}wna\'{n}. R\'{o}wnania, kt\'{o}re nie
wchodz\k{a} w sk\l ad tej macierzy odrzucamy, z kolei niewiadome, kt\'{o}rych
wybrana podmacierz nie obejmuje, przerzucamy na drug\k{a} stron\k{e}
r\'{o}wnania i traktujemy jako parametry. Uk\l ad r\'{o}wna\'{n}, jaki w ten
spos\'{o}b otrzymujemy, jest uk\l adem Cramera -- do jego rozwi\k{a}zania
stosujemy wzory (\ref{74}).

W naszym przypadku, poniewa\.{z}%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
2 & -1
\end{array}
\right\vert =-3\neq0,
\]
zatem uk\l ady r\'{o}wna\'{n}
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.
\]
oraz
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y=1-z\\
2x-y=-1-2z
\end{array}
\right.
\]
s\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}ne (maj\k{a} te same rozwi\k{a}zania). Stosuj\k{a}c do
tego ostatniego uk\l adu wzory (\ref{74}), mamy:%
\[
x=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
1-z & 1\\
-1-2z & -1
\end{array}
\right\vert }{-3}=-z,\text{\quad}y=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ll}%
1 & 1-z\\
2 & -1-2z
\end{array}
\right\vert }{-3}=1,\text{\qquad}z\in\mathbb{R}.
\]

\end{example}

\section{Metoda eliminacji Gaussa}

Przedstawiony poni\.zej spos\'ob rozwi\k{a}zywania uk\l ad\'ow r\'owna\'n
liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego metod\k{a} eliminacji
Gaussa. Metoda ta, niezwykle efektywna pod wzgl\k{e}dem numerycznym (nie
istnieje algorytm rozwi\k{a}zywania uk\l ad\'ow r\'owna\'n wymagaj\k{a}cy
istotnie mniejszej liczby dzia\l a\'n ni\.z metoda eliminacji Gaussa), polega
na sprowadzeniu macierzy uzupe\l nionej odpowiadaj\k{a}cej rozwi\k{a}zywanemu
uk\l adowi r\'owna\'n do uog\'olnionej postaci tr\'ojk\k{a}tnej (nazywanej
r\'ownie\.z postaci\k{a} schodkow\k{a}). Aby osi\k{a}gn\k{a}\'c ten efekt, na
macierzy uzupe\l nionej wykonujemy dwa rodzaje operacji:

\begin{itemize}
\item dodajemy do wybranego wiersza sumy pozosta\l ych wierszy pomno\.zonych
przez odpowiednio dobrane sta\l e;

\item zamieniamy kolejno\'s\'c wierszy.
\end{itemize}

Do uzyskanej w ten spos\'ob macierzy stosujemy twierdzenie
Kroneckera--Capellego. Warto przypomnie\'c w tym miejscu, \.ze pierwsza z
wymienionych powy\.zej operacji nie zmienia warto\'sci wyznacznika, druga
mo\.ze zmieni\'c jedynie jego znak. W efekcie, metoda eliminacji Gaussa mo\.ze
by\'c r\'ownie\.z stosowana do obliczania rz\k{e}du i wyznacznika macierzy
oraz do wyznaczania macierzy odwrotnej. Ide\k{e} metody eliminacji Gaussa
wyja\'snimy na kilku przyk\l adach.

\begin{example}
[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu oznaczonego]Celem naszym jest rozwi\k{a}zanie
uk\l adu r\'owna\'n%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y+z+w=0\\
-x-2y-z+w=1\\
x+y-2z-3w=2\\
4x-2y+4w=2
\end{array}
\right.  . \label{u4}%
\end{equation}
Macierz uzupe\l niona $U$ rozwa\.zanego uk\l adu ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa wykorzystujemy pierwszy wiersz,
nazywany \textbf{wierszem g\l \'ownym dla pierwszego kroku. }Post\k{e}pujemy w
spos\'ob nast\k{e}puj\k{a}cy:\textbf{ }do drugiego wiersza dodajemy pierwszy
pomno\.zony przez $\frac{1}{2};$ do trzeciego pomno\.zony przez $-\frac{1}%
{2};$ do czwartego pomno\.zony przez $-2$. Liczb\k{e} $2$ -- pierwszy
niezerowy element wiersza g\l \'ownego nazywamy \textbf{elementem g\l \'ownym
dla pierwszego kroku}. Otrzymujemy%
\[
\begin{aligned}
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  &\rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+\frac{1}{2}w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}-\frac{1}{2}w_{1}\\
w_{4}\rightarrow w_{4}-2w_{1}%
\end{array}
\right. \rightarrow\\  &\rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{7}{2}\\
0 & -4 & -2 & 2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  .
\end{aligned}
\]
W kolejnym kroku, wierszem g\l \'ownym jest wiersz drugi nazywany
\textbf{wierszem g\l \'ownym dla drugiego kroku}; elementem g\l \'ownym dla
drugiego kroku jest $-\frac{3}{2}$. Post\k{e}pujemy analogicznie jak w kroku
pierwszym: do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony przez
$\frac{1}{3};$ do wiersza czwartego pomno\.zony przez $-\frac{8}{3}$.
Otrzymujemy:%
\[
\begin{aligned}
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{7}{2}\\
0 & -4 & -2 & 2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  &\rightarrow \left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+\frac{1}{3}w_{2}\\
w_{4}\rightarrow w_{4}-\frac{8}{3}w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow \\ &\rightarrow \left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & -\frac{2}{3} & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
\frac{7}{3}\\
-\frac{2}{3}%
\end{array}
\right)  .
\end{aligned}
\]
W ostatnim, trzecim kroku wierszem g\l \'ownym jest wiersz trzeci --
\textbf{wiersz g\l \'owny dla kroku trzeciego}; elementem g\l \'ownym jest
$-\frac{8}{3}$. Mno\.z\k{a}c trzeci wiersz przez $-\frac{1}{4}$ i dodaj\k{a}c
do wiersza czwartego otrzymujemy:%
\begin{equation}
\begin{aligned} \left( \left. \begin{array} [c]{cccc}2 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} & -2 \end{array} \right\vert \begin{array} [c]{c}0\\ 1\\ \frac{7}{3}\\ -\frac{2}{3}\end{array} \right) &\rightarrow\left\vert \begin{array} [c]{l}w_{1}\rightarrow w_{1}\\ w_{2}\rightarrow w_{2}\\ w_{3}\rightarrow w_{3}\\ w_{4}\rightarrow w_{4}-\frac{1}{4}w_{3}\end{array} \right. \rightarrow \\ &\rightarrow \left( \left. \begin{array} [c]{cccc}2 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{4}\end{array} \right\vert \begin{array} [c]{c}0\\ 1\\ \frac{7}{3}\\ -\frac{5}{4}\end{array} \right) .\label{u5}\end{aligned}
\end{equation}
Uzyskana w ten spos\'ob macierz schodkowa jest macierz\k{a} uzupe\l nion\k{a}
uk\l adu r\'owna\'n posiadaj\k{a}cego te same rozwi\k{a}zania, co wyj\'sciowy
uk\l ad:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y+z+w=0\\
-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}w=1\\
-\frac{8}{3}z-3w=\frac{7}{3}\\
-\frac{5}{4}w=-\frac{5}{4}%
\end{array}
\right.  .
\]
Z postaci macierzy wida\'c r\'ownie\.z, \.ze uk\l ad ten posiada dok\l adnie
jedno rozwi\k{a}zanie. Wyznaczamy je rozwi\k{a}zuj\k{a}c otrzymany uk\l ad
r\'owna\'n w kolejno\'sci od ostatniego r\'ownania do pierwszego. Uzyskujemy
kolejno:
\[
w=1,z=-2,y=1,x=0.
\]


Warto zanotowa\'c, \.ze operacje jakie wykonywali\'smy na macierzy
wyj\'sciowego uk\l adu r\'owna\'n (\ref{u4}), aby sprowadzi\'c j\k{a} do
postaci tr\'ojk\k{a}tnej (\ref{u5}) nie zmieni\l y jej wyznacznika. Poniewa\.z
wyznacznik macierzy tr\'ojk\k{a}tnej r\'owny jest iloczynowi wyraz\'ow z
przek\k{a}tnej mamy%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert =\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & 0 & -\frac{5}{4}%
\end{array}
\right\vert =2\cdot\left(  -\frac{3}{2}\right)  \cdot\left(  -\frac{8}%
{3}\right)  \cdot\left(  -\frac{5}{4}\right)  =-10\text{.}%
\]

\end{example}

\begin{example}
[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu nieoznaczonego]Rozwa\.zmy uk\l ad r\'owna\'n%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+3y-4z=6\\
-4x+2z=0\\
2y-2z=4
\end{array}
\right.  .
\]
Macierz uzupe\l niona tego uk\l adu ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
-4 & 0 & 2\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
0\\
4
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa do wiersza drugiego dodajemy wiersz
pierwszy pomno\.zony przez $2$; wiersz trzeci natomiast przepisujemy bez
zmian:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
-4 & 0 & 2\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
0\\
4
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+2w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
4
\end{array}
\right)  .
\]
W kroku drugim, do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony przez
$-\frac{1}{3}:$%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
4
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}-\frac{1}{3}w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
0
\end{array}
\right)  .
\]
\l atwo teraz stwierdzi\'c, korzystaj\k{a}c z twierdzenia Kroneckera --
Capellego, \.ze rozwa\.zany uk\l ad r\'owna\'n jest nieoznaczony (posiada
niesko\'nczenie wiele rozwi\k{a}za\'n). Jest on r\'ownowa\.zny uk\l adowi%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+3y-4z=6\\
6y-6z=12
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'orego rozwi\k{a}zania, r\'owne rozwi\k{a}zaniom wyj\'sciowego uk\l adu,
maj\k{a} posta\'c
\[
x=t,y=2+2t,z=2t,
\]
gdzie $t\in\mathbb{R}$ jest dowolnym parametrem.
\end{example}

\begin{example}
[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu sprzecznego]Rozwa\.zmy uk\l ad r\'owna\'n%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
5x-2y-z=1\\
-2x+2y-2z=2\\
-x-2y+5z=1
\end{array}
\right.  ,
\]
dla kt\'orego macierz uzupe\l niona $U$ ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
-2 & 2 & -2\\
-1 & -2 & 5
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
2\\
1
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa do wiersza drugiego dodajemy wiersz
pierwszy pomno\.zony przez $\frac{2}{5}$; do wiersza trzeciego pomno\.zony
przez $\frac{1}{5}$:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
-2 & 2 & -2\\
-1 & -2 & 5
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
2\\
1
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+\frac{2}{5}w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+\frac{1}{5}w_{1}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & -\frac{12}{5} & \frac{24}{5}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
\frac{6}{5}%
\end{array}
\right)  .
\]
W drugim kroku do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony przez
$2$:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & -\frac{12}{5} & \frac{24}{5}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
\frac{6}{5}%
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+2w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
6
\end{array}
\right)  .
\]
Na podstawie twierdzenia Kroneckera -- Capellego stwierdzamy, \.ze otrzymany
uk\l ad r\'owna\'n jest sprzeczny. Oznacza to, \.ze i wyj\'sciowy uk\l ad
r\'owna\'n nie posiada rozwi\k{a}za\'n.
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Warto\'{s}ci i wektory w\l asne}

Niech $X$ b\k{e}dzie sko\'{n}czenie wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a}
nad cia\l em $\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$. Niech $f:X\rightarrow X$
b\k{e}dzie \textcolor{blue}{endomorfizmem}, tj. odwzorowaniem liniowym
przekszta\l aj\k{a}cym przestrze\'{n} liniow\k{a} w ni\k{a} sam\k{a}.

\begin{definition}
Skalar $\lambda\in\mathbb{F}$ nazywamy
\textcolor{blue}{warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a}} endomorfizmu $f$ je\.{z}eli
istnieje niezerowy wektor $v\in X$, taki \.{z}e%
\begin{equation}
f\left(  v\right)  =\lambda v; \label{8.1}%
\end{equation}
wektor $v$ nazywamy \textcolor{blue}{wektorem w\l asnym} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Zachodzi nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Dla endomorfizmu $f:X\rightarrow X$ nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a}
r\'{o}wno- wa\.{z}ne:

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\lambda$ jest warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} $f$;

\item[(b)] $\ker\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\nolimits_{X}\right)
\neq\left\{  0\right\}  ;$

\item[(c)] $\det\left(  A_{f}-\lambda I\right)  =0,$ gdzie $A_{f}$ jest
macierz\k{a} endomorfizmu $f$ (w dowolnej bazie przestrzeni $X$).
\end{enumerate}
\end{theorem}

Niech teraz $A=\left[  a_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times n}$ b\k{e}dzie
dowoln\k{a} macierz\k{a}, a $X$ $n$--wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a}
liniow\k{a} o bazie $e_{1},\ldots,e_{n}$. Mo\.{z}emy skonstruowa\'{c}
endomorfizm $f:X\rightarrow X,$ kt\'{o}rego macierz\k{a} w ustalonej bazie
$e_{1},\ldots,e_{n}$ jest macierz $A$. Endomorfizm ten wystarczy
zdefiniowa\'{c} na wektorach bazowych (co z innymi wektorami?) w
nast\k{e}puj\k{a}cy spos\'{o}b:
\[
f\left(  e_{i}\right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}\text{\qquad}\left(
i=1,\ldots,n\right)  .
\]
Poj\k{e}cia warto\'{s}ci w\l asnej oraz wektora w\l asnego w spos\'{o}b
naturalny przenosz\k{a} si\k{e} wi\k{e}c na macierze.

\begin{definition}
Skalar $\lambda\in\mathbb{F}$ nazywamy
\textcolor{blue}{warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a}} macierzy $A\in\mathbb{F}%
^{n\times n}$ je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v\in\mathbb{F}^{n}$, taki
\.{z}e%
\[
Av=\lambda v;
\]
wektor $v$ nazywamy \textcolor{blue}{wektorem w\l asnym} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Zbi\'{o}r wszystkich warto\'{s}ci w\l asnych macierzy $A$ oznaczamy
$\sigma\left(  A\right)  $ i nazywamy\linebreak\textcolor{blue}{widmem}
macierzy $A$.

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce twierdzenie.

\begin{theorem}
\textit{Dla macierzy }$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ \textit{nast\k{e}puj\k{a}ce
warunki s\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}ne:}

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\lambda$\textit{ jest warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} }%
$A$\textit{;}

\item[(b)] uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $\left(  A-\lambda I\right)  v=0$ ma
niezerowe rozwi\k{a}zanie;

\item[(c)] $\det\left(  A-\lambda I\right)  =0$\textit{.}
\end{enumerate}
\end{theorem}

Dla dowolnej macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ odwzorowanie $\varphi
_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda I\right)  $ jest wielo-
mianem stopnia $n$ (\'{c}wiczenie), kt\'{o}rego pierwiastkami s\k{a}
warto\'{s}ci w\l asne macierzy $A$. Wielomian $\varphi_{A}$ nazywamy
\textcolor{blue}{wielomianem charakterystycznym} macierzy $A$.

\begin{remark}
Je\.{z}eli elementy macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{
nale\.{z}\k{a} do cia\l a }$\mathbb{F},$\textit{ kt\'{o}re jest \linebreak%
\textcolor{blue}{algebraicznie domkni\k{e}te} (tzn. ka\.{z}dy wielomian
stopnia }$n$\textit{ o wsp\'{o}\l czynnikach z cia\l a }$\mathbb{F}$\textit{
ma }$n$\textit{ pierwiastk\'{o}w w ciele }$\mathbb{F}$\textit{) to macierz
}$A$\textit{ posiada }$n$\textit{ warto\'{s}ci w\l asnych (liczonych z
krotno\'{s}ciami). Je\.{z}eli natomiast elementy macierzy s\k{a} elementami
cia\l a, kt\'{o}re nie jest algebraicznie domkni\k{e}te (takim cia\l em jest
na przyk\l ad cia\l o liczb rzeczywistych!), to macierz ta mo\.{z}e nie
mie\'{c} warto\'{s}ci w\l asnych (zob. przyk\l ad 7.4 poni\.{z}ej).}
\end{remark}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\sigma\left(
A\right)  $ s\k{a} warto\'{s}ciami w\l asnymi macierzy $A\in\mathbb{F}%
^{n\times n}$. W\'{o}wczas, wielomian charakterystyczny $\varphi_{A}$ macierzy
$A$ mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci%
\begin{align*}
\varphi_{A}\left(  \lambda\right)   &  =a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda
^{n-1}+\ldots+a_{1}\lambda+a_{0}\\
&  =a_{n}\left(  \lambda-\lambda_{1}\right)  \cdots\left(  \lambda-\lambda
_{n}\right)  .
\end{align*}
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $a_{n}=\left(  -1\right)  ^{n}$ oraz,
uwzgl\k{e}niaj\k{a}c wzory Vi\`{e}te'a,%
\begin{align*}
\lambda_{1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{n}  &  =a_{0}=\det A,\\
\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}  &  =\left(  -1\right)  ^{n+1}a_{n-1}%
=\operatorname*{tr}\left(  A\right)  ,
\end{align*}
gdzie $\operatorname*{tr}\left(  A\right)  =a_{11}+\ldots+a_{nn}$ to
\textcolor{blue}{\'{s}lad} macierzy $A$.

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci widma macierzy }$\left(
A\in\mathbb{F}^{n\times n}\right)  $\textbf{:}

\begin{description}
\item[a)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  ,$\textit{ }$k\in\mathbb{N}%
\Rightarrow\lambda^{k}\in\sigma\left(  A^{k}\right)  ;$

\item[b)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  $\textit{, }$\det A\neq
0\Rightarrow\lambda^{-1}\in\sigma\left(  A^{-1}\right)  ;$

\item[c)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  $\textit{, }$\alpha\in
\mathbb{F}\Rightarrow\alpha\lambda\in\sigma\left(  \alpha A\right)  ;$

\item[d)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  \Rightarrow\overline{\lambda}%
\in\sigma\left(  A^{\ast}\right)  $\textit{ (w szczeg\'{o}lno\'{s}ci:
}$\lambda\in\sigma\left(  A\right)  \Rightarrow\lambda\in\sigma\left(
A^{T}\right)  $\textit{).}
\end{description}

\noindent\textbf{\'{C}wiczenie }Uzasadni\'{c} powy\.{z}sze w\l asno\'{s}ci.

\begin{example}
Wyznaczymy warto\'{s}ci oraz wektory w\l asne macierzy
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0\\
-2 & -2 & -1
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda
I\right)  =-\left(  1-\lambda\right)  \left(  2-\lambda\right)  \left(
1+\lambda\right)  ,$ zatem macierz $A$ ma trzy r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci
w\l asne: $\lambda_{1}=-1,\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=2.$ Dla ka\.{z}dej z nich
wyznaczymy wektor w\l asny:

\begin{itemize}
\item dla $\lambda_{1}=-1\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 2 & 0\\
0 & 3 & 0\\
-2 & -2 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2x+2y\\
3y\\
-2x-2y
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  0,0,t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{1}}=\left(
0,0,1\right)  ;$

\item dla $\lambda_{2}=1\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-2 & -2 & -2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2y\\
y\\
-2x-2y-2z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  t,0,-t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{2}}=\left(
1,0,-1\right)  ;$

\item dla $\lambda_{3}=2\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0\\
-2 & -2 & -3
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
-x+2y\\
0\\
-2x-2y-3z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  2t,t,-2t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{3}}=\left(
2,1,-2\right)  .$
\end{itemize}
\end{example}

\section{Twierdzenie Cayleya-Hamiltona}

Rozwa\.{z}my macierz kwadratow\k{a} $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ oraz
wielomian $w$ postaci%
\[
w\left(  s\right)  =a_{m}s^{m}+\ldots+a_{1}s+a_{0}.
\]
Mo\.{z}emy w\'{o}wczas utworzy\'{c} macierz $w\left(  A\right)  $
okre\'{s}lon\k{a} jako%
\[
w\left(  A\right)  =a_{m}A^{m}+\ldots+a_{1}A+a_{0}I_{n}.
\]


\begin{definition}
[wielomian zeruj\k{a}cy]Je\.{z}eli $w\left(  A\right)  =0_{n}$ to wielomian
$w$ nazywamy wielomianem zeruj\k{a}cym (wielomianem anuluj\k{a}cym) macierzy
$A$.
\end{definition}

Pytanie jakie mo\.{z}e si\k{e} nasun\k{a}\'{c} jest nast\k{e}puj\k{a}ce -- czy
dla ka\.{z}dej macierzy istnieje wielomian zeruj\k{a}cy? Odpowied\'{z} jest
zawarta w poni\.{z}szym twierdzeniu.

\begin{theorem}
[Cayley--Hamilton]Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej jest jej
wielomianem zeruj\k{a}cym.
\end{theorem}

\begin{example}
[odwracanie macierzy]Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
2 & 0 & 0
\end{array}
\right)  .
\]
Jej wielomian charakterystyczny ma posta\'{c}%
\[
\varphi\left(  \lambda\right)  =\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1-\lambda & 2 & -1\\
-2 & -\lambda & 3\\
2 & 0 & -\lambda
\end{array}
\right\vert =-\lambda^{3}+\lambda^{2}-6\lambda+12.
\]
Poniewa\.{z} $\varphi\left(  0\right)  =12\neq0$ zatem macierz $A$ jest
nieosobliwa. Wyznaczymy teraz jej odwrotno\'{s}\'{c}. Na podstawie twierdzenie
Cayleya--Hamiltona mo\.{z}emy napisa\'{c}%
\[
-A^{3}+A^{2}-6A+12I_{3}=0_{3}%
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
\frac{1}{12}A\left(  A^{2}-A+6I_{3}\right)  =I_{3}.
\]
Oznacza to, na podstawie definicji macierzy odwrotnej, \.{z}e
\begin{align*}
A^{-1}  &  =\frac{1}{12}\left(  A^{2}-A+6I_{3}\right)  =\frac{1}{12}\left(
\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
-5 & 2 & 5\\
4 & -4 & 2\\
2 & 4 & -2
\end{array}
\right)  -\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
2 & 0 & 0
\end{array}
\right)  +\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
6 & 0 & 0\\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 6
\end{array}
\right)  \right) \\
&  =\frac{1}{12}\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 6\\
6 & 2 & -1\\
0 & 4 & 4
\end{array}
\right)  .
\end{align*}

\end{example}

\section{Podprzestrze\'{n} w\l asna}

Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ oraz niech $\lambda\in\sigma\left(
A\right)  .$ Zbi\'{o}r
\[
V_{\lambda}=\left\{  v\in\mathbb{F}^{n}:Av=\lambda v\right\}
\]
sk\l ada si\k{e} z \textbf{0} oraz wszystkich wektor\'{o}w w\l asnych
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$. Poniewa\.{z}
$V_{\lambda}=\ker\left\{  x\rightarrow\left(  A-\lambda I\right)  x\right\}  $
zatem zbi\'{o}r ten -- jako j\k{a}dro endomorfizmu -- jest podprzestrzeni\k{a}
liniow\k{a} przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$; jest to tak zwana
\textcolor{blue}{podprzestrze\'{n} w\l asna} macierzy $A$ (ew.
podprzestrze\'{n} w\l asna endomorfizmu wyznaczonego przez macierz $A$)
odpowiadaj\k{a}ca warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.

\begin{example}
Poniewa\.{z} macierz z przyk\l adu 7.1 ma trzy r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci
w\l asne, zatem mo\.{z}emy dla niej wyznaczy\'{c} trzy podprzestrzenie
w\l asne:%
\begin{align*}
V_{\lambda_{1}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=y=0,z=t,t\in\mathbb{R}\right\}  ;\\
V_{\lambda_{2}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=t,y=0,z=-t,t\in\mathbb{R}\right\}  ;\\
V_{\lambda_{3}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=2t,y=t,z=-2t,t\in\mathbb{R}\right\}  .
\end{align*}

\end{example}

\bigskip\noindent Udowodnimy teraz twierdzenie, z kt\'{o}rego wynika bardzo
wa\.{z}na w\l asno\'{s}\'{c} podprzestrzeni w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych
r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym.

\begin{theorem}
R\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$
odpowiadaj\k{a} liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne.
\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ $\left(  k\leq n\right)  $ b\k{e}d\k{a}
r\'{o}\.{z}nymi warto\'{s}ciami w\l asnymi macierzy $A,$ a $v_{i}\in
V_{\lambda_{i}}$ $\left(  i=1,\ldots,k\right)  $ odpowiadaj\k{a}cymi im
wektorami w\l asnymi. Nale\.{z}y wykaza\'{c} warunek%
\begin{equation}
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{k}v_{k}=0\Rightarrow\alpha_{1}=\ldots
=\alpha_{k}=0. \label{8.2}%
\end{equation}
Dow\'{o}d poprowadzimy przez indukcj\k{e} wzgl\k{e}dem $k$. Dla $k=1$ teza
zachodzi (wektor zerowy, mimo \.{z}e nale\.{z}y do ka\.{z}dej podprzestrzeni
w\l asnej, nie jest wektorem w\l asnym). Za\l \'{o}\.{z}my, \.{z}e teza
zachodzi dla dowolnych $k-1$ wektor\'{o}w w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych
r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym oraz, dla dowodu nie wprost,
przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e warunek (\ref{8.2}) nie jest spe\l niony. Oznacza
to, \.{z}e dla pewnego $i\in\left\{  1,\ldots,k\right\}  :$%
\[
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{k}v_{k}=0\text{\quad oraz\quad}\alpha_{i}%
\neq0.
\]
Dla dowolnego $r\neq i$ mamy%
\begin{align*}
0 =  &  \left(  A-\lambda_{r}I\right)  \left(  \alpha_{1}v_{1}+\ldots
+\alpha_{k}v_{k}\right)  =\alpha_{1}\left(  A-\lambda_{r}I\right)
v_{1}+\ldots+\alpha_{k}\left(  A-\lambda_{r}I\right)  v_{k}=\\
=  &  \alpha_{1}\left(  \lambda_{1}-\lambda_{r}\right)  v_{1}+\ldots
+\alpha_{r-1}\left(  \lambda_{r-1}-\lambda_{r}\right)  v_{r-1}+\alpha
_{r+1}\left(  \lambda_{r+1}-\lambda_{r}\right)  v_{r+1}+\\
&  +\ldots+\alpha_{k}\left(  \lambda_{k}-\lambda_{r}\right)  v_{k}%
\end{align*}
sk\k{a}d, na podstawie za\l o\.{z}enia indukcyjnego, wynika, \.{z}e wszystkie
wsp\'{o}\l czynniki $\alpha_{m}\left(  \lambda_{m}-\lambda_{r}\right)
\ $s\k{a} zerami; w szczeg\'{o}lno\'{s}ci $\alpha_{i}\left(  \lambda
_{i}-\lambda_{r}\right)  =0.$ Poniewa\.{z} $\lambda_{i}\neq\lambda_{r},$ zatem
$\alpha_{i}=0$, wbrew za\l o\.{z}eniu.
\end{proof}

\section{Diagonalizowalno\'{s}\'{c}}

Niech $f:X\rightarrow X$ b\k{e}dzie endomorfizmem.

\begin{definition}
Endomorfizm $f$ jest \textcolor{blue}{diagonalizowalny}, je\.{z}eli istnieje
baza przestrzeni $X$ w kt\'{o}rej macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.
\end{definition}

Poj\k{e}cie diagonalizowalno\'{s}ci mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z} wprowadzi\'{c} w
zbiorze macierzy. Zanim to zrobimy wprowadzimy w zbiorze macierzy relacj\k{e} podobie\'{n}stwa.

\begin{definition}
Niech $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}.$ M\'{o}wimy, \.{z}e macierz $A$ jest
podobna do macierzy $B$ (ozn. $A\sim B$) je\.{z}eli istnieje macierz
nieosobliwa $P\in\mathbb{F}^{n\times n}$, taka \.{z}e\textit{ }%
\begin{equation}
A=PBP^{-1}. \label{8.3}%
\end{equation}

\end{definition}

\L atwo wykaza\'{c} (\'{c}wiczenie), \.{z}e relacja podobie\'{n}stwa macierzy
jest relacj\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}no\'{s}ci, tzn. jest:

\begin{itemize}
\item zwrotna, tj. $A\sim A;$

\item symetryczna, tj. $A\sim B\Rightarrow B\sim A;$

\item przechodnia, tj. $A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C.$
\end{itemize}

Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e $A\sim B.$ Oznacza to, \.{z}e $A=PBP^{-1},$
dla pewnej macierzy nieosobliwej $P.$ Mamy:%
\begin{align*}
\varphi_{A}\left(  \lambda\right)   &  =\det\left(  A-\lambda I\right)
=\det\left(  PBP^{-1}-\lambda I\right)  =\det P\left(  B-\lambda I\right)
P^{-1}=\\
&  =\det P\det\left(  B-\lambda I\right)  \det P^{-1}=\varphi_{B}\left(
\lambda\right)
\end{align*}
co oznacza, \.{z}e
\textcolor{blue}{macierze podobne maj\k{a} ten sam wielomian
charakterystyczny}; w konsekwencji maj\k{a} one r\'{o}wnie\.{z} identyczne
warto\'{s}ci w\l asne.

\begin{definition}
Macierz $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jest macierz\k{a} \textcolor{blue}{
diagonalizowaln\k{a}}, je\.{z}eli jest podobna do macierzy diagonalnej.
\end{definition}

Zanim podamy twierdzenie charakteryzuj\k{a}ce macierze diagonalizowalne
rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy przyk\l ad.

\begin{example}
Niech $A_{1},A_{2}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ b\k{e}d\k{a} macierzami postaci%
\[
A_{1}=I=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}A_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1\\
0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Macierze te maj\k{a} ten sam wielomian charakterystyczny
\[
\varphi_{A_{1}}\left(  \lambda\right)  =\varphi_{A_{2}}\left(  \lambda\right)
=\left(  1-\lambda\right)  ^{n}.
\]
Poniewa\.{z} widma macierzy $A_{1}$ oraz $A_{2}$ s\k{a} jednoelementowe%
\[
\sigma\left(  A_{1}\right)  =\sigma\left(  A_{2}\right)  =\left\{  1\right\}
,
\]
mo\.{z}emy dla ka\.{z}dej z nich wyznaczy\'{c} po jednej przestrzeni w\l asnej.

Dla macierzy $A_{1}$ mamy:%
\[
V_{\lambda=1}^{(1)}=\left\{  x\in\mathbb{R}^{n}:x=x\right\}  =\mathbb{R}^{n}.
\]
Poniewa\.{z} $\dim V_{\lambda=1}^{(1)}=n,$ wi\k{e}c mo\.{z}emy wybra\'{c}
dok\l adnie $n$ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych macierzy
$A_{1}$ odpowiadaj\k{a}cych jej jedynej warto\'{s}ci w\l asnej \linebreak%
$\lambda=1.$ Dodatkowo, macierz $A_{1}$ -- jako macierz diagonalna -- jest w
spos\'{o}b oczywisty macierz\k{a} diagonalizowaln\k{a}.

Z kolei dla macierzy $A_{2}$ mamy%
\[
V_{\lambda=1}^{(2)}=\left\{  x\in\mathbb{R}^{n}:A_{2}x=x\right\}  =\left\{
x\in\mathbb{R}^{n}:\left(  A_{2}-I\right)  x=0\right\}  .
\]
Poniewa\.{z} $\operatorname*{rank}\left(  A_{2}-I\right)  =n-1,$ zatem na
podstawie twierdzenia Kroneckera-- Capellego wnioskujemy, \.{z}e uk\l ad
r\'{o}wna\'{n} $\left(  A_{2}-I\right)  x=0$ ma niesko\'{n}czenie wiele
rozwi\k{a}za\'{n} zale\.{z}nych od jednego parametru; tym samym $\dim
V_{\lambda=1}^{(2)}=1.$ Oznacza to, \.{z}e dla macierzy $A_{2}$ znajdziemy
tylko jeden liniowo niezale\.{z}ny wektor w\l asny odpowiadaj\k{a}cy jej
jedynej warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda=1$. Ponadto, macierz $A_{2}$ nie jest
diagonalizowalna. Jedyn\k{a} macierz\k{a} diagonaln\k{a}, do kt\'{o}rej
macierz $A_{2}$ mog\l aby by\'{c} podobna, jest macierz jednostkowa (macierze
podobne maj\k{a} te same warto\'{s}ci w\l asne). Musia\l aby wi\k{e}c
istnie\'{c} macierz nieosobliwa $P$ spe\l niaj\k{a}ca warunek%
\[
A_{2}=PIP^{-1}=I,
\]
kt\'{o}ry nie jest prawdziwy.
\end{example}

Mo\.{z}liwo\'{s}\'{c} diagonalizacji macierzy $A_{1}$ oraz brak
mo\.{z}liwo\'{s}ci diagonalizacji macierzy $A_{2}$ jest wynikiem tego, \.{z}e
dla macierzy $A_{1}$ mo\.{z}emy wybra\'{c} tyle\linebreak liniowo
niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych, ile wynosi krotno\'{s}\'{c}
warto\'{s}ci w\l asnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego; dla
macierzy $A_{2}$ warunek ten nie jest spe\l niony.

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Macierz $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jest diagonalizowalna wtedy i tylko
wtedy, gdy

\begin{enumerate}
\item[(a)] jej wielomian charakterystyczny$\ $ma $n$ pierwiastk\'{o}w w ciele
$\mathbb{F}$ (liczonych z krotno\'{s}ciami);

\item[(b)] dla ka\.{z}dej warto\'{s}ci w\l asnej macierzy $A$ mo\.{z}na
wybra\'{c} tyle liniowo niezale\.znych wektor\'{o}w w\l asnych, ile wynosi
krotno\'{s}\'{c} tej warto\'{s}ci w\l asnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e macierz $A$ jest diagonalizowalna. Oznacza to,
\.{z}e istniej\k{a} macierz diagonalna $B=\operatorname*{diag}\left(
b_{1},\ldots,b_{n}\right)  ,$ $b_{i}\in\mathbb{F}$ oraz macierz nieosobliwa
$P\in\mathbb{F}^{n\times n}$, dla kt\'{o}rych $A=PBP^{-1}$, lub
r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\begin{equation}
AP=PB. \label{84}%
\end{equation}
Niech $P=\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  ,$ gdzie $p_{i}\in\mathbb{F}^{n}$
$\left(  i=1,\ldots,n\right)  $. Poniewa\.{z}%
\[
AP=A\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  =\left[  Ap_{1},\ldots,Ap_{n}\right]
\]
oraz%
\[
PB=\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  \operatorname*{diag}\left(  b_{1}%
,\ldots,b_{n}\right)  =\left[  b_{1}p_{1},\ldots,b_{n}p_{n}\right]  ,
\]
zatem z warunku (\ref{84}) otrzymujemy, \.{z}e%
\begin{equation}
Ap_{i}=b_{i}p_{i}\quad\left(  i=1,\ldots,n\right)  . \label{85}%
\end{equation}
Z warunku (\ref{85}) wynika, \.{z}e wektory $p_{1},\ldots,p_{n}$ s\k{a}
liniowo niezale\.{z}nymi wektorami w\l asnymi macierzy $A$ odpowiadaj\k{a}cymi
warto\'{s}ciom w\l asnym $b_{1},\ldots,b_{n}$.

Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e macierz $A$ posiada $n$ liniowo
niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych $v_{1},\ldots,v_{n}\in\mathbb{F}^{n}$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ciom w\l asnym $\lambda_{1},\ldots,\lambda
_{n}\in\mathbb{F}$. Niech $V=\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  \in
\mathbb{F}^{n\times n}.$ Macierz $V$ jest nieosobliwa (dlaczego?). Ponadto:%
\[
AV=A\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  =\left[  Av_{1},\ldots,Av_{n}\right]
=\left[  \lambda_{1}v_{1},\ldots,\lambda_{n}v_{n}\right]
=V\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  ,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $A=V\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1}%
,\ldots,\lambda_{n}\right)  V^{-1}.$ Macierz $A$ jest wi\k{e}c diagonalizowalna.
\end{proof}

Zanotujmy na koniec, \.{z}e twierdzenie 7.4, mimo \.{z}e sformu\l owane dla
macierzy, pozostaje s\l uszne r\'{o}wnie\.{z} dla dowolnego endomorfizmu
$f:X\rightarrow X,$ gdzie $X$ jest sko\'{n}czenie wymiarow\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad cia\l em $\mathbb{F}$.
W\ szczeg\'{o}lno\'{s}ci, je\.{z}eli $f$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym
to istnieje baza przestrzeni $X$ z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych
endomorfizmu $f,$ przy kt\'{o}rej macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.

\begin{example}
Niech\textbf{ }$A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} postaci
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\lambda^{2}+1$, zatem
macierz $A$ nie ma rzeczywistych warto\'{s}ci w\l asnych -- nie jest wi\k{e}c
diagonalizowalna w klasie macierzy $\mathbb{R}^{2\times2}$. Ta sama macierz
traktowana jako element przestrzeni $\mathbb{C}^{2\times2}$ ma dwie
r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci w\l asne $\lambda_{1}=i,$ $\lambda_{2}=-i,$
kt\'{o}rym odpowiadaj\k{a} liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne r\'{o}wne
odpowiednio $v_{1}=\left(  -i,1\right)  $ oraz $v_{2}=\left(  i,1\right)  .$
Z\ dowodu twierdzenia 7.4 wynika, \.{z}e \linebreak$A=P\operatorname*{diag}%
\left(  i,-i\right)  P^{-1},$ gdzie
\[
P=\left[  v_{1},v_{2}\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & i\\
1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Faktycznie, poniewa\.{z} $P^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
-i & 1
\end{array}
\right]  ,$ zatem%
\[
P\operatorname*{diag}\left(  i,-i\right)  P^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & i\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 0\\
0 & -i
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
-i & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  =A.
\]

\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Posta\'{c} Jordana macierzy}

\section{Macierz Jordana}

Niech $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}.$ Macierz
$J_{r}\left(  \lambda\right)  \in\mathbb{F}^{r\times r}$ postaci%
\[
J_{r}\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $\lambda\in\mathbb{F}$, nazywamy \textcolor{blue}{klatk\k{a} Jordana}
stopnia $r$. Oczywi\'{s}cie $J_{1}\left(  \lambda\right)  =\left[
\lambda\right]  .$

\begin{definition}
Macierz blokow\k{a} $J\in\mathbb{F}^{n\times n}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  & \\
& J_{n_{2}}\left(  \lambda_{2}\right)  &  & \\
&  & \ddots & \\
&  &  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $n_{1}+\ldots+n_{k}=n,$ $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}\in\mathbb{F}$
oraz wszystkie niewypisane elementy macierzy $J$ s\k{a} zerami, nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a} Jordana}.
\end{definition}

Skalary $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ tworz\k{a}ce przek\k{a}tn\k{a}
macierzy $J$ s\k{a} jej warto\'{s}ciami w\l asnymi. Zauwa\.{z}my
r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e ka\.{z}da macierz diagonalna jest macierz\k{a}
Jordana; wymiar ka\.{z}dej klatki Jordana $J_{n_{i}}$ tworz\k{a}cej
przek\k{a}tn\k{a} tej macierzy jest r\'{o}wny jeden, tj. $J_{n_{i}}=\left[
\lambda_{i}\right]  $.\textit{ }Oznacza to, \.{z}e ka\.{z}da macierz
diagonalizowalna jest podobna do pewnej macierzy Jordana (zob.
podrozdzia\l \ 7.3, str. 50). Prawdziwe jest r\'{o}wnie\.{z} du\.{z}o og\'{o}lniejsze

\begin{theorem}
Niech $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}.
Istnieje w\'{o}wczas macierz nieosobliwa $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ taka
\.{z}e%
\begin{equation}
P^{-1}AP=J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  & \\
& J_{n_{2}}\left(  \lambda_{2}\right)  &  & \\
&  & \ddots & \\
&  &  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)
\end{array}
\right]  \label{91}%
\end{equation}
oraz $n_{1}+\ldots+n_{k}=n.$ Macierz Jordana $J$ macierzy $A$ jest wyznaczona
w spos\'{o}b jednoznaczny z dok\l adno\'{s}ci\k{a} do kolejno\'{s}ci klatek
Jordana, kt\'{o}re tworz\k{a} przek\k{a}tn\k{a} macierzy $J.$ Ponadto,
je\.{z}eli macierz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ma tylko rzeczywiste
warto\'{s}ci w\l asne to macierz $P$, ustalaj\k{a}ca podobie\'{n}stwo $A$ oraz
$J$, r\'{o}wnie\.{z} mo\.{z}e by\'{c} wybrana jako macierz o elementach rzeczywistych.
\end{theorem}

\begin{example}
Niech
\[
A_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\varepsilon & 0\\
1 & 0
\end{array}
\right]  ,
\]
dla $\varepsilon\neq0.$ Poniewa\.{z} $\sigma\left(  A_{\varepsilon}\right)
=\left\{  0,\varepsilon\right\}  $ zatem macierz $A_{\varepsilon}$ jest
diagonalizowalna. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e
\[
A_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & \varepsilon\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & \varepsilon
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & \varepsilon\\
1 & 1
\end{array}
\right]  ^{-1}=S_{\varepsilon}J_{\varepsilon}S_{\varepsilon}^{-1}.
\]
Oznacza to, \.{z}e macierz
\[
J_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & \varepsilon
\end{array}
\right]
\]
jest macierz\k{a} Jordana macierzy $A_{\varepsilon},$ dla dowolnego
$\varepsilon\neq0$. Jednak, je\.{z}eli $\varepsilon\rightarrow0$ to
$J_{\varepsilon}\rightarrow\left[  0\right]  _{2\times2},$ podczas gdy
macierz\k{a} Jordana macierzy $A_{0}$ jest macierz
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{remark}
Macierz Jordana $J$ wyznaczona dla macierzy $A$ nie musi by\'{c} funkcj\k{a}
ci\k{a}g\l \k{a} element\'{o}w macierzy $A$. Oznacza to trudno\'{s}ci z
konstrukcj\k{a} numerycznie akceptowalnego algorytmu wyznaczania, dla zadanej
macierzy $A$, odpowiadaj\k{a}c\k{a} jej macierz Jordana.
\end{remark}

\subsection{W\l asno\'{s}ci macierzy Jordana}

Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}, a
$J\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jej macierz\k{a} Jordana.

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 1 }\textit{Liczba }$k$
\textit{klatek Jordana tworz\k{a}cych macierz }$J$\textit{ jest r\'{o}wna
liczbie \linebreak liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych macierzy
}$A$\textit{.}

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 2 }\textit{Liczba klatek Jordana
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{ jest r\'{o}wna
wymiarowi przestrzeni w\l asnej macierzy }$A$\textit{ odpowiadaj\k{a}cej tej
warto\'{s}ci w\l asnej (czyli liczbie liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w
w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$)\textit{.
Suma stopni wszystkich tych klatek r\'{o}wna jest krotno\'{s}ci warto\'{s}ci
w\l asnej }$\lambda$ \textit{jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego
macierzy }$A$\textit{.}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda
I\right)  =-\left(  \lambda-1\right)  \left(  \lambda-2\right)  ^{2}$ zatem
macierz ma dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2$.
Wyznaczmy wymiary przestrzeni w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych tym
warto\'{s}ciom w\l asnym. Mamy:%
\begin{align*}
\dim V_{\lambda_{1}}  &  =\dim\left\{  \ker\left(  A-I\right)  \right\}
=3-\dim\left\{  \operatorname{Im}\left(  A-I\right)  \right\} \\
&  =3-\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  =1,\\
\dim V_{\lambda_{2}}  &  =\dim\left\{  \ker\left(  A-2I\right)  \right\}
=3-\dim\left\{  \operatorname{Im}\left(  A-2I\right)  \right\} \\
&  =3-\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  =1.
\end{align*}
Na podstawie w\l asno\'{s}ci 1, macierz Jordana macierzy $A$ sk\l ada si\k{e}
z dw\'{o}ch klatek Jordana (mo\.{z}emy wybra\'{c} tylko dwa liniowo
niezale\.{z}ne wektory w\l asne). Na podstawie w\l asno\'{s}ci 2, warto\'{s}ci
w\l asnej $\lambda_{1}=1$ odpowiada jedna klatka Jordana stopnia $1$,
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=2$ musi wi\k{e}c odpowiada\'{c} jedna
klatka Jordana stopnia $2$. Macierz Jordana macierzy $A$ ma wi\k{e}c
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz\textbf{ }$J\in\mathbb{R}^{8\times8}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$2$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $2$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $2$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$2$ & $1$\\
$0$ & $2$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$3$ & $1$\\
$0$ & $3$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  &
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$3$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\ \right]  ,
\]
w kt\'{o}rej wszystkie niewypisane elementy s\k{a} zerami. Macierz $J$ jest
macierz\k{a} Jordana. Posiada ona dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda
_{1}=2,\lambda_{2}=3.$ Z\ w\l asno\'{s}ci 2 wynika, \.{z}e dla ka\.{z}dej z
nich mo\.{z}na wybra\'{c} tylko pod dwa liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne.
\end{example}

Powy\.{z}szy przyk\l ad pokazuje, \.{z}e w\ celu wyznaczenia macierzy Jordana
dowolnej macierzy\ $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ o znanych warto\'{s}ciach
w\l asnych $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$, musimy umie\'{c} znajdowa\'{c}
liczb\k{e} $N\left(  m,\lambda\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$ $\left(
1\leq m\leq n\right)  $ odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$
macierzy $A$. Aby wyznaczy\'{c} t\k{e} liczb\k{e}, zdefiniujmy ci\k{a}g
$r_{k}\left(  \lambda\right)  $:%
\begin{equation}
r_{k}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}\left(  \left(  A-\lambda
I\right)  ^{k}\right)  ,\text{\quad}k\in\mathbb{N}. \label{92}%
\end{equation}
Oczywi\'{s}cie $r_{0}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}I=n.$
Zauwa\.{z}my ponadto, \.{z}e dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$:%
\begin{equation}
\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  \subset\ker\left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)  . \label{93}%
\end{equation}
Dzieje si\k{e} tak, gdy\.{z} dla $x\in\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)
^{k}\right)  $:%
\[
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}x=\left(  A-\lambda I\right)  \left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k}x\right)  =\left(  A-\lambda I\right)  0=0,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $x\in\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)
^{k+1}\right)  .$

\noindent Z\ warunku (8.3) wynika natychmiast, \.{z}e
\[
\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  \leq\dim\ker\left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)  ;
\]
tym samym%
\begin{align*}
r_{k}\left(  \lambda\right)   &  =\operatorname*{rank}\left(  \left(
A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  =n-\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda
I\right)  ^{k}\right)  \geq\\
&  \geq n-\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)
=\operatorname*{rank}\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)
=r_{k+1}\left(  \lambda\right)  .
\end{align*}
Ci\k{a}g $r_{k}\left(  \lambda\right)  $ okre\'{s}lony wzorem (8.2) jest
wi\k{e}c ci\k{a}giem nierosn\k{a}cym. Oznacza to, \.{z}e od pewnego miejsca
ci\k{a}g $r_{k}\left(  \lambda\right)  $ musi si\k{e} stabilizowa\'{c} (tzn.
staje si\k{e} ci\k{a}giem sta\l ym).

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 3} \textit{Liczba }$N\left(
m,\lambda\right)  $\textit{ klatek Jordana stopnia }$m\geq1$\textit{
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{ jest r\'{o}wna:}%
\begin{equation}
N\left(  m,\lambda\right)  =r_{m-1}\left(  \lambda\right)  -2r_{m}\left(
\lambda\right)  +r_{m+1}\left(  \lambda\right)  . \label{94}%
\end{equation}


\bigskip\noindent Aby zilustrowa\'{c} powy\.{z}sz\k{a} w\l asno\'{s}\'{c}
rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy przyk\l ad.

\begin{example}
Niech $J\in\mathbb{R}^{8\times8}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} z przyk\l adu 8.3.
Macierz $J$ ma dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=2,\lambda_{2}=3.$ Poniewa\.{z}

\begin{itemize}
\item dla $\lambda_{1}=2$:%
\begin{align*}
J-2I  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $1$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $1$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  &
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\right] \\
\left(  J-2I\right)  ^{2}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $0$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $2$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
$%
\end{tabular}
\ \right] \\
\left(  J-2I\right)  ^{3}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $3$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
$%
\end{tabular}
\ \right]
\end{align*}
zatem $r_{0}\left(  2\right)  =8,r_{1}\left(  2\right)  =6,r_{2}\left(
2\right)  =4\ $oraz $r_{k}\left(  2\right)  =3$ dla $k\geq3.$ Tym samym:
\begin{align*}
N\left(  1,2\right)   &  =8-12+4=0,\\
N\left(  2,2\right)   &  =6-8+3=1,\\
N\left(  3,2\right)   &  =4-6+3=1,\\
N\left(  k,2\right)   &  =0,\text{ dla }k\geq4.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}=2$ odpowiadaj\k{a} dwie
klatki Jordana: jedna stopnia $2$ i jedna stopnia $3.$

\item dla $\lambda_{2}=3$:%
\begin{align*}
J-3I  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$-1$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $-1$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $-1$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$-1$ & $1$\\
$0$ & $-1$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $1$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$0$\\\hline
\end{tabular}
\ $%
\end{tabular}
\ \ \right] \\
\left(  J-3I\right)  ^{2}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$1$ & $-2$ & $1$\\
$0$ & $1$ & $-2$\\
$0$ & $0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $-2$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$0$\\\hline
\end{tabular}
\ $%
\end{tabular}
\ \ \right]
\end{align*}
zatem $r_{0}\left(  3\right)  =8,r_{1}\left(  3\right)  =6$ oraz $r_{k}\left(
3\right)  =5\ $dla $k\geq2.$ Tym samym:%
\begin{align*}
N\left(  1,3\right)   &  =8-12+5=1,\\
N\left(  2,3\right)   &  =6-10+5=1,\\
N\left(  k,3\right)   &  =0,\text{ dla }k\geq3.
\end{align*}
Warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=3$ odpowiadaj\k{a} wi\k{e}c dwie klatki
Jordana: jedna stopnia $1$ i jedna stopnia $2.$ Posta\'{c} macierzy $J$
potwierdza uzyskane wyniki.
\end{itemize}
\end{example}

\noindent Pewn\k{a} niedogodno\'{s}ci\k{a} faktoryzacji (tj. rozk\l adu)
Jordana $A=PJP^{-1}$ jest to, \.{z}e w przypadku macierzy rzeczywistej
posiadaj\k{a}cej nierzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne jej macierz Jordana jest
macierz\k{a} nierzeczywist\k{a}. W wielu zagadnieniach praktycznych, oznacza
to konieczno\'{s}\'{c} poszukiwania innego rozk\l adu macierzy, nie tak
prostego jak rozk\l ad Jordana, ale prowadz\k{a}cego do macierzy rzeczywistych.

\section{Rzeczywista macierz Jordana}

Niech $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ oraz niech $\lambda$ i $\overline{\lambda}$
b\k{e}dzie par\k{a} nierzeczywistych sprz\k{e}\.{z}onych warto\'{s}ci
w\l asnych macierzy $A$. Poniewa\.{z} dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$, zgodnie
z (8.2),
\[
r_{k}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}\left(  A-\lambda I\right)
^{k}=\operatorname*{rank}\left(  A-\overline{\lambda}I\right)  ^{k}%
=r_{k}\left(  \overline{\lambda}\right)
\]
zatem liczba $N\left(  m,\lambda\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ jest r\'{o}wna liczbie
$N\left(  m,\overline{\lambda}\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\overline{\lambda}$. Oznacza to,
\.{z}e klatki Jordana $J_{m}\left(  \lambda\right)  $ oraz $J_{m}\left(
\overline{\lambda}\right)  $, tworz\k{a}ce przek\k{a}tn\k{a} macierzy Jordana,
musz\k{a} wyst\k{e}powa\'{c} parami. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e macierz
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{m}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{m}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}%
\]
jest podobna do macierzy
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
D\left(  \lambda\right)  & I_{2} &  & 0\\
& D\left(  \lambda\right)  & \ddots & \\
&  & \ddots & I_{2}\\
0 &  &  & D\left(  \lambda\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}, \label{95}%
\end{equation}
gdzie $D\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\lambda & 0\\
0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  $ oraz $I_{2}$ to macierz jednostkowa stopnia $2$; macierz\k{a} $P$
ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo jest stosownie wybrana macierz permutacji.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{2}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{2}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \overline{\lambda} & 1\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  .
\]
Niech $I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$ b\k{e}dzie macierz\k{a} powsta\l \k{a} z
macierz jednostkowej $I_{n}$ przez zamian\k{e} miejscami kolumn o indeksach
$i$ oraz $j$. Jest to tzw. macierz permutacji -- pomno\.{z}enie dowolnej
macierzy przez macierz $I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$ z prawej (z lewej)
strony powoduje zamian\k{e} miejscami kolumn (wierszy) o indeksach $i$ oraz
$j$. Wynika st\k{a}d, \.{z}e $\left(  I_{n}^{\left(  i,j\right)  }\right)
^{-1}=I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$. W rozwa\.{z}anym przypadku mamy%
\begin{align*}
\left(  I_{4}^{\left(  2,3\right)  }\right)  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{2}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{2}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  I_{4}^{\left(  2,3\right)  }  &  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \overline{\lambda} & 1\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \\
&  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 0 & 1 & 0\\
0 & \overline{\lambda} & 0 & 1\\
0 & 0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  .
\end{align*}

\end{example}

\noindent Wracaj\k{a}c do rozwa\.{z}a\'{n}, zauwa\.{z}my, \.{z}e dla macierzy
$S\ $postaci%
\[
S=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & -i\\
1 & -1
\end{array}
\right]  ,
\]
dla kt\'{o}rej
\[
S^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
i & -1
\end{array}
\right]  ,
\]
przyjmuj\k{a}c $\lambda=a+ib$, mamy%
\begin{align*}
SD\left(  \lambda\right)  S^{-1}  &  =SD\left(  a+ib\right)  S^{-1}=\frac
{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & -i\\
1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a+ib & 0\\
0 & a-ib
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
i & -1
\end{array}
\right] \\
&  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right]  .
\end{align*}
Przyjmuj\k{a}c oznaczenie $C\left(  a,b\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right]  $, \l atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e macierz $\ $(\ref{95}) jest podobna
do macierzy rzeczywistej%
\begin{equation}
C_{m}\left(  a,b\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
C\left(  a,b\right)  & I_{2} &  & 0\\
& C\left(  a,b\right)  & \ddots & \\
&  & \ddots & I_{2}\\
0 &  &  & C\left(  a,b\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}; \label{96}%
\end{equation}
macierz\k{a} ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo jest macierz blokowa
$\operatorname*{diag}\left(  S,\ldots,S\right)  $.

Otrzymane wyniki podsumujemy w nast\k{e}puj\k{a}cym twierdzeniu.

\begin{theorem}
Dowolna macierz rzeczywista $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ jest podobna do
macierzy rzeczywistej%
\begin{equation}
J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{cccccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  &  &  & \\
& \ddots &  &  &  & \\
&  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)  &  &  & \\
&  &  & C_{m_{1}}\left(  a_{1},b_{1}\right)  &  & \\
&  &  &  & \ddots & \\
&  &  &  &  & C_{m_{l}}\left(  a_{l},b_{l}\right)
\end{array}
\right]  , \label{97}%
\end{equation}
w kt\'{o}rej $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ to rzeczywiste, a $a_{1}%
+ib_{1},\ldots,a_{l}+ib_{l}$ nierzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne macierzy
$A$; rzeczywiste macierze blokowe $J_{n_{i}}\left(  \lambda_{i}\right)  $ to
klatki Jordana macierzy $A$ wyst\k{e}puj\k{a}ce w jej postaci Jordana, bloki
$C_{m_{i}}\left(  a_{i},b_{i}\right)  $ stopnia $2m_{i}$ s\k{a} postaci
(\ref{96}); $n_{1}+\ldots+n_{k}+2\left(  m_{1}+\ldots+m_{l}\right)  =n$.
\end{theorem}

\begin{example}
Niech $A\in\mathbb{R}^{5\times5}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} dla kt\'{o}rej
$\sigma\left(  A\right)  =\left\{  1,1\pm i\right\}  $ i tak\k{a} \.{z}e
\[
N\left(  1,1+i\right)  =N\left(  1,1-i\right)  =2.
\]
Z rozwa\.{z}a\'{n} poprzedzaj\k{a}cych twierdzenie wynika, \.{z}e je\.{z}eli
$\lambda\ $jest nierzeczywist\k{a} warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$
to liczba $N\left(  m,\lambda\right)  $ r\'{o}wna jest liczbie macierzy
postaci $\ $(\ref{95}) stopnia $2m$ tworz\k{a}cych rzeczywist\k{a} macierz
Jordana $J_{\operatorname{real}}$ macierzy $A$. Tym samym, w rozwa\.{z}anym
przypadku macierze Jordana $J$ oraz $J_{\operatorname{real}}$ maj\k{a}
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1+i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1+i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1-i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1-i
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e dla macierzy $A\in\mathbb{R}^{5\times5}$, dla
kt\'{o}rej $\sigma\left(  A\right)  =\left\{  1,1\pm i\right\}  ,$ mamy%
\[
N\left(  2,1+i\right)  =N\left(  2,1-i\right)  =1.
\]
W tym przypadku macierze Jordana $J$ oraz $J_{\operatorname{real}}$ maj\k{a}
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1+i & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1+i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1-i & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1-i
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Baza Jordana}

Niech $X$ b\k{e}dzie $n$--wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad
cia\l em $\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$. Rozwa\.{z}my dowolny endomorfizm
$f:X\rightarrow X$. Wiemy, \.{z}e posta\'{c} macierzy endomorfizmu zale\.{z}y
od wyboru bazy w przestrzeni $X$. Wiemy r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e je\.{z}eli
endomorfizm $f$ jest diagonalizowalny, to jego macierz w bazie przestrzeni $X$
z\l o\.{z}onej z jego $n$ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych
jest macierz\k{a} diagonaln\k{a}. Poniewa\.{z} nie ka\.{z}dy endomorfizm jest
diagonalizowalny, zatem nasuwa si\k{e} pytanie o to, jak prosta mo\.{z}e
by\'{c} posta\'{c} macierzy endomorfizmu niediagonalizowalnego. W
szczeg\'{o}lno\'{s}ci, czy istnieje baza przestrzeni wektorowej $X$, w
kt\'{o}rej macierz endomorfizmu $f:X\rightarrow X$ jest macierz\k{a} Jordana?

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $J\in\mathbb{R}^{4\times4}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & 0\\
0 & 0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $\lambda\in\mathbb{R}$. Macierz $J$ jest macierz\k{a} Jordana. Niech
$e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ b\k{e}dzie baz\k{a} $4$--wymiarowej rzeczywistej
przestrzeni $X$ oraz niech $f:X\rightarrow X$ b\k{e}dzie endomorfizmem
wyznaczonym przez macierz $J$. Z\ postaci macierzy $J$ otrzymujemy%
\[%
\begin{tabular}
[c]{lcc}%
(a) $\left\{
\begin{tabular}
[c]{l}%
$f\left(  e_{1}\right)  =\lambda e_{1}$\\
$f\left(  e_{2}\right)  =e_{1}+\lambda e_{2}$\\
$f\left(  e_{3}\right)  =e_{2}+\lambda e_{3}$\\
$f\left(  e_{4}\right)  =e_{3}+\lambda e_{4}$%
\end{tabular}
\ \ \right.  ,$ & lub r\'{o}wnowa\.{z}nie & (b) $\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  e_{1}\right)  =\lambda e_{1}\\
f\left(  e_{2}\right)  -\lambda e_{2}=e_{1}\\
f\left(  e_{3}\right)  -\lambda e_{3}=e_{2}\\
f\left(  e_{4}\right)  -\lambda e_{4}=e_{3}%
\end{array}
\right.  .$%
\end{tabular}
\ \
\]
Z r\'{o}wna\'{n} tych wynika, \.{z}e $e_{1}$ jest wektorem w\l asnym
endomorfizmu $f$ odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$;
pozosta\l e wektory $e_{2},e_{3},e_{4}$ spe\l niaj\k{a} r\'{o}wnania%
\[
\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\right)  \left(  e_{k+1}\right)
=e_{k},\text{\quad}k=1,2,3.
\]

\end{example}

Powy\.{z}szy przyk\l ad sugeruje spos\'{o}b konstrukcji bazy przestrzeni
wektorowej, w kt\'{o}rej macierz endomorfizmu jest macierz\k{a} Jordana.

\section{\ Wektory g\l \'{o}wne}

Przy za\l o\.{z}eniach i oznaczeniach sformu\l owanych na pocz\k{a}tku
rozdzia\l u, przypu\'{s}\'{c}my \.{z}e $\lambda\in\mathbb{F}$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} endomorfizmu $f$. Oznacza to, \.{z}e dla
endomorfizmu $f$ istnieje co najmniej jeden wektor w\l asny, kt\'{o}ry na
potrzeby tego rozdzia\l u oznaczymy $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }$ i
b\k{e}dziemy nazywa\'{c}
\textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $1$} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$. Wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq2$
zdefiniujemy indukcyjnie: przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e $v_{\lambda}^{\left(
k-1\right)  }\in X$ jest wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k-1$
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\in X$
spe\l niaj\k{a}cy warunek
\begin{equation}
\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\nolimits_{X}\right)  v_{\lambda}^{\left(
k\right)  }=v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }, \label{ww2}%
\end{equation}
to wektor ten nazywamy \textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k$}
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Powy\.{z}sz\k{a} definicj\k{e} mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z} sformu\l owa\'{c} dla
macierzy. Wektor w\l asny $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\in\mathbb{F}^{n}$
macierzy $A$ odpowiadaj\k{a}cy warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ nazywa\'{c}
b\k{e}dziemy wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $1$. Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e
$v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }\in\mathbb{F}^{n}$ jest wektorem
g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k-1$ odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej
$\lambda$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }%
\in\mathbb{F}^{n}$ b\k{e}d\k{a}cy rozwi\k{a}zaniem r\'{o}wnania
\begin{equation}
\left(  A-\lambda I\right)  v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }=v_{\lambda
}^{\left(  k-1\right)  }, \label{ww3}%
\end{equation}
to wektor ten nazywamy \textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k$}
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\begin{equation}
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  . \label{911}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =-\left(  \lambda-1\right)
\left(  \lambda-2\right)  ^{2}$ zatem macierz $A$ ma dwie r\'{o}\.{z}ne
warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=1\ $oraz $\lambda_{2}=2$. Wyznaczymy dla
tych warto\'{s}ci w\l asnych wektory g\l \'{o}wne.

\begin{itemize}
\item Dla $\lambda_{1}=1,$ rozwi\k{a}zuj\k{a}c r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
otrzymujemy: $x=y=0,z\in\mathbb{R}$; wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}dy $1$ ma
wi\k{e}c posta\'{c} $v_{\lambda_{1}}^{\left(  1\right)  }=\left(
0,0,t\right)  ,$ $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. Aby
wyznaczy\'{c} wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $2$ rozwa\.{z}my, dla ustalonego
$t\neq0,$ r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
t
\end{array}
\right]  .
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e r\'{o}wnanie to nie posiada rozwi\k{a}za\'{n}.
Oznacza to, \.{z}e dla warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}=1$ nie istniej\k{a}
wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq2$.

\item Dla $\lambda_{2}=2,$ rozwi\k{a}zuj\k{a}c r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
otrzymujemy: $x=z,y=0;$ wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}dy $1$ ma wi\k{e}c
posta\'{c} $v_{\lambda_{2}}^{\left(  1\right)  }=\left(  t,0,t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. Aby wyznaczy\'{c} wektory
g\l \'{o}wne rz\k{e}du $2$, rozwa\.{z}my, dla ustalonego $t\neq0,$
r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
t\\
0\\
t
\end{array}
\right]  .
\]
Jego rozwi\k{a}zaniem jest $x=z,y=t;$ wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $2$ ma
wi\k{e}c posta\'{c} $v_{\lambda_{2}}^{\left(  2\right)  }=\left(
r,t,r\right)  ,$ $r\in\mathbb{R}$. Zauwa\.{z}my, \.{z}e posta\'{c} wektora
$v_{\lambda_{2}}^{\left(  2\right)  }$ zale\.{z}y od sposobu wyboru wektora
$v_{\lambda_{2}}^{\left(  1\right)  }.$ Aby wyznaczy\'{c} wektory g\l \'{o}wne
rz\k{e}du $3$, rozwa\.{z}my, dla ustalonych $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{
0\right\}  ,$ $r\in\mathbb{R},$ r\'{o}wnanie
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
r\\
t\\
r
\end{array}
\right]  .
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e r\'{o}wnanie to nie posiada rozwi\k{a}za\'{n},
a tym samym nie istniej\k{a} dla warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=2$
wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq3$.
\end{itemize}

\noindent Podsumowuj\k{a}c, dla macierzy $A$ postaci (\ref{911}) uda\l o
si\k{e} wyznaczy\'{c} trzy liniowo niezale\.{z}ne wektory g\l \'{o}wne: jeden
odpowiadaj\k{a}cy warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}$ oraz dwa
odpowiadaj\k{a}ce warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}$. Przyjmuj\k{a}c na
przyk\l ad $t=r=1$, otrzymujemy%
\begin{align*}
v_{1}^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  0,0,1\right)  ,\\
v_{2}^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  1,0,1\right)  ,\\
v_{3}^{\left(  2\right)  }  &  =\left(  1,1,1\right)  .
\end{align*}
Ustalaj\k{a}c w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ baz\k{e} kanoniczn\k{a}, macierz
$A$ okre\'{s}la endomorfizm $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$:%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left(  2x+y,2y,x+y+z\right)  ,
\]
Wyznaczone powy\.{z}ej wektory $v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
1\right)  },v_{2}^{\left(  2\right)  }$ s\k{a} r\'{o}wnie\.{z} baz\k{a}
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, a zatem mo\.{z}emy zapyta\'{c} o posta\'{c}
macierzy endomorfizmu $f$ w tej w\l a\'{s}nie bazie. Poniewa\.{z}
\begin{align*}
f\left(  v_{1}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  0,0,1\right)
=\left(  0,0,1\right)  =v_{1}^{\left(  1\right)  }+0v_{2}^{\left(  1\right)
}+0v_{2}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  v_{2}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  1,0,1\right)
=\left(  2,0,2\right)  =0v_{1}^{\left(  1\right)  }+2v_{2}^{\left(  1\right)
}+0v_{2}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  v_{2}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =f\left(  1,1,1\right)
=\left(  3,2,3\right)  =0v_{1}^{\left(  1\right)  }+v_{2}^{\left(  1\right)
}+2v_{2}^{\left(  2\right)  },
\end{align*}
wi\k{e}c macierz $A_{f}$ endomorfizmu $f$ w bazie z\l o\.{z}nej z wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych macierzy $A$ ma posta\'{c}%
\[
A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]
Jest to macierz Jordana macierzy $A$, kt\'{o}r\k{a} w zupe\l nie inny
spos\'{o}b uzyskali\'{s}my w przyk\l adzie 8.2 (zob. rozdzia\l \ 8., str. 55).
Zauwa\.{z}my r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e dla macierzy $P\in\mathbb{R}^{3\times3}$,
kt\'{o}rej kolumnami s\k{a} wektory $v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
1\right)  },v_{2}^{\left(  2\right)  },$ tj.
\[
P=\left[  v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
2\right)  }\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  ,
\]
mamy%
\[
P^{-1}AP=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  =J.
\]
Macierz $P$ jest wi\k{e}c macierz\k{a} ustalaj\k{a}c\k{a} podobie\'{n}stwo
mi\k{e}dzy macierz\k{a} $A$ oraz jej macierz\k{a} Jordana.
\end{example}

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych}

\begin{proposition}
\textit{Dla ka\.{z}dej warto\'{s}ci w\l asnej istniej\k{a} wektory
g\l \'{o}wne rz\k{e}du co najmniej 1.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Wektory g\l \'{o}wne odpowiadaj\k{a}ce r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom
w\l asnym s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Wektory g\l \'{o}wne r\'{o}\.{z}nych rz\k{e}d\'{o}w odpowiadaj\k{a}ce
tej samej warto\'{s}ci w\l asnej s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Dla warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$ \textit{o krotno\'{s}ci }%
$r$\textit{ (krotno\'{s}ci jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego)
istnieje dok\l adnie }$r$\textit{ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych; w\'{s}r\'{o}d nich s\k{a} wszystkie liniowo niezale\.{z}ne
wektory w\l asne odpowiadaj\k{a}ce warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{.}
\end{proposition}

Z\ powy\.{z}szych w\l asno\'{s}ci wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych wynika, \.{z}e
\textcolor{blue}{dla dowolnego endomorfizmu  $f:X\rightarrow X$, kt\'{o}ry
posiada $n$ warto\'{s}ci w\l asnych (liczonych z krotno\'{s}ciami,
$n=\dim X$) istnieje baza przestrzeni $X$ z\l o\.{z}ona z
jego wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych}. Ponadto, z zale\.{z}no\'{s}ci (\ref{ww2})
wynika, \.{z}e je\.{z}eli $v_{\lambda}^{\left(  i\right)  }$ jest wektorem
g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $i$ $\left(  i=1,\ldots,k\right)  $ odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ endomorfizmu $f$, to%
\begin{align*}
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  1\right)  },\\
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  2\right)  }+v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\\
&  \vdots\\
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }+v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }.
\end{align*}
Tym samym endomorfizm $f$ zaw\k{e}\.{z}ony do przestrzeni liniowej
rozpi\k{e}tej przez wektory $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots
,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }$ jest r\'{o}wnie\.{z} endomorfizmem, tj.
\[
f:\operatorname*{span}\left\{  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots
,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right\}  \ni x\rightarrow f\left(  x\right)
\in\operatorname*{span}\left\{  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }%
,\ldots,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right\}  ;
\]
jego macierz\k{a} w bazie $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots,v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }$ jest klatka Jordana stopnia $k$ maj\k{a}ca
warto\'{s}\'{c} w\l asn\k{a} $\lambda$ na przek\k{a}tnej. Oznacza to, \.{z}e
macierz endomorfizmu $f$ w bazie z\l o\.{z}onej z jego wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych jest macierz\k{a} Jordana. Baz\k{e} t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{baz\k{a} Jordana} przestrzeni $X$ wzgl\k{e}dem endomorfizmu
$f$.

\begin{remark}
Czasami macierz Jordana defniuje si\k{e} jako macierz blokow\k{a}, kt\'{o}rej
bloki -- klatki Jordana to macierze kwadratowe, na przek\k{a}tnej z
warto\'{s}ciami w\l asnymi i jedynkami pod przek\k{a}tn\k{a} (a nie nad
przek\k{a}tn\k{a}, jak w przyj\k{e}tej przez nas definicji 8.1). Aby
uzyska\'{c} tak\k{a} w\l a\'{s}nie klatk\k{e} Jordana wystarczy wektory
g\l \'{o}wne ponumerowa\'{c} tak, aby ostatni by\l \ pierwszym, a pierwszy
ostatnim, tj.%
\[
w_{\lambda}^{\left(  i\right)  }=v_{\lambda}^{\left(  k-i+1\right)
},\text{\quad dla }i=1,\ldots,k.
\]
Poniewa\.{z}
\begin{align*}
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  k\right)
}+v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }=\lambda w_{\lambda}^{\left(  1\right)
}+w_{\lambda}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  k-1\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)
}+v_{\lambda}^{\left(  k-2\right)  }=\lambda w_{\lambda}^{\left(  2\right)
}+w_{\lambda}^{\left(  3\right)  },\\
&  \vdots\\
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  1\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  1\right)
}=\lambda w_{\lambda}^{\left(  k\right)  }%
\end{align*}
zatem klatka Jordana ma w tym przypadku posta\'{c}:%
\[
J_{k}\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
\lambda & 0 & \cdots & \cdots & 0\\
1 & \lambda & 0 & \ddots & \vdots\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \lambda & 0\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda
\end{array}
\right]  .
\]

\end{remark}

\section{\ Macierz przej\'{s}cia}

Niech $X$ b\k{e}dzie $n$--wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad
cia\l em $\mathbb{F}$. Niech\linebreak$e=\left(  e_{1},\ldots,e_{n}\right)  $
oraz $\tilde{e}=\left(  \tilde{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right)  $
b\k{e}d\k{a} dwiema bazami przestrzeni $X$. Ka\.{z}dy wektor bazy $\tilde{e}$
mo\.{z}emy wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e} liniow\k{a} wektor\'{o}w bazy $e$:%
\begin{align}
\tilde{e}_{1}  &  =p_{11}e_{1}+p_{21}e_{2}+\ldots+p_{n1}e_{n},\nonumber\\
\tilde{e}_{2}  &  =p_{12}e_{1}+p_{22}e_{2}+\ldots+p_{n2}e_{n},\nonumber\\
&  \vdots\nonumber\\
\tilde{e}_{n}  &  =p_{1n}e_{1}+p_{2n}e_{2}+\ldots+p_{nn}e_{n}.\nonumber
\end{align}
Otrzyman\k{a} w ten spos\'{o}b macierz wsp\'{o}\l czynnik\'{o}w $P=\left[
p_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times n}$ nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a}
przej\'{s}cia} ze \textit{starej} bazy $e$ do \textit{nowej} bazy $\tilde{e}$.
Zanotujmy, \.{z}e $i$--t\k{a} kolumn\k{e} macierzy przej\'{s}cia tworz\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora nowej bazy jako kombinacji liniowej
wektor\'{o}w starej bazy. Macierz przej\'{s}cia jest wi\k{e}c macierz\k{a}
endomorfizmu
\[
\operatorname*{id}\nolimits_{X}:\operatorname*{span}\left\{  \tilde{e}%
_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right\}  \ni x\rightarrow x\in\operatorname*{span}%
\left\{  e_{1},\ldots,e_{n}\right\}  .
\]


Dowolny element $x\in X$ mo\.{z}emy wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e}
liniow\k{a} element\'{o}w bazy $e$, jak r\'{o}wnie\.{z} bazy $\tilde{e}$.
Poszukamy teraz zale\.{z}no\'{s}ci mi\k{e}dzy tymi reprezentacjami. Mamy%
\begin{equation}
x=\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}e_{j}\text{\quad oraz\quad}x=\sum
\limits_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\tilde{e}_{j}. \label{103}%
\end{equation}
Wykorzystuj\k{a}c macierz przej\'{s}cia mamy:%
\[
x=\sum\limits_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\tilde{e}_{j}=\sum\limits_{j=1}%
^{n}\tilde{\alpha}_{j}\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}p_{ij}e_{i}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(  \sum\limits_{j=1}^{n}p_{ij}\tilde{\alpha}%
_{j}\right)  e_{i}.
\]
St\k{a}d oraz z postaci rozwini\k{e}cia wektora $x$ wzgl\k{e}dem bazy $e$
wynika zale\.{z}no\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi wektora
wzgl\k{e}dem starej oraz nowej bazy:%
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\
p_{21} & \ddots &  & p_{2n}\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
p_{n1} & \cdots & \cdots & p_{nn}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
\tilde{\alpha}_{1}\\
\tilde{\alpha}_{2}\\
\vdots\\
\tilde{\alpha}_{n}%
\end{array}
\right]  . \label{1}%
\end{equation}
Zale\.{z}no\'{s}\'{c} t\k{e} mo\.{z}emy uj\k{a}\'{c} kr\'{o}tko:
\begin{equation}
\alpha=P\tilde{\alpha}, \label{ww}%
\end{equation}
gdzie $\alpha$ (odpowiednio $\tilde{\alpha}$) to wektor
wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $x$ wzgl\k{e}dem starej (nowej) bazy, a $P$ to macierz
przej\'{s}cia z pierwszej bazy do drugiej. Zauwa\.{z}my r\'{o}wnie\.{z},
\.{z}e z r\'{o}wnania (\ref{ww}) wynika:%
\[
\tilde{\alpha}=P^{-1}\alpha,
\]
co oznacza, \.{z}e macierz\k{a} przej\'{s}cia z bazy nowej to starej jest
macierz $P^{-1}$.

\begin{example}
\textbf{ }Rozwa\.{z}my w $\mathbb{R}^{2}$ dwie bazy: star\k{a} $e_{1}=\left(
1,2\right)  ,e_{2}=\left(  0,1\right)  $ oraz now\k{a} $\tilde{e}_{1}=\left(
1,1\right)  ,$ $\tilde{e}_{2}=\left(  -1,1\right)  .$ Wyznaczymy macierz
przej\'{s}cia z bazy starej do nowej. Mamy%
\begin{align*}
\tilde{e}_{1}  &  =\left(  1,1\right)  =p_{11}\left(  1,2\right)
+p_{21}\left(  0,1\right)  =\left(  p_{11},2p_{11}+p_{21}\right) \\
\tilde{e}_{2}  &  =\left(  -1,1\right)  =p_{12}\left(  1,2\right)
+p_{22}\left(  0,1\right)  =\left(  p_{12},2p_{12}+p_{22}\right)
\end{align*}
sk\k{a}d wynika, \.{z}e: $p_{11}=1,p_{21}=-1,p_{12}=-1,p_{22}=3.$ Macierz
przej\'{s}cia ma wi\k{e}c posta\'{c}:%
\[
P=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -1\\
-1 & 3
\end{array}
\right]  .
\]
Niech teraz $\left(  2,1\right)  $ b\k{e}dzie wektorem wyra\.{z}onym w starej
bazie. Wyznaczymy jego wsp\'{o}\l rz\k{e}dne w nowej bazie. Mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -1\\
-1 & 3
\end{array}
\right]  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
1
\end{array}
\right]  =\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
7/2\\
3/2
\end{array}
\right]  .
\]
Aby sprawdzi\'{c} poprawno\'{s}\'{c} wyniku przedstawimy obydwa wektory w tej
samej bazie kanonicznej $k$: $k_{1}=\left(  1,0\right)  ,k_{2}=\left(
0,1\right)  $:%
\begin{align*}
\left(  2,1\right)  _{e}  &  =2e_{1}+e_{2}=2\left(  1,2\right)  +\left(
0,1\right)  =\left(  2,5\right)  _{k}\\
\left(  7/2,3/2\right)  _{\tilde{e}}  &  =\frac{7}{2}\tilde{e}_{1}+\frac{3}%
{2}\tilde{e}_{2}=\frac{7}{2}\left(  1,1\right)  +\frac{3}{2}\left(
-1,1\right)  =\left(  2,5\right)  _{k}.
\end{align*}

\end{example}

\section{\ Zmiana bazy, a posta\'{c} macierzy odwzorowania liniowego}

Na zako\'{n}czenie tego rozdzia\l u zbadamy jak zmienia si\k{e} macierz
odwzorowania liniowego wraz ze zmian\k{a} baz przestrzeni mi\k{e}dzy
kt\'{o}rymi to odwzorowanie jest okre\'{s}lone.

Niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym oraz niech $\dim
X=n,$ $\dim Y=m.$ Przyjmuj\k{a}c w przestrzeni $X$ baz\k{e} $e=\left(
e_{1},\ldots,e_{n}\right)  $, a w przestrzeni $Y$ baz\k{e} $g=\left(
g_{1},\ldots,g_{m}\right)  $, odwzorowanie $f$ reprezentowane jest przez
macierz $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$, tj.
\begin{equation}
y=Ax. \label{2}%
\end{equation}
Ustalaj\k{a}c w przestrzeni $X$ now\k{a} baz\k{e} $\tilde{e}=\left(  \tilde
{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right)  $ mo\.{z}emy wyznaczy\'{c} macierz
przej\'{s}cia z bazy $e$ do bazy $\tilde{e}$; oznaczmy j\k{a} przez $P.$
Oczywi\'{s}cie $P\in\mathbb{F}^{n\times n}$. Podobnie, dokonuj\k{a}c zmiana
bazy w przestrzeni $Y$ z $g$ na $\tilde{g}=\left(  \tilde{g}_{1},\ldots
,\tilde{g}_{m}\right)  $ mo\.{z}emy wyznaczy\'{c} macierz przej\'{s}cia
$Q\in\mathbb{F}^{m\times m}$ z bazy $g$ do $\tilde{g}$. Niech $\tilde{x}$
(odpowiednio $\tilde{y}$) b\k{e}d\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi wektor\'{o}w
$x$ (odp. $y)$ w nowych bazach przestrzeni $X$ i $Y.$ Otrzymujemy%
\[
x=P\tilde{x}\text{\quad oraz\quad}y=Q\tilde{y}.
\]
\L \k{a}cz\k{a}c powy\.{z}sze zale\.{z}no\'{s}ci z r\'{o}wnaniem (\ref{2})
mamy%
\[
Q\tilde{y}=AP\tilde{x},
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
\tilde{y}=Q^{-1}AP\tilde{x}.
\]
Oznacza to, \.{z}e w nowych bazach przestrzeni $X$ oraz $Y$ odwzorowanie $f$
reprezentowane jest przez macierz $Q^{-1}AP$. W szczeg\'{o}lno\'{s}ci,
je\.{z}eli $f:X\rightarrow X$ jest endomorfizmem reprezentowanym przez macierz
$A$ wyznaczon\k{a} w bazie $e$ przestrzeni $X,$ to macierz\k{a} tego
endomorfizmu w bazie $\tilde{e}$ jest macierz $P^{-1}AP,$ gdzie $P$ jest
macierz\k{a} przej\'{s}cia z baze $e$ do bazy $\tilde{e}$.

\subsection{\ Baza z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych}

Rozwa\.{z}my endomorfizm $f:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$, gdzie
$\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$; przestrze\'{n} wektorow\k{a} $\mathbb{F}%
^{n}$ rozwa\.{z}amy nad cia\l em $\mathbb{F}$. Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e
endomorfizm $f$ jest diagonalizowalny. Oznacza to, \.{z}e istnieje baza $v$
przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych
endomorfizmu $f$. Niech $A$ b\k{e}dzie macierz\k{a} tego endomorfizmu w
wybranej bazie przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$. Z powy\.{z}szych rozwa\.{z}a\'{n}
wynika, \.{z}e je\.{z}eli $P$ jest macierz\k{a} przej\'{s}cia z wybranej bazy
przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ do bazy $v$, to w tej nowej bazie endomorfizm $f$
jest reprezentowany przez macierz diagonaln\k{a} $\operatorname*{diag}\left(
\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  $, gdzie $\lambda_{i}$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} endomorfizmu $f$ odpowiadaj\k{a}c\k{a}
wektorowi w\l asnemu $v_{i}$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  .$ Macierz\k{a}
ustalaj\k{a}c\k{a} podobie\'{n}stwo mi\k{e}dzy macierzami $A$ oraz
$\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  $ jest
macierz $P$, tzn.%
\[
P^{-1}AP=\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  .
\]
Poniewa\.{z} $i$--t\k{a} kolumn\k{a} macierzy $P$ s\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dne
$i$--tego wektora bazy $v$ wzgl\k{e}dem starej bazy przestrzeni $\mathbb{F}%
^{n}$, zatem wybieraj\k{a}c jako t\k{e} star\k{a} baz\k{e} baz\k{e}
kanoniczn\k{a}, $i$--t\k{a} kolumn\k{a} macierzy $P$ s\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora w\l asnego endomorfizmu $f$, tzn.
$P=\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  $ (zob. przyk\l ad 7.5, str. 52).

\subsection{\ Baza Jordana}

Je\.{z}eli endomorfizm $f:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$ nie jest
diagonalizowalny to nie istnieje baza przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$
z\l o\.{z}ona z jego wektor\'{o}w w\l asnych. Zawsze mo\.{z}emy natomiast
wyznaczy\'{c} baz\k{e} przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ z\l o\.{z}on\k{a} z jego
wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych. Oznaczmy t\k{e} baz\k{e} przez $v$. Wiemy, \.{z}e
w bazie tej macierz endomorfizmu $f$ ma posta\'{c} Jordana. Je\.{z}eli $A$
jest macierz\k{a} ednomorfizmu $f$ w innej bazie, a $P$ jest macierz\k{a}
przej\'{s}cia z tej bazy do bazy z\l o\.{z}onej z wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych,
to w\'{o}wczas
\[
P^{-1}AP=J,
\]
gdzie $J$ jest macierz\k{a} Jordana endomorfizmu $f$. Wybieraj\k{a}c jako
t\k{e} star\k{a} baz\k{e} baz\k{e} kanoniczn\k{a}, $i$--t\k{a} kolumn\k{a}
macierzy $P$ s\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora g\l \'{o}wnego
endomorfizmu $f$ (zob. przyk\l ad~9.2).

\bigskip

\noindent Na zako\'{n}czenie rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy

\begin{example}
Niech $D:\Pi_{3}\rightarrow\Pi_{3}$ b\k{e}dzie endomorfizmem okre\'{s}lonym
wzorem
\[
D\left(  f\right)  =f^{\prime}.
\]
Wybieraj\k{a}c w przestrzeni $\Pi_{3}$ baz\k{e} $e_{1}=1,$ $e_{2}=x,$
$e_{3}=x^{2},$ $e_{4}=x^{3}$, otrzymujemy:%
\[
D\left(  e_{1}\right)  =0,\text{ }D\left(  e_{2}\right)  =e_{1},\text{
}D\left(  e_{3}\right)  =2e_{2},\text{ }D\left(  e_{4}\right)  =3e_{3}.
\]
W bazie $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ przestrzeni $\Pi_{3}$ macierz $A$
endomorfizmu $D$ ma wi\k{e}c posta\'{c}%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\lambda^{4}$ zatem
$\lambda_{0}=0$ jest jedyn\k{a} warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$
(endomorfizmu $D$). Poniewa\.{z}
\[
\dim\ker\left(  A-\lambda_{0}I\right)  =\dim\ker A=4-\operatorname*{rank}A=1,
\]
zatem dla macierzy $A$ istnieje tylko jeden liniowo niezale\.{z}ny wektor
w\l asny postaci $\left(  t,0,0,0\right)  ,$ $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{
0\right\}  $. Macierz $A$ nie jest wi\k{e}c diagonalizowalna. Wyznaczymy jej
wektory g\l \'{o}wne. Dla ustalonego $t\neq0$, mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
t\\
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika: $x=r,y=t,$ $z=w=0$, gdzie $r\in\mathbb{R}\backslash\left\{
0\right\}  .$ Tym samym $v^{\left(  2\right)  }=\left(  r,t,0,0\right)  $ jest
wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}dy $2$. Podobnie, dla ustalonych $t\neq0$ oraz
$r\neq0$, mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
r\\
t\\
0\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika: $x=s,y=r,z=\frac{1}{2}t,w=0,$ gdzie $s\in\mathbb{R}%
\backslash\left\{  0\right\}  .$ Tym samym $v^{\left(  3\right)  }=\left(
s,r,\frac{1}{2}t,0\right)  $ jest wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}dy $3$. Musimy
wyznaczy\'{c} jeszcze wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $4$. Mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
s\\
r\\
\frac{1}{2}t\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $x=p,y=s,z=\frac{1}{2}r,w=\frac{1}{6}t,$ gdzie
$p,s,r,t\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  .$ Ustalaj\k{a}c $p=s=1,$
$r=2,t=6$ otrzymujemy cztery liniowo niezale\.{z}ne wektory g\l \'{o}wne
macierzy $A$%
\begin{align*}
v^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  6,0,0,0\right)  ,\\
v^{\left(  2\right)  }  &  =\left(  2,6,0,0\right)  ,\\
v^{\left(  3\right)  }  &  =\left(  1,2,3,0\right)  ,\\
v^{\left(  4\right)  }  &  =\left(  1,1,1,1\right)  .
\end{align*}
Odpowiadaj\k{a} one czterem wektorom g\l \'{o}wnym endomorfizmu $D$:%
\[
v_{1}=6,\text{ }v_{2}=2+6x,\text{ }v_{3}=1+2x+3x^{2},\text{ }v_{4}%
=1+x+x^{2}+x^{3}.
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e macierz%
\[
P=\left[  v^{\left(  1\right)  },v^{\left(  2\right)  },v^{\left(  3\right)
},v^{\left(  4\right)  }\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
jest macierz\k{a} przej\'{s}cia z bazy $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ do bazy
z\l o\.{z}onej z wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych endomorfizmu $D$. Faktycznie,%
\[
P^{-1}AP=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  =J.
\]
Macierz Jordana $J$ jest macierz\k{a} endomorfizmu $D$ w bazie z\l o\.{z}onej
z jego wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych.
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Przestrzenie unitarne}

Niech $X$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad cia\l em $\mathbb{F}%
=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}$.

\begin{definition}
Funkcj\k{e} $s:X\times X\rightarrow\mathbb{F}$\ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki:

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{F},\forall x,y,z\in X:s\left(
\alpha x+\beta y,z\right)  =\alpha s\left(  x,z\right)  +\beta s\left(
y,z\right)  ;$

\item[(b)] $\forall x,y\in X:s\left(  x,y\right)  =\overline{s\left(
y,x\right)  };$

\item[(c)] $\forall x\in X:s\left(  x,x\right)  \geq0$ oraz $s\left(
x,x\right)  =0\Leftrightarrow x=0$
\end{enumerate}

nazywamy \textcolor{blue}{iloczynem skalarnym}. Par\k{e} $\left(  X,s\right)
$\ nazywamy \textcolor{blue}{przestrzeni\k{a} unitarn\k{a}}.
\end{definition}

\noindent Iloczyn skalarny wektor\'{o}w $x,y$ b\k{e}dziemy r\'{o}wnie\.{z}
oznacza\'c jako $\left\langle x,y\right\rangle $ lub $x\circ y$.

Je\.{z}eli $X$ jest rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a} (tj.
przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad cia\l em liczb rzeczywistych) to iloczyn
skalarny okre\'{s}lony w przestrzeni $X$ przyjmuje warto\'{s}ci rzeczywiste. W
takim przypadku warunek (b) w powy\.{z}szej definicji r\'{o}wnowa\.{z}ny jest warunkowi

\begin{enumerate}
\item[(b')] $\forall x,y\in X:s\left(  x,y\right)  =s\left(  y,x\right)
.$\textbf{\ }
\end{enumerate}

\begin{example}
Niech $X=\mathbb{R}^{n}$ oraz niech $\alpha_{i}>0$ $\left(  i=1,\ldots
,n\right)  $ b\k{e}d\k{a} ustalonymi liczbami. \L atwo sprawdzi\'{c}
(\'{c}wiczenie), \.{z}e odwzorowanie%
\begin{equation}
\left\langle \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  ,\left(  y_{1},\ldots
,y_{n}\right)  \right\rangle =\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{k}x_{k}y_{k}
\label{11.1}%
\end{equation}
jest iloczynem skalarnym w $X$. Przyjmuj\k{a}c $\alpha_{i}=1$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $ wz\'{o}r (\ref{11.1}) okre\'{s}la tzw.
\textit{naturalny iloczyn skalarny} w $\mathbb{R}^{n}.$
\end{example}

\begin{example}
Odwzorowanie $s$ okre\'{s}lone wzorem%
\[
s\left(  f,g\right)  =\int_{a}^{b}f\left(  x\right)  g\left(  x\right)  dx
\]
jest iloczynem skalarnym w przestrzeni funkcji ci\k{a}g\l ych na przedziale
$\left[  a,b\right]  $ o warto\'{s}ciach w $\mathbb{R}$.
\end{example}

\begin{example}
Niech $X=\mathbb{R}^{m\times n}$. Dla macierzy $A=\left[  a_{ij}\right]  ,$
$B=\left[  b_{ij}\right]  $ definiujemy:%
\[
s\left(  A,B\right)  =\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}.
\]
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $s$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni
$\mathbb{R}^{m\times n}$.
\end{example}

\section{\ Norma okre\'{s}lona przez iloczyn skalarny}

Niech $X$ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a}.

\begin{definition}
\textit{Funkcj\k{e} }$\left\Vert \cdot\right\Vert :X\rightarrow\mathbb{R}%
$\textit{\ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki}

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\forall x\in X:\left\Vert x\right\Vert \geq0$\textit{\ oraz}
$\left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0;$

\item[(b)] $\forall x\in X,\forall\alpha\in\mathbb{R}:\left\Vert \alpha
x\right\Vert =\left\vert \alpha\right\vert \cdot\left\Vert x\right\Vert ;$

\item[(c)] $\forall x,y\in X:\left\Vert x+y\right\Vert \leq\left\Vert
x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert $ \textit{(nier\'{o}wno\'{s}\'{c}
tr\'{o}jk\k{a}ta)}
\end{enumerate}

\textit{nazywamy \textcolor{blue}{norm\k{a}}. Par\k{e} }$\left(  X,\left\Vert
\cdot\right\Vert \right)  $\textit{\ nazywamy
\textcolor{blue}{przestrzeni\k{a}
unormowan\k{a}}.}
\end{definition}

Warunki wyst\k{e}puj\k{a}ce w powy\.{z}szej definicji to naturalne wymagania
stawiane przed funkcj\k{a} mierz\k{a}c\k{a} d\l ugo\'{s}\'{c} wektor\'{o}w.

\begin{example}
Ka\.{z}da z poni\.{z}szych par\textbf{\ }$\left(  X,\left\Vert \cdot
\right\Vert \right)  $ jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}:

\begin{description}
\item[a)] $X=\mathbb{R}^{n},$ $\left\Vert \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)
\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}};$

\item[b)] $X=\mathcal{C}\left(  \left[  a,b\right]  ,\mathbb{R}\right)  ,$
$\left\Vert f\right\Vert =\max\left\{  \left\vert f\left(  x\right)
\right\vert :x\in\left[  a,b\right]  \right\}  ;$

\item[c)] $X=\mathbb{R}^{n\times n},$ $\left\Vert A\right\Vert =\max\left\{
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\left\vert a_{ik}\right\vert :i=1,\ldots,n\right\}  , $ gdzie $A=\left[
a_{ij}\right]  ;$

\item[d)] $X=\mathbb{R}^{n\times n},$ $\left\Vert A\right\Vert =\sqrt
{\max\left\{  \left\vert \lambda\right\vert :\lambda\in\sigma\left(
A^{T}A\right)  \right\}  }$.
\end{description}
\end{example}

Wyka\.{z}emy teraz, \.{z}e je\.{z}eli w rzeczywistej przestrzeni liniowej $X$
zdefiniowano iloczyn skalarny $s$ to funkcja $\left\Vert \cdot\right\Vert
_{s}:X\rightarrow\mathbb{R}$ okre\'{s}lona wzorem%
\begin{equation}
\left\Vert x\right\Vert _{s}:=\sqrt{s\left(  x,x\right)  } \label{11.2}%
\end{equation}
jest norm\k{a} w $X$.

Zauwa\.{z}my na pocz\k{a}tek, \.{z}e na podstawie warunku (c) definicji 10.1,
funkcja $\left\Vert \cdot\right\Vert _{s}$ jest dobrze okre\'{s}lona --
warto\'{s}ci $s\left(  x,x\right)  $ s\k{a} nieujemne; ten sam warunek
gwarantuje r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e punkt (a) definicji 10.2 jest spe\l niony.
Poniewa\.{z}%
\begin{align*}
\left\Vert \alpha x\right\Vert _{s}  &  =\sqrt{s\left(  \alpha x,\alpha
x\right)  }=\sqrt{\alpha s\left(  x,\alpha x\right)  }=\sqrt{\alpha s\left(
\alpha x,x\right)  }=\sqrt{\alpha^{2}s\left(  x,x\right)  }\\
&  =\left\vert \alpha\right\vert \sqrt{s\left(  x,x\right)  }=\left\vert
\alpha\right\vert \cdot\left\Vert x\right\Vert _{s}%
\end{align*}
zatem punkt (b) r\'{o}wnie\.{z} zachodzi. Zanim uzasadnimy punkt (c),
wyka\.{z}emy nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
[nier\'{o}wno\'{s}\'{c} Schwarza]Dla dowolnych wektor\'{o}w $x,y$%
\ rzeczywistej przestrzeni liniowej wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny
$s$\ zachodzi%
\begin{equation}
\left\vert s\left(  x,y\right)  \right\vert \leq\left\Vert x\right\Vert
_{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert _{s}. \label{11.3}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
Dla dowolnych ustalonych wektor\'{o}w $x,y$ rozwa\.{z}my funkcj\k{e}
\[
\varphi\left(  t\right)  =s\left(  x+ty,x+ty\right)
\]
zmiennej $t\in\mathbb{R}$. Bez straty og\'{o}lno\'{s}ci mo\.{z}emy
za\l o\.{z}y\'{c}, \.{z}e $y\neq0.$ Z warunku (c) definicji~10.1 wynika,
\.{z}e
\begin{equation}
\varphi\left(  t\right)  \geq0,\text{\quad dla }t\in\mathbb{R}\text{.}
\label{11.4}%
\end{equation}
Poniewa\.{z}%
\[
\varphi\left(  t\right)  =t^{2}s\left(  y,y\right)  +2ts\left(  x,y\right)
+s\left(  x,x\right)
\]
zatem $\varphi$ jest funkcj\k{a} kwadratow\k{a}, kt\'{o}ra -- wobec warunku
(\ref{11.4}) -- ma niedodatni wyr\'{o}\.{z}nik, tj.%
\[
\triangle=4s^{2}\left(  x,y\right)  -4s\left(  x,x\right)  s\left(
y,y\right)  \leq0,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
s^{2}\left(  x,y\right)  \leq s\left(  x,x\right)  s\left(  y,y\right)  .
\]
St\k{a}d wynika zale\.{z}no\'{s}\'{c} (\ref{11.3}).
\end{proof}

Dla dowolnych $x,y\in X$ mamy wi\k{e}c%
\begin{align*}
\left\Vert x+y\right\Vert _{s}^{2}  &  =s\left(  x+y,x+y\right)  =s\left(
x,x\right)  +2s\left(  x,y\right)  +s\left(  y,y\right) \\
&  \leq s\left(  x,x\right)  +2\sqrt{s\left(  x,x\right)  s\left(  y,y\right)
}+s\left(  y,y\right) \\
&  =\left(  \sqrt{s\left(  x,x\right)  }+\sqrt{s\left(  y,y\right)  }\right)
^{2}=\left(  \left\Vert x\right\Vert _{s}+\left\Vert y\right\Vert _{s}\right)
^{2}.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e wz\'{o}r (\ref{11.2}) definiuje norm\k{e} w dowolnej
przestrzeni unitarnej.

\section{\ Ortogonalno\'{s}\'{c}}

Z nier\'{o}wno\'{s}ci Schwarza wynika, \.{z}e dla niezerowych wektor\'{o}w
$x,y$ rzeczywistej przestrzeni $X$:%
\[
-1\leq\frac{s\left(  x,y\right)  }{\left\Vert x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert
y\right\Vert _{s}}\leq1.
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e iloraz $s\left(  x,y\right)  /\left(  \left\Vert
x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert _{s}\right)  $ jest kosinusem
\'{s}ci\'{s}le okre\'{s}lonego k\k{a}ta $\measuredangle\left(  x,y\right)  $:%
\[
\cos\measuredangle\left(  x,y\right)  =\frac{s\left(  x,y\right)  }{\left\Vert
x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert _{s}},\text{\quad}%
\measuredangle\left(  x,y\right)  \in\left[  0,\pi\right]  .
\]
Na podstawie definicji przyjmujemy, \.{z}e jest to k\k{a}t mi\k{e}dzy
wektorami $x$ oraz $y$. Mamy wi\k{e}c%
\[
s\left(  x,y\right)  =\left\Vert x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert
_{s}\cdot\cos\measuredangle\left(  x,y\right)  .
\]


\begin{definition}
Dwa wektory nazywamy \textcolor{blue}{ortogonalnymi}, je\.{z}eli ich iloczyn
skalarny jest r\'{o}wny zero.
\end{definition}

Wektor zerowy jest jedynym wektorem prostopad\l ym do ka\.{z}dego wektora
(r\'{o}wnie\.{z} do siebie samego).

\begin{example}
Rozwa\.{z}my przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{3}$ z naturalnym iloczynem skalarnym
(zob. przyk\l ad 10.1). Dla wektor\'{o}w $v_{1}=\left(  1,\sqrt{3},0\right)
,v_{2}=\left(  0,1,0\right)  $ mamy%
\[
\cos\varphi=\frac{s\left(  v_{1},v_{2}\right)  }{\left\Vert v_{1}\right\Vert
_{s}\cdot\left\Vert v_{2}\right\Vert _{s}}=\frac{1\cdot0+\sqrt{3}\cdot
1+0\cdot0}{\sqrt{1+3}\cdot\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}%
\]
Tym samym $\measuredangle\left(  v_{1},v_{2}\right)  =\varphi=\frac{\pi}{6}$.
\end{example}

\begin{example}
W przestrzeni $\Pi_{n}$ definiujemy funkcje:%
\begin{align*}
s_{1}\left(  f,g\right)   &  =\int_{-1}^{1}f\left(  x\right)  g\left(
x\right)  dx,\\
s_{2}\left(  f,g\right)   &  =\sum\limits_{k=0}^{n}f^{\left(  k\right)
}\left(  -1\right)  g^{\left(  k\right)  }\left(  -1\right)  .
\end{align*}
Przestrzenie $\left(  \Pi_{n},s_{1}\right)  $ oraz $\left(  \Pi_{n}%
,s_{2}\right)  $ s\k{a} przestrzeniami unitarnymi. Niech $f\left(  x\right)
=2x+1$ oraz $g\left(  x\right)  =3x^{2}-3x+1$. W\'{o}wczas%
\begin{align*}
s_{1}\left(  f,g\right)   &  =\int_{-1}^{1}\left(  2x+1\right)  \left(
3x^{2}-3x+1\right)  dx=\int_{-1}^{1}6x^{3}-3x^{2}-x+1dx=0,\\
s_{2}\left(  f,g\right)   &  =f\left(  -1\right)  g\left(  -1\right)
+f^{\prime}\left(  -1\right)  g^{\prime}\left(  -1\right)  +f^{\prime\prime
}\left(  -1\right)  g^{\prime\prime}\left(  -1\right)  =-25.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e rozwa\.{z}ane wielomiany s\k{a} ortogonalne w przestrzeni
$\left(  \Pi_{n},s_{1}\right)  $, natomiast nie s\k{a} ortogonalne w
przestrzeni $\left(  \Pi_{n},s_{2}\right)  $.
\end{example}

\section{\ Ortogonalizacja Grama--Schmidta}

Rozwa\.{z}my ci\k{a}g $v_{1},\ldots,v_{n}$ wektor\'{o}w rzeczywistej
przestrzeni liniowej $X$ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny $s$. Je\.{z}eli
$v_{i}\perp v_{j}$ dla $i\neq j$ to m\'{o}wimy, \.{z}e ci\k{a}g $v_{1}%
,\ldots,v_{n}$ jest ci\k{a}giem wektor\'{o}w \textbf{ortogonalnych}.
Je\.{z}eli dodatkowo $\left\Vert v_{i}\right\Vert _{s}=1$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $ to ci\k{a}g ten nazywamy ci\k{a}giem \textcolor{blue}{ortonormalnym}.

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ stanowi\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $X$. Podamy teraz algorytm modyfikuj\k{a}cy t\k{e} baz\k{e} w taki
spos\'{o}b, \.{z}e nowo otrzymana baza $\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{n}$
jest baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni $X$.

\begin{theorem}
\textit{Niech ci\k{a}g }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ stanowi baz\k{e}
rzeczywistej przestrzeni }$X$\textit{\ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny }%
$s$\textit{. W\'{o}wczas ci\k{a}g wektor\'{o}w }$\tilde{v}_{1},\ldots
,\tilde{v}_{n}$\textit{\ okre\'{s}lonych wzorami}%
\[
\tilde{v}_{1}=\frac{v_{1}}{\left\Vert v_{1}\right\Vert _{s}},\text{ }\tilde
{v}_{k}=\frac{v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}}{\left\Vert v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}\right\Vert _{s}%
},\text{\quad}k=2,\ldots,n
\]
\textit{jest taki \.{z}e:}
\end{theorem}

\begin{itemize}
\item[a)] \textit{dla ka\.{z}dego }$k\in\left\{  1,\ldots,n\right\}
:$\textit{\ }$\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k}\right\}
=\operatorname*{span}\left\{  \tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k}\right\}  ;$

\item[b)] \textit{ci\k{a}g }$\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{n}$\textit{\ jest
baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni }$X$\textit{.}
\end{itemize}

\begin{proof}
Dow\'{o}d poprowadzimy przez indukcj\k{e} wzgl\k{e}dem $n$. Dla $n=1$
twierdzenie jest prawdziwe, tj. $\left\Vert \tilde{v}_{1}\right\Vert _{s}=1$
oraz $\operatorname*{span}\left\{  v_{1}\right\}  =\operatorname*{span}%
\left\{  \tilde{v}_{1}\right\}  $. Przypu\'{s}\'{c}my wi\k{e}c, \.{z}e uk\l ad
$\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k-1}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a}
przestrzeni $\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k-1}\right\}  $.
Niech $v=v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}.$ Wyka\.{z}emy teraz,
\.{z}e wektor $v$ jest ortogonalny do wektor\'{o}w $\tilde{v}_{1}%
,\ldots,\tilde{v}_{k-1}$. Mamy dla $j=1,\ldots,k-1$:%
\begin{align*}
s\left(  v,\tilde{v}_{j}\right)   &  =s\left(  v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i},\tilde{v}_{j}\right)
=s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)  -%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  s\left(  \tilde{v}_{i},\tilde{v}%
_{j}\right) \\
&  =s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)  -s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)
=0.
\end{align*}
Zauwa\.{z}my ponadto, \.{z}e $v\neq0.$ W przeciwnym przypadku $v_{k}%
\in\operatorname*{span}\left\{  \tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k-1}\right\}
=\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k-1}\right\}  $ wbrew liniowej
niezale\.{z}no\'{s}ci wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$. Mo\.{z}emy wi\k{e}c
przyj\k{a}\'{c}
\[
\tilde{v}_{k}:=\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert _{s}}=\frac{v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}}{\left\Vert v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}\right\Vert _{s}}.
\]
Tym samym wektory $\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k}$ tworz\k{a} uk\l ad
wektor\'{o}w ortonormalnych oraz rozpinaj\k{a} t\k{e} sam\k{a} przestrze\'{n}
co wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$.
\end{proof}

\begin{example}
Niech $X=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}%
:x+2y+3z+w=0,x+y+z=0\right\}  .$ \L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e
\[
X=\left\{  \left(  -y-z,y,z,-y-2z\right)  :y,z\in\mathbb{R}\right\}  .
\]
Jest to wi\k{e}c podprzestrze\'{n} liniowa przestrzeni $\mathbb{R}^{4},$ a
poniewa\.{z}%
\[
\left(  -y-z,y,z,-y-2z\right)  =y\left(  -1,1,0,-1\right)  +z\left(
-1,0,1,-2\right)
\]
zatem jej baz\k{a} s\k{a} wektory $e_{1}=\left(  -1,1,0,-1\right)
,e_{2}=\left(  -1,0,1,-2\right)  .$ Wyznaczymy baz\k{e} ortonormaln\k{a}
przestrzeni $X$ w sensie naturalnego iloczynu skalarnego indukowanego z
przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$. Z twierdzenia 10.2 wynika, \.{z}e szukana baza
$\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2}$ mo\.{z}e by\'{c} wyznaczona ze wzor\'{o}w%
\[
\tilde{e}_{1}=\frac{e_{1}}{\left\Vert e_{1}\right\Vert },\text{\quad}\tilde
{e}_{2}=\frac{e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}_{1}%
}{\left\Vert e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}%
_{1}\right\Vert }.
\]
Poniewa\.{z} $\left\Vert e_{1}\right\Vert =\sqrt{e_{1}\circ e_{1}}=\sqrt{3},$
zatem $\tilde{e}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  .$ Podobnie,
poniewa\.{z}%
\begin{align*}
e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}_{1} =  &  \left(
-1,0,1,-2\right)  -\left(  \left(  -1,0,1,-2\right)  \circ\frac{\sqrt{3}}%
{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  \right)  \times\\
&  \times\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  =\left(
-1,0,1,-2\right)  -\left(  -1,1,0,-1\right)  =\\
=  &  \left(  0,-1,1,-1\right)
\end{align*}
wi\k{e}c%
\[
\tilde{e}_{2}=\frac{\left(  0,-1,1,-1\right)  }{\sqrt{\left(
0,-1,1,-1\right)  \circ\left(  0,-1,1,-1\right)  }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(
0,-1,1,-1\right)  .
\]
Wektory $\tilde{e}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  $ oraz
$\tilde{e}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  0,-1,1,-1\right)  $ s\k{a} baz\k{a}
ortonormaln\k{a} przestrzeni $X$.
\end{example}

\section{\ Rzut prostopad\l y na podprzestrze\'{n} liniow\k{a}}

Niech $V$ b\k{e}dzie $n$-wymiarow\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
rzeczywistej przestrzeni unitarnej $\left(  X,s\right)  $. Rozwa\.{z}my
dowolny wektor $u\in X\backslash V$.

\begin{definition}
Wektor $u^{\ast}\in V$\ nazywamy \textcolor{blue}{rzutem ortogonalnym} wektora
$u$\ na podprzestrze\'{n} $V$, je\.{z}eli $u-u^{\ast}\perp V,$\ tzn.%
\begin{equation}
\forall v\in V:u-u^{\ast}\perp v. \label{11.5}%
\end{equation}

\end{definition}

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{wykres3.eps}
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-17,50){$V=\operatorname*{span}\{u_1\}$}
\put(-15,38){$u$}
\put(-35,28){$u_1$}
\put(-28,45){$u^{\ast}$}
\end{picture}
\par
{Wykres 3. Rzut ortogonalny wektora $u$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} $V$
rozpi\k{e}t\k{a} przez wektor $u_{1}$.}
\end{center}
\end{figure}Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wektory $u_{1},\ldots,u_{n}$ s\k{a}
baz\k{a} podprzestrzeni $V.$ Warunek (\ref{11.5}) r\'{o}wnowa\.{z}ny jest
w\'{o}wczas warunkowi%
\begin{equation}
u-u^{\ast}\perp u_{i}\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  . \label{11.6}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $u^{\ast}\in V$ zatem istniej\k{a} skalary $\alpha_{i}%
\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $ dla kt\'{o}rych
\[
u^{\ast}=\alpha_{1}^{\ast}u_{1}+\ldots+\alpha_{n}^{\ast}u_{n}.
\]
Aby wyznaczy\'{c} rzut ortogonalny $u^{\ast}$ wektora $u$ wystarczy wi\k{e}c
wyznaczy\'{c} jego wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $\alpha_{1}^{\ast},\ldots,\alpha
_{n}^{\ast}$ wzgl\k{e}dem dowolnej bazy przestrzeni $V$. Zale\.{z}no\'{s}\'{c}
(\ref{11.6}) oznacza, \.{z}e dla $i=1,\ldots,n$:%
\[
0=s\left(  u-u^{\ast},u_{i}\right)  =s\left(  u-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}^{\ast}u_{k},u_{i}\right)  =s\left(  u,u_{i}\right)  -%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}^{\ast}s\left(  u_{k},u_{i}\right)  ,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
s\left(  u_{i},u_{k}\right)  \alpha_{k}^{\ast}=s\left(  u,u_{i}\right)  .
\]
Szukane warto\'{s}ci $\alpha_{1}^{\ast},\ldots,\alpha_{n}^{\ast}$ s\k{a}
wi\k{e}c rozwi\k{a}zaniem uk\l adu r\'{o}wna\'{n} liniowych
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
s\left(  u_{1},u_{1}\right)  & \cdots & s\left(  u_{1},u_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
s\left(  u_{n},u_{1}\right)  & \cdots & s\left(  u_{n},u_{n}\right)
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha_{1}^{\ast}\\
\vdots\\
\alpha_{n}^{\ast}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
s\left(  u,u_{1}\right) \\
\vdots\\
s\left(  u,u_{n}\right)
\end{array}
\right]  . \label{11.7}%
\end{equation}
Macierz $G=\left[  s\left(  u_{i},u_{j}\right)  \right]  $ tego uk\l adu --
tzw. \textit{macierz Grama} -- posiada wiele wa\.znych i interesuj\k{a}cych
w\l asno\'{s}ci. Mo\.{z}na na przyk\l ad pokaza\'{c}, \.{z}e jej wyznacznik
jest r\'{o}\.{z}ny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $u_{1}%
,\ldots,u_{n}$ s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne (zob. zestaw 12, zad. 5).
Posta\'{c} macierzy $G$ zale\.{z}y od wyboru bazy przestrzeni $V$. W
przypadku, gdy baza $u_{1},\ldots,u_{n}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a},
macierz $G$ jest macierz\k{a} jednostkow\k{a}, a rozwi\k{a}zaniem uk\l adu
(\ref{11.7}) s\k{a} skalary%
\[
\alpha_{i}^{\ast}=s\left(  u,u_{i}\right)  ,\text{\quad}\left(  i=1,\ldots
,n\right)  .
\]


\noindent Wynika st\k{a}d nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Niech $u_{1},\ldots,u_{n}$\ b\k{e}dzie baz\k{a} ortonormaln\k{a}
podprzestrzeni $V$\ przestrzeni liniowej $X$\ wyposa\.{z}onej w iloczyn
skalarny $s.$\ Dla dowolnego wektora $u\in X$\ istnieje dok\l adnie jeden
wektor $u^{\ast}\in V$\ b\k{e}d\k{a}cy rzutem ortogonalnym wektora $u$\ na
podprzestrze\'{n} $V.$\ Wektor ten okre\'{s}lony jest wzorem:
\begin{equation}
u^{\ast}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
s\left(  u,u_{i}\right)  u_{i}\text{.} \label{11.8}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{example}
Wyznaczymy rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,1,1,1\right)  $ na
podprzestrze\'{n} $X$ przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$ rozwa\.{z}an\k{a} w
przyk\l adzie 10.7 (z naturalnym iloczynem skalarnym). Przypomnijmy, \.{z}e
ortonormaln\k{a} baz\k{e} $X$ stanowi\k{a} wektory%
\[
u_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  ,\text{\quad}u_{2}%
=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  0,-1,1,-1\right)  .
\]
Poszukiwany wektor $u^{\ast}$ wyznaczymy ze wzoru (\ref{11.8}). Otrzymujemy%
\[
u^{\ast}=\left(  u\circ u_{1}\right)  u_{1}+\left(  u\circ u_{2}\right)
u_{2}=-\frac{1}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  -\frac{1}{3}\left(
0,-1,1,-1\right)  =\frac{1}{3}\left(  1,0,-1,2\right)  .
\]

\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Formy kwadratowe}

Rozwa\.{z}my rzeczywist\k{a} macierz symetryczn\k{a} $A\in\mathbb{R}^{n\times
n}$.

\begin{definition}
\textit{Funkcj\k{e} }$h:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$\textit{ \ postaci
}%
\begin{equation}
h\left(  x\right)  =x^{T}Ax\mathit{\ } \label{12.1}%
\end{equation}
\textit{nazywamy \textcolor{blue}{form\k{a} kwadratow\k{a}}. Macierz
symetryczn\k{a} }$A$\textit{ wyst\k{e}puj\k{a}c\k{a} w powy\.{z}szym
r\'{o}wnaniu nazywamy macierz\k{a} formy kwadratowej }$h$\textit{.}
\end{definition}

Przyjmuj\k{a}c $A=\left[  a_{ij}\right]  $, wz\'{o}r (\ref{12.1}) mo\.{z}emy
r\'{o}wnowa\.{z}nie wyrazi\'{c} w postaci
\[
h\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}x_{i}x_{j}.
\]


\begin{example}
Odwzorowania
\[
h_{1}\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}%
^{2}-4x_{2}x_{3}%
\]
oraz
\[
h_{2}\left(  x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)  =-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}%
^{2}-4x_{2}x_{3}%
\]
s\k{a} formami kwadratowymi o macierzach%
\[
A_{h_{1}}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 1 & 0\\
1 & 1 & -2\\
0 & -2 & 0
\end{array}
\right]  \text{\quad oraz\quad}A_{h_{2}}=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & -2 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  .
\]
Odwzorowania
\[
g_{1}\left(  x_{1},x_{2}\right)  =x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}\text{\quad
oraz\quad}g_{2}\left(  x_{1},x_{2}\right)  =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1
\]
nie s\k{a} formami kwadratowymi.
\end{example}

\section{\ Okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej}

W klasie wszystkich form kwadratowych szczeg\'{o}ln\k{a} rol\k{e}
odgrywaj\k{a} formy okre\'{s}lone.

\begin{definition}
Form\k{e} kwadratow\k{a} $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$ nazywamy

\begin{itemize}
\item dodatnio okre\'{s}lon\k{a}, je\.{z}eli
\[
x^{T}Ax>0,\text{\quad}\forall x\in\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{  0\right\}
;
\]


\item ujemnie okre\'{s}lon\k{a}, je\.{z}eli
\[
x^{T}Ax<0,\text{\quad}\forall x\in\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{  0\right\}
;
\]


\item dodatnio p\'{o}\l okre\'{s}lon\k{a}, je\.{z}eli%
\[
x^{T}Ax\geq0,\quad\forall x\in\mathbb{R}^{n};
\]


\item ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lon\k{a}, je\.{z}eli%
\[
x^{T}Ax\leq0,\text{\quad}\forall x\in\mathbb{R}^{n};
\]


\item nieokre\'{s}lon\k{a}, je\.{z}eli nie zachodzi \.{z}aden z poprzednich warunk\'{o}w.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie form\k{e} kwadratow\k{a}
\[
h_{1}\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}%
^{2}-4x_{2}x_{3}.
\]
Poniewa\.{z} $h_{1}\left(  1,1,1\right)  =-2$ oraz $h_{1}\left(  1,1,0\right)
=2,$ zatem forma kwadratowa $h_{1}$ jest nieokre\'{s}lona.\textbf{ }Forma
kwadratowa
\[
h\left(  x_{1},x_{2}\right)  =x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}%
\]
jest dodatnio okre\'{s}lona; z kolei forma
\[
g\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}%
\]
jest p\'{o}\l okre\'{s}lona dodatnio (dlaczego?).
\end{example}

\section{\ Metody badania okre\'{s}lono\'{s}ci formy kwadratowej}

Poni\.{z}ej przedstawione zostan\k{a} (bez dowod\'{o}w) najcz\k{e}\'{s}ciej
stosowane metody badania okre\'{s}lono\'{s}ci form kwadratowych.

\subsection{\ Kryterium Sylvestera}

\begin{theorem}
Forma kwadratowa $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$, gdzie $A=A^{T}\in
\mathbb{R}^{n\times n},$ jest:

\begin{itemize}
\item[1)] dodatnio okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory
wiod\k{a}ce macierzy $A$ s\k{a} dodatnie:%
\[
D_{j}=\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & \cdots & a_{1j}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{j1} & \cdots & a_{jj}%
\end{array}
\right\vert >0,\text{\quad}\left(  j=1,\ldots,n\right)  ;
\]


\item[2)] ujemnie okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy%
\[
\left(  -1\right)  ^{j}D_{j}=\left(  -1\right)  ^{j}\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & \cdots & a_{1j}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{j1} & \cdots & a_{jj}%
\end{array}
\right\vert >0,\text{\quad}\left(  j=1,\ldots,n\right)  .
\]

\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example}
Dla formy kwadratowej
\[
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =3x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}%
-2x_{1}x_{3}+2x_{3}^{2}%
\]
mamy:%
\[
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =\left[  x_{1}\text{\hspace{5pt}}%
x_{2}\text{\hspace{5pt}}x_{3}\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & -1\\
1 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z}%
\[
D_{1}=3>0,\text{\quad}D_{2}=\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =2>0,\text{\quad}D_{3}=\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & -1\\
1 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 2
\end{array}
\right\vert =3>0,
\]
zatem forma kwadratowa $h$ jest dodatnio okre\'{s}lona.
\end{example}

Warto zwr\'{o}ci\'{c} uwag\k{e} na fakt, \.{z}e z warunk\'{o}w $D_{j}\geq0$
$\left(  j=1,\ldots,n\right)  $ nie wynika dodatnia
p\'{o}\l okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej $h\left(  x\right)
=x^{T}Ax$.

\begin{example}
Dla formy kwadratowej
\[
h\left(  x_{1},x_{2}\right)  =\left[  x_{1}\text{\hspace{5pt}}x_{2}\right]
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}%
\end{array}
\right]  =-x_{2}^{2}%
\]
mamy $D_{1}\geq0$ oraz $D_{2}\geq0,$ podczas gdy forma kwadratowa $h$ jest
ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona.
\end{example}

\begin{theorem}
Forma kwadratowa $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$, gdzie $A=A^{T}\in
\mathbb{R}^{n\times n},$ jest:

\begin{itemize}
\item[1)] dodatnio p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
minory g\l \'{o}wne macierzy $A$ s\k{a} nieujemne, tj.%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{i_{1}i_{1}} & a_{i_{1}i_{2}} & \cdots & a_{i_{1}i_{p}}\\
a_{i_{2}i_{1}} & a_{i_{2}i_{2}} & \cdots & a_{i_{2}i_{p}}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{p}i_{1}} & a_{i_{p}i_{2}} & \cdots & a_{i_{p}i_{p}}%
\end{array}
\right\vert \geq0,
\]
dla $1\leq i_{1}<\ldots<i_{p}\leq n,$ $1\leq p\leq n;$

\item[2)] ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy%
\[
\left(  -1\right)  ^{p}\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{i_{1}i_{1}} & a_{i_{1}i_{2}} & \cdots & a_{i_{1}i_{p}}\\
a_{i_{2}i_{1}} & a_{i_{2}i_{2}} & \cdots & a_{i_{2}i_{p}}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{p}i_{1}} & a_{i_{p}i_{2}} & \cdots & a_{i_{p}i_{p}}%
\end{array}
\right\vert \geq0,
\]
dla $1\leq i_{1}<\ldots<i_{p}\leq n,$ $1\leq p\leq n.$
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example}
Dla formy kwadratowej%
\[
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =-x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{2}%
-2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}=\left[  x_{1}\text{\hspace{5pt}}x_{2}\text{\hspace
{5pt}}x_{3}\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & -1 & 1\\
-1 & -2 & 0\\
1 & 0 & -2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]
\]
mamy

\begin{itemize}
\item trzy minory g\l \'{o}wne stopnia jeden: $a_{11}=-1,$ $a_{22}=-2,$
$a_{33}=-2;$

\item trzy minory g\l \'{o}wne stopnia dwa:%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
-1 & -1\\
-1 & -2
\end{array}
\right\vert =1>0,\text{\quad}\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
-2 & 0\\
0 & -2
\end{array}
\right\vert =4>0,\text{\quad}\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
-1 & 1\\
1 & -2
\end{array}
\right\vert =1>0;
\]


\item jeden minor g\l \'{o}wny stopnia trzy:%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & -1 & 1\\
-1 & -2 & 0\\
1 & 0 & -2
\end{array}
\right\vert =0.
\]
Z twierdzenia 11.2 wynika, \.{z}e forma kwadratowa $h$ jest ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona.
\end{itemize}
\end{example}

\subsection{\ Kryterium warto\'{s}ci w\l asnych}

Mo\.{z}na udowodni\'{c}, \.{z}e rzeczywista macierz symetryczna $A$ ma
rzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne; oznaczmy je jako $\lambda_{1}\left(
A\right)  ,\ldots,\lambda_{n}\left(  A\right)  .$ Niech $v_{i}$ b\k{e}dzie
wektorem w\l asnym macierzy $A$ odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej
$\lambda_{i}\left(  A\right)  $ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $ oraz
przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e forma kwadratowa $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$ jest
dodatnio okre\'{s}lona. W\'{o}wczas, dla $i=1,\ldots,n$:
\begin{equation}
0<v_{i}^{T}Av_{i}=v_{i}^{T}\lambda_{i}\left(  A\right)  v_{i}=\lambda
_{i}\left(  A\right)  v_{i}^{T}v_{i}=\lambda_{i}\left(  A\right)  \left\Vert
v_{i}\right\Vert _{2}^{2}, \label{12.2}%
\end{equation}
gdzie $\left\Vert v\right\Vert _{2}=\sqrt{v^{T}v}$ jest norm\k{a} w
$\mathbb{R}^{n}$. Z warunku (\ref{12.2}) wynika, \.{z}e $\lambda_{i}\left(
A\right)  >0$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  .$ Oznacza to, \.{z}e je\.{z}eli
forma kwadratowa jest dodatnio okre\'{s}lona to jej macierz ma dodatnie
warto\'{s}ci w\l asne. \L atwo o podobne zale\.{z}no\'{s}ci dla form
okre\'{s}lonych ujemnie oraz p\'{o}\l okre\'{s}lonych.

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Niech $\lambda_{1}\left(  A\right)  ,\ldots,\lambda_{n}\left(  A\right)  $
b\k{e}d\k{a} warto\'{s}ciami w\l asnymi macierzy $A=A^{T}\in\mathbb{R}%
^{n\times n}$. W\'{o}wczas forma kwadratowa $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$ jest

\begin{itemize}
\item[1)] dodatnio okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\lambda_{i}\left(  A\right)  >0\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  ;
\]


\item[2)] ujemnie okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\lambda_{i}\left(  A\right)  <0\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  ;
\]


\item[3)] dodatnio p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\lambda_{i}\left(  A\right)  \geq0\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  ;
\]


\item[4)] ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\lambda_{i}\left(  A\right)  \leq0\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  .
\]

\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my form\k{e} kwadratow\k{a} $h$ z przyk\l adu 11.5:%
\begin{equation}
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =\left[  x_{1}\text{\hspace{5pt}}%
x_{2}\text{\hspace{5pt}}x_{3}\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & -1 & 1\\
-1 & -2 & 0\\
1 & 0 & -2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  . \label{12.3}%
\end{equation}
Jej macierz ma trzy rzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne $\lambda_{1}=-3,$
$\lambda_{2}=-2,$ $\lambda_{3}=0$. Z\ twierdzenia 11.3 wynika, \.{z}e forma
kwadratowa (\ref{12.3}) jest ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona.
\end{example}

\subsection{\ Sprowadzenie do postaci kanonicznej (metoda Lagrange'a)}

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
\textbf{ }Dla ka\.{z}dej macierzy symetrycznej $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$
istnieje macierz nieosobliwa $P\in\mathbb{R}^{n\times n}$ dla kt\'{o}rej
macierz $P^{T}AP$ jest diagonalna.

Innymi s\l owy, dla ka\.{z}dej formy kwadratowej $h\left(  x\right)  =x^{T}Ax$
istnieje nieosobliwe przekszta\l cenie liniowe $x=Py,$ dla kt\'{o}rego forma
kwadratowa $h\left(  Py\right)  =y^{T}P^{T}APy$ przyjmuje posta\'{c}
kanoniczn\k{a}, tj.%
\begin{equation}
h\left(  Py\right)  =c_{1}y_{1}^{2}+\ldots+c_{n}y_{n}^{2}, \label{12.4}%
\end{equation}
dla pewnych skalar\'{o}w $c_{1},\ldots,c_{n}\in\mathbb{R}$.
\end{theorem}

Zauwa\.{z}my, \.{z}e forma kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej
(\ref{12.4}) jest:

\begin{itemize}
\item dodatnio okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy $c_{i}>0$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  ;$

\item ujemnie okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy $c_{i}<0$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  ;$

\item dodatnio p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy $c_{i}\geq0$
$\left(  i=1,\ldots,n\right)  ;$

\item ujemnie p\'{o}\l okre\'{s}lona wtedy i tylko wtedy, gdy $c_{i}\leq0$
$\left(  i=1,\ldots,n\right)  .$
\end{itemize}

\noindent\textbf{Metoda Lagrange'a }Form\k{e} kwadratow\k{a}
\[
h\left(  x\right)  =x^{T}Ax=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}x_{i}x_{j}%
\]
mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci%
\[
h\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  =a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}%
+\ldots+a_{nn}x_{n}^{2}+2\left(  a_{12}x_{1}x_{2}+a_{13}x_{1}x_{3}%
+\ldots+a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\right)  .
\]
Rozwa\.{z}my trzy przypadki:

\begin{itemize}
\item $a_{ij}=0$ dla wszystkich $i,j\in\left\{  1,\ldots,n\right\}  .$
W\'{o}wczas $h\left(  x\right)  \equiv0$, tzn. forma kwadratowa jest
jednocze\'{s}nie ujemnie oraz dodatnio p\'{o}\l okre\'{s}lona;

\item $a_{ii}=0$ dla wszystkich $i\in\left\{  1,\ldots,n\right\}  $ oraz
istniej\k{a} indeksy $k,l$ dla kt\'{o}rych $a_{kl}\neq0.$ Niech $e_{k}$ oraz
$e_{l}$ b\k{e}d\k{a} odpowiednio $k$-tym oraz $l$-tym wektorem bazy
kanonicznej przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$. Niech $v^{+}=e_{k}+e_{l}$ oraz
$v^{-}=e_{k}-e_{l}.$ W\'{o}wczas%
\begin{align*}
h\left(  v^{+}\right)   &  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}v_{i}^{+}v_{j}^{+}=2a_{kl}\\
h\left(  v^{-}\right)   &  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}v_{i}^{-}v_{j}^{-}=-2a_{kl}%
\end{align*}
sk\k{a}d wynika, \.{z}e w rozwa\.{z}anym przypadku forma kwadratowa $h$ jest nieokre\'{s}lona;

\item $a_{ii}\neq0$ dla pewnego indeksu $i$; bez straty og\'{o}lno\'{s}ci
mo\.{z}emy przyj\k{a}\'{c}, \.{z}e $i=1$. W\'{o}wczas%
\begin{align*}
h\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)   &  =a_{11}x_{1}^{2}+2x_{1}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
a_{1j}x_{j}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=2}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}x_{i}x_{j}\\
&  =a_{11}\left(  x_{1}^{2}+2x_{1}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
\frac{a_{1j}}{a_{11}}x_{j}\right)  +%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=2}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}x_{i}x_{j}\\
&  =a_{11}\left(  x_{1}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
\frac{a_{1j}}{a_{11}}x_{j}\right)  ^{2}-a_{11}\left(
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
\frac{a_{1j}}{a_{11}}x_{j}\right)  ^{2}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=2}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
a_{ij}x_{i}x_{j}.
\end{align*}
Do formy kwadratowej $h$ mo\.{z}emy teraz zastosowa\'{c} zamian\k{e}
zmiennych:%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
y_{1}=x_{1}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
\frac{a_{1j}}{a_{11}}x_{j}\\
y_{2}=x_{2}\\
y_{3}=x_{3}\\
\text{\hspace{15pt}}\vdots\\
y_{n}=x_{n}%
\end{array}
\right.  \text{\quad lub r\'{o}wnowa\.{z}nie\quad}\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x_{1}=y_{1}-%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{j=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{j=2}^{n}}
%EndExpansion
\frac{a_{1j}}{a_{11}}y_{j}\\
x_{2}=y_{2}\\
x_{3}=y_{3}\\
\text{\hspace{15pt}}\vdots\\
x_{n}=y_{n}%
\end{array}
\right.  . \label{12.5}%
\end{equation}
R\'{o}wnania (\ref{12.5}) okre\'{s}laj\k{a} nieosobliwe przekszta\l cenie
liniowe postaci $x=Py,$ gdzie
\[
P=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & -\frac{a_{12}}{a_{11}} & -\frac{a_{13}}{a_{11}} & \cdots & -\frac{a_{1n}%
}{a_{11}}\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
W wyniku zamiany zmiennych (\ref{12.5}) otrzymujemy%
\[
h\left(  x\right)  =h\left(  Py\right)  =a_{11}y_{1}^{2}+\tilde{h}\left(
y_{2},\ldots,y_{n}\right)  ,
\]
gdzie $\tilde{h}$ jest form\k{a} kwadratow\k{a} zmiennych $y_{2},\ldots,y_{n}%
$, do kt\'{o}rej ponownie stosujemy przedstawione rozumowanie ruguj\k{a}c
systematycznie kolejne \linebreak zmienne i sprowadzaj\k{a}c j\k{a} do postaci
kanonicznej (lub wcze\'{s}niej stwierdzaj\k{a}c jej nieokre\'{s}lono\'{s}\'{c}).
\end{itemize}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my form\k{e} kwadratow\k{a}
\[
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  =-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}%
-4x_{2}x_{3}.
\]
Stosuj\k{a}c opisan\k{a} powy\.{z}ej metod\k{e} Lagrange'a sprowadzimy j\k{a}
do postaci kanonicznej. Mamy:%
\begin{align*}
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)   &  =-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}%
^{2}-4x_{2}x_{3}\\
&  =-\left(  x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}\right)  +x_{2}^{2}-4x_{2}x_{3}\\
&  =-\left(  x_{1}-x_{2}\right)  ^{2}+2x_{2}^{2}-4x_{2}x_{3}\\
&  =-\left(  x_{1}-x_{2}\right)  ^{2}+2\left(  x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}+x_{3}%
^{2}\right)  -2x_{3}^{2}\\
&  =-\left(  x_{1}-x_{2}\right)  ^{2}+2\left(  x_{2}-x_{3}\right)  ^{2}%
-2x_{3}^{2}.
\end{align*}
Rozwa\.{z}ana forma kwadratowa jest wi\k{e}c nieokre\'{s}lona. Zauwa\.{z}my
ponadto, \.{z}e dokonuj\k{a}c zamiany zmiennych%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x_{1}-x_{2}=y_{1}\\
x_{2}-x_{3}=y_{2}\\
x_{3}=y_{3}%
\end{array}
\right.  \text{\quad lub r\'{o}wnowa\.{z}nie\quad}\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}\\
x_{2}=y_{2}+y_{3}\\
x_{3}=y_{3}%
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}ra jest przekszta\l ceniem liniowym $x=Py$ o macierzy $P$ postaci%
\[
P=\left[
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ,
\]
otrzymujemy%
\begin{align*}
h\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)   &  =\left[  x_{1}\text{\hspace{5pt}}%
x_{2}\text{\hspace{5pt}}x_{3}\right]  \left[
\begin{array}
[c]{lll}%
-1 & 1 & 0\\
1 & 1 & -2\\
0 & -2 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right] \\
&  =\left[  y_{1}\text{\hspace{5pt}}y_{2}\text{\hspace{5pt}}y_{3}\right]
\left[
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ^{T}\left[
\begin{array}
[c]{lll}%
-1 & 1 & 0\\
1 & 1 & -2\\
0 & -2 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}%
\end{array}
\right] \\
&  =\left[  y_{1}\text{\hspace{5pt}}y_{2}\text{\hspace{5pt}}y_{3}\right]
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}%
\end{array}
\right]  =-y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}.
\end{align*}
Jest to posta\'{c} kanoniczna rozwa\.{z}anej formy kwadratowej ($c_{1}=-1,$
$c_{2}=2,$ $c_{3}=-2$).
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Elementy geometrii analitycznej w $\mathbb{R}^{3}$}

Elementy tr\'{o}jwymiarowej przestrzeni rzeczywistej $\mathbb{R}^{3}=\left\{
\left(  x,y,z\right)  :x,y,z\in\mathbb{R}\right\}  $ mo\.{z}emy
interpretowa\'{c} co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako:

\begin{itemize}
\item zbi\'{o}r punkt\'{o}w $\left(  x,y,z\right)  $ (wykres 4, kolor
niebieski); b\k{e}dziemy je oznacza\'{c} du\.{z}ymi literami $A,B,C$ itd.
Liczby rzeczywiste $x,y,z$ nazywamy wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi punktu $A=\left(
x,y,z\right)  $. Punkt nie jest wielko\'{s}ci\k{a} wektorow\k{a} -- nie ma
zwrotu, kierunku, d\l ugo\'{s}ci.

\item zbi\'{o}r wszystkich wektor\'{o}w zaczepionych $\overrightarrow
{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{v}$ itd. (wykres 4,
kolor pomara\'{n}czowy). Wektory te maj\k{a} wsp\'{o}lny pocz\k{a}tek w
punkcie $O=\left(  0,0,0\right)  $. Ka\.{z}dy punkt $P=\left(  x,y,z\right)  $
wyznacza dok\l adnie jeden wektor wodz\k{a}cy $\overrightarrow{OP}=\left(
x,y,z\right)  $.

\item zbi\'{o}r wszystkich wektor\'{o}w swobodnych $\overrightarrow{u}$, przy
czym przez wektor swobodny $\overrightarrow{u}$ rozumiemy zbi\'{o}r wszystkich
wektor\'{o}w zaczepionych w dowolnym punkcie, kt\'{o}re maj\k{a} t\k{e}
sam\k{a} d\l ugo\'{s}\'{c}, ten sam zwrot oraz ten sam kierunek co wektor
$\overrightarrow{u}$ (wykres 4, kolor zielony). Ka\.{z}de dwa r\'{o}\.{z}ne
punkty $A=\left(  x_{a},y_{a},z_{a}\right)  $ oraz $B=\left(  x_{b}%
,y_{b},z_{b}\right)  $ wyznaczaj\k{a} dwa wektory swobodne
\[
\overrightarrow{AB}=\left(  x_{b}-x_{a},y_{b}-y_{a},z_{b}-z_{a}\right)
\text{\quad oraz\quad}\overrightarrow{BA}=\left(  x_{a}-x_{b},y_{a}%
-y_{b},z_{a}-z_{b}\right)  ;
\]
wektor $\overrightarrow{BA}$ nazywamy wektorem przeciwnym do wektora
$\overrightarrow{AB}.$ Punkt $A$ (odpowiednio $B$) nazywamy pocz\k{a}tkiem
(ko\'{n}cem) wektora $\overrightarrow{AB}$. Pocz\k{a}tek (koniec) danego
wektora jest ko\'{n}cem (pocz\k{a}tkiem) wektora do niego prze- \linebreak ciwnego.
\end{itemize}

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{wykres4.eps} \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-47,24){\small{$\overrightarrow{b}$}}
\put(-35,29){\small{$\overrightarrow{c}$}}
\put(-59,24){\small{$\overrightarrow{a}$}}
\put(-55,36){\small{$A$}}
\put(-24,27){\small{$B=(x_0,y_0,z_0)$}}
\put(-34.5,4){\small{$C$}}
\put(-46,34){\small{$z_0$}}
\put(-60,7.5){\small{$x_0$}}
\put(-11,15.5){\small{$y_0$}}
\put(-67,12){\small{$\overrightarrow{u}$}}
\put(-37,44){\small{$-\overrightarrow{u}$}}
\put(-51,49){\small{$\overrightarrow{u}$}}
\end{picture}
\par
Wykres 4. Punkty, wektory zaczepione, wektory swobodne.
\end{center}
\end{figure}Niech $\overrightarrow{u}=\left(  x_{u},y_{u},z_{u}\right)  $ oraz
$\overrightarrow{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  $ b\k{e}d\k{a} dowolnymi
wektorami oraz niech $\alpha\in\mathbb{R}$. W\'{o}wczas:%
\[
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\overset{df}{=}\left(  x_{u}+x_{v}%
,y_{u}+y_{v},z_{u}+z_{v}\right)  \text{\quad oraz\quad}\alpha\cdot
\overrightarrow{u}\overset{df}{=}\left(  \alpha x_{u},\alpha y_{u},\alpha
z_{u}\right)  .
\]
D\l ugo\'{s}\'{c} wektora $\overrightarrow{u}$ okre\'{s}lamy wzorem:%
\[
\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \overset{df}{=}\sqrt{x_{u}^{2}%
+y_{u}^{2}+z_{u}^{2}}.
\]


\section{\ Iloczyny wektor\'{o}w: skalarny, wektorowy, mieszany}

\subsection{\ Iloczyn skalarny}

Rozwa\.{z}my dwa wektory $\overrightarrow{u}\ $i $\overrightarrow{v}$
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$.

\begin{definition}
Iloczyn skalarny wektor\'{o}w $\overrightarrow{u}\ $oraz $\overrightarrow{v}$
to liczba (skalar) $\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}$ okre\'{s}lona
wzorem%
\begin{equation}
\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\overset{df}{=}\left\Vert
\overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert
\cdot\cos\measuredangle\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  ,
\label{13.1}%
\end{equation}
gdzie $\measuredangle\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $
to k\k{a}t mi\k{e}dzy wektorami $\overrightarrow{u}\ $i $\overrightarrow{v}$;
zak\l adamy, \.{z}e $0\leq\measuredangle\left(  \overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{v}\right)  \leq\pi$.
\end{definition}

Mo\.{z}na wykaza\'{c}, \.{z}e je\.{z}eli $\overrightarrow{u}=\left(
x_{u},y_{u},z_{u}\right)  $ oraz $\overrightarrow{v}=\left(  x_{v},y_{v}%
,z_{v}\right)  $ to
\begin{equation}
\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=x_{u}\cdot x_{v}+y_{u}\cdot
y_{v}+z_{u}\cdot z_{v}. \label{13.2}%
\end{equation}
Ze wzor\'{o}w (\ref{13.1}) oraz (\ref{13.2}) wynika, \.{z}e k\k{a}t mi\k{e}dzy
niezerowymi wektorami $\overrightarrow{u}\ $i $\overrightarrow{v}$ wyra\.{z}a
si\k{e} wzorem%
\[
\measuredangle\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)
=\arccos\frac{x_{u}\cdot x_{v}+y_{u}\cdot y_{v}+z_{u}\cdot z_{v}}{\sqrt
{x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2}}\cdot\sqrt{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2}}}.
\]


\pagebreak\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci iloczynu skalarnego (}%
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}%
^{3},\alpha\in\mathbb{R}$\textbf{):}

\begin{description}
\item[a)] $\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}%
\circ\overrightarrow{u};$

\item[b)] $\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{u}=\left\Vert
\overrightarrow{u}\right\Vert ^{2};$

\item[c)] $\left(  \alpha\cdot\overrightarrow{u}\right)  \circ\overrightarrow
{v}=\alpha\cdot\left(  \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\right)  ;$

\item[d)] $\left(  \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)
\circ\overrightarrow{w}=\left(  \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow
{w}\right)  +\left(  \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}\right)  ;$

\item[e)] $\left\vert \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\right\vert
\leq\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow
{v}\right\Vert $ (nier\'{o}wno\'{s}\'{c} Schwarza);

\item[f)] $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}\Leftrightarrow
\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=0$ (warunek ortogonalno\'{s}ci wektor\'{o}w).
\end{description}

\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Uzasadni\'{c} powy\.{z}sze w\l asno\'{s}ci
iloczynu skalarnego.

\subsubsection{\ Uk\l ad wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych}

\textit{Uk\l adem wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych }w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$
nazywamy trzy ustalone wzajemnie prostopad\l e proste, przecinaj\k{a}ce
si\k{e} w jednym punkcie zwanym pocz\k{a}tkiem uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}-
dnych. Zwyczajowo proste te oznacza si\k{e} $Ox,$ $Oy$ oraz $Oz$ i nazywa
si\k{e} osiami uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $Oxyz.$ Pocz\k{a}tkiem
uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych jest zazwyczaj punkt $\left(  0,0,0\right)
$. Geometria analityczna to geometria \textit{uprawiana} w wybranym uk\l adzie wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych.

\subsection{\ Iloczyn wektorowy}

Niech $\overrightarrow{u}=\left(  x_{u},y_{u},z_{u}\right)  $ oraz
$\overrightarrow{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  $ b\k{e}d\k{a} dowolnymi
wektorami z przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$.

\begin{definition}
Iloczynem wektorowym wektor\'{o}w $\overrightarrow{u}\ $oraz $\overrightarrow
{v}$ nazywamy wektor \linebreak$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$
okre\'{s}lony wzorem%
\begin{equation}
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\overset{df}{=}\left(  y_{u}%
z_{v}-y_{v}z_{u},x_{v}z_{u}-x_{u}z_{v},x_{u}y_{v}-x_{v}y_{u}\right)  .
\label{13.3}%
\end{equation}

\end{definition}

\L atwo sprawdzi\'{c} przez bezpo\'{s}redni rachunek, \.{z}e wz\'{o}r
(\ref{13.3}) mo\.{z}na wyrazi\'{c} w postaci symbolicznego wyznacznika%
\[
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
x_{u} & y_{u} & z_{u}\\
x_{v} & y_{v} & z_{v}%
\end{array}
\right\vert ,
\]
gdzie $\overrightarrow{i}=\left(  1,0,0\right)  ,$ $\overrightarrow{j}=\left(
0,1,0\right)  ,$ $\overrightarrow{k}=\left(  0,0,1\right)  .$ Mo\.{z}na
r\'{o}wnie\.{z} wykaza\'{c}, \.{z}e%
\[
\left\Vert \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right\Vert =\left\Vert
\overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert
\cdot\sin\measuredangle\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)
\]
gdzie, podobnie jak poprzednio, $\measuredangle\left(  \overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\right)  $ to k\k{a}t mi\k{e}dzy wektorami
$\overrightarrow{u}\ $i $\overrightarrow{v}$ \linebreak($0\leq\measuredangle
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  \leq\pi$).

\bigskip

\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci iloczynu wektorowego (}$\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3},\alpha\in
\mathbb{R}$\textbf{):}

\begin{description}
\item[a)] $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=-\left(  \overrightarrow
{v}\times\overrightarrow{u}\right)  ;$

\item[b)] $\left(  \alpha\cdot\overrightarrow{u}\right)  \times\overrightarrow
{v}=\overrightarrow{u}\times\left(  \alpha\cdot\overrightarrow{v}\right)
=\alpha\cdot\left(  \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)  ;$

\item[c)] $\left(  \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)
\times\overrightarrow{w}=\left(  \overrightarrow{u}\times\overrightarrow
{w}\right)  +\left(  \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)  ;$

\item[d)] $\left\vert \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right\vert
\leq\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow
{v}\right\Vert $;

\item[e)] $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow
{0}\Leftrightarrow\left\{  \overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}%
\vee\overrightarrow{u}=0\vee\overrightarrow{v}=0\right\}  $ (warunek
r\'{o}wnoleg\l o\'{s}ci wektor\'{o}w);

\item[f)] $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{u},$
$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{v}.$
\end{description}

\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Uzasadni\'{c} powy\.{z}sze w\l asno\'{s}ci
iloczynu wektorowego.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my trzy punkty $A=\left(  0,1,0\right)  ,$ $B=\left(  1,0,1\right)
,$ $C=\left(  1,1,1\right)  .$ Punkty te s\k{a} wierzcho\l kami pewnego
tr\'{o}jk\k{a}ta. Obliczymy jego pole. Zauwa\.{z}my, \.{z}e dwoma bokami
tr\'{o}jk\k{a}t o wierzcho\l kach $A,B,C$ s\k{a} wektory $\overrightarrow{AB}$
oraz $\overrightarrow{AC}$. Jego pole $P$ wyra\.{z}a si\k{e} wi\k{e}c wzorem%
\[
P=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert \cdot\left\Vert
\overrightarrow{AC}\right\Vert \cdot\sin\measuredangle\left(  \overrightarrow
{AB},\overrightarrow{AC}\right)  =\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow
{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert .
\]
Mamy wi\k{e}c%
\[
\overrightarrow{AB}=\left(  1,-1,1\right)  ,\text{\quad}\overrightarrow
{AC}=\left(  1,0,1\right)
\]
oraz%
\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & -1 & 1\\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert =-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}=\left(  -1,0,1\right)  .
\]
Ostatecznie $P=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
\end{example}

\subsubsection{\ Orientacja uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych}

Rozr\'{o}\.{z}niamy dwie orientacje uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $Oxyz$ --
orientacj\k{e} dodatni\k{a} (uk\l ad prawoskr\k{e}tny) oraz ujemn\k{a}
(uk\l ad lewoskr\k{e}tny). Orientacja uk\l adu zale\.{z}y od wzajemnego
po\l o\.{z}enia osi uk\l adu $Ox,Oy$ oraz $Oz.$ Je\.{z}eli wyprostowany kciuk
prawej r\k{e}ki umie\'{s}cimy w ten spos\'{o}b, aby wskazywa\l \ dodatni\k{a}
cz\k{e}\'{s}\'{c} osi $Oz$, a zgi\k{e}te palce wska\.{z}\k{a} kierunek obrotu
od osi $Ox$ do osi $Oy$ (odpowiednio: od osi $Oy$ do osi $Ox$) to w\'{o}wczas
mamy do czynienia z uk\l adem prawoskr\k{e}tnym (lewoskr\k{e}tnym).

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{wykres5.eps} \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-90,30){a)}
\put(-40,30){b)}
\put(-69.5,30){$z$}
\put(-51,16){$x$}
\put(-52,2){$y$}
\put(-19.5,30){$z$}
\put(-1,16){$y$}
\put(-3,2){$x$}
\end{picture}
\par
Wykres 5. Orientacja uk\l adu wsp\'o\l rz\k{e}dnych: a) uk\l ad
lewoskr\k{e}tny, b) uk\l ad prawoskr\k{e}tny.
\end{center}
\end{figure}

\noindent Iloczyn wektorowy $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$
dw\'{o}ch niezerowych, niewsp\'{o}\l liniowych wektor\'{o}w $\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\ $przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ ma t\k{e}
w\l asno\'{s}\'{c}, \.{z}e orientacja tr\'{o}jki wektor\'{o}w $\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ jest zgodna
z orientacj\k{a} uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $Oxyz$.

\subsection{\ Iloczyn mieszany}

Niech $\overrightarrow{u}=\left(  x_{u},y_{u},z_{u}\right)  ,\overrightarrow
{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  ,\overrightarrow{w}=\left(  x_{w}%
,y_{w},z_{w}\right)  $ b\k{e}d\k{a} dowolnymi elementami przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$.

\begin{definition}
Iloczynem mieszanym uporz\k{a}dkowanej tr\'{o}jki wektor\'{o}w
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ nazywamy liczb\k{e}
$\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  $
okre\'{s}lon\k{a} wzorem%
\begin{equation}
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)
\overset{df}{=}\left(  \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)
\circ\overrightarrow{w}. \label{13.4}%
\end{equation}

\end{definition}

\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e iloczyn mieszany wektor\'{o}w jest wyznacznikiem
macierzy, kt\'{o}rej wiersze (lub kolumny) s\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi tych
wektor\'{o}w, tj.:%
\begin{equation}
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)
=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
x_{u} & y_{u} & z_{u}\\
x_{v} & y_{v} & z_{v}\\
x_{w} & y_{w} & z_{w}%
\end{array}
\right\vert . \label{13.5}%
\end{equation}


\bigskip

\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci iloczynu mieszanego (}$\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3},\alpha\in
\mathbb{R}$\textbf{):}

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow
{w}\right)  =-\left(  \overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow
{w}\right)  =\left(  \overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow
{u}\right)  ;$

\item[b)] $\alpha\cdot\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow
{v},\overrightarrow{w}\right)  =\left(  \alpha\cdot\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  =\left(  \overrightarrow
{u},\alpha\cdot\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  =\left(
\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\alpha\cdot\overrightarrow{w}\right)  ;$

\item[c)] $\left(  \overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{u_{2}}%
,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  =\left(  \overrightarrow{u_{1}%
},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  +\left(  \overrightarrow
{u_{2}},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  ;$

\item[d)] $\left\vert \left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow
{v},\overrightarrow{w}\right)  \right\vert \leq\left\Vert \overrightarrow
{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert
\overrightarrow{w}\right\Vert $.
\end{description}

\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Uzasadni\'{c} powy\.{z}sze w\l asno\'{s}ci
iloczynu mieszanego.

\subsection{\ Zastosowanie geometryczne iloczynu wektorowego oraz mieszanego}

Niech $\overrightarrow{u}=\left(  x_{u},y_{u},z_{u}\right)  ,\overrightarrow
{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  ,\overrightarrow{w}=\left(  x_{w}%
,y_{w},z_{w}\right)  $. Iloczyny wektorowy oraz mieszany maj\k{a} liczne
interesuj\k{a}ce zastosowania geometryczne. Mo\.{z}na przy ich pomocy
wyznacza\'{c} mi\k{e}dzy innymi:

\begin{itemize}
\item[$\checkmark$] \textbf{pole r\'{o}wnoleg\l oboku:} pole $P$
r\'{o}wnoleg\l oboku rozpi\k{e}tego przez wektory $\overrightarrow{u}\ $i
$\overrightarrow{v}$ wyra\.{z}a si\k{e} wzorem (zob. wykres 6a))%
\begin{equation}
P=\left\Vert \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right\Vert ;
\label{13.6}%
\end{equation}


\item[$\checkmark$] \textbf{pole tr\'{o}jk\k{a}ta: }pole $P$ tr\'{o}jk\k{a}ta
rozpi\k{e}tego przez wektory $\overrightarrow{u}\ $i $\overrightarrow{v}$
wyra\.{z}a si\k{e} wzorem%
\begin{equation}
P=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right\Vert
; \label{13.7}%
\end{equation}


\item[$\checkmark$] \textbf{obj\k{e}to\'{s}\'{c} r\'{o}wnoleg\l o\'{s}cianu:
}obj\k{e}to\'{s}\'{c} $V$ r\'{o}wnoleg\l o\'{s}cianu rozpi\k{e}tego na
wektorach $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$
wyra\.{z}a si\k{e} wzorem (zob. wykres 6b))%
\begin{equation}
V=\left\vert \left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow
{w}\right)  \right\vert ; \label{13.8}%
\end{equation}


\item[$\checkmark$] \textbf{obj\k{e}to\'{s}\'{c} czworo\'{s}cianu:
}obj\k{e}to\'{s}\'{c} $V$ czworo\'{s}cianu wyznaczonego przez wektory
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ wyra\.{z}a si\k{e}
wzorem (zob. wykres 6c))
\begin{equation}
V=\frac{1}{6}\left\vert \left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow
{v},\overrightarrow{w}\right)  \right\vert . \label{13.9}%
\end{equation}

\end{itemize}

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{wykres6.eps}
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-115,-5){a)}
\put(-70,-5){b)}
\put(-25,-5){c)}
\put(-111,14){\small{$\overrightarrow{u}$}}
\put(-105,9){\small{$\overrightarrow{v}$}}
\put(-69,8){\small{$\overrightarrow{v}$}}
\put(-72,16){\small{$\overrightarrow{u}$}}
\put(-64,4){\small{$\overrightarrow{w}$}}
\put(-23,6){\small{$\overrightarrow{u}$}}
\put(-17,16){\small{$\overrightarrow{v}$}}
\put(-12.5,11){\small{$\overrightarrow{w}$}}
\end{picture}
\end{center}
\par
\vspace{0.5cm}
\par
\begin{center}
Wykres 6. Zastosowanie iloczyn\'ow wektor\'{o}w: a) wektorowego; b) i c)
mieszanego
\end{center}
\end{figure}

\begin{example}
\textbf{ }Aby obliczy\'{c} d\l ugo\'{s}\'{c} $h$ wysoko\'{s}ci
tr\'{o}jk\k{a}ta o wierzcho\l kach w punktach $A=\left(  1,1,1\right)  ,$
$B=\left(  2,2,2\right)  ,C=\left(  3,4,5\right)  $ opuszczonej z
wierzcho\l ka \ $C,$ mo\.{z}emy zastosowa\'{c} wz\'{o}r (\ref{13.7}). Mamy
$\overrightarrow{AB}=\left(  1,1,1\right)  ,$ $\overrightarrow{AC}=\left(
2,3,4\right)  $ oraz%
\[
P=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow
{AC}\right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert \cdot
h.
\]
Poniewa\.{z}%
\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 4
\end{array}
\right\vert =\left(  1,-2,1\right)
\]
zatem%
\[
h=\frac{\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert
}{\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert }=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}%
=\sqrt{2}.
\]

\end{example}

\begin{example}
Aby obliczy\'{c} d\l ugo\'{s}\'{c} $h$ wysoko\'{s}ci czworo\'{s}cianu o
wierzcho\l kach $A=\left(  0,0,0\right)  ,$ $B=\left(  1,0,0\right)  ,$
$C=\left(  0,2,3\right)  ,$ $D=\left(  3,4,5\right)  $ opuszczonej z
wierzcho\l ka $D$, zastosujemy wz\'{o}r (\ref{13.9}). Mamy%
\[
V=\frac{1}{6}\left\vert \left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow
{AC},\overrightarrow{AD}\right)  \right\vert =\frac{1}{3}h\cdot P_{\triangle
ABC},
\]
gdzie $P_{\triangle ABC}$ to pole tr\'{o}jk\k{a}ta o wierzcho\l kach w
punktach $A,B,C$. Mamy $\overrightarrow{AB}=\left(  1,0,0\right)
,$$\overrightarrow{AC}=\left(  0,2,3\right)  ,$ $\overrightarrow{AD}=\left(
3,4,5\right)  $. Zatem%
\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 3
\end{array}
\right\vert =\left(  0,-3,2\right)  .
\]
St\k{a}d oraz ze wzoru (\ref{13.7}) wynika, \.{z}e $P_{\triangle ABC}=\frac
{1}{2}\left\Vert \left(  0,-3,2\right)  \right\Vert =\frac{\sqrt{13}}{2}.$
Poniewa\.{z}%
\[
\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)
=\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 3\\
3 & 4 & 5
\end{array}
\right\vert =-2,
\]
zatem ostatecznie otrzymujemy%
\[
h=\frac{1}{2}\frac{\left\vert \left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow
{AC},\overrightarrow{AD}\right)  \right\vert }{P_{\triangle ABC}}=\frac
{2\sqrt{13}}{13}.
\]

\end{example}

\section{\ P\l aszczyzna w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$}

\subsection{\ R\'{o}wnanie normalne p\l aszczyzny}

R\'{o}wnanie p\l aszczyzny $\pi$ przechodz\k{a}cej przez punkt $P=\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right)  $ oraz prostopad\l ej do niezerowego wektora
$\overrightarrow{n}=\left(  A,B,C\right)  $ (\footnote{Wektor prostopad\l y do
p\l aszczyzny nazywamy \textit{wektorem normalnym} p\l aszczyzny.}) ma
posta\'{c}%
\begin{equation}
\pi:\text{\qquad}A\left(  x-x_{0}\right)  +B\left(  y-y_{0}\right)  +C\left(
z-z_{0}\right)  =0. \label{13.10}%
\end{equation}
Jest to tzw. \textit{r\'{o}wnanie normalne} p\l aszczyzny.

\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e r\'{o}wnanie%
\[
Ax+By+Cz+D=0,
\]
gdzie $A^{2}+B^{2}+C^{2}>0,$ r\'{o}wnie\.{z} opisuje p\l aszczyzn\k{e} -- jej
wektorem normalnym jest wektor $\overrightarrow{n}=\left(  A,B,C\right)  $, a
przechodzi ona przez punkty $P_{1}=\left(  -\frac{D}{A},0,0\right)  ,$
$P_{2}=\left(  0,-\frac{D}{B},0\right)  $, $P_{3}=\left(  0,0,-\frac{D}%
{C}\right)  $ (o ile oczywi\'{s}cie $ABC\neq0$).

\subsection{\ R\'{o}wnanie odcinkowe p\l aszczyzny}

R\'{o}wnanie postaci%
\begin{equation}
\pi:\text{\qquad}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, \label{13.11}%
\end{equation}
w kt\'{o}rym $a,b,c\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $, nazywamy
\textit{r\'{o}wnaniem odcinkowym} p\l aszczyzny $\pi$. P\l aszczyzna opisana
r\'{o}wnaniem (\ref{13.11}) przecina osie $Ox,Oy$ oraz $Oz$ uk\l adu
wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $Oxyz$ w punktach r\'{o}wnych odpowiednio
$P_{x}=\left(  a,0,0\right)  ,$ $P_{y}=\left(  0,b,0\right)  ,$ $P_{z}=\left(
0,0,c\right)  $.

\subsection{\ R\'{o}wnanie parametryczne p\l aszczyzny}

R\'{o}wnanie p\l aszczyzny $\pi$ przechodz\k{a}cej przez punkt $P=\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right)  $ i r\'{o}wnoleg\l ej do dw\'{o}ch
niewsp\'{o}\l liniowych (niele\.{z}\k{a}cych na jednej prostej) wektor\'{o}w
$\overrightarrow{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  ,\overrightarrow
{w}=\left(  x_{w},y_{w},z_{w}\right)  $ ma posta\'{c}:%
\[
\pi:\text{\qquad}\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x=x_{0}+rx_{v}+sx_{w}\\
y=y_{0}+ry_{v}+sy_{w}\\
z=z_{0}+rz_{v}+sz_{w}%
\end{array}
\right.  ,\text{\quad gdzie }r,s\in\mathbb{R}\text{.}%
\]
Jest to tzw. \textit{r\'{o}wnanie parametryczne} p\l aszczyzny.

\subsection{\ R\'{o}wnanie p\l aszczyzny przechodz\k{a}cej przez trzy punkty}

Ka\.{z}de trzy niewsp\'{o}\l liniowe punkty $P_{1},P_{2},P_{3}$ wyznaczaj\k{a}
dok\l adnie jedn\k{a} p\l aszczyzn\k{e} $\pi$, kt\'{o}ra je zawiera. Niech
$P_{i}=\left(  x_{i},y_{i},z_{i}\right)  $ $\left(  i=1,2,3\right)  .$ Punkt
$P=\left(  x,y,z\right)  $ le\.{z}y na p\l aszczy\'{z}nie wyznaczonej przez
punkty $P_{1},P_{2},P_{3}$ wtedy i tylko \linebreak wtedy, gdy wektory
$\overrightarrow{P_{1}P},$ $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\ $oraz
$\overrightarrow{P_{1}P_{3}}\ $s\k{a} liniowo zale\.{z}ne. R\'{o}wnanie
poszukiwanej p\l aszczyzny $\pi$ mo\.{z}na wi\k{e}c wyrazi\'{c} w postaci:
\begin{equation}
\pi:\text{\qquad}\left\vert
\begin{array}
[c]{lll}%
x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\
x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1}\\
x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}%
\end{array}
\right\vert =0. \label{13.12}%
\end{equation}


\section{\ Prosta w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$}

\subsection{\ R\'{o}wnanie parametryczne prostej}

Rozwa\.{z}my dowolny punkt $P=\left(  x_{0},y_{0},z_{0}\right)  $ oraz
niezerowy wektor $\overrightarrow{v}=\left(  x_{v},y_{v},z_{v}\right)  $.
R\'{o}wnanie%
\begin{equation}
l:\text{\qquad}\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x=x_{0}+tx_{v}\\
y=y_{0}+ty_{v}\\
z=z_{0}+tz_{v}%
\end{array}
\right.  ,\text{\quad gdzie }t\in\mathbb{R} \label{13.13}%
\end{equation}
jest r\'{o}wnaniem prostej $l$ przechodz\k{a}cej przez punkt $P$ i
r\'{o}wnoleg\l ej do wektora $\overrightarrow{v}$.

\subsection{\ R\'{o}wnanie kierunkowe prostej}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e prosta $l$ jest zapisana w postaci parametrycznej
(\ref{13.13}) oraz za\l \'{o}\.{z}my, \.{z}e \.{z}adna ze
wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych wektora $\overrightarrow{v}$ nie jest zerem.
Wyliczaj\k{a}c z ka\.{z}dego z trzech r\'{o}wna\'{n} uk\l adu (\ref{13.13})
parametr $t,$ otrzymujemy r\'{o}wnanie kierunkowe prostej:%
\begin{equation}
l:\text{\qquad}\frac{x-x_{0}}{x_{v}}=\frac{y-y_{0}}{y_{v}}=\frac{z-z_{0}%
}{z_{v}}. \label{13.14}%
\end{equation}


\subsection{\ R\'{o}wnanie kraw\k{e}dziowe prostej}

Rozwa\.{z}my dwie nier\'{o}wnoleg\l e p\l aszczyzny
\[
\pi_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\text{\quad oraz\quad}\pi_{2}:A_{2}%
x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.
\]
Cz\k{e}\'{s}ci\k{a} wsp\'{o}ln\k{a} tych p\l aszczyzn jest prosta%
\begin{equation}
l:\text{\qquad}\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\
A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0
\end{array}
\right.  ; \label{13.15}%
\end{equation}
r\'{o}wnanie (\ref{13.15}) to jej \textit{r\'{o}wnanie kraw\k{e}dziowe}.

Zauwa\.{z}my, \.{z}e p\l aszczyzny $\pi_{1}$ oraz $\pi_{2}$ nie s\k{a}
r\'{o}wnoleg\l e wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne
$\overrightarrow{n_{1}}=\left(  A_{1},B_{1},C_{1}\right)  $ i $\overrightarrow
{n_{2}}=\left(  A_{2},B_{2},C_{2}\right)  $ nie s\k{a} r\'{o}wnoleg\l e, tj.
$\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}\neq\overrightarrow{0}$.
Wektor $\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}$ jest
jednocze\'{s}nie wektorem kierunkowym (r\'{o}wnoleg\l ym) prostej $l$.

\section{\ Wzajemne po\l o\.{z}enie p\l aszczyzn i prostych}

\subsection{\ K\k{a}t mi\k{e}dzy p\l aszczyznami oraz prostymi}

Przyjmuje si\k{e}, \.{z}e k\k{a}t mi\k{e}dzy dwiema prostymi (dwiema
p\l aszczyznami) to k\k{a}t jaki tworz\k{a} wektory kierunkowe tych prostych
(wektory normalne p\l aszczyzn). K\k{a}t mi\k{e}dzy prost\k{a} i
p\l aszczyzn\k{a}, to k\k{a}t $\frac{\pi}{2}-\alpha,$ gdzie $\alpha$ to
k\k{a}t ostry jaki tworz\k{a} wektor kierunkowy prostej oraz wektor normalny
p\l aszczyzny. Znaj\k{a}c wektory normalne p\l aszczyzn oraz wektory
kierunkowe prostych, szukane k\k{a}ty mo\.{z}na \l atwo wyliczy\'{c}
wykorzystuj\k{a}c stosowne w\l asno\'{s}ci iloczynu skalarnego lub iloczynu
wektorowego tych wektor\'{o}w.

\subsection{\ Odleg\l o\'{s}\'{c} punktu od p\l aszczyzny}

\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e odleg\l o\'{s}\'{c} punktu $P_{0}=\left(
x_{0},y_{0},z_{0}\right)  $ od p\l aszczyzny $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ wyra\.{z}a
si\k{e} wzorem%
\begin{equation}
d\left(  P_{0},\pi\right)  =\frac{\left\vert Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right\vert
}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \label{13.16}%
\end{equation}
\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Uzasadni\'{c} powy\.{z}szy wz\'{o}r.

\subsection{\ Odleg\l o\'{s}\'{c} punktu od prostej}

Mo\.{z}na wykaza\'{c} (zob. wykres 7), \.{z}e odleg\l o\'{s}\'{c} punktu
$P_{0}$ od prostej $l$ przechodz\k{a}cej przez punkt $P_{1}$ i
r\'{o}wnoleg\l ej do wektora $\overrightarrow{v}$ wyra\.{z}a si\k{e} wzorem%
\begin{equation}
d\left(  P_{0},l\right)  =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{1}P_{0}}%
\times\overrightarrow{v}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert
}. \label{13.17}%
\end{equation}
\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Uzasadni\'{c} powy\.{z}szy wz\'{o}r.

\vspace{0.5cm} \begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{wykres7.eps}
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-45,13){$d(P_0,l)$}
\put(-5,3){$l$}
\put(-55,5){$\overrightarrow{v}$}
\put(-70,4){$P_1$}
\put(-52,25){$P_0$}
\end{picture}
\end{center}
\par
\vspace{0.5cm}
\par
\begin{center}
Wykres 7. Odleg\l o\'s\'c punktu $P_{0}$ od prostej $l$.
\end{center}
\end{figure}

\subsection{\ Odleg\l o\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy p\l aszczyznami}

Rozwa\.{z}my dwie p\l aszczyzny r\'{o}wnoleg\l e $\pi_{1}:Ax+By+Cz+D_{1}=0$
oraz $\pi_{2}:Ax+By+Cz+D_{2}=0$ (p\l aszczyzny r\'{o}wnoleg\l e maj\k{a} ten
sam wektor normalny). Ze wzoru (\ref{13.16}) wynika natychmiast, \.{z}e
odleg\l o\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy tymi p\l aszczyznami wyra\.{z}a si\k{e} wzorem%
\[
d\left(  \pi_{1},\pi_{2}\right)  =\frac{\left\vert D_{1}-D_{2}\right\vert
}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
\]


\subsection{\ Odleg\l o\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy prostymi}

Niech $l_{1}$ (odpowiednio $l_{2}$) b\k{e}dzie prost\k{a} przechodz\k{a}c\k{a}
przez punkt $P_{1}$ (odpowiednio $P_{2}$) r\'{o}wnoleg\l \k{a} do wektora
$\overrightarrow{v_{1}}$ (odpowiednio $\overrightarrow{v_{2}}$).

\subsubsection{\ Proste r\'{o}wnoleg\l e}

W przypadku, gdy proste $l_{1}$ i $l_{2}$ s\k{a} r\'{o}wnoleg\l e (mo\.{z}emy
w\'{o}wczas przyj\k{a}\'{c}, \.{z}e $\overrightarrow{v_{1}}=\overrightarrow
{v_{2}}$), wz\'{o}r na odleg\l o\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy nimi wynika ze wzoru
(\ref{13.17}). Mamy%
\[
d\left(  l_{1},l_{2}\right)  =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{1}P_{2}%
}\times\overrightarrow{v_{1}}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{v_{1}%
}\right\Vert }.
\]


\subsubsection{\ Proste sko\'{s}ne}

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}
\includegraphics[width=0.35\textwidth]{wykres8.eps}
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-45,36){$l_2$}
\put(-11,3){$l_1$}
\put(-38,11){$\overrightarrow{v_1}$}
\put(-33,43){$\overrightarrow{v_2}$}
\put(-39,40){$P_2$}
\put(-51,16){$P_1$}
\end{picture}
\end{center}
\par
\vspace{0.5cm}
\par
\begin{center}
Wykres 8. Odleg\l o\'s\'c mi\k{e}dzy prostymi $l_{1}$ i $l_{2}$.
\end{center}
\end{figure}Je\.{z}eli proste $l_{1}$ i $l_{2}$ nie s\k{a} r\'{o}wnoleg\l e
(tzn. $\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\neq\overrightarrow
{0}$), odleg\l o\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy nimi obliczamy ze wzoru%
\[
d\left(  l_{1},l_{2}\right)  =\frac{\left\vert \left(  \overrightarrow
{P_{1}P_{2}},\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\right)  \right\vert
}{\left\Vert \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert }.
\]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Zadania egzaminacyjne}

\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz sum\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania:
\[
\left(  8z+1-i\right)  ^{2}-2^{7}iz^{4}=0.
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $u_{0}=\left(  1,2,1\right)  $. Rozwa\.{z}my
odwzorowanie
\[
f:\mathbb{R}^{3}\ni v\rightarrow u_{0}\times v\in\mathbb{R}^{3},
\]
gdzie $\times$ oznacza iloczyn wektorowy.

\begin{description}
\item[a)] Uzasadnij, \.{z}e $f$ jest endomorfizmem.

\item[b)] Wyznacz j\k{a}dro oraz obraz endomorfizmu $f$.
\end{description}

\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my dwie macierze:
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 0 & 4\\
0 & -1 & 0\\
-2 & 0 & -3
\end{array}
\right)  ,\text{\quad}B=\left(
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right)  .
\]


\begin{description}
\item[a)] Sprawd\'{z}, czy macierze $A$ i $B$ s\k{a} podobne.

\item[b)] Wyznacz macierz $I+A^{2}+A^{4}\ldots+A^{100}$.
\end{description}

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:2x+y-z=0,\text{
}x-2y+z=0\right\}
\]
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$. Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(
1,-1,1\right)  $ na podprzestrze\'{n} $V$. W przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$
przyjmij naturalny iloczyn skalarny.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$,
dla kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
a-1 & 1 & -1\\
1 & 1 & -a\\
-1 & -a & 4
\end{array}
\right)
\]
ma tylko nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 10.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej zaznacz zbi\'{o}r:%
\[
\left\{  z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{6}\leqslant\arg\frac{i}{\left(
z+iz\right)  ^{2}}<\frac{\pi}{4}\right\}  .
\]


\item[Zadanie 2.] W zbiorze $Z=\mathbb{Q}\backslash\left\{  1\right\}  $
wprowadzamy dzia\l anie $\ast$ okre\'{s}lone wzorem $a\ast b=a+b-ab.$
Sprawd\'{z}, czy struktura $\left(  Z,\ast\right)  $ jest grup\k{a}.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz macierz Jordana endomorfizmu $F:\Pi_{2}\ni
f\rightarrow f+f^{\prime}\in\Pi_{2}$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x+y=-a\left(  1+y\right) \\
2x+y=ax-2\\
2x+ay=1-a
\end{array}
\right.
\]
posiada niezerowe rozwi\k{a}zanie.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny macierzy $u^{\ast}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 1\\
-2 & -1 & 1
\end{array}
\right]  $ na podprzestrze\'{n} $\left\{  \left[
\begin{array}
[c]{lll}%
a & b & c\\
b & c & d
\end{array}
\right]  :a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}  $ przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times3}$.
Przyjmij iloczyn skalarny $\left[  a_{ij}\right]  \circ\left[  b_{ij}\right]
=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{i=1}^{2}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{2}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{j=1}^{3}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{j=1}^{3}}
%EndExpansion
a_{ij}b_{ij}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 24.02.2011}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Dnia 10 lutego 2011 roku studenci pierwszego roku jednej z
krakowskich uczelni zdawali pisemny egzamin z algebry liniowej. Ka\.{z}dy ze
student\'{o}w uzyska\l \ inn\k{a} liczb\k{e} punkt\'{o}w. W grupie
zdaj\k{a}cych wprowadzono dwa dzia\l ania: $r_{1},$ kt\'{o}re z dw\'{o}ch
os\'{o}b wybiera t\k{e}, kt\'{o}ra uzyska\l a\l epszy wynik z egzaminu oraz
$r_{2}$, kt\'{o}re z dw\'{o}ch os\'{o}b wybiera osob\k{e} m\l odsz\k{a}
(decyduje numer PESEL).

\begin{description}
\item[a)] Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna z\l o\.{z}ona z
powy\.{z}szej grupy student\'{o}w oraz dzia\l ania $r_{1}$ jest grup\k{a}?

\item[b)] Sprawd\'{z} rozdzielno\'{s}\'{c} dzia\l ania $r_{1}$ wzgl\k{e}dem
dzia\l ania $r_{2}$.
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Prosta $y=ax+b$ przecina wykres funkcji $y=2x^{5}%
-x^{3}+4x^{2}+3x-7$ w pi\k{e}ciu r\'{o}\.{z}nych punktach $\left(  x_{1}%
,y_{1}\right)  ,$ $\left(  x_{2},y_{2}\right)  ,$ $\left(  x_{3},y_{3}\right)
,$ $\left(  x_{4},y_{4}\right)  ,$ $\left(  x_{5},y_{5}\right)  .$ Poka\.{z},
\.{z}e liczba $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}$ nie zale\.{z}y od
parametr\'{o}w $a$ i $b$.

\item[Zadanie 3.] Niech $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ b\k{e}dzie macierz\k{a},
tak\k{a} \.{z}e
\[
A+A^{-1}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 2 & -1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Czy macierz $A^{3}+\left(  A^{-1}\right)  ^{3}$ jest diagonalizowalna?
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 4.] Zbadaj, w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru
$a\in\mathbb{R}$, wymiar obrazu endomorfizmu $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow
\mathbb{R}^{3}$ okre\'{s}lonego wzorem%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left(  -2x+\left(  -1-a\right)  y+z,ax-az,-x+\left(
a+a^{2}\right)  y+z\right)  .
\]


\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,2,3\right)  $
na podprzestrze\'{n} \linebreak liniow\k{a} $x+y+z=0$ przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$. Przyjmij naturalny iloczyn skalarny.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $a,b,c\in\mathbb{C}$ to pierwiastki wielomianu
$f\left(  x\right)  =3x^{3}-14x^{2}+x+62.$ Oblicz
\[
\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}.
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $\mathbb{R}_{\ast}^{n\times m}$ oznacza zbi\'{o}r
macierzy wymiaru $n\times m$ o elementach nale\.{z}\k{a}cych do zbioru
$\mathbb{R}_{\ast}=\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. W zbiorze
$\mathbb{R}_{\ast}^{n\times m}$ wprowadzamy dzia\l anie $\circ$ okre\'{s}lone
wzorem:
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & \cdots & a_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nm}%
\end{array}
\right]  \circ\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
b_{11} & \cdots & b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{nm}%
\end{array}
\right]  :=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11}b_{11} & \cdots & a_{1m}b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}b_{n1} & \cdots & a_{nm}b_{nm}%
\end{array}
\right]  .
\]
Czy struktura $\left(  \mathbb{R}_{\ast}^{n\times m},\circ\right)  $ jest
grup\k{a} abelow\k{a}? Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 3.] Spo\'{s}r\'{o}d rozwi\k{a}za\'{n} r\'{o}wnania
\[
\left(  z^{3}-27i\right)  \left(  z^{2}-\left(  3+i\right)  z+2+2i\right)  =0
\]
wybierz te, kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}%
:0\leqslant\operatorname*{Arg}z<\frac{\pi}{2}\right\}  .$

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe $L:\mathbb{R}%
^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ postaci
\[
L\left(  x,y,z\right)  =\left(  x+z,3x+2z,z\right)  .
\]
Czy istnieje baza przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, w kt\'{o}rej macierz $A_{L}$
odwzorowania $L$ jest dia- gonalna? Odpowied\'{z} uzasadnij; w przypadku
pozytywnej odpowiedzi wyznacz t\k{e} baz\k{e}.

\item[Zadanie 5.] W przestrzeni $\mathbb{R}^{3\times3}$ iloczyn skalarny $s$
okre\'{s}lono wzorem:
\[
s\left(  \left[  a_{ij}\right]  ,\left[  b_{ij}\right]  \right)
=\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}a_{ij}b_{ij}.
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wektora
\[
u=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 3\\
0 & 2 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
na podprzestrze\'{n} $V=\left\{  A\in\mathbb{R}^{3\times3}:A=A^{T}\right\}  $.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 09.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
5 & 0 & 1\\
2 & 6 & -2\\
-1 & 0 & 7
\end{array}
\right)  ,\text{\qquad}u_{0}=\left(
\begin{array}
[c]{r}%
1\\
0\\
-1
\end{array}
\right)  .
\]
W zbiorze $V=\left\{  v\in\mathbb{R}^{3}:\left(  A-6I\right)  v=0\right\}  $
wprowadzamy dzia\l anie $\otimes$ okre\'{s}lone wzorem
\[
v_{1}\otimes v_{2}=\left(  u_{0}\times v_{1}\right)  -\left(  v_{2}\times
u_{0}\right)  ,
\]
gdzie $\times$ to iloczyn wektorowy. Sprawd\'{z} czy: a) dzia\l anie $\otimes$
jest wewn\k{e}trzne w zbiorze $V$; b) dzia\l anie $\otimes$ jest przemienne;
c) dzia\l anie $\otimes$ posiada element neutralny. Czy struktura algebraiczna
$\left(  V,\otimes\right)  $ jest grup\k{a}?

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie
\[
\left(  \sqrt[4]{32}\left(  \sin\frac{\pi}{8}+i\cos\frac{\pi}{8}\right)
z+1+i\right)  ^{2}+z^{4}=0
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$.

\item[Zadanie 3.] Znajd\'{z} rozwi\k{a}zania poni\.{z}szego uk\l adu
r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y-z+t=1\\
y+3z-3t=1\\
x+y+z-t=1
\end{array}
\right.  .
\]


\item[Zadanie 4.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$,
dla kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 1-a^{2}\\
1 & 0 & 1+a^{2}\\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 5.] Na rzeczywistej przestrzeni liniowej $V$:%
\[
V=\operatorname*{span}\left\{  \sin x,\cos x,x\sin x,x\cos x\right\}
\]
okre\'{s}lono odwzorowanie liniowe $\mathcal{L}:f\rightarrow f+f^{\prime}.$
Wyznacz $\ker\mathcal{L}$, $\operatorname{Im}\mathcal{L}$ oraz sprawd\'{z},
czy jest to endomorfizm na $V$; w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz
r\'{o}wnie\.{z} jego rzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 24.02.2012}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'{z}, czy zbi\'{o}r $G=\left\{  \left(
t,2^{t}\right)  :t\in\mathbb{R}\right\}  $ wraz z dzia\l aniem $h\left(
\left(  x_{1},y_{1}\right)  ,\left(  x_{2},y_{2}\right)  \right)  =\left(
x_{1}+x_{2}+2,4y_{1}y_{2}\right)  $ tworzy grup\k{e}. Czy jest to grupa abelowa?

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie $z^{6}-2z^{3}+2=0$ ze
wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$.

\item[Zadanie 3.] Spo\'{s}r\'{o}d wielomian\'{o}w $v_{1}\left(  x\right)
=x^{3}+2x^{2}+x-1,$ $v_{2}\left(  x\right)  =2x^{3}+4x^{2}-x-2,$ $v_{3}\left(
x\right)  =x,$ $v_{4}\left(  x\right)  =x^{3}+2x^{2}+x+1$ wyznacz te,
kt\'{o}re s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne; nast\k{e}pnie uzupe\l nij je do bazy
przestrzeni wielomian\'{o}w stopnia co najwy\.{z}ej cztery.

\item[Zadanie 4.] Czy macierze
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & 2 & 3\\
0 & 2 & 2\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right)  ,\text{\quad}B=\left(
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0\\
3 & 2 & -1
\end{array}
\right)
\]
s\k{a} podobne? Odpowied\'{z} uzasadnij; w przypadku pozytywnej odpowiedzi
wyznacz macierz ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz d\l ugo\'{s}\'{c} wektora $\overrightarrow{AB}$,
gdzie $A$ to punkt w kt\'{o}rym prosta $l:\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z-6}{3}$
przecina p\l aszczyzn\k{e} $\pi:$ $4\left(  x+1\right)  +2y+6z=0$, a $B$ to
rzut ortogonalny, w sensie naturalnego iloczynu skalarnego przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$, wektora $u=\left(  1,-1,6\right)  $ na podprzestrze\'{n}
liniow\k{a} $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:2x+y+3z=0\}$.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 01.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz sum\k{e} oraz iloczyn wszystkich element\'{o}w
zbioru $\sqrt[2013]{1+i}$.

\item[Zadanie 2.] Dla jakich warto\'{s}ci parametru $p\in\mathbb{R}$ uk\l ad
r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
x+p^{2}y+z & =-p\\
x+y-pz & =p^{2}\\
y+z & =1
\end{array}
\right.
\]
ma dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie? Zbadaj liczb\k{e} jego rozwi\k{a}za\'{n}
w pozosta\l ych przypadkach.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$
dla kt\'{o}rych funkcja
\[
\varphi:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x_{1},x_{2},x_{3}\right)  \rightarrow\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  ^{T}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2a & -4\\
-2 & a-1 & 0\\
2a & 0 & 2-a
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}%
\end{array}
\right]  \in\mathbb{R}%
\]
przyjmuje jedynie warto\'{s}ci nieujemne.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,0,0\right)  $
na podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x+6y-z=0,-x+2y+z=0,3x+2y-3z=0\right\}  .
\]
W przestrzeni $V$ przyjmujemy naturalny iloczyn skalarny przestrzeni
$\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 5.] Niech $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$. Uzasadnij, \.{z}e
je\.{z}eli dla pewnej liczby naturalnej $n$ zachodzi $A^{n}=\mathbf{0}%
_{2\times2},$ to $A^{2}=\mathbf{0}_{2\times2}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 08.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Uzasadnij, \.{z}e punkty $\left(  a_{1},b_{1}\right)
,\left(  a_{2},b_{2}\right)  ,\left(  a_{3},b_{3}\right)  $ stanowi\k{a}
wierzcho\l ki tr\'{o}jk\k{a}ta r\'{o}wnobocznego o \'{s}rodku w punkcie
$\left(  0,0\right)  $ wtedy i tylko wtedy, gdy ich wsp\'{o}\l rz\k{e}dne
spe\l niaj\k{a} nast\k{e}puj\k{a}ce warunki:
\[%
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{1}+a_{2}+a_{3}=0\medskip & \quad & a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}%
-b_{1}b_{2}-b_{1}b_{3}-b_{2}b_{3}=0\\
b_{1}+b_{2}+b_{3}=0 &  & a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}%
+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}=0
\end{array}
.
\]


\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie $\left(  z+a\right)  ^{3}=i$ ze
wzgl\k{e}du na niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$; nast\k{e}pnie zaznacz na
p\l aszczy\'{z}nie zespolonej te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{C}$, dla
kt\'{o}rych rozwi\k{a}zania te nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{
z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{2}<\operatorname*{Arg}z<\pi\right\}  .$

\item[Zadanie 3.] Oblicz odleg\l o\'{s}\'{c} punktu przeci\k{e}cie si\k{e}
prostych $l_{1}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2t\\
y=-t\\
z=4-3t
\end{array}
\right.  $ oraz $l_{2}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+t\\
y=-3+t\\
z=3-t
\end{array}
\right.  $ $\left(  t\in\mathbb{R}\right)  $ od podprzestrzeni liniowej
$V\subset\mathbb{R}^{3}$ rozpi\k{e}tej przez wektory $u_{1}=\left(
1,0,1\right)  ,$ $u_{2}=\left(  2,1,0\right)  $.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my endomorfizm $F:\pi_{2}\ni f\rightarrow f\left(
0\right)  +f\left(  1\right)  x+f\left(  -1\right)  x^{2}\in\pi_{2},$ gdzie
$\pi_{2}$ to rzeczywista (tj. nad cia\l em $\mathbb{R}$) przestrze\'{n}
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} dwa z
naturalnymi dzia\l aniami dodawania wielomian\'{o}w i mno\.{z}enia wielomianu
przez skalar. Sprawd\'{z}, czy endomorfizm $F$ jest diagonalizowalny; w
przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz dla niego baz\k{e} Jordana przestrzeni
$\pi_{2}$.

\item[Zadanie 5.] Rozwa\.{z}my baz\k{e} przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$
$v_{1}=\left(  1,0,2\right)  ,v_{2}=\left(  -1,1,0\right)  ,v_{3}=\left(
1,1,1\right)  $ ortonormaln\k{a} wzgl\k{e}dem iloczynu skalarnego $s$. Wyznacz
k\k{a}t, wzgl\k{e}dem tego iloczynu skalarnego, pomi\k{e}dzy wektorami
$u=\left(  1,2,3\right)  $ oraz $w=\left(  1,1,4\right)  $.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 19.02.2013}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $\mathcal{T}_{3}$ oznacza zbi\'{o}r macierzy
tr\'{o}jk\k{a}tnych g\'{o}rnych wymiaru $3\times3$ z jedynkami na
przek\k{a}tnej. Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(
\mathcal{T}_{3},\cdot\right)  $ jest grup\k{a}; dzia\l anie $\cdot$ to iloczyn macierzy.

\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy macierz $A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 9 & 6\\
-1 & 4 & 3\\
-1 & 5 & 4
\end{array}
\right]  $ jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz wektory w\l asne endomorfizmu
\[
F:\pi_{2}\ni f\left(  x\right)  \rightarrow-f\left(  x\right)  +f^{\prime
}\left(  x\right)  -f^{\prime\prime}\left(  x\right)  +f\left(  0\right)
\in\pi_{2},
\]
gdzie $\pi_{2}$ to rzeczywista przestrze\'{n} wielomian\'{o}w stopnia nie
wi\k{e}kszego ni\.{z} dwa z naturalnymi dzia\l aniami dodawania
wielomian\'{o}w i mno\.{z}enia wielomianu przez skalar.

\item[Zadanie 4.] Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ ma posta\'{c}
$\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =-\lambda^{3}-3\lambda^{2}+\lambda+2.$
Oblicz wyznacznik macierzy $A^{3}+A^{2}-A-I$.

\item[Zadanie 5.] Spo\'{s}r\'{o}d wektor\'{o}w
\[
v_{1}=\left(  1,3,1,-1\right)  ,v_{2}=\left(  2,4,0,-6\right)  ,v_{3}=\left(
0,2,2,4\right)  ,v_{4}=\left(  0,1,-1,-5\right)
\]
wybierz baz\k{e} rzeczywistej przestrzeni wektorowej
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}%
:x+y-3z+w=0,2x-y+z=0\right\}  ;
\]
nast\k{e}pnie uzupe\l nij j\k{a} do bazy przestrzeni
\[
W=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}:3x-2z+w=0\right\}  .
\]

\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 04.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}



\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] W zbiorze $K=\left(  0,+\infty\right)  $ wprowadzamy
dzia\l ania:
\[
a\oplus b=ab,\qquad a\odot b=a^{\ln b}.
\]
Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(  K,\oplus,\odot\right)  $ jest cia\l em.

\item[Zadanie 2.] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie ze wzgl\k{e}du na
niewiadom\k{a} $z\in\mathbb{C}$:%
\[
z^{4}-z^{3}+\left(  1-i\right)  z+i-1=0\text{.}%
\]


\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe%
\[
f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
-x+3z,-3x-4y-3z,9x+5z\right)  \in\mathbb{R}^{3}.
\]
Sprawd\'{z}, czy istnieje baza przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ z\l o\.{z}ona z
wektor\'{o}w w\l asnych endomorfizmu $f$; w przypadku pozytywnej odpowiedzi,
wyznacz jego macierz w tej bazie.

\item[Zadanie 4.] Czy odwzorowanie $f:\pi_{3}\rightarrow\pi_{2}$ okre\'{s}lone
wzorem%
\[
f\left(  \varphi\right)  \left(  t\right)  =\left(  t+1\right)  \varphi
^{\prime\prime}\left(  t-1\right)  +\varphi^{\prime}\left(  t+1\right)
\]
jest liniowe? Je\.{z}eli tak, wyznacz jego j\k{a}dro oraz obraz.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$) wektora $u=\left(  2,1,2\right)  $ na
podprzestrze\'{n} liniow\k{a}
\[
V=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:-x+8y-\sqrt{2}z=0,2\sqrt
{2}y-z=0\right\}  .
\]

\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 11.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Przedstaw graficznie zbi\'{o}r tych parametr\'{o}w
$a\in\mathbb{C}$ dla kt\'{o}rych wszystkie rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania
\[
z^{2}+2\left(  a+i\right)  z+a^{2}+2ai-1-i=0
\]
nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}:-\pi<\operatorname*{Arg}%
z<-\frac{\pi}{2}\right\}  $.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz baz\k{e} Jordana przestrzeni $\pi_{2}$ dla
endomorfizmu $F:\pi_{2}\rightarrow\pi_{2}$ okre\'{s}lonego wzorem%
\[
F:at^{2}+bt+c\rightarrow\left(  4a+4b\right)  t^{2}+\left(  2b-2c+a\right)
t+a+2b+2c\text{.}%
\]


\item[Zadanie 3.] Suma wyraz\'{o}w w ka\.{z}dym wierszu macierzy
$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ jest r\'{o}wna $s$. Uzasadnij, \.{z}e $s$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$ oraz wyznacz odpowiadaj\k{a}cy tej
warto\'{s}ci w\l asnej wektor w\l asny.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my dwie bazy przestrzeni $\pi_{n}$:%
\[
e:\left\{  e_{0}=1,e_{1}=1+x,e_{2}=x+x^{2},e_{3}=x^{2}+x^{3},\ldots
,e_{n}=x^{n-1}+x^{n}\right\}
\]
oraz%
\[
\widetilde{e}:\left\{  \widetilde{e}_{0}=x^{n},\widetilde{e}_{1}%
=x^{n}+1,\widetilde{e}_{2}=x^{n}+x,\widetilde{e}_{3}=x^{n}+x^{2}%
,\ldots,\widetilde{e}_{n}=x^{n}+x^{n-1}\right\}  .
\]
Wyznacz macierz $P^{-1}$, gdzie $P$ oznacza macierz przej\'{s}cia od bazy $e$
do bazy $\widetilde{e}$.

\item[Zadanie 5.] Wyznacz odleg\l o\'{s}\'{c} prostej $l$ od p\l aszczyzny
$\pi$, je\.{z}eli%
\[
l:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2t\\
y=-1+t\\
z=t
\end{array}
\right.  ,\text{ }t\in\mathbb{R},\text{\qquad}\pi:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+t+s\\
y=-2+t-2s\\
z=3+2t-s
\end{array}
\right.  ,\text{ }t,s\in\mathbb{R}\text{.}%
\]

\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 18.02.2014}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz liczb\k{e} tych element\'{o}w zbioru $\sqrt[2016]%
{2014i},$ kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} r\'{o}wnie\.{z} do zbioru
\[
\left\{  z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{4}<\operatorname*{Arg}z<\frac{\pi}%
{3}\right\}  .
\]


\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & -4 & 4\\
-2 & 1 & -2\\
-4 & 4 & -5
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna; nast\k{e}pnie wyznacz macierz $A^{2014}$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $\alpha\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych macierz%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
4 & 1-\alpha & -2\\
1-\alpha & 1 & \alpha\\
-2 & \alpha & 4
\end{array}
\right)
\]
ma jedynie nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz baz\k{e} j\k{a}dra oraz baz\k{e} obrazu odwzorowania
liniowego
\[
F:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)  \rightarrow\left(
x+y-z,2y-2z,x-y+z,3x\right)  \in\mathbb{R}^{4}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 5.] W przestrzeni $\pi_{2}$ iloczyn skalarny $\circ$
okre\'{s}lono wzorem%
\[
\left(  a_{1}t^{2}+b_{1}t+c_{1}\right)  \circ\left(  a_{2}t^{2}+b_{2}%
t+c_{2}\right)  :=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}.
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wielomianu $u\left(  t\right)  =(t-1)^{2}$ na
podprzestrze\'{n} $V=\left\{  f\in\pi_{2}:f \text{--funkcja parzysta}\right\}
. $
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 03.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Zaznacz na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej poni\.{z}sze zbiory:

\begin{description}
\item[a)] $A=\left\{  z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}\left(  z^{4}\right)
-\left\vert z\right\vert ^{2}\operatorname{Im}\left(  z^{2}\right)
\leq0\right\}  $

\item[b)] $B=\left\{  z\in\mathbb{C}:-\frac{\pi}{2}\leq\operatorname*{Arg}%
\left[  \left(  z-iz\right)  ^{2}\right]  \leq0\right\}  .$
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Niech $A$ b\k{e}dzie macierz\k{a} kwadratow\k{a} o
elementach rzeczywistych.

\begin{description}
\item[a)] Oblicz $\det(2A)$ wiedz\k{a}c, \.{z}e $\det(3A)=54$ oraz
$\det(4A)=128$.

\item[b)] Jakie warto\'{s}ci mo\.{z}e przyj\k{a}\'{c} wyznacznik macierza $A$,
je\.{z}eli
\[
A^{T}\left(  AA^{T}\right)  ^{-1}\left(  AA^{T}\right)  ^{T}-\left(  \det
A^{2}\right)  \left[  \left(  \det A\right)  A\right]  ^{T}=0.
\]

\end{description}

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R},$ dla
kt\'{o}rych podany uk\l ad r\'{o}wna\'{n} ma niezerowe rozwi\k{a}zanie:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
a^{2}x+y+z=1\\
2x-y+3z=0\\
3x+4z=a
\end{array}
\right.  .
\]


\item[Zadanie 4.] Wyznacz, o ile istniej\k{a}, te warto\'{s}ci parametr\'{o}w
$a,b\in\mathbb{R}$ dla kt\'{o}rych macierze%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & a-1 & b\\
-6 & 3 & -5\\
-4 & 2 & -3
\end{array}
\right)  , \text{\qquad}B=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & b-2 & 0\\
-1 & a & -1\\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\]
s\k{a} podobne.
\end{description}

\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 10.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczba $s_{0}=1+i\sqrt{2}$ jest jednym z rozwi\k{a}za\'{n}
r\'{o}wnania%
\[
s^{6}-2s^{5}+5s^{4}-4s^{3}+8s^{2}-4s+6=0.
\]
Wyznacz pozosta\l e rozwi\k{a}zania tego r\'{o}wnania oraz wybierz
spo\'{s}r\'{o}d nich te, kt\'{o}re nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{
z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{2}<\operatorname*{Arg}z\leq\pi\right\}  $.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz rzut ortogonalny, w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, wektora $\left(  1,1,1\right)  $ na
j\k{a}dro odwzorowania liniowego $F:\mathbb{R}^{3}\ni\left(  x,y,z\right)
\rightarrow\left(  y-2x+z,y-z,x-2y+z\right)  \in\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 3.] Zbadaj liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x-ay+z=1\\
-2x-y-z=1\\
2x-y=2\\
-x-ay-2z=2
\end{array}
\right.
\]
w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$.

\item[Zadanie 4.] Niech $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ b\k{e}dzie macierz\k{a}
postaci%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & -1 & 0\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right)  .
\]


\begin{description}
\item[(a)] Sprawd\'{z}, czy macierz $A$ jest diagonalizowalna.

\item[(b)] Wyznacz $A^{2015}$.
\end{description}
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 26.02.2015}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] \ \ 

\begin{description}
\item[(a)] Rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie w zbiorze liczb zespolonych:
$z^{3}=-8\overline{z}$.

\item[(b)] Zaznacz na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej liczby zespolone $z$
spe\l niaj\k{a}ce warunek $\left\vert z^{2}+4\right\vert >\left\vert
z-2i\right\vert $.
\end{description}

\item[Zadanie 2.] Wyznacz macierz $X$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} r\'{o}wnanie%
\[
A+B^{T}(X^{T})^{-1}A=\left[  A^{T}\left(  (A^{-1}+B)^{-1}+I\right)  \right]
^{T}.
\]


\item[Zadanie 3.] Rozwa\.{z}my cztery punkty $A(0,1,0),$ $B(-1,2,1),$
$C(1,0,1),$ $D(1,-1,1).$ Wyznacz odleg\l o\'{s}\'{c} pomi\k{e}dzy prostymi
$l_{AB}$ oraz $l_{CD}$ przechodz\k{a}cymi odpowiednio przez punkty $A,B$ oraz
$C,D$.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1-a & 1\\
1-a & a & 2\\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right)
\]
ma jedynie nieujemne warto\'{s}ci w\l asne.
\end{description}


\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 29.01.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $z_{0},z_{1},\ldots,z_{4}$ b\k{e}d\k{a} pierwiastkami
algebraicznymi stopnia $5$ z $32$. Oblicz%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k=0}^{4}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k=0}^{4}}
%EndExpansion
\left\vert 2i-z_{k}\right\vert ^{2}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Wielomian $\varphi_{A}\left(  x\right)  =-x^{3}+4x^{2}+2x-1$
jest wielomianem charakterystycznym macierzy $A$. Wyznacz wielomiany
charakterystyczne macierzy: a) $2A-I,$ b) $(A+2I)^{T},$ c) $A^{-1}$.

\item[Zadanie 3.] Niech
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
a & b & 0\\
b & 5 & 2\\
b & -1 & 4
\end{array}
\right)  \text{, }v_{1}=\left(  1,1,-1\right)  ^{T}.
\]
Wyznacz te warto\'{s}ci parametr\'{o}w $a,b\in\mathbb{R},$ dla kt\'{o}rych
wektor $v_{1}$ jest wektorem w\l asnym macierzy $A$. Nast\k{e}pnie
sprawd\'{z}, czy otrzymana macierz jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 4.] Rozwa\.{z}my przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{2}$ z iloczynem
skalarnym $\circ$ okre\'{s}lonym wzorem
\[
x\circ y=x^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
2 & -1\\
-1 & 2
\end{array}
\right)  y\text{.}%
\]
Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie iloczynu skalarnego $\circ$) wektora
$u=\left(  1,3\right)  ^{T}$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a}
przez wektor $e=\left(  1,1\right)  ^{T}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 05.02.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wiedz\k{a}c, \.{z}e $z$ jest liczb\k{a} zespolon\k{a} o
argumencie g\l \'{o}wnym $\alpha\in\left(  \frac{\pi}{2},\pi\right)  $ oraz o
module $\left\vert z\right\vert >1$, znajd\'{z} argument g\l \'{o}wny liczby
zespolonej $\frac{\overline{\left(  -iz\right)  }z^{3}}{1-\left\vert
z\right\vert ^{2}}$.

\item[Zadanie 2.] Wektory $y,v_{2},v_{3},\ldots,v_{n}\in\mathbb{R}^{n}$
tworz\k{a} baz\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$, ortogonaln\k{a} w sensie
naturalnego iloczyny skalarnego $\circ$ przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$ (tj.
$v\circ w=v^{T}w$). Niech $x\in\mathbb{R}^{n}$ b\k{e}dzie dowolnym niezerowym wektorem.

\begin{description}
\item[(a)] Poka\.{z}, \.{z}e wektory $x,v_{2},v_{3},\ldots,v_{n}$ s\k{a}
wektorami w\l asnymi macierzy $xy^{T}$ oraz wyznacz odpowiadaj\k{a}ce im
warto\'{s}ci w\l asne.

\item[(b)] Wyka\.{z}, \.{z}e $\det\left(  I_{n}-xy^{T}\right)  =1-y^{T}%
x\text{.}$
\end{description}

\item[Zadanie 3.] Wyznacz liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[r]{r}%
x+2y-z+2w=1\\
2x+4y+z-2w=2\\
-x-2y-2z+4w=1
\end{array}
\right.  \text{.}%
\]


\item[Zadanie 4.] Zbadaj okre\'{s}lono\'{s}\'{c} formy kwadratowej
$\varphi\left(  x,y,z\right)  =2x^{2}-2xz+2y^{2}-2yz+z^{2}$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 17.02.2016}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.{z}de zadanie nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c} na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Czy zbi\'{o}r liczb niewymiernych z do\l \k{a}czon\k{a}
liczb\k{a} $1$, z naturalnym dzia\l aniem mno\.{z}enia liczb tworzy grup\k{e}?
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 2.] Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe%
\[
F:\pi_{3}\ni ax^{3}+bx^{2}+cx+d\rightarrow\left(  a+b-c\right)  x^{2}+\left(
2b+d\right)  x+2c-b\in\pi_{2}\text{.}%
\]
Wyznacz rzut ortogonalny wielomianu $u\left(  x\right)  =x^{2}+2x+2$ na
podprzestrze\'{n} $\operatorname{Im}F$ (tj. na obraz odwzorowania $F$)
przestrzeni $\pi_{2}$ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny $\left\langle
f,g\right\rangle =\int_{-1}^{1}f\left(  x\right)  g\left(  x\right)  dx$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz sum\k{e} wszystkich liczb zespolonych $z$
spe\l niaj\k{a}cych r\'{o}wnanie $z^{3}=\left(  -2+2\sqrt{3}i\right)
\overline{z}$.

\item[Zadanie 4.] Wykorzystuj\k{a}c posta\'{c} Jordana macierzy $A=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
4 & 0\\
3i & 1
\end{array}
\right)  $ wyznacz cztery r\'{o}\.{z}ne macierze $B$ spe\l niaj\k{a}ce
r\'{o}wnanie $B^{2}=A$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 31.01.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Czy zbi\'{o}r $G=\left\{  A\in\mathbb{R}^{n\times
n}:\left\vert \det A\right\vert =1\right\}  $ z dzia\l aniem mno\.{z}enia
macierzy tworzy grup\k{e}? Czy jest to grupa abelowa? Odpowiedzi pozytywne
uzasadnij, negatywn\k{a} poprzyj stosownym przyk\l adem.

\item[Zadanie 2.] Czy ka\.{z}da macierz $A\in\mathbb{C}^{2\times2}$
spe\l niaj\k{a}ca r\'{o}wnanie $\left(  A-I\right)  ^{2}\left(  A+2I\right)
=0$ jest diagonalizowalna? Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych obraz $\operatorname{Im}f$ odwzorowania liniowego
\[
f:\mathbb{R}^{4}\ni\left(  x,y,z,w\right)  \rightarrow\left(
x+ay-z,2x-2y+aw,x-y-w\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
\]
tworzy p\l aszczyzn\k{e} w $\mathbb{R}^{3}$.

\item[Zadanie 4.] W przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times2}$ iloczyn skalarny
zdefiniowano wzorem $A\circ B=\operatorname*{tr}\left(  A^{T}B\right),$
gdzie $\operatorname*{tr}\left(  \cdot\right)  $ oznacza \'{s}lad macierzy.
Wyznacz rzut ortogalny macierzy $I_{2}$ (tj. macierzy jednostkowej wymiaru
$2\times2$) na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a} przez macierze
$E_{1}=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right)  $ oraz $E_{2}=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & -1\\
1 & 0
\end{array}
\right)  $.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 07.02.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wykorzystuj\k{a}c wzory Vi\`{e}te'a, znajd\'{z} wszystkie
rozwi\k{a}zania uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=-1-i\\
xy+xz+yz=2+i\\
xyz=-2
\end{array}
\right.  ,\text{\quad w kt\'{o}rym }x,y,z\in\mathbb{C}.
\]


\item[Zadanie 2.] Wyznacz macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ o
warto\'{s}ciach w\l asnych $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1$ oraz $\lambda_{3}%
=0$, kt\'{o}rym odpowiadaj\k{a} wektory w\l asne $v_{\lambda_{1}}=\left(
1,1,1\right)  ^{T},$ $v_{\lambda_{2}}=\left(  1,0,1\right)  ^{T}$ oraz
$v_{\lambda_{3}}=\left(  1,-1,0\right)  ^{T}$. W rozwi\k{a}zaniu wykorzystaj
posta\'{c} Jordana poszukiwanej macierzy.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$, dla
kt\'{o}rych nier\'{o}wno\'{s}\'{c}%
\[
x^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
1 & -a
\end{array}
\right)  x\geqslant y^{T}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
a & 2\\
2 & a
\end{array}
\right)  y
\]
jest prawdziwa dla wszystkich $x,y\in\mathbb{R}^{2}$.

\item[Zadanie 4.] Niech $v,w\in\mathbb{R}^{3}$ b\k{e}d\k{a} wektorami
spe\l niaj\k{a}cymi warunek $v\circ v=w\circ w=1,$ $v\circ w=%
%TCIMACRO{\U{bd}}%
%BeginExpansion
\frac12
%EndExpansion
$, gdzie $\circ$ oznacza naturalny iloczyn skalarny w $\mathbb{R}^{3}$.
Wyznacz ortonormaln\k{a} baz\k{e} podprzestrzeni liniowej rozpi\k{e}tej przez
wektory $v$ oraz $w$.
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin III -- 15.02.2017}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}


\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Znajd\'{z} wszystkie liczby naturalne $n$, dla kt\'{o}rych
dok\l adnie dwa rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania $z^{n}=1+i\sqrt{3}$
nale\.{z}\k{a} do zbioru $\left\{  z\in\mathbb{C}:0\leq\operatorname*{Arg}%
z<\frac{\pi}{2}\right\}  $. Wyznacz te rozwi\k{a}zania.

\item[Zadanie 2.] Punkt $x_{0}\in X$ nazywamy punktem sta\l ym odwzorowania
$f:X\rightarrow X$, je\.{z}eli $f\left(  x_{0}\right)  =x_{0}$. Wyznacz
wszystkie punkty sta\l e odwzorowania $f:\mathbb{R}^{3}\ni\left(
x,y,z\right)  \rightarrow\left(  2y+z,x+y-3z,-x+3y+z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz te warto\'{s}ci parametru $a\geq0$, dla kt\'{o}rych
macierz
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & a & 1+a\\
1 & 3 & -1\\
-1 & a & 4
\end{array}
\right)
\]
jest diagonalizowalna.

\item[Zadanie 4.] Niech $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Oblicz:

\begin{description}
\item[(a)] $\det\left(  A+B\right)  $ wiedz\k{a}c, \.{z}e $\det B^{T}A=2$ oraz
$\det\left(  B^{-1}+A^{-1}\right)  =-3$;

\item[(b)] $\det\left(  A^{T}B^{-1}-I\right)  $ wiedz\k{a}c, \.{z}e
$\det\left(  B^{T}-A\right)  =5,$ $\det\left(  -B\right)  =-\det B\neq0$ oraz
$B^{4}=B$.
\end{description}
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin I -- 29.01.2018}\vspace{-9pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $a,b,c\in\mathbb{C}$ to pierwiastki wielomianu
$f\left(  x\right)  =\allowbreak x^{3}-\left(  1-i\right)  x^{2}-x-i$. Wyznacz
$\mathfrak{Re}\left(  w\right)  ,$ gdzie%
\[
w=\left(  \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)  ^{2018}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Wiadomo, na podstawie twierdzenia Cayleya--Hamiltona, \.{z}e
wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej jest jej wielomianem
zeruj\k{a}cym. Wykorzystuj\k{a}c ten fakt uzasadnij, \.{z}e dla dowolnej
macierzy $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ oraz dla dowolnej liczby naturalnej $n$
istniej\k{a} liczby $\alpha_{n},\beta_{n}\in\mathbb{R}$, dla kt\'{o}rych
$A^{n}=\alpha_{n}A+\beta_{n}I_{2}$.

\item[Zadanie 3.] Sprawd\'{z}, czy istnieje baza przestrzeni $\pi_{2}$ (tj.
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} $2$), w
kt\'{o}rej macierz\k{a} endomorfizmu $F:\pi_{2}\ni ax^{2}+bx+c\rightarrow
\left(  2a-b\right)  x^{2}+2bx+2c+b\in\pi_{2}$ jest macierz
\[
A_{F}=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & 1\\
-1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)  .
\]
Odpowied\'{z} uzasadnij.

\item[Zadanie 4.] Zbadaj liczb\k{e} rozwi\k{a}za\'{n} uk\l adu r\'{o}wna\'{n}
\[
\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & a-1 & 2\\
2 & 2 & 2\\
-1 & 1 & a
\end{array}
\right)  x=\left(
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
a\\
-1
\end{array}
\right)
\]
w zale\.{z}no\'{s}ci od warto\'{s}ci parametru $a\in\mathbb{R}$. $\ $
\end{description}
\vspace{0.5cm}
\noindent\textit{Egzamin z algebry liniowej --
AiR\hfill termin II -- 05.02.2018}\vspace{-8pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\noindent\textit{Ka\.zde zadanie nale\.zy rozwi\k{a}za\'c na osobnej,
czytelnie podpisanej kartce.}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Liczby $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ to pierwiastki algebraiczne
czwartego stopnia z liczby $z=20+18i$. Wyznacz
\[
w=\left(  1-z_{1}\right)  ^{2}+\left(  1-z_{2}\right)  ^{2}+\left(
1-z_{3}\right)  ^{2}+\left(  1-z_{4}\right)  ^{2}\text{.}%
\]


\item[Zadanie 2.] Niech $a\neq b$ b\k{e}d\k{a} dowolnymi elementami. W zbiorze
$\mathcal{F}=\{f_{1},f_{2}\}$, gdzie $f_{1},f_{2}$ to funkcje prowadz\k{a}ce z
$\left\{  a,b\right\}  $ w $\left\{  a,b\right\}  $ postaci%
\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
a, & \text{dla }x=a\\
b, & \text{dla }x=b
\end{array}
\right.  ,\hspace{2cm}f_{2}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
b, & \text{dla }x=a\\
a, & \text{dla }x=b
\end{array}
\right.  ,
\]
wprowadzamy dzia\l anie $\circ$ sk\l adania odwzorowa\'{n}, tj. $\left(
f\circ g\right)  \left(  x\right)  =f\left(  g\left(  x\right)
\right)  $. Sprawd\'{z}, czy struktura algebraiczna $\left(  \mathcal{F}%
,\circ\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a}.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz baz\k{e} Jordana przestrzeni $\pi_{1}$ (tj.
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie wi\k{e}kszego ni\.{z} jeden) dla
endomorfizmu $F:\pi_{1}\ni ax+b\rightarrow\left(  3a-b\right)  x+a+b\in\pi
_{1}$. Sprawd\'{z} poprawno\'{s}\'{c} wyniku poprzez wyznaczenie macierzy
reprezentuj\k{a}cej endomorfizm $F$ w uzyskanej bazie.

\item[Zadanie 4.] Wyznacz rzut ortogonalny (w sensie naturalnego iloczynu
skalarnego przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$) elementu $u=\left(  6,2,-4\right)
^{T}$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} rozpi\k{e}t\k{a} przez wektory
$v_{1}=\left(  2,0,-1\right)  ^{T},$ $v_{2}=\left(  1,-5,2\right)  ^{T}$.
\end{description}
\end{document}