\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, October 25, 2019 07:14:39}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents


\setcounter{page}{15} \setcounter{chapter}{2} \sloppy


\chapter{Wielomiany -- podstawowe wiadomo\'{s}ci}

Funkcj\k{e} postaci
\begin{equation}
f\left(  s\right)  =a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_{1}s+a_{0,} \label{w41}%
\end{equation}
gdzie $n\in\mathbb{N}$, $a_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=0,\ldots,n\right)  ,$
$a_{n}\neq0$ nazywamy \textcolor{blue}{wielomianem rzeczywistym} stopnia $n$;
je\.{z}eli wsp\'{o}\l czynniki $a_{i}$ $\left(  i=0,\ldots,n\right)  $
przyjmuj\k{a} warto\'{s}ci zespolone, to funkcj\k{e} t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{wielomianem zespolonym}. Stopie\'{n} wielomianu $f$ oznaczamy
jako $\deg f$ (ang. degree).

\section{Miejsca zerowe wielomianu}

Ka\.{z}d\k{a} liczb\k{e} $s_{0}\in\mathbb{C}$ dla kt\'{o}rej $f\left(
s_{0}\right)  =0$ nazywamy \textcolor{blue}{miejscem zerowym} (zerem,
pierwiastkiem) wielomianu $f$. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e ka\.{z}dy wielomian
rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co\ najmniej jeden pierwiastek
rzeczywisty. Prawdziwe jest r\'{o}wnie\.{z}, du\.{z}o trudniejsze do
wykazania, nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
[Podstawowe twierdzenie algebry, Gauss 1799]Ka\.{z}dy wielomian (zespolony)
dodatniego stopnia ma miejsce zerowe.
\end{theorem}

Twierdzenie to w po\l \k{a}czeniu z poni\.{z}szym twierdzeniem (tzw.
twierdzeniem B\'{e}zout; nie jest ono autorstwa B\'{e}zout, ale pod tak\k{a}
nazw\k{a} jest znane) odgrywa kluczow\k{a} rol\k{e} w wielu dzia\l ach matematyki.

\begin{theorem}
[Twierdzenie B\'{e}zout]Je\.{z}eli $s_{0}$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$
oraz $\deg f>0,$ to wielomian ten dzieli si\k{e} bez reszty przez wielomian
$s-s_{0};$ wielomian $f$ mo\.{z}na w\'{o}wczas zapisa\'{c} w postaci%
\[
f\left(  s\right)  =\left(  s-s_{0}\right)  g\left(  s\right)  ,
\]
gdzie $g$ jest pewnym wielomianem stopnia $\deg f-1$.\textit{ }
\end{theorem}

M\'{o}wimy, \.{z}e liczba $s_{0}$ jest pierwiastkiem $k$--krotnym ($k\geq1$)
wielomianu $f$ je\.{z}eli wielomian ten jest podzielny (bez reszty) przez
wielomian $\left(  s-s_{0}\right)  ^{k}$, ale nie jest podzielny przez
wielomian $\left(  s-s_{0}\right)  ^{k+1}$. Wykorzystuj\k{a}c pochodne,
warunki te mo\.{z}emy r\'{o}wnowa\.{z}nie wyrazi\'{c} jako
\[
f\left(  s_{0}\right)  =f^{\prime}\left(  s_{0}\right)  =f^{\prime\prime
}\left(  s_{0}\right)  =...=f^{\left(  k-1\right)  }\left(  s_{0}\right)
=0\text{,\qquad}f^{\left(  k\right)  }\left(  s_{0}\right)  \neq0.
\]


\begin{example}
Wyznaczymy te warto\'{s}ci parametru $a\geq0$, dla kt\'{o}rych wielomian
\[
\varphi\left(  x\right)  =x^{3}-9x^{2}+\left(  a+27\right)  x-a^{2}-3a-27
\]
ma pierwiastki wielokrotne.

Poniewa\.{z}%
\[
\varphi^{\prime}\left(  x\right)  =3x^{2}-18x+a+27=3\left(  x-3\right)
^{2}+a,
\]
zatem dla $a>0$ wielomian $\varphi$, jako ci\k{a}g\l a funkcja rosn\k{a}ca
spe\l niaj\k{a}ca warunek
\[
\varphi\left(  x\right)  \rightarrow-\infty\text{\quad}(x\rightarrow
-\infty)\text{\qquad oraz\qquad}\varphi\left(  x\right)  \rightarrow
+\infty\text{\quad}(x\rightarrow+\infty)
\]
posiada dok\l adnie jeden rzeczywisty pierwiastek; musi zatem posiada\'{c}
r\'{o}wnie\.{z} dwa pojedyncze pierwiastki nierzeczywiste. Z kolei, dla $a=0$
mamy%
\[
\varphi\left(  x\right)  =x^{3}-9x^{2}+27x-27=\left(  x-3\right)  ^{3},
\]
czyli $\varphi$ posiada jeden pierwiastek $x_{0}=3$ o krotno\'{s}ci $k=3$.
\end{example}

\subsection{Pierwiastki wielomian\'{o}w o wsp\'{o}\l czynnikach ca\l kowitych}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wsp\'{o}\l czynniki wielomianu $f\left(  s\right)
=a_{n}s^{n}+\ldots+a_{1}s+a_{0}$ s\k{a} liczbami ca\l kowitymi. \L atwo
w\'{o}wczas stwierdzi\'{c}, \.{z}e liczba ca\l kowita $s_{0}\neq0$ jest jego
pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy%
\begin{equation}
-s_{0}(a_{n}s_{0}^{n-1}+\ldots+a_{2}s_{0}+a_{1})=a_{0}. \label{ww0}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} liczba $a_{n}s_{0}^{n-1}+\ldots+a_{2}s_{0}+a_{1}$ jest
ca\l kowita, zatem warunek (\ref{ww0}) oznacza, \.{z}e $s_{0}$ jest
dzielnikiem wyrazu $a_{0}$. Wynika st\k{a}d nast\k{e}puj\k{a}cy

\begin{lemma}
Pierwiastk\'{o}w ca\l kowitych wielomianu o wsp\'{o}\l czynnikach
ca\l kowitych nale\.{z}y poszukiwa\'{c} jedynie w\'{s}r\'{o}d dzielnik\'{o}w
jego wyrazu wolnego.
\end{lemma}

Liczba wymierna $s_{0}=\frac{m}{k}$ (zak\l adamy tu, \.{z}e liczby $m,k$
s\k{a} nieskracalne, tj. nie posiadaj\k{a} nietrywialnego wsp\'{o}lnego
dzielnika) jest pierwiastkiem $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy%
\[
a_{n}\left(  \frac{m}{k}\right)  ^{n}+a_{n-1}\left(  \frac{m}{k}\right)
^{n-1}\ldots+a_{1}\frac{m}{k}+a_{0}=0,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
a_{n}m^{n}+a_{n-1}m^{n-1}k+\ldots+a_{1}mk^{n-1}+a_{0}k^{n}=0.
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e%
\begin{equation}
a_{0}k^{n}=-m\left(  a_{n}m^{n-1}+a_{n-1}m^{n-2}k+\ldots+a_{1}k^{n-1}\right)
\label{ww1}%
\end{equation}
oraz%
\begin{equation}
a_{n}m^{n}=-k(a_{n-1}m^{n-1}+\ldots+a_{1}mk^{n-2}+a_{0}k^{n-1}). \label{ww2x}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $m$ nie dzieli $k^{n}$ zatem z warunku (\ref{ww1}) wynika, \.{z}e
$m$ jest dzielnikiem $a_{0}$; podobnie z warunku (\ref{ww2x}) wynika, \.{z}e
$k$ jest dzielnikiem $a_{n}$.

\begin{lemma}
Je\.{z}eli liczba $\frac{p}{q},$ gdzie $p,q\in\mathbb{Z}$ ($q\neq0$) s\k{a}
liczbami nieskracalnymi, jest pierwiastkiem wielomianu o wsp\'{o}\l czynnikach
ca\l kowitych, to $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a $q$ jest dzielnikiem
wsp\'{o}\l czynnika wiod\k{a}cego.
\end{lemma}

Z \textit{Podstawowego twierdzenia algebry} oraz z \textit{twierdzenia
B\'{e}zout} wynika, \.{z}e \textcolor{blue}{ka\.{z}dy wielomian
stopnia $n\geq1$ ma dok\l adnie $n$ pierwiastk\'{o}w} (licz\k{a}c z
krotno\'{s}ciami); oznaczaj\k{a}c te pierwiastki przez $s_{1},\ldots,s_{n}$,
wielomian (\ref{w41}) mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci iloczynowej%
\begin{equation}
f\left(  s\right)  =a_{n}\left(  s-s_{1}\right)  \cdots\left(  s-s_{n}\right)
. \label{w42}%
\end{equation}


\begin{example}
\bigskip Rozwa\.{z}my wielomian $f\left(  s\right)  =s^{4}+1.$ Jego
pierwiastkami s\k{a} liczby
\[
s_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}%
+\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,s_{3}%
=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i;
\]
posta\'{c} iloczynowa wielomianu $f$ to
\[
f\left(  s\right)  =\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)
\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac
{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  x-\frac{\sqrt{2}}{2}%
-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  .
\]

\end{example}

\L atwo zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e je\.{z}eli liczba zespolona jest zerem
wielomianu \textit{rzeczywistego}, to liczba do niej sprz\k{e}\.{z}ona
r\'{o}wnie\.{z}, tj.%
\[
f\left(  s_{0}\right)  =0\Leftrightarrow f\left(  \overline{s_{0}}\right)
=0\text{.}%
\]
Z twierdzenia B\'{e}zout wynika wi\k{e}c, \.{z}e je\.{z}eli $s_{0}\ $jest
zespolonym nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego, to
wielomian ten dzieli si\k{e} bez reszty przez tr\'{o}jmian kwadratowy%
\[
\left(  s-s_{0}\right)  \left(  s-\overline{s_{0}}\right)  =s^{2}%
-2\mathfrak{Re}\left(  s_{0}\right)  s+\left\vert s_{0}\right\vert ^{2}.
\]
W takim przypadku, ka\.{z}de dwa czynniki rozk\l adu (\ref{w42}) wielomianu
$f$ zawieraj\k{a}ce pierwiastki parami sprz\k{e}\.{z}one, tj. $s-s_{i}$ oraz
$s-\overline{s_{i}}$, mog\k{a} zosta\'{c} wymno\.{z}one. Otrzymamy w\'{o}wczas
rozk\l ad dowolnego wielomianu rzeczywistego na iloczyn wielomian\'{o}w
rzeczywistych stopnia pierwszego oraz tr\'{o}jmian\'{o}w kwadratowych
nierozk\l adalnych (tzn. o ujemnym wyr\'{o}\.{z}niku):
\[
f\left(  s\right)  =a_{n}\left(  s-s_{1}\right)  ^{l_{1}}\cdots\left(
s-s_{m}\right)  ^{l_{m}}\left(  s^{2}+\alpha_{1}s+\beta_{1}\right)  ^{k_{1}%
}\cdots\left(  s^{2}+\alpha_{r}s+\beta_{r}\right)  ^{k_{r}},
\]
gdzie $s_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,m\right)  ;$ $\alpha_{i}%
,\beta_{i}\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,r\right)  ;$ $\deg f=l_{1}%
+\ldots+l_{m}+2\left(  k_{1}+\ldots+k_{r}\right)  $.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie wielomian $f\left(  s\right)  =s^{4}+1.$ Rozk\l ad tego
wielomianu na iloczyn wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia co najwy\.{z}ej
dwa uzyskamy z jego postaci iloczynowej:%
\begin{align*}
f\left(  s\right)   &  =s^{4}+1\\
&  =\left(  s+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(
s+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac{\sqrt{2}}%
{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)  \left(  s-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}%
}{2}i\right) \\
&  =\left(  s^{2}+\sqrt{2}s+1\right)  \left(  s^{2}-\sqrt{2}s+1\right)  .
\end{align*}

\end{example}

\pagebreak

\section{Wzory Vi\`{e}te'a}

Niech $f$ b\k{e}dzie wielomianem (rzeczywistym lub zespolonym) stopnia $n>0$
postaci
\[
f\left(  s\right)  =a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_{1}s+a_{0}=a_{n}\left(
s-s_{1}\right)  \cdots\left(  s-s_{n}\right)  .
\]
Poni\.{z}sze wzory Vi\`{e}te'a ustalaj\k{a} zwi\k{a}zki pomi\k{e}dzy
wsp\'{o}\l czynnikami wielomianu $f$, a jego pierwiastkami:%
\[%
\begin{cases}
s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n-1}+s_{n}=\tfrac{-a_{n-1}}{a_{n}}\\
s_{1}s_{2}+\dots+s_{1}s_{n}+s_{2}s_{3}+\dots+s_{2}s_{n}+\dots+s_{n-1}%
s_{n}=\tfrac{a_{n-2}}{a_{n}}\\
\vdots\\
s_{1}s_{2}\cdots s_{n}=(-1)^{n}\tfrac{a_{0}}{a_{n}}%
\end{cases}
.
\]


\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y-z=-1\\
xy-xz-yz=1\\
xyz=1
\end{array}
\right.  .
\]
Wprowadzaj\k{a}c pomocnicz\k{a} niewiadom\k{a} $w=-z$ otrzymujemy uk\l ad
r\'{o}wnowa\.{z}ny postaci%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+w=-1\\
xy+xw+yw=1\\
xyw=-1
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}rego rozwi\k{a}zaniami, na podstawie wzor\'{o}w Vi\`{e}te'a, s\k{a}
pierwiastki wielomianu $s\rightarrow s^{3}+s^{2}+s+1.$ Poniewa\.{z}%
\[
s^{3}+s^{2}+s+1=s^{2}\left(  s+1\right)  +s+1=\left(  s^{2}+1\right)  \left(
s+1\right)  =\left(  s+i\right)  \left(  s-i\right)  \left(  s+1\right)  ,
\]
zatem poszukiwan\k{a} tr\'{o}jk\k{a} rozwi\k{a}za\'{n} $\left(  x,y,w\right)
$ jest ka\.{z}dy z element\'{o}w:
\[
\left(  -1,i,-i\right)  ,\left(  -1,-i,i\right)  ,\left(  i,-i,-1\right)
,\left(  -i,i,-1\right)  ,\left(  i,-1,-i\right)  ,\left(  -i,-1,i\right)  .
\]
Uwzgl\k{e}dniaj\k{a}c, \.{z}e $z=-w,$ rozwi\k{a}zania $\left(  x,y,z\right)  $
wyj\'{s}ciowego uk\l adu tworz\k{a} poni\.{z}sze tr\'{o}jki:%
\[
\left(  -1,i,i\right)  ,\left(  -1,-i,-i\right)  ,\left(  i,-i,1\right)
,\left(  -i,i,1\right)  ,\left(  i,-1,i\right)  ,\left(  -i,-1,-i\right)  .
\]

\end{example}

\section{R\'{o}wnania algebraiczne}

R\'{o}wnanie postaci
\begin{equation}
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0,}=0,\text{\quad}a_{n}\neq0
\label{w43}%
\end{equation}
nazywamy \textcolor{blue}{r\'{o}wnaniem algebraicznym stopnia $n$}.
Zauwa\.{z}my, \.{z}e r\'{o}wnanie (\ref{w43}) jest uog\'{o}lnieniem
r\'{o}wnania $z^{n}=c$, kt\'{o}rego rozwi\k{a}zanie by\l o tre\'{s}ci\k{a}
poprzedniego wyk\l ady (zob. podrozdzia\l ~3.3). Poniewa\.{z} lew\k{a}
stron\k{e} r\'{o}wnania (\ref{w43}) mo\.{z}na sprowadzi\'{c} do postaci
iloczynowej (\ref{w42}), wnioskujemy, \.{z}e r\'{o}wnanie (\ref{w43}) ma $n$
rozwi\k{a}za\'{n} (liczonych z krotno\'{s}ciami).

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia pierwszego}

Dla $n=1$ jedynym rozwi\k{a}zaniem r\'{o}wnania (\ref{w43}) jest $x_{0}%
=-\frac{a_{0}}{a_{1}}$.

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia drugiego}

Dla $n=2$ lew\k{a} stron\k{e} r\'{o}wanania (\ref{w43}) mo\.{z}emy
sprowadzi\'{c} do postaci kanonicznej%
\[
a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(  x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}\right)  ^{2}%
-\frac{a_{1}^{2}}{4a_{2}}+a_{0}=a_{2}\left(  x+\frac{a_{1}}{2a_{2}}\right)
^{2}-\frac{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}{4a_{2}}.
\]
W przypadku, gdy wyr\'{o}\.{z}nik $\bigtriangleup=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$ jest
rzeczywisty i nieujemny, rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania (\ref{w43}) mo\.{z}emy
wyrazi\'{c} w postaci
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}},\text{\qquad}%
x_{2}=\frac{-a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}{2a_{2}}.
\]
Je\.{z}eli wyr\'{o}\.{z}nik $\bigtriangleup=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$ jest ujemny
rozwi\k{a}zania te przyjmuj\k{a} posta\'{c}%
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-i\sqrt{4a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}}}{2a_{2}},\text{\qquad}%
x_{2}=\frac{-a_{1}+i\sqrt{4a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}}}{2a_{2}}.
\]
W og\'{o}lnym przypadku, przyjmuj\k{a}c $\sqrt{\bigtriangleup}=\left\{
\delta,-\delta\right\}  $ mamy%
\[
x_{1}=\frac{-a_{1}-\delta}{2a_{2}},\text{\qquad}x_{2}=\frac{-a_{1}+\delta
}{2a_{2}}.
\]


\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia trzeciego}

Aby uzyska\'{c} og\'{o}lne wzory na rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania
algebraicznego stopnia trzeciego wygodnie jest przyj\k{a}\'{c}, nie trac\k{a}c
og\'{o}lno\'{s}ci, \.{z}e $a_{3}=1:$
\begin{equation}
x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0. \label{w43b}%
\end{equation}
Dokonuj\k{a}c podstawienia $x=y-\frac{a_{2}}{3}$ r\'{o}wnanie (\ref{w43b})
przekszta\l camy do postaci%
\begin{align}
0  &  =\left(  y-\frac{a_{2}}{3}\right)  ^{3}+a_{2}\left(  y-\frac{a_{2}}%
{3}\right)  ^{2}+a_{1}\left(  y-\frac{a_{2}}{3}\right)  +a_{0}\nonumber\\
&  =y^{3}+\frac{3a_{1}-a_{2}^{2}}{3}y-\frac{9a_{1}a_{2}-27a_{0}-2a_{2}^{3}%
}{27}. \label{w43c}%
\end{align}
Przyjmuj\k{a}c $p=\frac{3a_{1}-a_{2}^{2}}{3},q=\frac{9a_{1}a_{2}%
-27a_{0}-2a_{2}^{3}}{27}$ otrzymujemy r\'{o}wnanie
\begin{equation}
y^{3}+yp-q=0, \label{w43d}%
\end{equation}
kt\'{o}re, po dokonaniu kolejnego podstawienia $y=z-\frac{p}{3z},$ prowadzi do
r\'{o}wnania%
\[
\left(  z^{3}\right)  ^{2}-qz^{3}-\frac{1}{27}p^{3}=0,
\]
kt\'{o}re jest r\'{o}wnaniem algebraicznym stopnia drugiego wzgl\k{e}dem
niewiadomej $w=z^{3}$%
\[
w^{2}-qw-\frac{1}{27}p^{3}=0.
\]
R\'{o}wnanie to potrafimy ju\.{z} rozwi\k{a}za\'{c} uzyskuj\k{a}c poszukiwane
rozwi\k{a}zania dowolnego r\'{o}wnania algebraicznego stopnia trzeciego --
tzw. wzory Cardano.

\begin{example}
Wyznaczymy pierwiastki wielomianu $f\left(  x\right)  =x^{3}-6x^{2}+18x-18$.
Dokonuj\k{a}c podstawienia $x=y+2$ otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =f\left(  y+2\right)  =\left(  y+2\right)  ^{3}-6\left(  y+2\right)
^{2}+18\left(  y+2\right)  -18\\
&  =y^{3}+6y+2.
\end{align*}
Poniewa\.{z} $p=6,$ $q=-2,$ zatem wprowadzaj\k{a}c kolejn\k{a} zamian\k{e}
zmiennych $y=z-\frac{2}{z},$ otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =\left(  z-\frac{2}{z}\right)  ^{3}+6\left(  z-\frac{2}{z}\right)
+2=z^{3}-\frac{8}{z^{3}}+2\\
&  =z^{-3}\left(  z^{6}+2z^{3}-8\right)  .
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e pierwiastki wyj\'{s}ciowego wielomianu znajdziemy
wyznaczaj\k{a}c zera wielomianu $z\rightarrow z^{6}+2z^{3}-8.$
Podstawiaj\k{a}c $w=z^{3}$ otrzymujemy%
\[
0=w^{2}+2w-8=\left(  w+1\right)  ^{2}-9=\left(  w-2\right)  \left(
w+4\right)  ,
\]
sk\k{a}d%
\[
z^{3}-2=0\text{\qquad}\vee\text{\qquad}z^{3}+4=0.
\]
Mamy kolejno%
\begin{align*}
0  &  =z^{3}-2=\left(  z-\sqrt[3]{2}\right)  \left(  z^{2}+\sqrt[3]%
{2}z+\sqrt[3]{4}\right) \\
&  =\left(  z-\sqrt[3]{2}\right)  \left(  z+\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{4}}\right)  \left(  z+\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}-i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{4}}\right) \\
0  &  =z^{3}+4=\left(  z+\sqrt[3]{4}\right)  \left(  z^{2}-\sqrt[3]%
{4}z+\sqrt[3]{16}\right) \\
&  =\left(  z+\sqrt[3]{4}\right)  \left(  z-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}-i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{16}}\right)  \left(  z-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}+i\frac
{1}{2}\sqrt{3\sqrt[3]{16}}\right)  .
\end{align*}
Dla ka\.{z}dego z sze\'{s}ciu wyznaczonych powy\.{z}ej pierwiastk\'{o}w $z$
wyliczamy kolejno warto\'{s}ci $y=z-\frac{2}{z}$, a nast\k{e}pnie $x=y+2$.
Otrzymujemy sze\'{s}\'{c} pierwiastk\'{o}w%
\begin{align*}
x_{1}  &  =\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}+2,\text{\quad}x_{2,3}=\frac{1}{2}%
\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+2\pm i\left(  \frac{1}{2}\sqrt[3]{2}%
\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}\sqrt{3}\right)  ,\\
x_{4}  &  =\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}+2,\text{\quad}x_{5,6}=\frac{1}{2}%
\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+2\pm i\left(  \frac{1}{2}\sqrt[3]{2}%
\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}\sqrt{3}\right)  .
\end{align*}
Zauwa\.{z}my na koniec, \.{z}e pierwiastki $x_{1},x_{2},x_{3}$ r\'{o}wne
s\k{a} odpowienio pierwiastkom $x_{4},x_{5},x_{6}$. Poniewa\.{z} wyj\'{s}ciowy
wielomian by\l \ stopnia trzeciego wi\k{e}c jego trzy r\'{o}\.{z}ne zera to
$x_{1},x_{2},x_{3}$.
\end{example}

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia czwartego}

Aby uzyska\'{c} og\'{o}lne wzory na rozwi\k{a}zania r\'{o}wnania
algebraicznego stopnia czwartego przyjmujemy, nie trac\k{a}c
og\'{o}lno\'{s}ci, \.{z}e $a_{4}=1:$
\begin{equation}
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.\label{a01}%
\end{equation}
Dokonuj\k{a}c podstawienia $x=y-\frac{a_{3}}{4}$ r\'{o}wnanie (\ref{a01})
przekszta\l camy do postaci zredukowanej%
\begin{equation}
y^{4}+py^{2}+qy+r=0,\label{a02}%
\end{equation}
gdzie
\begin{align*}
p &  =a_{2}-\frac{3}{8}a_{3}^{2},\\
q &  =\frac{1}{8}a_{3}^{3}-\frac{1}{2}a_{2}a_{3}+a_{1},\\
r &  =-\frac{3}{256}a_{3}^{4}+\frac{1}{16}a_{2}a_{3}^{2}-\frac{1}{4}a_{1}%
a_{3}+a_{0}.
\end{align*}
R\'{o}wnanie (\ref{a02}) przepisujemy w postaci r\'{o}wnowa\.{z}nej%
\[
y^{4}+2py^{2}+p^{2}=py^{2}-qy-r+p^{2},
\]
a nast\k{e}pnie%
\[
\left(  y^{2}+p\right)  ^{2}=py^{2}-qy-r+p^{2}\text{.}%
\]
St\k{a}d, dla dowolnego $y_{0}$, mamy%
\begin{align}
\left(  y^{2}+p+y_{0}\right)  ^{2} &  =\left(  y^{2}+p\right)  ^{2}%
+2y_{0}\left(  y^{2}+p\right)  +y_{0}^{2}\label{a0121}\\
&  =py^{2}-qy-r+p^{2}+2y_{0}\left(  y^{2}+p\right)  +y_{0}^{2}\nonumber\\
&  =\left(  p+2y_{0}\right)  y^{2}-qy+\left(  p^{2}-r+2py_{0}+y_{0}%
^{2}\right)  .\nonumber
\end{align}
Dobierzmy teraz $y_{0}$ w ten spos\'{o}b, aby wielomian
\[
y\rightarrow\left(  p+2y_{0}\right)  y^{2}-qy+\left(  p^{2}-r+2py_{0}%
+y_{0}^{2}\right)
\]
posiada\l \ jeden pierwiastek podw\'{o}jny, tj. aby%
\begin{equation}
\bigtriangleup\left(  y_{0}\right)  =q^{2}-4\left(  p+2y_{0}\right)  \left(
p^{2}-r+2py_{0}+y_{0}^{2}\right)  =0\text{. }\label{a03}%
\end{equation}
R\'{o}wnanie (\ref{a03}) jest r\'{o}wnaniem stopnia trzeciego, kt\'{o}re
potrafimy ju\.{z} rozwi\k{a}za\'{c} otrzymuj\k{a}c poszukiwan\k{a}
warto\'{s}\'{c} $y_{0}$. Dla tej warto\'{s}ci, r\'{o}wnanie (\ref{a0121})
przyjmuje posta\'{c}%
\[
\left(  y^{2}+p+y_{0}\right)  ^{2}=\left(  p+2y_{0}\right)  \left(  y-\frac
{q}{2\left(  p+2y_{0}\right)  }\right)  ^{2},
\]
z kt\'{o}r\k{a} umiemy sobie ju\.{z} poradzi\'{c}.

Og\'{o}lne wzory (uzyskane przez Ferrari, opublikowane przez Cardano w
\textit{Artis Magnae}\footnote{Dzie\l o to, obok dzie\l a M. Kopernika
\textit{De revolutionibus orbium coelestium} oraz A. Wezaliusza \textit{De
humani corporis fabrica} uznawane jest za najwa\.{z}niejsze dzie\l o naukowe
doby renesansu.} w 1545 r.) pozwalaj\k{a}ce wyznacza\'{c} analityczn\k{a}
posta\'{c} dowolnego r\'{o}wnania stopnia czwartego s\k{a} bardzo z\l o\.{z}one.

\subsection{R\'{o}wnania algebraiczne stopnia $n\geq5$}

Dla r\'{o}wna\'{n} algebraicznych stopnia $n\geq5$ wykazano, \.{z}e podanie
og\'{o}lnych wzor\'{o}w na ich rozwi\k{a}zania wykorzystuj\k{a}cych
wy\l \k{a}cznie dzia\l ania dodawanie, odejmowanie, mno\.{z}enie, dzielenie
oraz pierwiastkowanie nie jest mo\.{z}liwe (prace Abela, Ruffiniego, Galois'a)!

\bigskip

\noindent\textbf{Ciekawostka }Liczba b\k{e}d\k{a}ca rozwi\k{a}zaniem
r\'{o}wnania algebraicznego o ca\l kowitych wsp\'{o}\l czynnikach nazywana
jest \textcolor{blue}{liczb\k{a} algebraiczn\k{a}. }Na przyk\l ad $\sqrt[3]%
{2}$, jako rozwi\k{a}zanie r\'{o}wnania $s^{3}-2$, jest liczb\k{a}
algebraiczn\k{a}; z\ kolei liczby $\pi,$ $e$ czy $2^{\sqrt{2}}$ nie s\k{a}
liczbami algebraicznymi (dowody ich niealgebraiczno\'{s}ci s\k{a} bardzo
trudne). Zbi\'{o}r wszystkich liczb algebraicznych (a jest ich przeliczalnie
wiele), z naturalnymi dzia\l aniami dodawania oraz mno\.{z}enia liczb, tworzy cia\l o.


\end{document}