\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{22}
\setcounter{chapter}{3}
\sloppy


\chapter{Przestrzenie liniowe}
Niech $X$ b\k{e}dzie dowolnym zbiorem niepustym.

\begin{definition}
Tr\'{o}jk\k{e} $\left(  X,+,\bullet\right)  $ nazywamy \textcolor{blue}{rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} }(liniow\k{a}) je\.{z}eli:

\begin{description}
\item[(a)] $+:X\times X\rightarrow X$ jest dzia\l aniem wewn\k{e}trznym w $X$,
takim \.{z}e struktura $\left(  X,+\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a};

\item[(b)] $\bullet:\mathbb{R}\times X\rightarrow X$ jest dzia\l aniem
zewn\k{e}trznym w $X$, takim \.{z}e r\'{o}wno\'{s}ci:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $\alpha\bullet\left(  x+y\right)  =\left(  \alpha\bullet
x\right)  +\left(  \alpha\bullet y\right)  ;$

\item[$\rhd$] $\left(  \alpha+\beta\right)  \bullet x=\left(  \alpha\bullet
x\right)  +\left(  \beta\bullet x\right)  ;$

\item[$\rhd$] $\alpha\bullet\left(  \beta\bullet x\right)  =\left(
\alpha\beta\right)  \bullet x;$

\item[$\rhd$] $1\bullet x=x$
\end{itemize}

\item zachodz\k{a} dla dowolnych $x,y\in X$ oraz $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
\end{description}

\label{defpwek}
\end{definition}

\noindent Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy
\textcolor{blue}{wektorami}; elementy cia\l a nazywamy \textcolor{blue}{skalarami}.

\begin{example}
Ka\.{z}da z poni\.{z}szych struktur jest rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a}:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $ z naturalnymi
dzia\l aniami dodawania wektor\'{o}w oraz mno\.{z}enia wektora przez
liczb\k{e}:%
\begin{align*}
&  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  +\left(  y_{1},\ldots,y_{n}\right)
\overset{df}{=}\left(  x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \text{,}\\
&  \alpha\bullet\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \overset{df}{=}\left(
\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{n}\right)  ;
\end{align*}


\item[b)] $\left(  \mathbb{C},+,\bullet\right)  $ z naturalnymi dzia\l aniami
dodawania oraz mno\.{z}enia liczb;

\item[c)] $\left(  \mathcal{F}\left(  A,\mathbb{R}\right)  ,+,\bullet\right)
$ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia funkcji
przez liczb\k{e}.
\end{description}
\end{example}
\newpage
\begin{example}
Poni\.{z}sze struktury nie s\k{a} przestrzeniami wektorowymi:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $ z dzia\l aniami:%
\begin{align*}
\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  +\left(  y_{1},\ldots,y_{n}\right)   &
:=\left(  x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \text{,}\\
\alpha\bullet\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)   &  :=\left(  \alpha
x_{1},0,\ldots,0\right)  ;
\end{align*}


\item[b) ] $\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f\left(  0\right)
=1\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia
funkcji przez liczb\k{e}.
\end{description}
\end{example}

\L atwo wykaza\'{c}, korzystaj\k{a}c z definicji~\ref{defpwek}, \.{z}e w
dowolnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej $\left(  X,+,\bullet\right)  $
prawdziwe s\k{a} nast\k{e}puj\k{a}ce zale\.{z}no\'{s}ci:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $0\bullet x=\alpha\bullet0=0;$

\item[$\rhd$] $\alpha\bullet x=0\Rightarrow\alpha=0$ lub $x=0;$

\item[$\rhd$] $-\left(  \alpha\bullet x\right)  =\left(  -\alpha\right)  \bullet
x=\alpha\bullet\left(  -x\right)  $
\end{itemize}

\noindent dla dowolnych $x\in X,$ $\alpha\in\mathbb{R}.$

\bigskip\noindent\textbf{Uwaga} W powy\.{z}szych warunkach wyst\k{e}puj\k{a}
dwa r\'{o}\.{z}ne$\ $zera -- jedno to element neutralny dla dodawania w grupie
$\left(  X,+\right)  ,$ drugie to element neutralny dla dodawania w grupie
$\left(  \mathbb{R},+\right)  .$ Podobnie, znaki \quotedblbase$-$%
\textquotedblright\ wyst\k{e}puj\k{a}ce w ostatnim warunku to dwa
r\'{o}\.{z}ne minusy -- pierwszy oznacza element przeciwny dla elementu grupy
$\left(  X,+\right)  ,$ drugi wskazuje element przeciwny w grupie $\left(
\mathbb{R},+\right)  $.

\section{Podprzestrze\'{n} liniowa}

Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} oraz niech $Y\subset X$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli zbi\'{o}r $Y$ oraz dzia\l ania $+$ i $\bullet$ przestrzeni $X$
spe\l niaj\k{a} warunki:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $x,y\in Y\Rightarrow x+y\in Y;$

\item[$\rhd$] $\alpha\in\mathbb{R},$ $x\in Y\Rightarrow\alpha\bullet x\in Y;$

\item[$\rhd$] $Y\neq\varnothing$
\end{itemize}
to tr\'{o}jk\k{e} $\left(  Y,+,\bullet\right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{podprzestrzeni\k{a}
liniow\k{a}} przestrzeni $\left(  X,+,\bullet\right)  $.
\end{definition}

\noindent Warunki z powy\.zszej definicji r\'{o}wnowa\.{z}ne s\k{a}
poni\.{z}szym dw\'{o}m:

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$\textit{\ }$x,y\in Y\Rightarrow\alpha\bullet
x+\beta\bullet y\in Y;$

\item[$\rhd$] $0\in Y$.
\end{itemize}

\noindent\L atwo pokaza\'{c}, \.{z}e
\textcolor{blue}{ka\.{z}da podprzestrze\'{n}
liniowa $Y$  przestrzeni liniowej $X$ jest przestrzeni\k{a}
liniow\k{a} z dzia\l aniami indukowanymi z przestrzeni $X$}.

\begin{example}
Niech $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R}$ b\k{e}d\k{a} dowolnymi
ustalonymi liczbami. Zbi\'{o}r
\[
\left\{  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \in\mathbb{R}^{n}:%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}x_{k}=0\right\}
\]
z naturalnymi dzia\l aniami dodawania wektor\'{o}w oraz mno\.{z}enia wektora
przez liczb\k{e} jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni liniowej z
przyk\l adu 4.1.a.
\end{example}

\begin{example}
Zbi\'{o}r $\left\{  z\in\mathbb{C}:\alpha\mathfrak{Re}z+\beta\mathfrak{Im}%
z=0\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania oraz mno\.{z}enia liczb
zespolonych jest, dla dowolnych $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$,
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni liniowej z przyk\l adu 4.1.b.
\end{example}

\begin{example}
Zbi\'{o}r $\left\{  f\in\mathcal{F}\left(  \mathbb{R},\mathbb{R}\right)
:\forall x\text{ }f\left(  x\right)  =f\left(  -x\right)  \right\}  $ z
naturalnymi dzia\l a-\linebreak niami dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia
funkcji przez liczb\k{e} jest podprzestrzeni\k{a} \linebreak liniow\k{a}
przestrzeni liniowej z przyk\l adu 4.1.c (dla $A=\mathbb{R}$).
\end{example}

\bigskip

\noindent Bezpo\'{s}rednio z definicji wynika, \.{z}e zbi\'{o}r pusty tworzy
przestrze\'{n} liniow\k{a}, ale nie jest on podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
\.{z}adnej przestrzeni.

\begin{example}
Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie niepust\k{a} przestrzeni\k{a}
liniow\k{a}. W\'{o}wczas $\left(  \left\{  0\right\}  ,+,\bullet\right)  $
jest najmniejsz\k{a} (w sensie inkluzji) podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
przestrzeni $\left(  X,+,\bullet\right)  .$
\end{example}

\section{Liniowa niezale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w}

Niech $\left(  X,+,\bullet\right)  $ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a}.

\begin{definition}
Powiemy, \.{z}e wektory $v_{1},\ldots,v_{n}\in X$ s\k{a}
\textcolor{blue}{liniowo
niezale\.{z}ne}, je\.{z}eli dla dowolnych skalar\'{o}w $\alpha_{1}%
,\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R}$ zachodzi implikacja:%
\begin{equation}
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}=0\Rightarrow\alpha_{1}=\ldots
=\alpha_{n}=0. \label{w60}%
\end{equation}
Wektory, kt\'{o}re nie s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne s\k{a}
\textcolor{blue}{liniowo
zale\.{z}ne}.
\end{definition}

\bigskip\noindent Wyra\.{z}enie $\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}$
nazywamy \textcolor{blue}{kombinacj\k{a} liniow\k{a}} wektor\'{o}w
$v_{1},\ldots,v_{n}.$ Zbi\'{o}r wszystkich kombinacji liniowych wektor\'{o}w
$v_{1},\ldots,v_{n}\ $przestrzeni wektorowej $X$, tj. zbi\'{o}r%
\[
\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{n}\right\}  \overset{df}%
{=}\left\{
%TCIMACRO{\tsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}v_{i}:\alpha_{i}\in\mathbb{R}\text{ }\left(  i=1,\ldots,n\right)
\right\}
\]
tworzy podprzestrze\'{n} liniow\k{a} przestrzeni $X$ (\'{c}wiczenie).

Zauwa\.{z}my, \.{z}e zaprzeczenie warunku (\ref{w60}), tj. liniowa
zale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$, oznacza, \.{z}e
przynajmniej jeden z tych wektor\'{o}w jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} pozosta\l ych.

\begin{example}
Aby sprawdzi\'{c} liniow\k{a} zale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w
\[
v_{1}=\left(  1,0,-1\right)  ,v_{2}=\left(  -1,1,1\right)  ,v_{3}=\left(
3,-1,-3\right)
\]
nale\.{z}y rozwi\k{a}za\'{c}, wynikaj\k{a}ce z warunku (\ref{w60}),
r\'{o}wnanie%
\[
\alpha_{1}\left(  1,0,-1\right)  +\alpha_{2}\left(  -1,1,1\right)  +\alpha
_{3}\left(  3,-1,-3\right)  =\left(  0,0,0\right)
\]
ze wzgl\k{e}du na niewiadome $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R}$.
R\'{o}wnanie to prowadzi do uk\l adu r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0\\
\alpha_{2}-\alpha_{3}=0\\
-\alpha_{1}+\alpha_{2}-3\alpha_{3}=0
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'{o}rego rozwi\k{a}zaniem jest: $\alpha_{1}=-2t,$ $\alpha_{2}=\alpha_{3}=t$
$\left(  t\in\mathbb{R}\right)  $. Oznacza to, \.{z}e warunek (\ref{w60}) nie
jest spe\l niony, czyli badane wektory s\k{a} liniowo zale\.{z}ne. Faktycznie,
z postaci rozwi\k{a}zania wynika, \.{z}e $v_{2}=2v_{1}-v_{3}$.
\end{example}

\section{Baza i wymiar przestrzeni wektorowej}

Niech $v_{1},\ldots,v_{n}$ b\k{e}d\k{a} ustalonymi wektorami rzeczywistej przestrzeni
wektorowej $X$. Je\.{z}eli ka\.{z}dy element przestrzeni $X$ mo\.{z}na
wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e} liniow\k{a} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$,
tzn. dla dowolnego $y\in X$
\begin{equation}
y=\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}, \label{w62}%
\end{equation}
dla pewnych $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{R},$ to m\'{o}wimy, \.{z}e
wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ \textcolor{blue}{generuj\k{a}
przestrze\'{n}} $X$. Ka\.{z}dy liniowo niezale\.{z}ny uk\l ad (ci\k{a}g --
istotna kolejno\'{s}\'{c}) wektor\'{o}w przestrzeni wektorowej $X$
generuj\k{a}cy t\k{e} przestrze\'{n} nazywamy \textcolor{blue}{baz\k{a}} tej
przestrzeni. Liczb\k{e} element\'{o}w bazy przestrzeni wektorowej $X$
oznaczamy $\dim X$ i nazywamy \textcolor{blue}{wymiarem} przestrzeni
wektorowej. Wsp\'{o}\l czynniki $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$
wyst\k{e}puj\k{a}ce w r\'{o}wnaniu (\ref{w62}) nazywamy
\textcolor{blue}{wsp\'{o}\l
rz\k{e}dnymi wektora} $y$ w bazie $v_{1},\ldots,v_{n}$. Niezwykle wa\.{z}ne
jest zdanie sobie sprawy z tego, \.{z}e wsp\'{o}\l rz\k{e}dne te s\k{a}
wyznaczone w spos\'{o}b jednoznaczny. Aby to wykaza\'{c}, przypu\'{s}\'{c}my,
\.{z}e wektor $y$ okre\'{s}lony r\'{o}wnaniem (\ref{w62}) mo\.{z}na
r\'{o}wnie\.{z} zapisa\'{c} w postaci%
\begin{equation}
y=\beta_{1}v_{1}+\ldots+\beta_{n}v_{n}. \label{w63}%
\end{equation}
Poka\.{z}emy, \.{z}e w\'{o}wczas $\alpha_{i}=\beta_{i}$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $. Z zale\.{z}no\'{s}ci (\ref{w62})-(\ref{w63})
otrzymujemy%
\begin{align*}
0  &  =\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{n}v_{n}-\left(  \beta_{1}v_{1}%
+\ldots+\beta_{n}v_{n}\right) \\
&  =\left(  \alpha_{1}-\beta_{1}\right)  v_{1}+\ldots+\left(  \alpha_{n}%
-\beta_{n}\right)  v_{n}.
\end{align*}
Liniowa niezale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$ prowadzi do
warunk\'{o}w $\alpha_{i}-\beta_{i}=0$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $.


\bigskip
\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci bazy przestrzeni wektorowej:}
\begin{itemize}
\item[(i)] \textit{Ka\.{z}da niepusta przestrze\'{n} wektorowa posiada
baz\k{e}.}

\item[(ii)] \textit{Je\.{z}eli wektory }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ s\k{a}
baz\k{a} pewnej przestrzeni liniowej, to dla dowolnych niezerowych
skalar\'{o}w }$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$\textit{\ wektory }$\alpha
_{1}v_{1},\ldots,\alpha_{n}v_{n}$\textit{\ r\'{o}wnie\.{z} s\k{a} baz\k{e} tej
przestrzeni.}

\item[(iii)] \textit{Wszystkie bazy tej samej przestrzeni wektorowej s\k{a}
r\'{o}wnoliczne.}

\item[(iv)] \textit{Wektory }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ }$n-$%
\textit{wymiarowej przestrzeni liniowej s\k{a} jej baz\k{a} wtedy i tylko
wtedy, gdy s\k{a} wektorami liniowo niezale\.{z}nymi.}

\item[(v)] \textit{Ka\.{z}dy uk\l ad wektor\'{o}w liniowo niezale\.{z}nych
przestrzeni wektorowej }$X$ \textit{mo\.{z}e by\'{c} rozszerzony do bazy
przestrzeni }$X$\textit{.}
\end{itemize}

\begin{example}
\textbf{\ }Rozwa\.{z}my rzeczywist\k{a} przestrze\'{n} liniow\k{a} $\left(
\mathbb{R}^{n},+,\bullet\right)  $. Dla dowolnego wektora $\left(
x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \in\mathbb{R}^{n}\ $mamy:%
\begin{align*}
\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)   &  =\left(  x_{1},0,\ldots,0\right)
+\left(  0,x_{2},0,\ldots,0\right)  +\ldots+\left(  0,\ldots,0,x_{n}\right)
\\
&  =x_{1}\left(  1,0,\ldots,0\right)  +x_{2}\left(  0,1,0,\ldots,0\right)
+\ldots+x_{n}\left(  0,\ldots,0,1\right)  ,
\end{align*}
zatem wektory $e_{1}=\left(  1,0,\ldots,0\right)  ,e_{2}=\left(
0,1,0,\ldots,0\right)  ,\ldots,e_{n}=\left(  0,\ldots,0,1\right)  $
generuj\k{a} przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{n};$ poniewa\.{z} wektory te s\k{a}
r\'{o}wnie\.{z} liniowo niezale\.{z}ne, wi\k{e}c stanowi\k{a} one baz\k{e}
przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$-- jest to tzw. \textcolor{blue}{baza kanoniczna}.
Wniosek: $\dim\mathbb{R}^{n}=n.$
\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my rzeczywist\k{a} przestrze\'{n} liniow\k{a} $\left(
\mathbb{C},+,\bullet\right)  $. Z postaci kanonicznej liczby zespolonej
wynika, \.{z}e ka\.{z}da liczba zespolona jest kombinacj\k{a} liniow\k{a}
wektor\'{o}w $1,i;$ wektory te s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne, wi\k{e}c stanowi\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $\mathbb{C}$. Wniosek: $\dim\mathbb{C=}2$.
\end{example}

\begin{example}
Niech $Y=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x+y-z=0,x+y+z=0\right\}  $. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $Y$ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$; wyznaczmy
wi\k{e}c jej baz\k{e}. Rozwi\k{a}zuj\k{a}c uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
wynikaj\k{a}cy z warunku okre\'{s}laj\k{a}cego przynale\.{z}no\'{s}\'{c} do
przestrzeni $Y$, otrzymamy: $x=t,y=-t,z=0$ $\left(  t\in\mathbb{R}\right)  .$
Dowolny element przestrzeni $Y$ ma wi\k{e}c posta\'{c}: $\left(
t,-t,0\right)  =t\left(  1,-1,0\right)  .$ Oznacza to, \.{z}e $Y$ jest
jednowymiarow\k{a} podprzestrzeni\k{a} przestrzeni $\mathbb{R}^{3} $,
kt\'{o}rej baz\k{a} jest wektor $\left(  1,-1,0\right)  $.
\end{example}

\begin{example}
Niech $\Pi_{n}$ oznacza zbi\'{o}r wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia nie
wi\k{e}kszego ni\.{z} $n$. \L atwo sprawdzi\'{c}, \.{z}e struktura $\left(
\Pi_{n},+,\bullet\right)  $, gdzie $+$ oraz $\bullet$ to naturalne dzia\l ania
dodawania funkcji oraz mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e}, jest
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad $\mathbb{R}$. Baz\k{e} tej przestrzeni
tworz\k{a} jednomiany: $1,x,x^{2},\ldots,x^{n};$ mamy wi\k{e}c: $\dim\Pi
_{n}=n+1$. \newline Niech teraz, dla $a\in\mathbb{R}$,
\[
\Pi_{n}\left(  a\right)  =\left\{  w\in\Pi_{n}:w\left(  a\right)  =0\right\}
.
\]
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $\Pi_{n}\left(  a\right)  $ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni $\Pi_{n}$. Z\ twierdzenia
B\'{e}zout wynika, \.{z}e dowolny element $w\in\Pi_{n}\left(  a\right)  $
mo\.{z}na zapisa\'{c} w postaci
\begin{equation}
w\left(  x\right)  =\left(  x-a\right)  g\left(  x\right)  ,\label{w61}%
\end{equation}
dla pewnego $g\in\Pi_{n-1}.$ Poniewa\.{z} baz\k{a} $\Pi_{n-1}$ s\k{a}
jednomiany $1,x,x^{2},\ldots,x^{n-1}$, zatem na podstawie (\ref{w61}),
wielomian $w$ jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} wielomian\'{o}w
\[
x-a,x\left(  x-a\right)  ,x^{2}\left(  x-a\right)  ,\ldots,x^{n-1}\left(
x-a\right)  .
\]
Wielomiany te s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne (dlaczego?), zatem stanowi\k{a}
baz\k{e} przestrzeni $\Pi_{n}\left(  a\right)  $. Wniosek: $\dim\Pi_{n}\left(
a\right)  =n$.
\end{example}

\bigskip\noindent\textbf{\'{C}wiczenie }Wyznacz baz\k{e}
przestrzeni\textbf{\ }$\Pi_{n}\left(  a\right)  $ w przypadku, gdy
$a\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$.

\end{document}