\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{27}
\setcounter{chapter}{4}
\sloppy


\chapter{Macierze}

Funkcj\k{e}, kt\'{o}ra ka\.{z}dej parze liczb naturalnych $\left(  i,j\right)
$ $\left(  i=1,\ldots,n;j=1,\ldots,m\right)  $ przyporz\k{a}dkowuje
dok\l adnie jedn\k{a} liczb\k{e} $a_{ij}\in\mathbb{F}$, gdzie $\mathbb{F=R}$
lub $\mathbb{F=C}$, nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a}} (rzeczywist\k{a},
gdy $\mathbb{F=R}$, zespolon\k{a} w drugim przypadku). Macierze zapisujemy w
postaci prostok\k{a}tnych tablic:%
\begin{equation}
A=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}%
\end{array}
\right]  ; \label{w7}%
\end{equation}
b\k{e}dziemy te\.{z} stosowa\'{c} uproszczon\k{a} notacj\k{e} $A=\left[
a_{ij}\right]  _{n\times m}$. Macierz (\ref{w7}) to macierz wymiaru\ $n\times
m$ -- ma ona $n$ wierszy (poziome) i $m$ kolumn (pionowe). Zbi\'{o}r macierzy
wymiaru $n\times m$ o elementach z cia\l a $\mathbb{F}$ b\k{e}dziemy
oznacza\'{c} $\mathbb{F}^{n\times m}$. Je\.{z}eli $m=n$ to macierz nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} kwadratow\k{a} }stopnia $n$.
\textcolor{blue}{Macierz zerowa} to macierz z\l o\.{z}ona z samych zer:
$\mathbf{0}=\left[  0\right]  _{n\times m}$. Macierz kwadratowa, kt\'{o}rej
wszystkie elementy -- za wyj\k{a}tkiem by\'{c} mo\.{z}e tych stoj\k{a}cych na
przek\k{a}tnej -- s\k{a} r\'{o}wne zero nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} diagonaln\k{a}}:%
\[
\operatorname*{diag}\left(  a_{11},\ldots,a_{nn}\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ldots & 0 & a_{nn}%
\end{array}
\right]  .
\]
Macierz diagonaln\k{a} stopnia $n$ z jedynkami na przek\k{a}tnej nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} jednostkow\k{a}} i oznaczamy $I_{n}$. Je\.{z}eli
wszystkie elementy macierzy kwadratowej stoj\k{a}ce pod (nad)
przek\k{a}tn\k{a} s\k{a} r\'{o}wne zero to macierz t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} tr\'{o}jk\k{a}tn\k{a} g\'{o}rn\k{a}
(tr\'{o}jk\k{a}tn\k{a} doln\k{a})}. Macierze diagonalne s\k{a}
jednocze\'{s}nie tr\'{o}jk\k{a}tne g\'{o}rne i tr\'{o}jk\k{a}tne dolne.

\section{Dzia\l ania na macierzach}

\subsection{Dodawanie macierzy oraz mno\.{z}enie macierzy przez skalar}

W zbiorze macierzy $\mathbb{F}^{n\times m}$ wprowadza si\k{e} naturalne
dzia\l ania dodawania macierzy oraz mno\.{z}enia macierzy przez skalar:

\begin{itemize}
\item je\.{z}eli $A=\left[  a_{ij}\right]  _{n\times m},$ $B=\left[
b_{ij}\right]  _{n\times m}$ to $A+B=\left[  a_{ij}+b_{ij}\right]  _{n\times
m}$;

\item dla $\alpha\in\mathbb{F}$: $\alpha A=\left[  \alpha a_{ij}\right]
_{n\times m}$.
\end{itemize}

\begin{example}
Mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1
\end{array}
\right]  +\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 1 & 1\\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right]
\]
oraz
\[
\text{\ }3\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
2 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
6 & 3\\
-3 & 0
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

Zbi\'{o}r macierzy prostok\k{a}tnych ustalonego wymiaru (mo\.{z}emy
dodawa\'{c} tylko te macierze, kt\'{o}re maj\k{a} ten sam wymiar) z
dzia\l aniami zdefiniowanymi powy\.{z}ej jest rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a}
wektorow\k{a} (co jest jej baz\k{a}?).

\subsection{Mno\.{z}enie macierzy}

Niech $A=\left[  a_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times k},$ $B=\left[
b_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{k\times m}.$ Mo\.{z}emy w\'{o}wczas
zdefiniowa\'{c} macierz $C=\left[  c_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times m}$:%
\begin{equation}
c_{ij}=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k=1}^{m}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k=1}^{m}}
%EndExpansion
a_{ik}b_{kj},\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n;\text{ }j=1,\ldots.,m\right)
\label{wz71}%
\end{equation}
b\k{e}d\k{a}c\k{a} iloczynem macierzy $A$ i $B$; ozn. $C=AB.$

\bigskip\noindent\textbf{Uwaga} Aby mo\.{z}na by\l o wyznaczy\'{c} macierz
$AB$, liczba kolumn macierzy $A$ musi by\'{c} r\'{o}wna liczbie wierszy
macierzy $B.$

\begin{example}
Mamy%
\begin{align*}
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small 3} & {\small 0}\\
{\small 1} & {\small -2} & {\small 1}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
{\small 1} & {\small -2}\\
{\small 2} & {\small 0}\\
{\small -1} & {\small 1}%
\end{array}
\right]   &  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
{\small 2\cdot1+3\cdot2+0\cdot}\left(  -1\right)  & {\small 2\cdot}\left(
-2\right)  {\small +3\cdot0+0\cdot1}\\
{\small 1\cdot1-2\cdot2+1\cdot}\left(  -1\right)  & {\small 1\cdot}\left(
-2\right)  {\small +}\left(  -2\right)  {\small \cdot0+1\cdot1}%
\end{array}
\right] \\
&  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
{\small 8} & {\small -4}\\
{\small -4} & {\small -1}%
\end{array}
\right]
\end{align*}
oraz%
\begin{align*}
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
{\small 1} & {\small -2}\\
{\small 2} & {\small 0}\\
{\small -1} & {\small 1}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small 3} & {\small 0}\\
{\small 1} & {\small -2} & {\small 1}%
\end{array}
\right]   &  =\left[
\begin{array}
[c]{lll}%
1{\small \cdot2-2\cdot1} & 1{\small \cdot3-2\cdot}\left(  -2\right)  &
1{\small \cdot0-2\cdot1}\\
2{\small \cdot2+0\cdot1} & 2{\small \cdot3+0\cdot}\left(  -2\right)  &
2{\small \cdot0+0\cdot1}\\
-1{\small \cdot2+1\cdot1} & -1{\small \cdot3+1\cdot}\left(  -2\right)  &
-1{\small \cdot0+1\cdot1}%
\end{array}
\right] \\
&  =\allowbreak\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 7 & -2\\
4 & 6 & 0\\
-1 & -5 & 1
\end{array}
\right]  .
\end{align*}

\end{example}

\subsubsection{W\l asno\'{s}ci iloczynu macierzy}

\noindent\textit{Zak\l adamy, \.{z}e wymiary macierzy }$A,B$\textit{,}%
$C$\textit{ wyst\k{e}puj\k{a}cych w poni\.{z}szych warunkach s\k{a} takie,
\.{z}e wszystkie wyra\.{z}enia maj\k{a} sens.}

\begin{description}
\item[(i)] \textit{Dzia\l anie okre\'{s}lone wzorem (\ref{wz71})}

\begin{itemize}
\item \textit{jest \l \k{a}czne: }$A\left(  BC\right)  =\left(  AB\right)  C;$

\item \textit{jest rozdzielne wzgl\k{e}dem dodawania: }$A\left(  B+C\right)
=AB+AC;$

\item \textit{posiada element neutralny, o ile $n=m$ (i tylko wtedy) -- jest
nim macierz jednostkowa $I_{n}$;}
\end{itemize}

\item[(ii) ] \textit{Na og\'{o}\l :} $AB\neq BA;$

\item[(iii)] $AB=0\nRightarrow A=0$\textit{ lub }$B=0;$

\item[(iv)] $AB=AC, A\neq0\nRightarrow B=C.$
\end{description}

\bigskip\noindent\textbf{\'{C}wiczenie} Do punkt\'{o}w (ii)--(iv) poda\'{c}
stosowne przyk\l ady.

\subsection{Macierz transponowana}

\noindent Niech $A=\left[  a_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times m}$
b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}. Macierz $A^{T}\in\mathbb{F}^{m\times n}$,
gdzie%
\[
A^{T}=\left[  a_{ij}\right]  ^{T}\overset{df}{=}\left[  a_{ji}\right]  ,
\]
nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a} transponowan\k{a}}. Kolumny (wiersze)
macierzy $A$ s\k{a} wi\k{e}c wierszami (kolumnami) macierzy $A^{T}$.

\subsubsection{W\l asno\'{s}ci operacji transponowania macierzy}

\begin{itemize}
\item $\left(  A+B\right)  ^{T}=A^{T}+B^{T},$ dla $A,B\in\mathbb{F}^{n\times
m}$;

\item $\left(  \alpha A\right)  ^{T}=\alpha A^{T},$ dla $A\in\mathbb{F}%
^{n\times m}, \alpha\in\mathbb{F}$;

\item $\left(  AB\right)  ^{T}=B^{T}A^{T},$ dla $A,B\in\mathbb{F}^{n\times
n}.$
\end{itemize}

\section{Wyznacznik macierzy}

\subsection{Definicja aksjomatyczna}

Niech $\mathbb{F}^{n\times n}$ oznacza zbi\'{o}r macierzy kwadratowych stopnia
$n$ o elementach z cia\l a $\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$.

\begin{definition}
\textit{Funkcj\k{e} }$\det:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}%
$\textit{ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki:}

\begin{description}
\item[(i)] \textit{dla macierzy kwadratowej }$A=[a_{ij}]=\left[  A_{1}%
,\ldots,A_{n}\right]  ,$\textit{ gdzie }$A_{i}$\textit{ oznacza }%
$i-$\textit{t\k{a} kolumn\k{e} }$A,$\textit{ przekszta\l cenie }%
$A_{i}\rightarrow\det\left[  A_{1},\ldots,A_{n}\right]  $\textit{ }$\left(
i=1,\ldots,n\right)  $ \textit{jest liniowe, tzn. dla }$\alpha,\beta
\in\mathbb{F}$:%
\[
\det\left[  A_{1},\ldots,\alpha A_{i}+\beta B_{i},\ldots,A_{n}\right]
=\alpha\det\left[  A_{1},\ldots,A_{i},\ldots,A_{n}\right]  +\beta\det\left[
A_{1},\ldots,B_{i},\ldots,A_{n}\right]  ;
\]


\item[(ii)] \textit{ }$\det$\textit{ jest funkcj\k{a} alternuj\k{a}c\k{a},
tzn. }\textit{dla }$A_{i}=A_{j}$\textit{ (dla wszystkich }$i\neq
j$\textit{):}
\[
\det\left[  A_{1},\ldots,A_{i},\ldots,A_{j},\ldots,A_{n}\right]  =0,
\]


\item[(iii)] $\det\left(  I_{n}\right)  =1$
\end{description}

nazywamy \textcolor{blue}{wyznacznikiem}.
\end{definition}

\noindent Z powy\.{z}szej definicji wynika natychmiast nast\k{e}puj\k{a}cy wniosek.

\begin{conclusion}
Je\.{z}eli w macierzy kwadratowej zamienimy miejscami dwie kolumny (wiersze),
to jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
\end{conclusion}

\begin{proof}
Rozwa\.{z}my macierz powsta\l \k{a} z macierzy $A$ przez dodanie do jej
$i$--tej oraz $j$--tej kolumny odpowiednio kolumny $j$--tej oraz $i$--tej:%
\[
\left[  \ldots,A_{i}+A_{j},\ldots,A_{i}+A_{j},\ldots\right]  .
\]
Z warunku (ii) powy\.{z}szej definicji wynika%
\[
\det\left[  \ldots,A_{i}+A_{j},\ldots,A_{i}+A_{j},\ldots\right]  =0.
\]
Dodatkowo, z warunk\'{o}w (i) oraz (ii):%
\begin{align*}
0 =  &  \det\left[  \ldots,A_{i}+A_{j},\ldots,A_{i}+A_{j},\ldots\right] \\
=  &  \det\left[  \ldots,A_{i},\ldots,A_{i}+A_{j},\ldots\right]  +\det\left[
\ldots,A_{j},\ldots,A_{i}+A_{j},\ldots\right] \\
=  &  \det\left[  \ldots,A_{i},\ldots,A_{i},\ldots\right]  +\det\left[
\ldots,A_{i},\ldots,A_{j},\ldots\right]  +\\
&  +\det\left[  \ldots,A_{j},\ldots,A_{i},\ldots\right]  +\det\left[
\ldots,A_{j},\ldots,A_{j},\ldots\right] \\
=  &  \det\left[  \ldots,A_{i},\ldots,A_{j},\ldots\right]  +\det\left[
\ldots,A_{j},\ldots,A_{i},\ldots\right]  ,
\end{align*}
sk\k{a}d ostatecznie wynika%
\[
\det\left[  \ldots,A_{i},\ldots,A_{j},\ldots\right]  =-\det\left[
\ldots,A_{j},\ldots,A_{i},\ldots\right]  .
\]

\end{proof}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 0\\
2 & 0 & -2\\
-1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Na podstawie definicji 5.1 mamy%

\begin{align*}
\det(A) = &\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 0\\
2 & 0 & -2\\
-1 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert =\\ = & \left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert +2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 2 & 0\\
1 & 0 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert -\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -2\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert =\\
= & 2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert +2\left(  2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert \right)  +\\
&  -\left(  2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -2\\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert \right) =\\ = &  2\left(  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert \right)  +\\
&  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert +4\left(  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert \right)  +\\
&  +2\left(  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert \right)  -2\left(  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert \right)  +\\
&  -\left(  -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right\vert \right)   =\\ = & -2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right\vert +4\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert+4\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert  =\\ = &  2\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert -4\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert +4\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right\vert =2.
\end{align*}
\end{example}

Kolumny macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ s\k{a} elementami przestrzeni
$\mathbb{F}^{n}$; mo\.{z}emy wi\k{e}c wyrazi\'{c} je jako kombinacje liniowe
wektor\'{o}w bazy kononicznej $e_{1},\ldots,e_{n}$:
\[
A_{i}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ki}e_{k},\text{\quad dla }i=1,\ldots,n.
\]
St\k{a}d%
\begin{align*}
\det &  A=\det\left[
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k_{1}=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k_{1}=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{k_{1}1}e_{k_{1}},\ldots,%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k_{n}=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k_{n}=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{k_{n}n}e_{k_{n}}\right]  \overset{(i)}{=}%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k_{1}=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k_{1}=1}^{n}}
%EndExpansion
\cdots%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{k_{n}=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{k_{n}=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{k_{1}1}\ldots a_{k_{n}n}\det\left[  e_{k_{1}},\ldots,e_{k_{n}}\right] \\
&  \hspace{-1mm}\overset{(ii)-\left(  iii\right)  }{=}%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{\sigma\in S_{n}}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}}
%EndExpansion
\operatorname*{sgn}\left(  \sigma\right)  a_{\sigma\left(  1\right)  1}\cdots
a_{\sigma\left(  n\right)  n},
\end{align*}
gdzie $S_{n}$ to zbi\'{o}r wszystkich permutacji zbioru $\left\{
1,\ldots,n\right\}  $; $\operatorname*{sgn}\left(  \sigma\right)  $ to znak
permutacji $\sigma$ (\footnote{$\operatorname*{sgn}\left(  \sigma\right)
=\left(  -1\right)  ^{s},$ gdzie $s$ to liczba transpozycji (transpozycja to
zamiana kolejno\'{s}ci dw\'{o}ch element\'{o}w) tworz\k{a}cych permutacj\k{e}
$\sigma$.}).

\begin{theorem}
\textit{Istnieje dok\l adnie jedna funkcja spe\l niaj\k{a}ca warunki
(i)--(iii) definicji~5.1; funkcja ta okre\'{s}lona jest wzorem}%
\begin{equation}
\det A=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{\sigma\in S_{n}}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}}
%EndExpansion
\operatorname*{sgn}\left(  \sigma\right)  a_{\sigma\left(  1\right)  1}\cdots
a_{\sigma\left(  n\right)  n}. \label{wz63}%
\end{equation}

\end{theorem}

\noindent Zauwa\.{z}my, \.{z}e je\.{z}eli dla pewnego $i\in\left\{
1,\ldots,n\right\}  :$ $\sigma\left(  i\right)  <i,$ to dla pewnego
\linebreak$j\in\left\{  1,\ldots,n\right\}  :$ $\sigma\left(  j\right)  >j.$
St\k{a}d oraz ze wzoru (\ref{wz63}) wynika nast\k{e}puj\k{a}cy

\begin{conclusion}
\textit{Wyznacznik macierzy tr\'{o}jk\k{a}tnej r\'{o}wny jest iloczynowi
wyraz\'{o}w z przek\k{a}tnej.}
\end{conclusion}

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci wyznacznika macierzy }$\left(
A,B\in\mathbb{F}^{n\times n},\text{ }\alpha\in\mathbb{F}\right)  $\textbf{:}

\begin{itemize}
\item $\det A=\det A^{T};$

\item $\det\left(  AB\right)  =\det A\cdot\det B;$

\item $\det\left(  \alpha A\right)  =\alpha^{n}\det A;$

\item \textit{je\.{z}eli do kt\'{o}rego\'{s} wiersza (kolumny) dodamy
kombinacj\k{e} liniow\k{a} pozosta\l ych wierszy (kolumn) to wyznacznik
si\k{e} nie zmieni;}

\item \textit{zamiana kolejno\'{s}ci dw\'{o}ch wierszy (kolumn) zmienia znak
wyznacznika na przeciwny.}
\end{itemize}

\subsection{Metoda Laplace'a}

Niech $A=\left[  a_{ij}\right]  \ $b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}
kwadratow\k{a} stopnia $n$.

\begin{definition}
\textcolor{blue}{\textit{Minorem}}\textit{ elementu }$a_{ij}$\textit{ macierzy
}$A=\left[  a_{ij}\right]  $\textit{ nazywamy wyznacznik }$M_{ij}$
\textit{macierzy kwadratowej stopnia }$n-1$\textit{ utworzonej z macierzy }%
$A$\textit{ przez usuni\k{e}cie z niej }$i-$\textit{tego wiersza oraz }%
$j-$\textit{tej kolumny. }
\end{definition}

\begin{definition}
\textit{Liczb\k{e} }$\left(  -1\right)  ^{i+j}M_{ij},$\textit{ gdzie }$M_{ij}%
$\textit{ jest minorem elementu }$a_{ij},$\textit{ nazywamy
\textcolor{blue}{dope\l nieniem algebraicznym} elementu }$a_{ij}$\textit{.}
\end{definition}

\begin{theorem}
[Laplace]\textit{Dla dowolnej macierzy kwadratowej }$A=\left[  a_{ij}\right]
$\textit{ stopnia }$n\geq2$\textit{:}%
\[
\det A=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
\left(  -1\right)  ^{i+j}a_{ij}M_{ij}\text{\quad\textit{dla ka\.{z}dego}
}j=1,\ldots,n
\]
\textit{oraz}%
\[
\det A=%
%TCIMACRO{\tsum \limits_{j=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\limits_{j=1}^{n}}
%EndExpansion
\left(  -1\right)  ^{i+j}a_{ij}M_{ij}\text{\quad\textit{dla ka\.{z}dego}
}i=1,\ldots,n.
\]

\end{theorem}

\begin{example}
Dla macierzy $A\in\mathbb{F}^{2\times2}$, ze wzoru (\ref{wz63}) otrzymujemy:%
\[
\det\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}%
\end{array}
\right]  =a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.
\]

\end{example}

\begin{example}
Dla macierzy $A\in\mathbb{F}^{3\times3}$ zastosujemy metod\k{e} Laplace'a (do
pierwszej kolumny). Mamy%
\begin{align*}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}
\right\vert  &  =\left(  -1\right)  ^{1+1}a_{11}\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}%
\end{array}
\right\vert +\left(  -1\right)  ^{2+1}a_{21}\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{12} & a_{13}\\
a_{32} & a_{33}%
\end{array}
\right\vert \\
+\left(  -1\right)  ^{3+1}a_{31}\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}%
\end{array}
\right\vert  &  =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{21}a_{12}a_{33}\\
&  +a_{21}a_{13}a_{32}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{13}a_{22}.
\end{align*}
Ten sam wynik uzyskamy stosuj\k{a}c tzw. \textit{schemat Sarrusa}:

\begin{figure}[tbh]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\par
\begin{center}%
\begin{align*}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}%
\end{array}
&  = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\
&  -a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}%
\end{align*}
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-53,28){\vector(3,-2){20}}
\put(-43,28){\vector(3,-2){20}}
\put(-33,28){\vector(3,-2){20}}
\put(-45,30){$+$}\put(-35,30){$+$}
\put(-54,14){\vector(3,2){21}}
\put(-44,14){\vector(3,2){21}}
\put(-34,14){\vector(3,2){21}}
\put(-56,11){$-$}\put(-46,11){$-$}\put(-36,11){$-$}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
\end{example}

\vspace{-5pt}\noindent\textbf{Ciekawostka }Stosuj\k{a}c do macierzy
kwadratowej stopnia $n$ metod\k{e} Laplace'a obliczania wyznacznika, musimy
obliczy\'{c} $n$ wyznacznik\'{o}w macierzy stopnia $n-1;$ ka\.{z}dy z tych
wyznacznik\'{o}w wymaga z kolei obliczenia $n-1$ wyznacznik\'{o}w stopnia
$n-2$, itd. Obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia $n$ wymaga
wi\k{e}c obliczenia $\frac{1}{2}n!$ wyznacznik\'{o}w macierzy kwadratowych
stopnia $2;$ dla macierzy stopnia $n=20$ daje to ponad $10^{18}$
wyznacznik\'{o}w $2\times2.$ Superkomputer Prometheus
wykonuj\k{a}cy ponad $2\cdot10^{15}$ operacji zmiennopozycyjnych na sekund\k{e}, potrzebowa\l by
na obliczenie tego wyznacznika oko\l o 10 minut (starszy brat Prometheusa - superkomputer Zeus - ponad cztery miesi\k{a}ce!). \textcolor{blue}{Dla du\.{z}ych $n$ metoda Laplace'a jest wi\k{e}c wysoce niepraktyczna}.

\subsection{Metoda przekszta\l ce\'n elementarnych}

Metoda przekszta\l ce\'n elementarnych obliczania wyznacznika polega na przekszta\l ceniu danej
macierzy do postaci tr\'{o}jk\k{a}tnej. W przekszta\l ceniu tym wykorzystujemy
jedynie tzw. \textcolor{blue}{operacje elementarne} na wierszach macierzy:

\begin{example}
Mamy:%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & 1\\
1 & 2 & 4\\
2 & -2 & 1
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{l}%
{\tiny w}_{1}{\tiny \rightarrow w}_{1}\\
{\tiny w}_{2}{\tiny \rightarrow w}_{2}{\tiny -}\frac{1}{2}{\tiny w}_{1}\\
{\tiny w}_{3}{\tiny \rightarrow w}_{3}{\tiny -w}_{1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & 1\\
0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2}\\
0 & -5 & 0
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{l}%
{\tiny w}_{1}{\tiny \rightarrow w}_{1}\\
{\tiny w}_{2}{\tiny \rightarrow w}_{2}\\
{\tiny w}_{3}{\tiny \rightarrow w}_{3}{\tiny +10w}_{2}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & 1\\
0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2}\\
0 & 0 & 35
\end{array}
\right\vert =35.
\]

\end{example}

\noindent Metoda przekszta\l ce\'n elementarnych jest jedn\k{a} z najbardziej efektywnych metod
obliczania wyznacznik\'{o}w macierzy. Jej numerycznie akceptowalna wersja
wymaga wykonania tylko $O(n^{3})$ operacji arytmetycznych!

\section{Macierz odwrotna}

\begin{definition}
\textbf{ }\textit{Macierz }$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{ tak\k{a}
\.{z}e }$\det A\neq0$\textit{ nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} nieosobliw\k{a}}; w przeciwnym przypadku
m\'{o}wimy, \.{z}e }$A$\textit{ jest
\textcolor{blue}{macierz\k{a} osobliw\k{a}}. }
\end{definition}

\bigskip\noindent Przypomnijmy, \.{z}e iloczyn macierzy jest dzia\l aniem
wewn\k{e}trznym w zbiorze macierzy kwadratowych stopnia $n$. \L atwo
sprawdzi\'{c}, \.{z}e jest to r\'{o}wnie\.{z} dzia\l anie \l \k{a}czne,
kt\'{o}rego elementem neutralnym jest macierz jednostkowa $I_{n}$ stopnia $n$
(dow\'{o}d przez bezpo\'{s}redni rachunek). Nasuwa si\k{e} wi\k{e}c
nast\k{e}puj\k{a}ce pytanie: \textit{Czy ka\.{z}da macierz kwadratowa posiada
element odwrotny (wzgl\k{e}dem mno\.{z}enia)? }

\begin{example}
Niech
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]  \text{\quad oraz\quad}B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}%
\end{array}
\right]  .
\]
W\'{o}wczas%
\[
AB=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22}\\
0 & 0
\end{array}
\right]  \neq\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Oznacza to, \.{z}e nie dla ka\.{z}dej macierzy istnieje element odwrotny.
\end{example}

\begin{definition}
\textit{Je\.{z}eli dla macierzy }$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{ istnieje
macierz }$X\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{ taka \.{z}e:}%
\[
AX=XA=I_{n},
\]
\textit{gdzie }$I_{n}$\textit{ oznacza macierz jednostkow\k{a} stopnia }%
$n$\textit{, to macierz t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a} odwrotn\k{a}} do macierzy }$A$\textit{ i
oznaczamy }$A^{-1}$\textit{.}
\end{definition}

\begin{theorem}
\textit{Warunkiem koniecznym i wystarczaj\k{a}cym na to, aby macierz }%
$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{ posiada\l a macierz odwrotn\k{a} jest
warunek }$\det A\neq0$\textit{.}
\end{theorem}

\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci operacji odwracania macierzy }$\left(
A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\right)  $\textbf{:}

\begin{itemize}
\item $\det\left(  A^{-1}\right)  =\frac{1}{\det A};$

\item $\left(  A^{-1}\right)  ^{-1}=A;$

\item $\left(  AB\right)  ^{-1}=B^{-1}A^{-1};$

\item $\left(  A^{-1}\right)  ^{T}=\left(  A^{T}\right)  ^{-1}$ oraz $\left(
A^{-1}\right)  ^{\ast}=\left(  A^{\ast}\right)  ^{-1}.$
\end{itemize}

\subsection{Algorytmy wyznaczania macierzy odwrotnej}

Niech $A=\left[  a_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times n}$.

\subsubsection{Metoda macierzy dope\l nie\'{n} algebraicznych}

Poni\.{z}ej przedstawimy algorytm wyznaczania macierzy $A^{-1}$ oparty na
macierzy dope\l nie\'{n} algebraicznych.

\begin{description}
\item[Krok 1.] \textit{Obliczamy }$\det A.$\textit{ Je\.{z}eli }$\det
A=0$\textit{ to macierz }$A^{-1}$\textit{ nie istnieje; je\.{z}eli }$\det
A\neq0$\textit{, przechodzimy do kroku drugiego.}

\item[Krok 2.] \textit{Wyznaczamy macierz minor\'{o}w }$A_{1}=\left[
M_{ij}\right]  ;$

\item[Krok 3.] \textit{Wyznaczamy macierz dope\l nie\'{n} algebraicznych
}$A_{2}=\left[  \left(  -1\right)  ^{i+j}M_{ij}\right]  ;$

\item[Krok 4.] \textit{Wyznaczamy macierz }$A_{3}=A_{2}^{T};$

\item[Krok 5.] \textit{Wyznaczamy macierz }$A^{-1}=\frac{1}{\det A}A_{3}.$
\end{description}

\begin{example}
Wyznaczymy macierz odwrotn\k{a} do macierzy $A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & -1 & 1\\
1 & 2 & -2\\
1 & 0 & -1
\end{array}
\right]  $. Poniewa\.{z} $\det A=-5$ zatem macierz odwrotna istnieje. Mamy
wi\k{e}c:%
\begin{align*}
A=  &  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small -1} & {\small 1}\\
{\small 1} & {\small 2} & {\small -2}\\
{\small 1} & {\small 0} & {\small -1}%
\end{array}
\right]  \overset{M_{ij}}{\rightarrow}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small -2} & {\small 1} & {\small -2}\\
{\small 1} & {\small -3} & {\small 1}\\
{\small 0} & {\small -5} & {\small 5}%
\end{array}
\right]  \overset{\left(  -1\right)  ^{i+j}}{\rightarrow}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small -2} & {\small -1} & {\small -2}\\
{\small -1} & {\small -3} & {\small -1}\\
{\small 0} & {\small 5} & {\small 5}%
\end{array}
\right]  \overset{T}{\rightarrow}\\
\overset{T}{\rightarrow}  &  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small -2} & {\small -1} & {\small 0}\\
{\small -1} & {\small -3} & {\small 5}\\
{\small -2} & {\small -1} & {\small 5}%
\end{array}
\right]  \overset{\frac{1}{\det A}}{\rightarrow}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small 0}\\
{\small 1/5} & {\small 3/5} & {\small -1}\\
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small -1}%
\end{array}
\right]  =A^{-1}%
\end{align*}

\end{example}

\subsubsection{Metoda Gaussa}

Metoda Gaussa wyznaczania macierzy odwrotnej polega na tym, aby z danej
macierzy uzyska\'{c} macierz jednostkow\k{a}. Te same operacje, kt\'{o}re
wykonujemy na macierzy $A$ przeprowadzamy jednocze\'{s}nie na macierzy
jednostkowej. W momencie gdy wyj\'{s}ciowa macierz przyjmuje posta\'{c}
macierzy jednostkowej, macierz jed- \linebreak nostkowa staje si\k{e}
macierz\k{a} $A^{-1}.$

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie macierz z poprzedniego przyk\l adu. Mamy:%
\begin{align*}
\left[  A\left\vert I\right.  \right]  =  &  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small -1} & {\small 1}\\
{\small 1} & {\small 2} & {\small -2}\\
{\small 1} & {\small 0} & {\small -1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 1} & {\small 0} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 1} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 0} & {\small 1}%
\end{array}
\right.  \right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}{\scriptsize -}\frac{1}%
{2}{\scriptsize w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}{\scriptsize -w}_{2}%
\end{array}
\\
&  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small -1} & {\small 1}\\
{\small 0} & {\small 5/2} & {\small -5/2}\\
{\small 0} & {\small -2} & {\small 1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 1} & {\small 0} & {\small 0}\\
{\small -1/2} & {\small 1} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small -1} & {\small 1}%
\end{array}
\right.  \right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}\\
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}{\scriptsize +}\frac{4}%
{5}{\scriptsize w}_{2}%
\end{array}
\\
&  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small -1} & {\small 1}\\
{\small 0} & {\small 5/2} & {\small -5/2}\\
{\small 0} & {\small 0} & {\small -1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 1} & {\small 0} & {\small 0}\\
{\small -1/2} & {\small 1} & {\small 0}\\
{\small -2/5} & {\small -1/5} & {\small 1}%
\end{array}
\right.  \right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow-w}_{3}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}{\scriptsize -}\frac{5}%
{2}{\scriptsize w}_{3}\\
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}{\scriptsize +w}_{3}%
\end{array}
\\
&  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small -1} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 5/2} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 0} & {\small 1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 3/5} & {\small -1/5} & {\small 1}\\
{\small 1/2} & {\small 3/2} & {\small -5/2}\\
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small -1}%
\end{array}
\right.  \right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow}\frac{2}{5}{\scriptsize w}_{2}\\
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}{\scriptsize +}\frac{2}%
{5}{\scriptsize w}_{2}%
\end{array}
\\
&  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2} & {\small 0} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 1} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 0} & {\small 1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 4/5} & {\small 2/5} & {\small 0}\\
{\small 1/5} & {\small 3/5} & {\small -1}\\
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small -1}%
\end{array}
\right.  \right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow}\frac{1}{2}{\scriptsize w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}\\
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}%
\end{array}
\\
&  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 1} & {\small 0} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 1} & {\small 0}\\
{\small 0} & {\small 0} & {\small 1}%
\end{array}
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small 0}\\
{\small 1/5} & {\small 3/5} & {\small -1}\\
{\small 2/5} & {\small 1/5} & {\small -1}%
\end{array}
\right.  \right]  =\left[  I\left\vert A^{-1}\right.  \right]  .
\end{align*}

\end{example}

\section{Rz\k{a}d macierzy}

Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times m}.$ Mo\.{z}na pokaza\'{c}, \.{z}e liczba
liniowo niezale\.{z}nych kolumn macierzy jest taka sama jak liczba jej liniowo
niezale\.{z}nych wierszy. Liczb\k{e} t\k{e}, dla macierz $A,$ oznaczamy
$\operatorname*{rank}\left(  A\right)  $ i nazywamy
\textcolor{blue}{rz\k{e}dem} macierzy $A$.
\pagebreak

\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci rz\k{e}du macierzy:}

\begin{itemize}
\item dla dowolnej macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times m}:$
$\operatorname*{rank}\left(  A\right)  =\operatorname*{rank}\left(
A^{T}\right)  ;$

\item dodanie do dowolnej kolumny (wiersza) macierzy kombinacji liniowej
pozosta\l ych kolumn (wierszy) nie zmienia jej rz\k{e}du;

\item dowolna zmiana kolejno\'{s}ci kolumn (wierszy) macierzy nie zmienia jej rz\k{e}du.
\end{itemize}

\begin{example}
Wyznaczymy rz\k{a}d macierzy%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
2 & 3 & -4 & 6\\
0 & 2 & -2 & 4
\end{array}
\right]  .
\]
Stosuj\k{a}c metod\k{e} sprowadzania macierzy do postaci tr\'{o}jk\k{a}tnej
(zob. rozdzia\l \ 5.2.3) mamy:%
\begin{align*}
&  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
2 & 3 & -4 & 6\\
0 & 2 & -2 & 4
\end{array}
\right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}{\scriptsize +}\frac{1}%
{2}{\scriptsize w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}%
\end{array}
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & -3 & 6\\
0 & 2 & -2 & 4
\end{array}
\right] \\
&  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & -3 & 6\\
0 & 2 & -2 & 4
\end{array}
\right]
\begin{array}
[c]{l}%
{\scriptsize w}_{1}{\scriptsize \rightarrow w}_{1}\\
{\scriptsize w}_{2}{\scriptsize \rightarrow w}_{2}\\
{\scriptsize w}_{3}{\scriptsize \rightarrow w}_{3}-\frac{{\scriptsize 2}%
}{{\scriptsize 3}}{\scriptsize w}_{2}%
\end{array}
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & -3 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  .
\end{align*}
Poniewa\.{z} tylko dwa pierwsze wiersze ostatniej macierzy s\k{a} liniowo
niezale\.{z}ne, zatem $\operatorname*{rank}\left(  A\right)  =2$.
\end{example}

\begin{theorem}
\textit{Rz\k{a}d macierzy }$A$\textit{ r\'{o}wny jest najwi\k{e}kszemu
stopniowi (wymiarowi) niezerowego minora macierzy }$A$.
\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie macierz%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
-4 & 0 & 2 & 0\\
2 & 3 & -4 & 6\\
0 & 2 & -2 & 4
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $A\in\mathbb{R}^{3\times4}$ zatem $\operatorname*{rank}\left(
A\right)  \leq3$. Poniewa\.{z}%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
-4 & 0 & 2\\
2 & 3 & -4\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert =0,\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
-4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 6\\
0 & 2 & 4
\end{array}
\right\vert =0,\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
-4 & 2 & 0\\
2 & -4 & 6\\
0 & -2 & 4
\end{array}
\right\vert =0,\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 2 & 0\\
3 & -4 & 6\\
2 & -2 & 4
\end{array}
\right\vert =0
\]
zatem $\operatorname*{rank}\left(  A\right)  \leq2.$ Poniewa\.{z}
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
-4 & 0\\
2 & 3
\end{array}
\right\vert =-12\neq0
\]
zatem $\operatorname*{rank}\left(  A\right)  =2.$
\end{example}



\end{document}