\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{37}
\setcounter{chapter}{5}
\sloppy



\chapter{R\'{o}wnania liniowe}

\section{Przekszta\l cenia liniowe}

Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} dwiema niepustymi rzeczywistymi przestrzeniami wektorowymi.

\begin{definition}
Funkcj\k{e} $f:X\rightarrow Y$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki:

\begin{description}
\item[a)] dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X:f\left(  x_{1}+x_{2}\right)
=f\left(  x_{1}\right)  +f\left(  x_{2}\right)  ;$

\item[b)] dla dowolnych $x\in X,\alpha\in\mathbb{R}$ $:$ $f\left(  \alpha
x\right)  =\alpha f\left(  x\right)  $
\end{description}
nazywamy \textcolor{blue}{przekszta\l ceniem liniowym}.
\end{definition}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wymiary przestrzeni $X$ oraz $Y$ s\k{a}
sko\'{n}czone; niech $\dim X=n$ oraz $\dim Y=m.$ Przyjmijmy, \.{z}e wektory
$e_{1},\ldots,e_{n}$ stanowi\k{a} baz\k{e} przestrzeni $X$, a wektory
$\tilde{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{m}$ baz\k{e} przestrzeni $Y$. Z odwzorowaniem
liniowym $f:X\rightarrow Y$ mo\.{z}emy w\'{o}wczas stowarzyszy\'{c} macierz
$A_{f}=\left[  a_{ij}\right]_{m\times n},$ kt\'{o}rej
$i$--t\k{a} kolumn\k{e} $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $ tworz\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne wektora $f\left(  e_{i}\right)  $ wyra\.{z}onego jako
kombinacja liniowa wektor\'{o}w bazowych przestrzeni $Y$:%
\[%
\begin{array}
[c]{cll}%
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  e_{1}\right)  =a_{11}\tilde{e}_{1}+a_{21}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{m1}\tilde{e}_{m}\\
f\left(  e_{2}\right)  =a_{12}\tilde{e}_{1}+a_{22}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{m2}\tilde{e}_{m}\\
\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\
f\left(  e_n\right)  =a_{1n}\tilde{e}_{1}+a_{2n}\tilde{e}_{2}+\cdots
+a_{mn}\tilde{e}_{m}%
\end{array}
& \rightsquigarrow & A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}%
\end{array}
\right]  .
\end{array}
\]


\begin{example}
Rozwa\.{z}my odwzorowanie liniowe $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$
okre\'{s}lone wzorem%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left(  x+y-z,2x+z\right)  .
\]
Przyjmuj\k{a}c w przestrzeniach $X$ oraz $Y$ bazy kanoniczne mamy:%
\begin{align*}
f\left(  e_{1}\right)   &  =f\left(  1,0,0\right)  =\left(  1,2\right)
=\tilde{e}_{1}+2\tilde{e}_{2},\\
f\left(  e_{2}\right)   &  =f\left(  0,1,0\right)  =\left(  1,0\right)
=\tilde{e}_{1},\\
f\left(  e_{3}\right)   &  =f\left(  0,0,1\right)  =\left(  -1,1\right)
=-\tilde{e}_{1}+\tilde{e}_{2}.
\end{align*}
Odwzorowanie $f$ jest wi\k{e}c reprezentowane przez macierz
\[
A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ;
\]
innymi s\l owy%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{example}
Niech $F:\Pi_{1}\rightarrow\Pi_{2}$ b\k{e}dzie odwzorowaniem okre\'{s}lonym
wzorem:%
\[
F\left(  f\right)  =\left\{  x\rightarrow2xf\left(  x\right)  -f\left(
x\right)  \right\}  .
\]
\L atwo sprawdzi\'{c}, \.{z}e $F$ jest odwzorowaniem liniowym. Przyjmuj\k{a}c
w przestrzeniach $\Pi_{1}$ oraz $\Pi_{2}$ bazy%
\begin{align*}
\text{w }\Pi_{1}  &  :\text{\quad} e_{1}\left(  x\right)  =1,e_{2}\left(  x\right)  =x\\
\text{w }\Pi_{2}  &  :\text{\quad} \tilde{e}_{1}\left(  x\right)  =1,\tilde{e}_{2}\left(
x\right)  =x,\tilde{e}_{3}\left(  x\right)  =x^{2}%
\end{align*}
mamy:%
\begin{align*}
F\left(  e_{1}\right)   &  =F\left(  1\right)  =2x-1=-\tilde{e}_{1}+2\tilde
{e}_{2},\\
F\left(  e_{2}\right)   &  =F\left(  x\right)  =2x^{2}-x=0\tilde{e}_{1}%
-\tilde{e}_{2}+2\tilde{e}_{3}.
\end{align*}
Przy przyj\k{e}tych bazach, odwzorowanie $F$ reprezentowane jest przez macierz%
\[
A_{F}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-1 & 0\\
2 & -1\\
0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]
Z kolei, przyjmuj\k{a}c w
przestrzeni $\Pi_{1}$ baz\k{e}
\begin{align*}
e_{1}(x)  &  =x+1,\\
e_{2}(x)  &  =x-1,
\end{align*}
a w przestrzeni $\Pi_{2}$ baz\k{e}
\begin{align*}
\tilde{e}_{1}(x)  &  =x-1,\\
\tilde{e}_{2}(x)  &  =x+1,\\
\tilde{e}_{3}(x)  &  =x^{2},
\end{align*}
mamy%
\begin{align*}
F\left(  e_{1}\right)   &  =F\left(  x+1\right)  =2x\left(  x+1\right)
-\left(  x+1\right)  =2x^{2}+x-1=\tilde{e}_{1}+2\tilde{e}_{3},\\
F\left(  e_{2}\right)   &  =F\left(  x-1\right)  =2x\left(  x-1\right)
-\left(  x-1\right)  =2x^{2}-3x+1=-2\tilde{e}_{1}-%
\tilde{e}_{2}+2\tilde{e}_{3}.
\end{align*}
Tym razem odwzorowanie $F$ jest reprezentowane przez macierz%
\[
A_{F}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -2\\
0 & -1\\
2 & 2
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

Z powy\.{z}szego przyk\l adu wynika, \.{z}e
\textcolor{blue}{posta\'{c} macierzy
reprezentuj\k{a}cej \linebreak odwzorowanie liniowe $f:X\rightarrow
Y$ zale\.{z}y od wyboru baz w przestrzeniach $X,Y$}.

\section{J\k{a}dro i obraz odwzorowania liniowego}

Niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym, a $V\subset X$ i
$W\subset Y$ dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi. \L atwo sprawdzi\'{c}
(\'{c}wiczenie), \.{z}e zbiory%
\begin{align*}
f\left(  V\right)   &  =\left\{  y\in Y:\exists x\in V:y=f\left(  x\right)
\right\}  ,\\
f^{-1}\left(  W\right)   &  =\left\{  x\in X:\exists y\in W:y=f\left(
x\right)  \right\}
\end{align*}
z dzia\l aniami indukowanymi z przestrzeni $X$ oraz $Y$, s\k{a}
podprzestrzeniami \linebreak liniowymi, odpowiednio, przestrzeni $X$ oraz $Y$.

\begin{definition}
Zbi\'{o}r $\ker f=f^{-1}\left(  \left\{  0\right\}  \right)  $ nazywamy
\textcolor{blue}{j\k{a}drem} odwzorowania $f$; \newline zbi\'{o}r $\operatorname{Im}%
f=f\left(  X\right)  $ nazywamy \textcolor{blue}{obrazem} odwzorowania $f$.
\end{definition}

Z obserwacji poprzedzaj\k{a}cej powy\.{z}sz\k{a} definicj\k{e} wynika, \.{z}e

\begin{itemize}
\item \textit{j\k{a}dro odwzorowania liniowego }$f:X\rightarrow Y$\textit{
jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni }$X;$

\item \textit{obraz odwzorowania liniowego }$f:X\rightarrow Y$\textit{ jest
podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni }$Y$.
\end{itemize}

Przy wyznaczaniu j\k{a}dra oraz obrazu odwzorowania liniowego przydatne bywa
nast\k{e}puj\k{a}ce twierdzenie.

\begin{theorem}
Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} sko\'{n}czenie wymiarowymi przestrzeniami
liniowymi oraz niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym.
W\'{o}wczas%
\begin{equation}
\dim X=\dim\ker f+\dim\operatorname{Im}f. \label{71}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $\dim\ker f=k\ $oraz $\dim X=n$; oczywi\'{s}cie $k\leq n$. Dla $k=n$ mamy $\ker f=X$ oraz $\operatorname{Im}f=\{0\}$. Teza jest wi\k{e}c prawdziwa. 
Przypu\'{s}\'{c}my zatem, \.ze $k<n$ oraz niech wektory $e_{1},\ldots,e_{k}$ tworz\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $\ker f$. Wektory te mo\.{z}emy uzupe\l ni\'{c} o wektory
$e_{k+1},\ldots,e_{n}$ tak, aby $\operatorname*{span}\left\{  e_{1}%
,\ldots,e_{n}\right\}  =X$. Aby wykaza\'{c} r\'{o}wno\'{s}\'{c} (\ref{71})
wystarczy udowodni\'{c}, \.{z}e $\operatorname{Im}f=\operatorname*{span}%
\left\{  f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  \right\}  $ oraz, \.{z}e
wektory $f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $ s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.

Niech $y\in\operatorname{Im}f$. Oznacza to, \.{z}e istnieje $x\in X$ dla
kt\'{o}rego $y=f\left(  x\right)  $. Poniewa\.{z} $x\in X=\operatorname*{span}%
\left\{  e_{1},\ldots,e_{n}\right\}  $ zatem
\begin{align*}
y  &  =f\left(  x\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}+%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right) \\
&  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  +f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}f\left(  e_{i}\right)  ,
\end{align*}
wi\k{e}c $\operatorname{Im}f=\operatorname*{span}\left\{  f(e_{k+1}%
),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  \right\}  $.

Wyka\.{z}emy teraz, \.{z}e wektory $f(e_{k+1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $
s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne. Mamy%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}f\left(  e_{i}\right)  =f\left(
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\right)  =0,
\]
zatem $%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}\in\ker f=\operatorname*{span}\left\{  e_{1},\ldots
,e_{k}\right\}  $. St\k{a}d, istniej\k{a} skalary $\alpha_{1},\ldots
,\alpha_{k}$ dla kt\'{o}rych%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}=%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i},
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=k+1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=k+1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{i}e_{i}=0.
\]
Z liniowej niezale\.{z}no\'{s}ci wektor\'{o}w $e_{1},\ldots,e_{n}$ wynika,
\.{z}e $\alpha_{i}=0$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $.
\end{proof}

Z\ powy\.{z}szego dowodu wynika, \.{z}e $\operatorname{Im}%
f=\operatorname*{span}\left\{  f(e_{1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)
\right\}  ,$ gdzie $e_{1},\ldots,e_{n}$ jest dowoln\k{a} baz\k{a} przestrzeni
$X$. Niech $A_{f}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} odwzorowania $f$ przy ustalonych
bazach przestrzeni $X$ oraz $Y$. Poniewa\.{z} $i$--ta kolumna macierzy $A_{f}$
to wsp\'{o}\l rz\k{e}dne wektora $f\left(  e_{i}\right)  $ w ustalonej bazie
przestrzeni $X$, zatem liczba liniowo niezale\.{z}nych kolumn macierzy $A_{f}$
r\'{o}wna jest liczbie liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w spo\'{s}r\'{o}d
wektor\'{o}w $f(e_{1}),\ldots,f\left(  e_{n}\right)  $.

\begin{theorem}
Niech $X$ oraz $Y$ b\k{e}d\k{a} sko\'{n}czenie wymiarowymi przestrzeniami
liniowymi, niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym oraz
niech $A_{f}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} odwzorowania $f$ (przy dowolnie wybranych bazach
przestrzeni $X$ oraz $Y$). W\'{o}wczas%
\[
\dim\operatorname{Im}f=\operatorname*{rank}\left(  A_{f}\right)  .
\]

\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my ponownie odwzorowanie z przyk\l adu 6.2:%
\[
F:\Pi_{1}\ni f\rightarrow\left\{  x\rightarrow2xf\left(  x\right)  -f\left(
x\right)  \right\}  \in\Pi_{2}.
\]
W\'{o}wczas%
\begin{align*}
\ker F  &  =\left\{  x\rightarrow ax+b:2x\left(  ax+b\right)  -ax-b\equiv
0\right\} \\
&  =\left\{  x\rightarrow ax+b:2ax^{2}+\left(  2b-a\right)  x-b\equiv
0\right\}  =\left\{  0\right\}  .
\end{align*}
Zatem%
\[
2=\dim\Pi_{1}=\dim\ker F+\dim\operatorname{Im}F=0+\dim\operatorname{Im}F.
\]
St\k{a}d $\operatorname{Im}F=\operatorname*{span}\left\{  e_{1},e_{2}\right\}
,$ gdzie
\begin{align*}
e_{1}\left(  x\right)   &  =F\left(  1\right)  =2x-1\\
e_{2}\left(  x\right)   &  =F\left(  x\right)  =2x^{2}-x=x\left(  2x-1\right)
.
\end{align*}
Ostatecznie $\operatorname{Im}F=\Pi_{2}\left(  \frac{1}{2}\right)  .$
\end{example}

\section{Uk\l ady r\'{o}wna\'{n} liniowych}

Rozwa\.{z}my uk\l ad $m$ r\'{o}wna\'{n} liniowych o $n$ niewiadomych
$x_{1},\ldots,x_{n}$:%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}%
\end{array}
\right.  , \label{72}%
\end{equation}
$a_{ij},b_{i}\in\mathbb{F}$ dla $1\leq i\leq m,1\leq j\leq n;$ $\mathbb{F}%
=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}$. W przypadku, gdy $b_{1}=\cdots
=b_{m}=0$ uk\l ad (\ref{72}) nazywamy \textcolor{blue}{uk\l adem jednorodnym}.
Przyjmuj\k{a}c oznaczenia:%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{llll}%
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}%
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}b=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}%
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}x=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{m}%
\end{array}
\right]
\]
uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci
macierzowej:%
\begin{equation}
Ax=b. \label{73}%
\end{equation}


\subsection{Twierdzenie Cramera}

W przypadku, gdy liczba r\'{o}wna\'{n} uk\l adu (\ref{72}) jest r\'{o}wna
liczbie niewiadomych, macierz $A$ jest macierz\k{a} kwadratow\k{a}. Je\.{z}eli
jest to macierz nieosobliwa to uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) nazywamy
\textcolor{blue}{uk\l adem Cramera}. Rozwi\k{a}zanie r\'{o}wnania (\ref{73})
-- a wi\k{e}c i uk\l adu (\ref{72}) -- mo\.{z}na w\'{o}wczas prosto
wyliczy\'{c} wykorzystuj\k{a}c macierz $A^{-1}$:%
\[
x=A^{-1}b.
\]
Rozwi\k{a}zanie uk\l adu r\'{o}wna\'{n} (\ref{72}) mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z}
wyrazi\'{c} stosuj\k{a}c \textcolor{blue}{wzory Cramera}.

\begin{theorem}
[Cramer]Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$, $b\in\mathbb{F}^{n}$. Je\.{z}eli
macierz $A$ jest nieosobliwa, to uk\l ad r\'{o}wna\'{n} (\ref{73}) posiada
dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie $x=\left(  x_{1},\ldots
,x_{n}\right)  $:%
\begin{equation}
x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A}\text{\qquad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  ,
\label{74}%
\end{equation}
macierz $A_{i}$ oznacza macierz powsta\l \k{a} z macierzy $A$ przez
zast\k{a}pienie jej $i$--tej kolumny wektorem $b$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $a_{\cdot i}$ oraz $I_{\cdot i}$ oznaczaj\k{a} $i$--te kolumny
odpowiednio macierzy $A$ oraz macierzy jednostkowej $I_{n}$. W\'{o}wczas%
\begin{align*}
\frac{\det A_{i}}{\det A}  &  =\frac{\det\left[  a_{\cdot1},a_{\cdot
2},\ldots,a_{\cdot i-1},b,a_{\cdot i+1},\ldots,a_{\cdot n}\right]  }{\det A}\\
&  =\det\left(  A^{-1}\left[  a_{\cdot1},a_{\cdot2},\ldots,a_{\cdot
i-1},b,a_{\cdot i+1},\ldots,a_{\cdot n}\right]  \right) \\
&  =\det\left[  A^{-1}a_{\cdot1},A^{-1}a_{\cdot2},\ldots,A^{-1}a_{\cdot
i-1},A^{-1}b,A^{-1}a_{\cdot i+1},\ldots,A^{-1}a_{\cdot n}\right] \\
&  =\det\left[  I_{\cdot1},I_{\cdot2},\ldots,I_{\cdot i-1},x,I_{\cdot
i+1},\ldots,I_{\cdot n}\right]  =x_{i}.
\end{align*}

\end{proof}

\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e uk\l ad r\'{o}wna\'{n} jednorodnych ma zawsze
przynajmniej jedno rozwi\k{a}zanie (jakie?). Z twierdzenia Cramera wynika
natomiast, \.{z}e je\.{z}eli jednorodny uk\l ad r\'{o}wna\'{n} liniowych jest
uk\l adem Cramera, to rozwi\k{a}zanie to jest jego jedynym rozwi\k{a}zaniem.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y-z=1\\
2x+y-2z=0\\
x-y+2z=2
\end{array}
\right.  .
\]
Mamy%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 1 & -2\\
1 & -1 & 2
\end{array}
\right]  \text{\quad oraz\quad}b=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
0\\
2
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\det A=-3$ zatem jest to uk\l ad Cramera, kt\'{o}rego
rozwi\k{a}zanie okre\'{s}la wz\'{o}r (\ref{74}):%
\[
x=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
0 & 1 & -2\\
2 & -1 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=\frac{2}{3},\text{\quad}y=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -2\\
1 & 2 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=2,\text{\quad}z=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{array}
\right\vert }{-3}=\frac{5}{3}.
\]

\end{example}

\subsection{Twierdzenie Kroneckera--Capellego}

Rozwa\.{z}my, jak poprzednio, uk\l ad r\'{o}wna\'{n} liniowych $Ax=b,$ gdzie
$A\in\mathbb{F}^{m\times n}, b\in\mathbb{F}^{m}$. Niech $U\in\mathbb{F}%
^{m\times\left(  n+1\right)  }$ b\k{e}dzie macierz\k{a} powsta\l \k{a} z
macierzy $A$ przez do\l \k{a}czenie do tej ostatniej dodatkowej kolumny --
wektora $b$, tj.%
\[
U=\left[
\begin{array}
[c]{ll}%
\left.
\begin{array}
[c]{llll}%
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}%
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\ldots\\
b_{m}%
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\]
Macierz $U$ nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a} uzupe\l nion\k{a}}. Jest
jasne, \.{z}e $\operatorname*{rank}U\geq\operatorname*{rank}A$. Z postaci
r\'{o}wnania (\ref{72}), kt\'{o}re mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci:%
\[
x_{1}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{11}\\
a_{21}\\
\ldots\\
a_{m1}%
\end{array}
\right]  +x_{2}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{12}\\
a_{22}\\
\ldots\\
a_{m2}%
\end{array}
\right]  +\ldots+x_{n}\left[
\begin{array}
[c]{l}%
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\ldots\\
a_{mn}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
b_{1}\\
b_{2}\\
\ldots\\
b_{m}%
\end{array}
\right]
\]
wynika, \.{z}e uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $Ax=b$ ma rozwi\k{a}zanie wtedy i tylko
wtedy, gdy wektor $b$ jest kombinacj\k{a} liniow\k{a} kolumn macierzy $A$.
Warunek ten mo\.{z}emy r\'{o}wnowa\.{z}nie wyrazi\'{c} jako
r\'{o}wno\'{s}\'{c} $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U$.

\begin{theorem}
[Kroneckera-Capellego]Uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $Ax=b,$ gdzie $A\in
\mathbb{F}^{m\times n},$\linebreak $b\in\mathbb{F}^{m}$, ma rozwi\k{a}zanie wtedy i tylko
wtedy, gdy $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U.$ Ponadto:

\begin{itemize}
\item je\.{z}eli $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=n$ ($n$-- liczba
niewiadomych) to rozwi\k{a}zanie to jest jedyne;

\item je\.{z}eli $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=r<n$ to
rozwi\k{a}za\'{n} jest niesko\'{n}czenie wiele; wszystkie one daj\k{a} si\k{e}
wyrazi\'{c} jako funkcja zale\.{z}na od $n-r$ parametr\'{o}w.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my uk\l ad r\'{o}wna\'{n}:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.  .
\]
Mamy $n=3$ oraz%
\[
U=\left[  A|b\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & -1 & 2\\
1 & -2 & 1
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-1\\
-2
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\]
Rz\k{e}dy macierzy $A$ oraz $U$ wyznaczymy korzystaj\k{a}c z metody eliminacji
Gaussa:%
\begin{align*}
\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
2 & -1 & 2\\
1 & -2 & 1
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-1\\
-2
\end{array}
\end{array}
\right]   &  =\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
0 & -3 & 0\\
0 & -3 & 0
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-3\\
-3
\end{array}
\end{array}
\right] \\
&  =\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{lc}%
\left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
0 & -3 & 0
\end{array}
\right\vert  &
\begin{array}
[c]{l}%
1\\
-3
\end{array}
\end{array}
\right]  .
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e $\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}U=2.$ Z
twierdzenia 6.4 wynika wi\k{e}c, \.{z}e rozwa\.{z}any uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
posiada niesko\'{n}czenie wiele rozwi\k{a}za\'{n} zale\.{z}nych od jednego
$(n-\operatorname*{rank}A)$ parametru. Wyznaczymy te rozwi\k{a}zania.\newline%
\textbf{Spos\'{o}b 1.} Maj\k{a}c wyj\'{s}ciowy uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
sprowadzony do postaci tr\'{o}jk\k{a}tnej, poszukiwane rozwi\k{a}zanie
wyznaczymy metod\k{a} \textit{systematycznego rugowania}:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.  \Leftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
-3y=-3
\end{array}
\right.  \Leftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=-t\\
y=1\\
z=t
\end{array}
,\text{\quad}t\in\mathbb{R}\right.  .
\]
\newline\textbf{Spos\'{o}b 2.} Skoro $\operatorname*{rank}A=2$ to macierz $A$
zawiera nieosobliw\k{a} podmacierz stopnia $2$; odnajdujemy t\k{e} macierz w
rozwi\k{a}zywanym uk\l adzie r\'{o}wna\'{n}. R\'{o}wnania, kt\'{o}re nie
wchodz\k{a} w sk\l ad tej macierzy odrzucamy, z kolei niewiadome, kt\'{o}rych
wybrana podmacierz nie obejmuje, przerzucamy na drug\k{a} stron\k{e}
r\'{o}wnania i traktujemy jako parametry. Uk\l ad r\'{o}wna\'{n}, jaki w ten
spos\'{o}b otrzymujemy, jest uk\l adem Cramera -- do jego rozwi\k{a}zania
stosujemy wzory (\ref{74}).

W naszym przypadku, poniewa\.{z}%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
2 & -1
\end{array}
\right\vert =-3\neq0,
\]
zatem uk\l ady r\'{o}wna\'{n}
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y+z=1\\
2x-y+2z=-1\\
x-2y+z=-2
\end{array}
\right.
\]
oraz
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
x+y=1-z\\
2x-y=-1-2z
\end{array}
\right.
\]
s\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}ne (maj\k{a} te same rozwi\k{a}zania). Stosuj\k{a}c do
tego ostatniego uk\l adu wzory (\ref{74}), mamy:%
\[
x=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
1-z & 1\\
-1-2z & -1
\end{array}
\right\vert }{-3}=-z,\text{\quad}y=\frac{\left\vert
\begin{array}
[c]{ll}%
1 & 1-z\\
2 & -1-2z
\end{array}
\right\vert }{-3}=1,\text{\qquad}z\in\mathbb{R}.
\]

\end{example}
\section{Metoda eliminacji Gaussa}
Przedstawiony poni\.zej spos\'ob rozwi\k{a}zywania uk\l ad\'ow
r\'owna\'n liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
metod\k{a} eliminacji Gaussa. Metoda ta, niezwykle efektywna pod wzgl\k{e}dem
numerycznym (nie istnieje algorytm rozwi\k{a}zywania uk\l ad\'ow
r\'owna\'n wymagaj\k{a}cy istotnie mniejszej liczby dzia\l a\'n ni\.z
metoda eliminacji Gaussa), polega na sprowadzeniu macierzy uzupe\l nionej
odpowiadaj\k{a}cej rozwi\k{a}zywanemu uk\l adowi r\'owna\'n do
uog\'olnionej postaci tr\'ojk\k{a}tnej (nazywanej r\'ownie\.z
postaci\k{a} schodkow\k{a}). Aby osi\k{a}gn\k{a}\'c ten efekt, na macierzy
uzupe\l nionej wykonujemy dwa rodzaje operacji:
\begin{itemize}
\item dodajemy do wybranego wiersza sumy pozosta\l ych wierszy pomno\.zonych
przez odpowiednio dobrane sta\l e;
\item zamieniamy kolejno\'s\'c wierszy.
\end{itemize}
Do uzyskanej w ten spos\'ob macierzy stosujemy twierdzenie Kroneckera--Capellego. Warto przypomnie\'c w tym miejscu, \.ze pierwsza z wymienionych powy\.zej
operacji nie zmienia warto\'sci wyznacznika, druga mo\.ze
zmieni\'c jedynie jego znak. W efekcie, metoda eliminacji Gaussa mo\.ze
by\'c r\'ownie\.z stosowana do obliczania rz\k{e}du i wyznacznika macierzy oraz do
wyznaczania macierzy odwrotnej. Ide\k{e} metody eliminacji Gaussa
wyja\'snimy na kilku przyk\l adach.

\begin{example}[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu oznaczonego]
Celem naszym jest rozwi\k{a}zanie
uk\l adu r\'owna\'n%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y+z+w=0\\
-x-2y-z+w=1\\
x+y-2z-3w=2\\
4x-2y+4w=2
\end{array}
\right.  .\label{u4}%
\end{equation}
Macierz uzupe\l niona $U$ rozwa\.zanego uk\l adu ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa wykorzystujemy pierwszy wiersz,
nazywany \textbf{wierszem g\l \'ownym dla pierwszego kroku. }Post\k{e}pujemy
w spos\'ob nast\k{e}puj\k{a}cy:\textbf{ }do drugiego wiersza dodajemy
pierwszy pomno\.zony przez $\frac{1}{2};$ do trzeciego pomno\.zony przez
$-\frac{1}{2};$ do czwartego pomno\.zony przez $-2$. Liczb\k{e} $2$ --
pierwszy niezerowy element wiersza g\l \'ownego nazywamy \textbf{elementem
g\l \'ownym dla pierwszego kroku}. Otrzymujemy%
\[
\begin{aligned}
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  &\rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+\frac{1}{2}w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}-\frac{1}{2}w_{1}\\
w_{4}\rightarrow w_{4}-2w_{1}%
\end{array}
\right. \rightarrow\\  &\rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{7}{2}\\
0 & -4 & -2 & 2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  .
\end{aligned}
\]
W kolejnym kroku, wierszem g\l \'ownym jest wiersz drugi nazywany
\textbf{wierszem g\l \'ownym dla drugiego kroku}; elementem g\l \'ownym
dla drugiego kroku jest $-\frac{3}{2}$. Post\k{e}pujemy analogicznie jak w
kroku pierwszym: do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony
przez $\frac{1}{3};$ do wiersza czwartego pomno\.zony przez $-\frac{8}{3}$.
Otrzymujemy:%
\[
\begin{aligned}
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{7}{2}\\
0 & -4 & -2 & 2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
2\\
2
\end{array}
\right)  &\rightarrow \left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+\frac{1}{3}w_{2}\\
w_{4}\rightarrow w_{4}-\frac{8}{3}w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow \\ &\rightarrow \left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & -\frac{2}{3} & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
\frac{7}{3}\\
-\frac{2}{3}%
\end{array}
\right)  .
\end{aligned}
\]
W ostatnim, trzecim kroku wierszem g\l \'ownym jest wiersz trzeci --
\textbf{wiersz g\l \'owny dla kroku trzeciego}; elementem g\l \'ownym jest
$-\frac{8}{3}$. Mno\.z\k{a}c trzeci wiersz przez $-\frac{1}{4}$ i
dodaj\k{a}c do wiersza czwartego otrzymujemy:%
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & -\frac{2}{3} & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
\frac{7}{3}\\
-\frac{2}{3}%
\end{array}
\right)  &\rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}\\
w_{4}\rightarrow w_{4}-\frac{1}{4}w_{3}%
\end{array}
\right.  \rightarrow \\ &\rightarrow \left(  \left.
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & 0 & -\frac{5}{4}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1\\
\frac{7}{3}\\
-\frac{5}{4}%
\end{array}
\right)  .\label{u5}%
\end{aligned}
\end{equation}
Uzyskana w ten spos\'ob macierz schodkowa jest macierz\k{a}
uzupe\l nion\k{a} uk\l adu r\'owna\'n posiadaj\k{a}cego te same
rozwi\k{a}zania, co wyj\'sciowy uk\l ad:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+y+z+w=0\\
-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}w=1\\
-\frac{8}{3}z-3w=\frac{7}{3}\\
-\frac{5}{4}w=-\frac{5}{4}%
\end{array}
\right.  .
\]
Z postaci macierzy wida\'c r\'ownie\.z, \.ze uk\l ad ten posiada
dok\l adnie jedno rozwi\k{a}zanie. Wyznaczamy je rozwi\k{a}zuj\k{a}c otrzymany
uk\l ad r\'owna\'n w kolejno\'sci od ostatniego r\'ownania do
pierwszego. Uzyskujemy kolejno: \[w=1,z=-2,y=1,x=0.\]

Warto zanotowa\'c, \.ze operacje jakie wykonywali\'smy na macierzy
wyj\'sciowego uk\l adu r\'owna\'n (\ref{u4}), aby sprowadzi\'c j\k{a}
do postaci tr\'ojk\k{a}tnej (\ref{u5}) nie zmieni\l y jej wyznacznika.
Poniewa\.z wyznacznik macierzy tr\'ojk\k{a}tnej r\'owny jest iloczynowi
wyraz\'ow z przek\k{a}tnej mamy%
\[
\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -1 & 1\\
1 & 1 & -2 & -3\\
4 & -2 & 0 & 4
\end{array}
\right\vert =\left\vert
\begin{array}
[c]{cccc}%
2 & 1 & 1 & 1\\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & -3\\
0 & 0 & 0 & -\frac{5}{4}%
\end{array}
\right\vert =2\cdot\left(  -\frac{3}{2}\right)  \cdot\left(  -\frac{8}%
{3}\right)  \cdot\left(  -\frac{5}{4}\right)  =-10\text{.}%
\]

\end{example}
\begin{example}[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu nieoznaczonego]
Rozwa\.zmy uk\l ad r\'owna\'n%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+3y-4z=6\\
-4x+2z=0\\
2y-2z=4
\end{array}
\right.  .
\]
Macierz uzupe\l niona tego uk\l adu ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
-4 & 0 & 2\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
0\\
4
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa do wiersza drugiego dodajemy wiersz
pierwszy pomno\.zony przez $2$; wiersz trzeci natomiast przepisujemy bez
zmian:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
-4 & 0 & 2\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
0\\
4
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+2w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
4
\end{array}
\right)  .
\]
W kroku drugim, do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony przez
$-\frac{1}{3}:$%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 2 & -2
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
4
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}-\frac{1}{3}w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 3 & -4\\
0 & 6 & -6\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
6\\
12\\
0
\end{array}
\right)  .
\]
\l atwo teraz stwierdzi\'c, korzystaj\k{a}c z twierdzenia Kroneckera --
Capellego, \.ze rozwa\.zany uk\l ad r\'owna\'n jest nieoznaczony
(posiada niesko\'nczenie wiele rozwi\k{a}za\'n). Jest on
r\'ownowa\.zny uk\l adowi%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
2x+3y-4z=6\\
6y-6z=12
\end{array}
\right.  ,
\]
kt\'orego rozwi\k{a}zania, r\'owne rozwi\k{a}zaniom wyj\'sciowego
uk\l adu, maj\k{a} posta\'c \[x=t,y=2+2t,z=2t,\] gdzie $t\in\mathbb{R}$ jest
dowolnym parametrem.
\end{example}
\begin{example}[rozwi\k{a}zywanie uk\l adu sprzecznego]Rozwa\.zmy uk\l ad r\'owna\'n%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
5x-2y-z=1\\
-2x+2y-2z=2\\
-x-2y+5z=1
\end{array}
\right.  ,
\]
dla kt\'orego macierz uzupe\l niona $U$ ma posta\'c%
\[
U=\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
-2 & 2 & -2\\
-1 & -2 & 5
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
2\\
1
\end{array}
\right)  .
\]
W pierwszym kroku metody eliminacji Gaussa do wiersza drugiego dodajemy wiersz
pierwszy pomno\.zony przez $\frac{2}{5}$; do wiersza trzeciego pomno\.zony
przez $\frac{1}{5}$:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
-2 & 2 & -2\\
-1 & -2 & 5
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
2\\
1
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}+\frac{2}{5}w_{1}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+\frac{1}{5}w_{1}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & -\frac{12}{5} & \frac{24}{5}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
\frac{6}{5}%
\end{array}
\right)  .
\]
W drugim kroku do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomno\.zony przez
$2$:%
\[
\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & -\frac{12}{5} & \frac{24}{5}%
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
\frac{6}{5}%
\end{array}
\right)  \rightarrow\left\vert
\begin{array}
[c]{l}%
w_{1}\rightarrow w_{1}\\
w_{2}\rightarrow w_{2}\\
w_{3}\rightarrow w_{3}+2w_{2}%
\end{array}
\right.  \rightarrow\left(  \left.
\begin{array}
[c]{ccc}%
5 & -2 & -1\\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{12}{5}\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right\vert
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{12}{5}\\
6
\end{array}
\right)  .
\]
Na podstawie twierdzenia Kroneckera -- Capellego stwierdzamy, \.ze otrzymany
uk\l ad r\'owna\'n jest sprzeczny. Oznacza to, \.ze i wyj\'sciowy
uk\l ad r\'owna\'n nie posiada rozwi\k{a}za\'n.
\end{example}


\end{document}