\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{47}
\setcounter{chapter}{6}
\sloppy

\chapter{Warto\'{s}ci i wektory w\l asne}

Niech $X$ b\k{e}dzie sko\'{n}czenie wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a}
nad cia\l em $\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$. Niech $f:X\rightarrow X$
b\k{e}dzie \textcolor{blue}{endomorfizmem}, tj. odwzorowaniem liniowym
przekszta\l caj\k{a}cym przestrze\'{n} liniow\k{a} w ni\k{a} sam\k{a}.

\begin{definition}
Skalar $\lambda\in\mathbb{F}$ nazywamy
\textcolor{blue}{warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a}} endomorfizmu $f$ je\.{z}eli
istnieje niezerowy wektor $v\in X$, taki \.{z}e%
\begin{equation}
f\left(  v\right)  =\lambda v; \label{8.1}%
\end{equation}
wektor $v$ nazywamy \textcolor{blue}{wektorem w\l asnym} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Zachodzi nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Dla endomorfizmu $f:X\rightarrow X$ nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a}
r\'{o}wnowa\.{z}ne:

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\lambda$ jest warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} $f$;

\item[(b)] $\ker\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\nolimits_{X}\right)
\neq\left\{  0\right\}  ;$

\item[(c)] $\det\left(  A_{f}-\lambda I\right)  =0,$ gdzie $A_{f}$ jest
macierz\k{a} endomorfizmu $f$ (w dowolnej bazie przestrzeni $X$).
\end{enumerate}
\end{theorem}

Poniewa\.z ka\.zda macierz kwadratowa $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ wyznacza naturalny endomorfizm $$f:\mathbb{F}^n\ni v\rightarrow f(v)=Av\in\mathbb{F}^n,$$ zatem poj\k{e}cia warto\'{s}ci w\l asnej oraz wektora w\l asnego w spos\'{o}b
naturalny przenosz\k{a} si\k{e} na macierze.

\begin{definition}
Skalar $\lambda\in\mathbb{F}$ nazywamy
\textcolor{blue}{warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a}} macierzy $A\in\mathbb{F}%
^{n\times n}$ je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v\in\mathbb{F}^{n}$, taki
\.{z}e%
\[
Av=\lambda v;
\]
wektor $v$ nazywamy \textcolor{blue}{wektorem w\l asnym} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Zbi\'{o}r wszystkich warto\'{s}ci w\l asnych macierzy $A$ oznaczamy
$\sigma\left(  A\right)  $ i nazywamy\linebreak\textcolor{blue}{widmem}
macierzy $A$.

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce twierdzenie.

\begin{theorem}
\textit{Dla macierzy }$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ \textit{nast\k{e}puj\k{a}ce
warunki s\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}ne:}

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\lambda$\textit{ jest warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} }%
$A$\textit{;}

\item[(b)] uk\l ad r\'{o}wna\'{n} $\left(  A-\lambda I\right)  v=0$ ma
niezerowe rozwi\k{a}zanie;

\item[(c)] $\det\left(  A-\lambda I\right)  =0$\textit{.}
\end{enumerate}
\end{theorem}

Dla dowolnej macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ odwzorowanie $\varphi
_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda I\right)  $ jest wielo-
mianem stopnia $n$ (\'{c}wiczenie), kt\'{o}rego pierwiastkami s\k{a}
warto\'{s}ci w\l asne macierzy $A$. Wielomian $\varphi_{A}$ nazywamy
\textcolor{blue}{wielomianem charakterystycznym} macierzy $A$.

\begin{remark}
Je\.{z}eli elementy macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$\textit{
nale\.{z}\k{a} do cia\l a }$\mathbb{F},$\textit{ kt\'{o}re jest \linebreak%
\textcolor{blue}{algebraicznie domkni\k{e}te} (tzn. ka\.{z}dy wielomian
stopnia }$n$\textit{ o wsp\'{o}\l czynnikach z cia\l a }$\mathbb{F}$\textit{
ma }$n$\textit{ pierwiastk\'{o}w w ciele }$\mathbb{F}$\textit{) to macierz
}$A$\textit{ posiada }$n$\textit{ warto\'{s}ci w\l asnych (liczonych z
krotno\'{s}ciami). Je\.{z}eli natomiast elementy macierzy s\k{a} elementami
cia\l a, kt\'{o}re nie jest algebraicznie domkni\k{e}te (takim cia\l em jest
na przyk\l ad cia\l o liczb rzeczywistych!), to macierz ta mo\.{z}e nie
mie\'{c} warto\'{s}ci w\l asnych (zob. przyk\l ad 7.4 poni\.{z}ej).}
\end{remark}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\sigma\left(
A\right)  $ s\k{a} warto\'{s}ciami w\l asnymi macierzy $A\in\mathbb{F}%
^{n\times n}$. W\'{o}wczas, wielomian charakterystyczny $\varphi_{A}$ macierzy
$A$ mo\.{z}emy zapisa\'{c} w postaci%
\begin{align*}
\varphi_{A}\left(  \lambda\right)   &  =a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda
^{n-1}+\ldots+a_{1}\lambda+a_{0}\\
&  =a_{n}\left(  \lambda-\lambda_{1}\right)  \cdots\left(  \lambda-\lambda
_{n}\right)  .
\end{align*}
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $a_{n}=\left(  -1\right)  ^{n}$ oraz,
uwzgl\k{e}niaj\k{a}c wzory Vi\`{e}te'a,%
\begin{align*}
\lambda_{1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{n}  &  =a_{0}=\det A,\\
\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}  &  =\left(  -1\right)  ^{n+1}a_{n-1}%
=\operatorname*{tr}\left(  A\right)  ,
\end{align*}
gdzie $\operatorname*{tr}\left(  A\right)  =a_{11}+\ldots+a_{nn}$ to
\textcolor{blue}{\'{s}lad} macierzy $A$.

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci widma macierzy }$\left(
A\in\mathbb{F}^{n\times n}\right)  $\textbf{:}

\begin{description}
\item[a)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  ,$\textit{ }$k\in\mathbb{N}%
\Rightarrow\lambda^{k}\in\sigma\left(  A^{k}\right)  ;$

\item[b)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  $\textit{, }$\det A\neq
0\Rightarrow\lambda^{-1}\in\sigma\left(  A^{-1}\right)  ;$

\item[c)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  $\textit{, }$\alpha\in
\mathbb{F}\Rightarrow\alpha\lambda\in\sigma\left(  \alpha A\right)  ;$

\item[d)] $\lambda\in\sigma\left(  A\right)  \Rightarrow\overline{\lambda}%
\in\sigma\left(  A^{\ast}\right)  $\textit{ (w szczeg\'{o}lno\'{s}ci:
}$\lambda\in\sigma\left(  A\right)  \Rightarrow\lambda\in\sigma\left(
A^{T}\right)  $\textit{).}
\end{description}

\noindent\textbf{\'{C}wiczenie }Uzasadni\'{c} powy\.{z}sze w\l asno\'{s}ci.

\begin{example}
Wyznaczymy warto\'{s}ci oraz wektory w\l asne macierzy
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0\\
-2 & -2 & -1
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda
I\right)  =-\left(  1-\lambda\right)  \left(  2-\lambda\right)  \left(
1+\lambda\right)  ,$ zatem macierz $A$ ma trzy r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci
w\l asne: $\lambda_{1}=-1,\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=2.$ Dla ka\.{z}dej z nich
wyznaczymy wektor w\l asny:

\begin{itemize}
\item dla $\lambda_{1}=-1\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 2 & 0\\
0 & 3 & 0\\
-2 & -2 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2x+2y\\
3y\\
-2x-2y
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  0,0,t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{1}}=\left(
0,0,1\right)^T  ;$

\item dla $\lambda_{2}=1\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-2 & -2 & -2
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2y\\
y\\
-2x-2y-2z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  t,0,-t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{2}}=\left(
1,0,-1\right)^T  ;$

\item dla $\lambda_{3}=2\ $mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0\\
-2 & -2 & -3
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
-x+2y\\
0\\
-2x-2y-3z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
sk\k{a}d otrzymujemy $\left(  x,y,z\right)  =\left(  2t,t,-2t\right)  ,$
$t\in\mathbb{R}$; przyk\l adowy wektor w\l asny $v_{\lambda_{3}}=\left(
2,1,-2\right)^T  .$
\end{itemize}
\end{example}

\section{Twierdzenie Cayleya-Hamiltona}

Rozwa\.{z}my macierz kwadratow\k{a} $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ oraz
wielomian $w$ postaci%
\[
w\left(  s\right)  =a_{m}s^{m}+\ldots+a_{1}s+a_{0}.
\]
Mo\.{z}emy w\'{o}wczas utworzy\'{c} macierz $w\left(  A\right)  $
okre\'{s}lon\k{a} jako%
\[
w\left(  A\right)  =a_{m}A^{m}+\ldots+a_{1}A+a_{0}I_{n}.
\]


\begin{definition}
[wielomian zeruj\k{a}cy]Je\.{z}eli $w\left(  A\right)  =0_{n}$ to wielomian
$w$ nazywamy wielomianem zeruj\k{a}cym (wielomianem anuluj\k{a}cym) macierzy
$A$.
\end{definition}

Pytanie jakie mo\.{z}e si\k{e} nasun\k{a}\'{c} jest nast\k{e}puj\k{a}ce -- czy
dla ka\.{z}dej macierzy istnieje wielomian zeruj\k{a}cy? Odpowied\'{z} jest
zawarta w poni\.{z}szym twierdzeniu.

\begin{theorem}
[Cayley--Hamilton]Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej jest jej
wielomianem zeruj\k{a}cym.
\end{theorem}
\begin{example}
[odwracanie macierzy]Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\[
A=\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
2 & 0 & 0
\end{array}
\right)  .
\]
Jej wielomian charakterystyczny ma posta\'{c}%
\[
\varphi\left(  \lambda\right)  =\left\vert
\begin{array}
[c]{ccc}%
1-\lambda & 2 & -1\\
-2 & -\lambda & 3\\
2 & 0 & -\lambda
\end{array}
\right\vert =-\lambda^{3}+\lambda^{2}-6\lambda+12.
\]
Poniewa\.{z} $\varphi\left(  0\right)  =12\neq0$ zatem macierz $A$ jest
nieosobliwa. Wyznaczymy teraz jej odwrotno\'{s}\'{c}. Na podstawie twierdzenie
Cayleya--Hamiltona mo\.{z}emy napisa\'{c}%
\[
-A^{3}+A^{2}-6A+12I_{3}=0_{3}%
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
\frac{1}{12}A\left(  A^{2}-A+6I_{3}\right)  =I_{3}.
\]
Oznacza to, na podstawie definicji macierzy odwrotnej, \.{z}e
\begin{align*}
A^{-1}  & =\frac{1}{12}\left(  A^{2}-A+6I_{3}\right)  =\frac{1}{12}\left(
\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
-5 & 2 & 5\\
4 & -4 & 2\\
2 & 4 & -2
\end{array}
\right)  -\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 2 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
2 & 0 & 0
\end{array}
\right)  +\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
6 & 0 & 0\\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 6
\end{array}
\right)  \right)  \\
& =\frac{1}{12}\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 6\\
6 & 2 & -1\\
0 & 4 & 4
\end{array}
\right)  .
\end{align*}

\end{example}



\section{Podprzestrze\'{n} w\l asna}

Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ oraz niech $\lambda\in\sigma\left(
A\right)  .$ Zbi\'{o}r
\[
V_{\lambda}=\left\{  v\in\mathbb{F}^{n}:Av=\lambda v\right\}
\]
sk\l ada si\k{e} z \textbf{0} oraz wszystkich wektor\'{o}w w\l asnych
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$. Poniewa\.{z}
$V_{\lambda}=\ker\left\{  x\rightarrow\left(  A-\lambda I\right)  x\right\}  $
zatem zbi\'{o}r ten -- jako j\k{a}dro endomorfizmu -- jest podprzestrzeni\k{a}
liniow\k{a} przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$; jest to tak zwana
\textcolor{blue}{podprzestrze\'{n} w\l asna} macierzy $A$ (ew.
podprzestrze\'{n} w\l asna endomorfizmu wyznaczonego przez macierz $A$)
odpowiadaj\k{a}ca warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.

\begin{example}
Poniewa\.{z} macierz z przyk\l adu 7.1 ma trzy r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci
w\l asne, zatem mo\.{z}emy dla niej wyznaczy\'{c} trzy podprzestrzenie
w\l asne:%
\begin{align*}
V_{\lambda_{1}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=y=0,z=t,t\in\mathbb{R}\right\}  ;\\
V_{\lambda_{2}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=t,y=0,z=-t,t\in\mathbb{R}\right\}  ;\\
V_{\lambda_{3}}  &  =\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}%
^{3}:x=2t,y=t,z=-2t,t\in\mathbb{R}\right\}  .
\end{align*}

\end{example}

\bigskip\noindent Udowodnimy teraz twierdzenie, z kt\'{o}rego wynika bardzo
wa\.{z}na w\l asno\'{s}\'{c} podprzestrzeni w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych
r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym.

\begin{theorem}
R\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym macierzy $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$
odpowiadaj\k{a} liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne.
\end{theorem}

\begin{proof}
Niech $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ $\left(  k\leq n\right)  $ b\k{e}d\k{a}
r\'{o}\.{z}nymi warto\'{s}ciami w\l asnymi macierzy $A,$ a $v_{i}\in
V_{\lambda_{i}}$ $\left(  i=1,\ldots,k\right)  $ odpowiadaj\k{a}cymi im
wektorami w\l asnymi. Nale\.{z}y wykaza\'{c} warunek%
\begin{equation}
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{k}v_{k}=0\Rightarrow\alpha_{1}=\ldots
=\alpha_{k}=0. \label{8.2}%
\end{equation}
Dow\'{o}d poprowadzimy przez indukcj\k{e} wzgl\k{e}dem $k$. Dla $k=1$ teza
zachodzi (wektor zerowy, mimo \.{z}e nale\.{z}y do ka\.{z}dej podprzestrzeni
w\l asnej, nie jest wektorem w\l asnym). Za\l \'{o}\.{z}my, \.{z}e teza
zachodzi dla dowolnych $k-1$ wektor\'{o}w w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych
r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom w\l asnym oraz, dla dowodu nie wprost,
przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e warunek (\ref{8.2}) nie jest spe\l niony. Oznacza to,
\.{z}e dla pewnego $i\in\left\{  1,\ldots,k\right\}  :$%
\[
\alpha_{1}v_{1}+\ldots+\alpha_{k}v_{k}=0\text{\quad oraz\quad}\alpha_{i}%
\neq0.
\]
Dla dowolnego $r\neq i$ mamy%
\begin{align*}
0 =  &  \left(  A-\lambda_{r}I\right)  \left(  \alpha_{1}v_{1}+\ldots
+\alpha_{k}v_{k}\right)  =\alpha_{1}\left(  A-\lambda_{r}I\right)
v_{1}+\ldots+\alpha_{k}\left(  A-\lambda_{r}I\right)  v_{k}=\\
=  &  \alpha_{1}\left(  \lambda_{1}-\lambda_{r}\right)  v_{1}+\ldots
+\alpha_{r-1}\left(  \lambda_{r-1}-\lambda_{r}\right)  v_{r-1}+\alpha
_{r+1}\left(  \lambda_{r+1}-\lambda_{r}\right)  v_{r+1}+\\
&  +\ldots+\alpha_{k}\left(  \lambda_{k}-\lambda_{r}\right)  v_{k}%
\end{align*}
sk\k{a}d, na podstawie za\l o\.{z}enia indukcyjnego, wynika, \.{z}e wszystkie
wsp\'{o}\l czynniki $\alpha_{m}\left(  \lambda_{m}-\lambda_{r}\right)
\ $s\k{a} zerami; w szczeg\'{o}lno\'{s}ci $\alpha_{i}\left(  \lambda
_{i}-\lambda_{r}\right)  =0.$ Poniewa\.{z} $\lambda_{i}\neq\lambda_{r},$ zatem
$\alpha_{i}=0$, wbrew za\l o\.{z}eniu.
\end{proof}

\section{Diagonalizowalno\'{s}\'{c}}

Niech $f:X\rightarrow X$ b\k{e}dzie endomorfizmem.

\begin{definition}
Endomorfizm $f$ jest \textcolor{blue}{diagonalizowalny}, je\.{z}eli istnieje
baza przestrzeni $X$ w kt\'{o}rej macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.
\end{definition}

Poj\k{e}cie diagonalizowalno\'{s}ci mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z} wprowadzi\'{c} w
zbiorze macierzy. Zanim to zrobimy wprowadzimy w zbiorze macierzy relacj\k{e} podobie\'{n}stwa.

\begin{definition}
Niech $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}.$ M\'{o}wimy, \.{z}e macierz $A$ jest
podobna do macierzy $B$ (ozn. $A\sim B$) je\.{z}eli istnieje macierz
nieosobliwa $P\in\mathbb{F}^{n\times n}$, taka \.{z}e\textit{ }%
\begin{equation}
A=PBP^{-1}. \label{8.3}%
\end{equation}

\end{definition}

\L atwo wykaza\'{c} (\'{c}wiczenie), \.{z}e relacja podobie\'{n}stwa macierzy
jest relacj\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}no\'{s}ci, tzn. jest:

\begin{itemize}
\item zwrotna, tj. $A\sim A;$

\item symetryczna, tj. $A\sim B\Rightarrow B\sim A;$

\item przechodnia, tj. $A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C.$
\end{itemize}

Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e $A\sim B.$ Oznacza to, \.{z}e $A=PBP^{-1},$
dla pewnej macierzy nieosobliwej $P.$ Mamy:%
\begin{align*}
\varphi_{A}\left(  \lambda\right)   &  =\det\left(  A-\lambda I\right)
=\det\left(  PBP^{-1}-\lambda I\right)  =\det P\left(  B-\lambda I\right)
P^{-1}=\\
&  =\det P\det\left(  B-\lambda I\right)  \det P^{-1}=\varphi_{B}\left(
\lambda\right)
\end{align*}
co oznacza, \.{z}e
\textcolor{blue}{macierze podobne maj\k{a} ten sam wielomian
charakterystyczny}; w konsekwencji maj\k{a} one r\'{o}wnie\.{z} identyczne
warto\'{s}ci w\l asne.

\begin{definition}
Macierz $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jest macierz\k{a} \textcolor{blue}{
diagonalizowaln\k{a}}, je\.{z}eli jest podobna do macierzy diagonalnej.
\end{definition}

Zanim podamy twierdzenie charakteryzuj\k{a}ce macierze diagonalizowalne
rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy przyk\l ad.

\begin{example}
Niech $A_{1},A_{2}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ b\k{e}d\k{a} macierzami postaci%
\[
A_{1}=I=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}A_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1\\
0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Macierze te maj\k{a} ten sam wielomian charakterystyczny
\[
\varphi_{A_{1}}\left(  \lambda\right)  =\varphi_{A_{2}}\left(  \lambda\right)
=\left(  1-\lambda\right)  ^{n}.
\]
Poniewa\.{z} widma macierzy $A_{1}$ oraz $A_{2}$ s\k{a} jednoelementowe%
\[
\sigma\left(  A_{1}\right)  =\sigma\left(  A_{2}\right)  =\left\{  1\right\}
,
\]
mo\.{z}emy dla ka\.{z}dej z nich wyznaczy\'{c} po jednej przestrzeni w\l asnej.

Dla macierzy $A_{1}$ mamy:%
\[
V_{\lambda=1}^{(1)}=\left\{  x\in\mathbb{R}^{n}:x=x\right\}  =\mathbb{R}^{n}.
\]
Poniewa\.{z} $\dim V_{\lambda=1}^{(1)}=n,$ wi\k{e}c mo\.{z}emy wybra\'{c}
dok\l adnie $n$ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych macierzy
$A_{1}$ odpowiadaj\k{a}cych jej jedynej warto\'{s}ci w\l asnej \linebreak%
$\lambda=1.$ Dodatkowo, macierz $A_{1}$ -- jako macierz diagonalna -- jest w
spos\'{o}b oczywisty macierz\k{a} diagonalizowaln\k{a}.

Z kolei dla macierzy $A_{2}$ mamy%
\[
V_{\lambda=1}^{(2)}=\left\{  x\in\mathbb{R}^{n}:A_{2}x=x\right\}  =\left\{
x\in\mathbb{R}^{n}:\left(  A_{2}-I\right)  x=0\right\}  .
\]
Poniewa\.{z} $\operatorname*{rank}\left(  A_{2}-I\right)  =n-1,$ zatem na
podstawie twierdzenia Kroneckera-- Capellego wnioskujemy, \.{z}e uk\l ad
r\'{o}wna\'{n} $\left(  A_{2}-I\right)  x=0$ ma niesko\'{n}czenie wiele
rozwi\k{a}za\'{n} zale\.{z}nych od jednego parametru; tym samym $\dim
V_{\lambda=1}^{(2)}=1.$ Oznacza to, \.{z}e dla macierzy $A_{2}$ znajdziemy
tylko jeden liniowo niezale\.{z}ny wektor w\l asny odpowiadaj\k{a}cy jej
jedynej warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda=1$. Ponadto, macierz $A_{2}$ nie jest
diagonalizowalna. Jedyn\k{a} macierz\k{a} diagonaln\k{a}, do kt\'{o}rej
macierz $A_{2}$ mog\l aby by\'{c} podobna, jest macierz jednostkowa (macierze
podobne maj\k{a} te same warto\'{s}ci w\l asne). Musia\l aby wi\k{e}c
istnie\'{c} macierz nieosobliwa $P$ spe\l niaj\k{a}ca warunek%
\[
A_{2}=PIP^{-1}=I,
\]
kt\'{o}ry nie jest prawdziwy.
\end{example}

Mo\.{z}liwo\'{s}\'{c} diagonalizacji macierzy $A_{1}$ oraz brak
mo\.{z}liwo\'{s}ci diagonalizacji macierzy $A_{2}$ jest wynikiem tego, \.{z}e
dla macierzy $A_{1}$ mo\.{z}emy wybra\'{c} tyle\linebreak liniowo
niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych, ile wynosi krotno\'{s}\'{c}
warto\'{s}ci w\l asnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego; dla
macierzy $A_{2}$ warunek ten nie jest spe\l niony.

Prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
Macierz $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jest diagonalizowalna wtedy i tylko
wtedy, gdy

\begin{enumerate}
\item[(a)] jej wielomian charakterystyczny$\ $ma $n$ pierwiastk\'{o}w w ciele
$\mathbb{F}$ (liczonych z krotno\'{s}ciami);

\item[(b)] dla ka\.{z}dej warto\'{s}ci w\l asnej macierzy $A$ mo\.{z}na
wybra\'{c} tyle liniowo niezale\.znych wektor\'{o}w w\l asnych, ile wynosi
krotno\'{s}\'{c} tej warto\'{s}ci w\l asnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e macierz $A$ jest diagonalizowalna. Oznacza to,
\.{z}e istniej\k{a} macierz diagonalna $B=\operatorname*{diag}\left(
b_{1},\ldots,b_{n}\right)  ,$ $b_{i}\in\mathbb{F}$ oraz macierz nieosobliwa
$P\in\mathbb{F}^{n\times n}$, dla kt\'{o}rych $A=PBP^{-1}$, lub
r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\begin{equation}
AP=PB. \label{84}%
\end{equation}
Niech $P=\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  ,$ gdzie $p_{i}\in\mathbb{F}^{n}$
$\left(  i=1,\ldots,n\right)  $. Poniewa\.{z}%
\[
AP=A\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  =\left[  Ap_{1},\ldots,Ap_{n}\right]
\]
oraz%
\[
PB=\left[  p_{1},\ldots,p_{n}\right]  \operatorname*{diag}\left(  b_{1}%
,\ldots,b_{n}\right)  =\left[  b_{1}p_{1},\ldots,b_{n}p_{n}\right]  ,
\]
zatem z warunku (\ref{84}) otrzymujemy, \.{z}e%
\begin{equation}
Ap_{i}=b_{i}p_{i}\quad\left(  i=1,\ldots,n\right)  . \label{85}%
\end{equation}
Z warunku (\ref{85}) wynika, \.{z}e wektory $p_{1},\ldots,p_{n}$ s\k{a} liniowo
niezale\.{z}nymi wektorami w\l asnymi macierzy $A$ odpowiadaj\k{a}cymi
warto\'{s}ciom w\l asnym $b_{1},\ldots,b_{n}$.

Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e macierz $A$ posiada $n$ liniowo
niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych $v_{1},\ldots,v_{n}\in\mathbb{F}^{n}$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ciom w\l asnym $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}%
\in\mathbb{F}$. Niech $V=\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  \in\mathbb{F}%
^{n\times n}.$ Macierz $V$ jest nieosobliwa (dlaczego?). Ponadto:%
\[
AV=A\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  =\left[  Av_{1},\ldots,Av_{n}\right]
=\left[  \lambda_{1}v_{1},\ldots,\lambda_{n}v_{n}\right]  =V\operatorname*{diag}%
\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  ,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $A=V\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1}%
,\ldots,\lambda_{n}\right)  V^{-1}.$ Macierz $A$ jest wi\k{e}c diagonalizowalna.
\end{proof}

Zanotujmy na koniec, \.{z}e twierdzenie 7.4, mimo \.{z}e sformu\l owane dla
macierzy, pozostaje s\l uszne r\'{o}wnie\.{z} dla dowolnego endomorfizmu
$f:X\rightarrow X,$ gdzie $X$ jest sko\'{n}czenie wymiarow\k{a}
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad cia\l em $\mathbb{F}$.
W\ szczeg\'{o}lno\'{s}ci, je\.{z}eli $f$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym
to istnieje baza przestrzeni $X$ z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych
endomorfizmu $f,$ przy kt\'{o}rej macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.

\begin{example}
Niech\textbf{ }$A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} postaci
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\lambda^{2}+1$, zatem
macierz $A$ nie ma rzeczywistych warto\'{s}ci w\l asnych -- nie jest wi\k{e}c
diagonalizowalna w klasie macierzy $\mathbb{R}^{2\times2}$. Ta sama macierz
traktowana jako element przestrzeni $\mathbb{C}^{2\times2}$ ma dwie
r\'{o}\.{z}ne warto\'{s}ci w\l asne $\lambda_{1}=i,$ $\lambda_{2}=-i,$
kt\'{o}rym odpowiadaj\k{a} liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne r\'{o}wne
odpowiednio $v_{1}=\left(  -i,1\right)^T  $ oraz $v_{2}=\left(  i,1\right)^T  .$
Z\ dowodu twierdzenia 7.4 wynika, \.{z}e \linebreak$A=P\operatorname*{diag}%
\left(  i,-i\right)  P^{-1},$ gdzie
\[
P=\left[  v_{1},v_{2}\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & i\\
1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Faktycznie, poniewa\.{z} $P^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
-i & 1
\end{array}
\right]  ,$ zatem%
\[
P\operatorname*{diag}\left(  i,-i\right)  P^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & i\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 0\\
0 & -i
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
-i & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  =A.
\]

\end{example}


\end{document}