\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{54}
\setcounter{chapter}{7}
\sloppy

\chapter{Posta\'{c} Jordana macierzy}

\section{Macierz Jordana}

Niech $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}.$ Macierz
$J_{r}\left(  \lambda\right)  \in\mathbb{F}^{r\times r}$ postaci%
\[
J_{r}\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $\lambda\in\mathbb{F}$, nazywamy \textcolor{blue}{klatk\k{a} Jordana}
stopnia $r$. Oczywi\'{s}cie $J_{1}\left(  \lambda\right)  =\left[
\lambda\right]  .$

\begin{definition}
Macierz blokow\k{a} $J\in\mathbb{F}^{n\times n}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  & \\
& J_{n_{2}}\left(  \lambda_{2}\right)  &  & \\
&  & \ddots & \\
&  &  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $n_{1}+\ldots+n_{k}=n,$ $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}\in\mathbb{F}$
oraz wszystkie niewypisane elementy macierzy $J$ s\k{a} zerami, nazywamy \textcolor{blue}{macierz\k{a} Jordana}.
\end{definition}

Skalary $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ tworz\k{a}ce przek\k{a}tn\k{a}
macierzy $J$ s\k{a} jej warto\'{s}ciami w\l asnymi. Zauwa\.{z}my
r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e ka\.{z}da macierz diagonalna jest macierz\k{a}
Jordana; wymiar ka\.{z}dej klatki Jordana $J_{n_{i}}$ tworz\k{a}cej
przek\k{a}tn\k{a} tej macierzy jest r\'{o}wny jeden, tj. $J_{n_{i}}=\left[
\lambda_{i}\right]  $.\textit{ }Oznacza to, \.{z}e ka\.{z}da macierz
diagonalizowalna jest podobna do pewnej macierzy Jordana (zob. podrozdzia\l \ 7.3). Prawdziwe jest r\'{o}wnie\.{z} du\.{z}o og\'{o}lniejsze

\begin{theorem}
Niech $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}.
Istnieje w\'{o}wczas macierz nieosobliwa $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ taka
\.{z}e%
\begin{equation}
P^{-1}AP=J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  & \\
& J_{n_{2}}\left(  \lambda_{2}\right)  &  & \\
&  & \ddots & \\
&  &  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)
\end{array}
\right]  \label{91}%
\end{equation}
oraz $n_{1}+\ldots+n_{k}=n.$ Macierz Jordana $J$ macierzy $A$ jest wyznaczona
w spos\'{o}b jednoznaczny z dok\l adno\'{s}ci\k{a} do kolejno\'{s}ci klatek
Jordana, kt\'{o}re tworz\k{a} przek\k{a}tn\k{a} macierzy $J.$ Ponadto,
je\.{z}eli macierz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ma tylko rzeczywiste
warto\'{s}ci w\l asne to macierz $P$, ustalaj\k{a}ca podobie\'{n}stwo $A$ oraz
$J$, r\'{o}wnie\.{z} mo\.{z}e by\'{c} wybrana jako macierz o elementach rzeczywistych.
\end{theorem}
Wyznaczenie dla danej macierzy jej macierzy Jordana na og\'o\l \ nie jest \l atwym zadaniem.
\begin{example}
Niech
\[
A_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\varepsilon & 0\\
1 & 0
\end{array}
\right]  ,
\]
dla $\varepsilon\neq0.$ Poniewa\.{z} $\sigma\left(  A_{\varepsilon}\right)
=\left\{  0,\varepsilon\right\}  $ zatem macierz $A_{\varepsilon}$ jest
diagonalizowalna. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e
\[
A_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & \varepsilon\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & \varepsilon
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & \varepsilon\\
1 & 1
\end{array}
\right]  ^{-1}=S_{\varepsilon}J_{\varepsilon}S_{\varepsilon}^{-1}.
\]
Oznacza to, \.{z}e macierz
\[
J_{\varepsilon}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & \varepsilon
\end{array}
\right]
\]
jest macierz\k{a} Jordana macierzy $A_{\varepsilon},$ dla dowolnego
$\varepsilon\neq0$. Jednak, je\.{z}eli $\varepsilon\rightarrow0$ to
$J_{\varepsilon}\rightarrow\left[  0\right]  _{2\times2},$ podczas gdy
macierz\k{a} Jordana macierzy $A_{0}$ jest macierz
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{remark}
Macierz Jordana $J$ wyznaczona dla macierzy $A$ nie musi by\'{c} funkcj\k{a}
ci\k{a}g\l \k{a} element\'{o}w macierzy $A$. Oznacza to trudno\'{s}ci z
konstrukcj\k{a} numerycznie akceptowalnego algorytmu wyznaczania, dla zadanej
macierzy $A$, odpowiadaj\k{a}cej jej macierzy Jordana.
\end{remark}

\subsection{W\l asno\'{s}ci macierzy Jordana}

Niech $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ b\k{e}dzie dowoln\k{a} macierz\k{a}, a
$J\in\mathbb{F}^{n\times n}$ jej macierz\k{a} Jordana.

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 1 }\textit{Liczba klatek Jordana tworz\k{a}cych macierz }$J$\textit{ jest r\'{o}wna
liczbie liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych macierzy
}$A$\textit{.}

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 2 }\textit{Liczba klatek Jordana
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{ jest r\'{o}wna
liczbie liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych tej warto\'{s}ci w\l asnej (czyli wymiarowi przestrzeni w\l asnej macierzy }$A$\textit{ odpowiadaj\k{a}cej warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$). 
Suma stopni wszystkich tych klatek r\'{o}wna jest krotno\'{s}ci warto\'{s}ci
w\l asnej }$\lambda$ \textit{jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego
macierzy }$A$\textit{.}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda
I\right)  =-\left(  \lambda-1\right)  \left(  \lambda-2\right)  ^{2}$ zatem
macierz ma dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2$.
Wyznaczmy wymiary przestrzeni w\l asnych odpowiadaj\k{a}cych tym
warto\'{s}ciom w\l asnym. Mamy:%
\begin{align*}
\dim V_{\lambda_{1}}  &  =\dim\left\{  \ker\left(  A-I\right)  \right\}
=3-\dim\left\{  \operatorname{Im}\left(  A-I\right)  \right\} \\
&  =3-\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  =1,\\
\dim V_{\lambda_{2}}  &  =\dim\left\{  \ker\left(  A-2I\right)  \right\}
=3-\dim\left\{  \operatorname{Im}\left(  A-2I\right)  \right\} \\
&  =3-\operatorname*{rank}\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  =1.
\end{align*}
Na podstawie w\l asno\'{s}ci 1, macierz Jordana macierzy $A$ sk\l ada si\k{e}
z dw\'{o}ch klatek Jordana (mo\.{z}emy wybra\'{c} tylko dwa liniowo
niezale\.{z}ne wektory w\l asne). Na podstawie w\l asno\'{s}ci~2, warto\'{s}ci
w\l asnej $\lambda_{1}=1$ odpowiada jedna klatka Jordana stopnia $1$,
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=2$ musi wi\k{e}c odpowiada\'{c} jedna
klatka Jordana stopnia $2$. Macierz Jordana macierzy $A$ ma wi\k{e}c
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz\textbf{ }$J\in\mathbb{R}^{8\times8}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$2$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $2$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $2$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$2$ & $1$\\
$0$ & $2$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$3$ & $1$\\
$0$ & $3$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  &
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$3$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\ \right]  ,
\]
w kt\'{o}rej wszystkie niewypisane elementy s\k{a} zerami. Macierz $J$ jest
macierz\k{a} Jordana. Posiada ona dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda
_{1}=2,\lambda_{2}=3.$ Z\ w\l asno\'{s}ci~2 wynika, \.{z}e dla ka\.{z}dej z
nich mo\.{z}na wybra\'{c} tylko pod dwa liniowo niezale\.{z}ne wektory w\l asne.
\end{example}

Powy\.{z}szy przyk\l ad pokazuje, \.{z}e w\ celu wyznaczenia macierzy Jordana
dowolnej macierzy\ $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ o znanych warto\'{s}ciach
w\l asnych $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$, musimy umie\'{c} znajdowa\'{c}
liczb\k{e} $N\left(  m,\lambda\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$ $\left(
1\leq m\leq n\right)  $ odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$
macierzy $A$. Aby wyznaczy\'{c} t\k{e} liczb\k{e}, zdefiniujmy ci\k{a}g
$r_{k}\left(  \lambda\right)  $:%
\begin{equation}
r_{k}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}\left(  \left(  A-\lambda
I\right)  ^{k}\right)  ,\text{\quad}k\in\mathbb{N}. \label{92}%
\end{equation}
Oczywi\'{s}cie $r_{0}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}I=n.$
Zauwa\.{z}my ponadto, \.{z}e dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$:%
\begin{equation}
\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  \subset\ker\left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)  . \label{93}%
\end{equation}
Dzieje si\k{e} tak, gdy\.{z} dla $x\in\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)
^{k}\right)  $:%
\[
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}x=\left(  A-\lambda I\right)  \left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k}x\right)  =\left(  A-\lambda I\right)  0=0,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $x\in\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)
^{k+1}\right)  .$

\noindent Z\ warunku (8.3) wynika natychmiast, \.{z}e
\[
\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  \leq\dim\ker\left(
\left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)  ;
\]
tym samym%
\begin{align*}
r_{k}\left(  \lambda\right)   &  =\operatorname*{rank}\left(  \left(
A-\lambda I\right)  ^{k}\right)  =n-\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda
I\right)  ^{k}\right)  \geq\\
&  \geq n-\dim\ker\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)
=\operatorname*{rank}\left(  \left(  A-\lambda I\right)  ^{k+1}\right)
=r_{k+1}\left(  \lambda\right)  .
\end{align*}
Ci\k{a}g $r_{k}\left(  \lambda\right)  $ okre\'{s}lony wzorem (8.2) jest
wi\k{e}c ci\k{a}giem nierosn\k{a}cym. Oznacza to, \.{z}e od pewnego miejsca
ci\k{a}g $r_{k}\left(  \lambda\right)  $ musi si\k{e} stabilizowa\'{c} (tzn.
staje si\k{e} ci\k{a}giem sta\l ym).

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}\'{c} 3} \textit{Liczba }$N\left(
m,\lambda\right)  $\textit{ klatek Jordana stopnia }$m\geq1$\textit{
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{ jest r\'{o}wna:}%
\begin{equation}
N\left(  m,\lambda\right)  =r_{m-1}\left(  \lambda\right)  -2r_{m}\left(
\lambda\right)  +r_{m+1}\left(  \lambda\right)  . \label{94}%
\end{equation}


\bigskip\noindent Aby zilustrowa\'{c} powy\.{z}sz\k{a} w\l asno\'{s}\'{c}
rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy przyk\l ad.

\begin{example}
Niech $J\in\mathbb{R}^{8\times8}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} z przyk\l adu 8.3.
Macierz $J$ ma dwie warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=2,\lambda_{2}=3.$ Poniewa\.{z}

\begin{itemize}
\item dla $\lambda_{1}=2$:%
\begin{align*}
J-2I  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $1$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $1$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  &
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\right] \\
\left(  J-2I\right)  ^{2}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $0$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $2$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
$%
\end{tabular}
\ \right] \\
\left(  J-2I\right)  ^{3}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\
$0$ & $0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $3$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$1$\\\hline
\end{tabular}
$%
\end{tabular}
\ \right]
\end{align*}
zatem $r_{0}\left(  2\right)  =8,r_{1}\left(  2\right)  =6,r_{2}\left(
2\right)  =4\ $oraz $r_{k}\left(  2\right)  =3$ dla $k\geq3.$ Tym samym:
\begin{align*}
N\left(  1,2\right)   &  =8-12+4=0,\\
N\left(  2,2\right)   &  =6-8+3=1,\\
N\left(  3,2\right)   &  =4-6+3=1,\\
N\left(  k,2\right)   &  =0,\text{ dla }k\geq4.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}=2$ odpowiadaj\k{a} dwie
klatki Jordana: jedna stopnia $2$ i jedna stopnia $3.$

\item dla $\lambda_{2}=3$:%
\begin{align*}
J-3I  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$-1$ & $1$ & $0$\\
$0$ & $-1$ & $1$\\
$0$ & $0$ & $-1$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$-1$ & $1$\\
$0$ & $-1$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $1$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$0$\\\hline
\end{tabular}
\ $%
\end{tabular}
\ \ \right] \\
\left(  J-3I\right)  ^{2}  &  =\left[
\begin{tabular}
[c]{cccc}%
\begin{tabular}
[c]{ccc|}%
$1$ & $-2$ & $1$\\
$0$ & $1$ & $-2$\\
$0$ & $0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
&  &  & \\
&
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$1$ & $-2$\\
$0$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  &
\begin{tabular}
[c]{cc|}%
$0$ & $0$\\
$0$ & $0$\\\hline
\end{tabular}
& \\
&  &  & $%
\begin{tabular}
[c]{c|}%
$0$\\\hline
\end{tabular}
\ $%
\end{tabular}
\ \ \right]
\end{align*}
zatem $r_{0}\left(  3\right)  =8,r_{1}\left(  3\right)  =6$ oraz $r_{k}\left(
3\right)  =5\ $dla $k\geq2.$ Tym samym:%
\begin{align*}
N\left(  1,3\right)   &  =8-12+5=1,\\
N\left(  2,3\right)   &  =6-10+5=1,\\
N\left(  k,3\right)   &  =0,\text{ dla }k\geq3.
\end{align*}
Warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=3$ odpowiadaj\k{a} wi\k{e}c dwie klatki
Jordana: jedna stopnia $1$ i jedna stopnia $2.$ Posta\'{c} macierzy $J$
potwierdza uzyskane wyniki.
\end{itemize}
\end{example}

\noindent Pewn\k{a} niedogodno\'{s}ci\k{a} faktoryzacji (tj. rozk\l adu)
Jordana $A=PJP^{-1}$ jest to, \.{z}e w przypadku macierzy rzeczywistej
posiadaj\k{a}cej nierzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne jej macierz Jordana jest
macierz\k{a} nierzeczywist\k{a}. W wielu zagadnieniach praktycznych, oznacza
to konieczno\'{s}\'{c} poszukiwania innego rozk\l adu macierzy, nie tak
prostego jak rozk\l ad Jordana, ale prowadz\k{a}cego do macierzy rzeczywistych.

\section{Rzeczywista macierz Jordana*}

Niech $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ oraz niech $\lambda$ i $\overline{\lambda}$
b\k{e}dzie par\k{a} nierzeczywistych sprz\k{e}\.{z}onych warto\'{s}ci
w\l asnych macierzy $A$. Poniewa\.{z} dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$, zgodnie
z (8.2),
\[
r_{k}\left(  \lambda\right)  =\operatorname*{rank}\left(  A-\lambda I\right)
^{k}=\operatorname*{rank}\left(  A-\overline{\lambda}I\right)  ^{k}%
=r_{k}\left(  \overline{\lambda}\right)
\]
zatem liczba $N\left(  m,\lambda\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ jest r\'{o}wna liczbie
$N\left(  m,\overline{\lambda}\right)  $ klatek Jordana stopnia $m$
odpowiadaj\k{a}cych warto\'{s}ci w\l asnej $\overline{\lambda}$. Oznacza to,
\.{z}e klatki Jordana $J_{m}\left(  \lambda\right)  $ oraz $J_{m}\left(
\overline{\lambda}\right)  $, tworz\k{a}ce przek\k{a}tn\k{a} macierzy Jordana,
musz\k{a} wyst\k{e}powa\'{c} parami. \L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e macierz
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{m}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{m}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}%
\]
jest podobna do macierzy
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
D\left(  \lambda\right)  & I_{2} &  & 0\\
& D\left(  \lambda\right)  & \ddots & \\
&  & \ddots & I_{2}\\
0 &  &  & D\left(  \lambda\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}, \label{95}%
\end{equation}
gdzie $D\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\lambda & 0\\
0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  $ oraz $I_{2}$ to macierz jednostkowa stopnia $2$; macierz\k{a} $P$
ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo jest stosownie wybrana macierz permutacji.

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{2}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{2}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \overline{\lambda} & 1\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  .
\]
Niech $I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$ b\k{e}dzie macierz\k{a} powsta\l \k{a} z
macierz jednostkowej $I_{n}$ przez zamian\k{e} miejscami kolumn o indeksach
$i$ oraz $j$. Jest to tzw. macierz permutacji -- pomno\.{z}enie dowolnej
macierzy przez macierz $I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$ z prawej (z lewej)
strony powoduje zamian\k{e} miejscami kolumn (wierszy) o indeksach $i$ oraz
$j$. Wynika st\k{a}d, \.{z}e $\left(  I_{n}^{\left(  i,j\right)  }\right)
^{-1}=I_{n}^{\left(  i,j\right)  }$. W rozwa\.{z}anym przypadku mamy%
\begin{align*}
\left(  I_{4}^{\left(  2,3\right)  }\right)  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
J_{2}\left(  \lambda\right)  & 0\\
0 & J_{2}\left(  \overline{\lambda}\right)
\end{array}
\right]  I_{4}^{\left(  2,3\right)  }  &  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \overline{\lambda} & 1\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \\
&  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 0 & 1 & 0\\
0 & \overline{\lambda} & 0 & 1\\
0 & 0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & 0 & \overline{\lambda}%
\end{array}
\right]  .
\end{align*}

\end{example}

\noindent Wracaj\k{a}c do rozwa\.{z}a\'{n}, zauwa\.{z}my, \.{z}e dla macierzy
$S\ $postaci%
\[
S=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & -i\\
1 & -1
\end{array}
\right]  ,
\]
dla kt\'{o}rej
\[
S^{-1}=\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
i & -1
\end{array}
\right]  ,
\]
przyjmuj\k{a}c $\lambda=a+ib$, mamy%
\begin{align*}
SD\left(  \lambda\right)  S^{-1}  &  =SD\left(  a+ib\right)  S^{-1}=\frac
{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-i & -i\\
1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a+ib & 0\\
0 & a-ib
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cc}%
i & 1\\
i & -1
\end{array}
\right] \\
&  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right]  .
\end{align*}
Przyjmuj\k{a}c oznaczenie $C\left(  a,b\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right]  $, \l atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e macierz $\ $(\ref{95}) jest podobna
do macierzy rzeczywistej%
\begin{equation}
C_{m}\left(  a,b\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
C\left(  a,b\right)  & I_{2} &  & 0\\
& C\left(  a,b\right)  & \ddots & \\
&  & \ddots & I_{2}\\
0 &  &  & C\left(  a,b\right)
\end{array}
\right]  \in\mathbb{C}^{2m\times2m}; \label{96}%
\end{equation}
macierz\k{a} ustalaj\k{a}c\k{a} to podobie\'{n}stwo jest macierz blokowa
$\operatorname*{diag}\left(  S,\ldots,S\right)  $.

Otrzymane wyniki podsumujemy w nast\k{e}puj\k{a}cym twierdzeniu.

\begin{theorem}
Dowolna macierz rzeczywista $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ jest podobna do
macierzy rzeczywistej%
\begin{equation}
J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{cccccc}%
J_{n_{1}}\left(  \lambda_{1}\right)  &  &  &  &  & \\
& \ddots &  &  &  & \\
&  & J_{n_{k}}\left(  \lambda_{k}\right)  &  &  & \\
&  &  & C_{m_{1}}\left(  a_{1},b_{1}\right)  &  & \\
&  &  &  & \ddots & \\
&  &  &  &  & C_{m_{l}}\left(  a_{l},b_{l}\right)
\end{array}
\right]  , \label{97}%
\end{equation}
w kt\'{o}rej $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}$ to rzeczywiste, a $a_{1}%
+ib_{1},\ldots,a_{l}+ib_{l}$ nierzeczywiste warto\'{s}ci w\l asne macierzy
$A$; rzeczywiste macierze blokowe $J_{n_{i}}\left(  \lambda_{i}\right)  $ to
klatki Jordana macierzy $A$ wyst\k{e}puj\k{a}ce w jej postaci Jordana, bloki
$C_{m_{i}}\left(  a_{i},b_{i}\right)  $ stopnia $2m_{i}$ s\k{a} postaci
(\ref{96}); $n_{1}+\ldots+n_{k}+2\left(  m_{1}+\ldots+m_{l}\right)  =n$.
\end{theorem}

\begin{example}
Niech $A\in\mathbb{R}^{5\times5}$ b\k{e}dzie macierz\k{a} dla kt\'{o}rej
$\sigma\left(  A\right)  =\left\{  1,1\pm i\right\}  $ i tak\k{a} \.{z}e
\[
N\left(  1,1+i\right)  =N\left(  1,1-i\right)  =2.
\]
Z rozwa\.{z}a\'{n} poprzedzaj\k{a}cych twierdzenie wynika, \.{z}e je\.{z}eli
$\lambda\ $jest nierzeczywist\k{a} warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$
to liczba $N\left(  m,\lambda\right)  $ r\'{o}wna jest liczbie macierzy
postaci $\ $(\ref{95}) stopnia $2m$ tworz\k{a}cych rzeczywist\k{a} macierz
Jordana $J_{\operatorname{real}}$ macierzy $A$. Tym samym, w rozwa\.{z}anym
przypadku macierze Jordana $J$ oraz $J_{\operatorname{real}}$ maj\k{a}
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1+i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1+i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1-i & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1-i
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]
Przypu\'{s}\'{c}my teraz, \.{z}e dla macierzy $A\in\mathbb{R}^{5\times5}$, dla
kt\'{o}rej $\sigma\left(  A\right)  =\left\{  1,1\pm i\right\}  ,$ mamy%
\[
N\left(  2,1+i\right)  =N\left(  2,1-i\right)  =1.
\]
W tym przypadku macierze Jordana $J$ oraz $J_{\operatorname{real}}$ maj\k{a}
posta\'{c}%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1+i & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1+i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1-i & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1-i
\end{array}
\right]  ,\text{\quad}J_{\operatorname{real}}=\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}
\right]  .
\]

\end{example}

\end{document}