\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, February 16, 2018 09:01:18}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents

\setcounter{page}{62}
\setcounter{chapter}{8}
\sloppy


\chapter{Baza Jordana}

Niech $X$ b\k{e}dzie $n$--wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad
cia\l em $\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$. Rozwa\.{z}my dowolny endomorfizm
$f:X\rightarrow X$. Wiemy, \.{z}e posta\'{c} macierzy endomorfizmu zale\.{z}y
od wyboru bazy w przestrzeni $X$. Wiemy r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e je\.{z}eli
endomorfizm $f$ jest diagonalizowalny, to jego macierz w bazie przestrzeni $X$
z\l o\.{z}onej z jego $n$ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w w\l asnych
jest macierz\k{a} diagonaln\k{a}. Poniewa\.{z} nie ka\.{z}dy endomorfizm jest
diagonalizowalny, nasuwa si\k{e} pytanie o to, jak prosta mo\.{z}e
by\'{c} posta\'{c} macierzy endomorfizmu niediagonalizowalnego. W
szczeg\'{o}lno\'{s}ci, czy istnieje baza przestrzeni wektorowej $X$, w
kt\'{o}rej macierz endomorfizmu $f:X\rightarrow X$ jest macierz\k{a} Jordana?

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $J\in\mathbb{R}^{4\times4}$ postaci%
\[
J=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
\lambda & 1 & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & 0\\
0 & 0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{array}
\right]  ,
\]
gdzie $\lambda\in\mathbb{R}$. Macierz $J$ jest macierz\k{a} Jordana. Niech
$e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ b\k{e}dzie baz\k{a} $4$--wymiarowej rzeczywistej
przestrzeni $X$ oraz niech $f:X\rightarrow X$ b\k{e}dzie endomorfizmem
wyznaczonym przez macierz $J$. Z\ postaci macierzy $J$ otrzymujemy%
\[%
\begin{tabular}
[c]{lcc}%
(a) $\left\{
\begin{tabular}
[c]{l}%
$f\left(  e_{1}\right)  =\lambda e_{1}$\\
$f\left(  e_{2}\right)  =e_{1}+\lambda e_{2}$\\
$f\left(  e_{3}\right)  =e_{2}+\lambda e_{3}$\\
$f\left(  e_{4}\right)  =e_{3}+\lambda e_{4}$%
\end{tabular}
\ \ \right.  ,$ & lub r\'{o}wnowa\.{z}nie & (b) $\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  e_{1}\right)  =\lambda e_{1}\\
f\left(  e_{2}\right)  -\lambda e_{2}=e_{1}\\
f\left(  e_{3}\right)  -\lambda e_{3}=e_{2}\\
f\left(  e_{4}\right)  -\lambda e_{4}=e_{3}%
\end{array}
\right.  .$%
\end{tabular}
\ \
\]
Z r\'{o}wna\'{n} tych wynika, \.{z}e $e_{1}$ jest wektorem w\l asnym
endomorfizmu $f$ odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$;
pozosta\l e wektory $e_{2},e_{3},e_{4}$ spe\l niaj\k{a} r\'{o}wnania%
\[
\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\right)  \left(  e_{k+1}\right)
=e_{k},\text{\quad}k=1,2,3.
\]

\end{example}

Powy\.{z}szy przyk\l ad sugeruje spos\'{o}b konstrukcji bazy przestrzeni
wektorowej, w kt\'{o}rej macierz endomorfizmu jest macierz\k{a} Jordana.

\section{\ Wektory g\l \'{o}wne}

Przy za\l o\.{z}eniach i oznaczeniach sformu\l owanych na pocz\k{a}tku
rozdzia\l u, przypu\'{s}\'{c}my \.{z}e $\lambda\in\mathbb{F}$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} endomorfizmu $f$. Oznacza to, \.{z}e dla
endomorfizmu $f$ istnieje co najmniej jeden wektor w\l asny, kt\'{o}ry na
potrzeby tego rozdzia\l u oznaczymy $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }$ i
b\k{e}dziemy nazywa\'{c}
\textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $1$} odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$. Wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq2$
zdefiniujemy indukcyjnie: przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e $v_{\lambda}^{\left(
k-1\right)  }\in X$ jest wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k-1$
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\in X$
spe\l niaj\k{a}cy warunek
\begin{equation}
\left(  f-\lambda\operatorname*{id}\nolimits_{X}\right)  v_{\lambda}^{\left(
k\right)  }=v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }, \label{ww2}%
\end{equation}
to wektor ten nazywamy \textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k$}
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

Powy\.{z}sz\k{a} definicj\k{e} mo\.{z}na r\'{o}wnie\.{z} sformu\l owa\'{c} dla
macierzy. Wektor w\l asny $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\in\mathbb{F}^{n}$
macierzy $A$ odpowiadaj\k{a}cy warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ nazywa\'{c}
b\k{e}dziemy wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $1$. Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e
$v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }\in\mathbb{F}^{n}$ jest wektorem
g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k-1$ odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej
$\lambda$.

\begin{definition}
Je\.{z}eli istnieje niezerowy wektor $v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }%
\in\mathbb{F}^{n}$ b\k{e}d\k{a}cy rozwi\k{a}zaniem r\'{o}wnania
\begin{equation}
\left(  A-\lambda I\right)  v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }=v_{\lambda
}^{\left(  k-1\right)  }, \label{ww3}%
\end{equation}
to wektor ten nazywamy \textcolor{blue}{wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $k$}
odpowiadaj\k{a}cym warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$.
\end{definition}

\begin{example}
Rozwa\.{z}my macierz $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ postaci%
\begin{equation}
A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  . \label{911}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =-\left(  \lambda-1\right)
\left(  \lambda-2\right)  ^{2}$ zatem macierz $A$ ma dwie r\'{o}\.{z}ne
warto\'{s}ci w\l asne: $\lambda_{1}=1\ $oraz $\lambda_{2}=2$. Wyznaczymy dla
tych warto\'{s}ci w\l asnych wektory g\l \'{o}wne.

\begin{itemize}
\item Dla $\lambda_{1}=1,$ rozwi\k{a}zuj\k{a}c r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
otrzymujemy: $x=y=0,z\in\mathbb{R}$; wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $1$ ma
wi\k{e}c posta\'{c} $v_{\lambda_{1}}^{\left(  1\right)  }=\left(
0,0,t\right)^T  ,$ $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. Aby
wyznaczy\'{c} wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $2$ rozwa\.{z}my, dla ustalonego
$t\neq0,$ r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
t
\end{array}
\right]  .
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e r\'{o}wnanie to nie posiada rozwi\k{a}za\'{n}.
Oznacza to, \.{z}e dla warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}=1$ nie istniej\k{a}
wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq2$.

\item Dla $\lambda_{2}=2,$ rozwi\k{a}zuj\k{a}c r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]
otrzymujemy: $x=z,y=0;$ wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $1$ ma wi\k{e}c
posta\'{c} $v_{\lambda_{2}}^{\left(  1\right)  }=\left(  t,0,t\right)^T  ,$
$t\in\mathbb{R}\backslash\left\{  0\right\}  $. Aby wyznaczy\'{c} wektory
g\l \'{o}wne rz\k{e}du $2$, rozwa\.{z}my, dla ustalonego $t\neq0,$
r\'{o}wnanie%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
t\\
0\\
t
\end{array}
\right]  .
\]
Jego rozwi\k{a}zaniem jest $x=z,y=t;$ wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $2$ ma
wi\k{e}c posta\'{c} $v_{\lambda_{2}}^{\left(  2\right)  }=\left(
r,t,r\right)  ,$ $r\in\mathbb{R}$. Zauwa\.{z}my, \.{z}e posta\'{c} wektora
$v_{\lambda_{2}}^{\left(  2\right)  }$ zale\.{z}y od $t$, t.j. od wyboru wektora
$v_{\lambda_{2}}^{\left(  1\right)  }.$ Aby wyznaczy\'{c} wektory g\l \'{o}wne
rz\k{e}du $3$, rozwa\.{z}my, dla ustalonych $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{
0\right\}  ,$ $r\in\mathbb{R},$ r\'{o}wnanie
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
r\\
t\\
r
\end{array}
\right]  .
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e r\'{o}wnanie to nie posiada rozwi\k{a}za\'{n},
a tym samym nie istniej\k{a} dla warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}=2$
wektory g\l \'{o}wne rz\k{e}du $k\geq3$.
\end{itemize}

\noindent Podsumowuj\k{a}c, dla macierzy $A$ postaci (\ref{911}) uda\l o
si\k{e} wyznaczy\'{c} trzy liniowo niezale\.{z}ne wektory g\l \'{o}wne: jeden
odpowiadaj\k{a}cy warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{1}$ oraz dwa
odpowiadaj\k{a}ce warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda_{2}$. Przyjmuj\k{a}c na
przyk\l ad $t=r=1$, otrzymujemy%
\begin{align*}
v_{1}^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  0,0,1\right)  ,\\
v_{2}^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  1,0,1\right)  ,\\
v_{3}^{\left(  2\right)  }  &  =\left(  1,1,1\right)  .
\end{align*}
Ustalaj\k{a}c w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ baz\k{e} kanoniczn\k{a}, macierz
$A$ okre\'{s}la endomorfizm $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$:%
\[
f\left(  x,y,z\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  =\left(  2x+y,2y,x+y+z\right)  ,
\]
Wyznaczone powy\.{z}ej wektory $v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
1\right)  },v_{2}^{\left(  2\right)  }$ s\k{a} r\'{o}wnie\.{z} baz\k{a}
przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$, a zatem mo\.{z}emy zapyta\'{c} o posta\'{c}
macierzy endomorfizmu $f$ w tej w\l a\'{s}nie bazie. Poniewa\.{z}
\begin{align*}
f\left(  v_{1}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  0,0,1\right)
=\left(  0,0,1\right)  =v_{1}^{\left(  1\right)  }+0v_{2}^{\left(  1\right)
}+0v_{2}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  v_{2}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  1,0,1\right)
=\left(  2,0,2\right)  =0v_{1}^{\left(  1\right)  }+2v_{2}^{\left(  1\right)
}+0v_{2}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  v_{2}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =f\left(  1,1,1\right)
=\left(  3,2,3\right)  =0v_{1}^{\left(  1\right)  }+v_{2}^{\left(  1\right)
}+2v_{2}^{\left(  2\right)  },
\end{align*}
wi\k{e}c macierz $A_{f}$ endomorfizmu $f$ w bazie z\l o\.{z}nej z wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych macierzy $A$ ma posta\'{c}%
\[
A_{f}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  .
\]
Jest to macierz Jordana macierzy $A$, kt\'{o}r\k{a} w zupe\l nie inny
spos\'{o}b uzyskali\'{s}my w przyk\l adzie 8.2 (zob. rozdzia\l \ 8., str. 56).
Zauwa\.{z}my r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e dla macierzy $P\in\mathbb{R}^{3\times3}$,
kt\'{o}rej kolumnami s\k{a} wektory $v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
1\right)  },v_{2}^{\left(  2\right)  },$ tj.
\[
P=\left[  v_{1}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(  1\right)  },v_{2}^{\left(
2\right)  }\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  ,
\]
mamy%
\[
P^{-1}AP=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]  =J.
\]
Macierz $P$ jest wi\k{e}c macierz\k{a} ustalaj\k{a}c\k{a} podobie\'{n}stwo
mi\k{e}dzy macierz\k{a} $A$ oraz jej macierz\k{a} Jordana.
\end{example}

\bigskip\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych}

\begin{proposition}
\textit{Dla ka\.{z}dej warto\'{s}ci w\l asnej istniej\k{a} wektory
g\l \'{o}wne rz\k{e}du co najmniej 1.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Wektory g\l \'{o}wne odpowiadaj\k{a}ce r\'{o}\.{z}nym warto\'{s}ciom
w\l asnym s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Wektory g\l \'{o}wne r\'{o}\.{z}nych rz\k{e}d\'{o}w odpowiadaj\k{a}ce
tej samej warto\'{s}ci w\l asnej s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\textit{Dla warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$ \textit{o krotno\'{s}ci }%
$r$\textit{ (krotno\'{s}ci jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego)
istnieje dok\l adnie }$r$\textit{ liniowo niezale\.{z}nych wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych; w\'{s}r\'{o}d nich s\k{a} wszystkie liniowo niezale\.{z}ne
wektory w\l asne odpowiadaj\k{a}ce warto\'{s}ci w\l asnej }$\lambda$\textit{.}
\end{proposition}

Z\ powy\.{z}szych w\l asno\'{s}ci wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych wynika, \.{z}e
\textcolor{blue}{dla dowolnego endomorfizmu  $f:X\rightarrow X$, kt\'{o}ry
posiada $n$ warto\'{s}ci w\l asnych (liczonych z krotno\'{s}ciami,
$n=\dim X$) istnieje baza przestrzeni $X$ z\l o\.{z}ona z
jego wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych}. Ponadto, z zale\.{z}no\'{s}ci (\ref{ww2})
wynika, \.{z}e je\.{z}eli $v_{\lambda}^{\left(  i\right)  }$ jest wektorem
g\l \'{o}wnym rz\k{e}du $i$ $\left(  i=1,\ldots,k\right)  $ odpowiadaj\k{a}cym
warto\'{s}ci w\l asnej $\lambda$ endomorfizmu $f$, to%
\begin{align*}
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  1\right)  },\\
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  2\right)  }+v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\\
&  \vdots\\
f\left(  v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right)   &  =\lambda v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }+v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }.
\end{align*}
Tym samym endomorfizm $f$ zaw\k{e}\.{z}ony do przestrzeni liniowej
rozpi\k{e}tej przez wektory $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots
,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }$ jest r\'{o}wnie\.{z} endomorfizmem, tj.
\[
f:\operatorname*{span}\left\{  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots
,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right\}  \ni x\rightarrow f\left(  x\right)
\in\operatorname*{span}\left\{  v_{\lambda}^{\left(  1\right)  }%
,\ldots,v_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right\}  ;
\]
jego macierz\k{a} w bazie $v_{\lambda}^{\left(  1\right)  },\ldots,v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }$ jest klatka Jordana stopnia $k$ maj\k{a}ca
warto\'{s}\'{c} w\l asn\k{a} $\lambda$ na przek\k{a}tnej. Oznacza to, \.{z}e
macierz endomorfizmu $f$ w bazie z\l o\.{z}onej z jego wektor\'{o}w
g\l \'{o}wnych jest macierz\k{a} Jordana. Baz\k{e} t\k{e} nazywamy
\textcolor{blue}{baz\k{a} Jordana} przestrzeni $X$ wzgl\k{e}dem endomorfizmu
$f$.

\begin{remark}
Czasami macierz Jordana defniuje si\k{e} jako macierz blokow\k{a}, kt\'{o}rej
bloki -- klatki Jordana to macierze kwadratowe, na przek\k{a}tnej z
warto\'{s}ciami w\l asnymi i jedynkami pod przek\k{a}tn\k{a} (a nie nad
przek\k{a}tn\k{a}, jak w przyj\k{e}tej przez nas definicji 8.1). Aby
uzyska\'{c} tak\k{a} w\l a\'{s}nie klatk\k{e} Jordana wystarczy wektory
g\l \'{o}wne ponumerowa\'{c} tak, aby ostatni by\l \ pierwszym, a pierwszy
ostatnim, tj.%
\[
w_{\lambda}^{\left(  i\right)  }=v_{\lambda}^{\left(  k-i+1\right)
},\text{\quad dla }i=1,\ldots,k.
\]
Poniewa\.{z}
\begin{align*}
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  k\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  k\right)
}+v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)  }=\lambda w_{\lambda}^{\left(  1\right)
}+w_{\lambda}^{\left(  2\right)  },\\
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  2\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  k-1\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  k-1\right)
}+v_{\lambda}^{\left(  k-2\right)  }=\lambda w_{\lambda}^{\left(  2\right)
}+w_{\lambda}^{\left(  3\right)  },\\
&  \vdots\\
f\left(  w_{\lambda}^{\left(  k\right)  }\right)   &  =f\left(  v_{\lambda
}^{\left(  1\right)  }\right)  =\lambda v_{\lambda}^{\left(  1\right)
}=\lambda w_{\lambda}^{\left(  k\right)  }%
\end{align*}
zatem klatka Jordana ma w tym przypadku posta\'{c}:%
\[
J_{k}\left(  \lambda\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccccc}%
\lambda & 0 & \cdots & \cdots & 0\\
1 & \lambda & 0 & \ddots & \vdots\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \lambda & 0\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda
\end{array}
\right]  .
\]

\end{remark}

\section{\ Macierz przej\'{s}cia}

Niech $X$ b\k{e}dzie $n$--wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad
cia\l em $\mathbb{F}$. Niech\linebreak$e=\left(  e_{1},\ldots,e_{n}\right)  $
oraz $\tilde{e}=\left(  \tilde{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right)  $
b\k{e}d\k{a} dwiema bazami przestrzeni $X$. Ka\.{z}dy wektor bazy $\tilde{e}$
mo\.{z}emy wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e} liniow\k{a} wektor\'{o}w bazy $e$:%
\begin{align}
\tilde{e}_{1}  &  =p_{11}e_{1}+p_{21}e_{2}+\ldots+p_{n1}e_{n},\nonumber\\
\tilde{e}_{2}  &  =p_{12}e_{1}+p_{22}e_{2}+\ldots+p_{n2}e_{n},\nonumber\\
&  \vdots\nonumber\\
\tilde{e}_{n}  &  =p_{1n}e_{1}+p_{2n}e_{2}+\ldots+p_{nn}e_{n}.\nonumber
\end{align}
Otrzyman\k{a} w ten spos\'{o}b macierz wsp\'{o}\l czynnik\'{o}w $P=\left[
p_{ij}\right]  \in\mathbb{F}^{n\times n}$ nazywamy
\textcolor{blue}{macierz\k{a}
przej\'{s}cia} ze \textit{starej} bazy $e$ do \textit{nowej} bazy $\tilde{e}$.
Zanotujmy, \.{z}e $i$--t\k{a} kolumn\k{e} macierzy przej\'{s}cia tworz\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora nowej bazy jako kombinacji liniowej
wektor\'{o}w starej bazy. Macierz przej\'{s}cia jest wi\k{e}c macierz\k{a}
endomorfizmu
\[
\operatorname*{id}\nolimits_{X}:\operatorname*{span}\left\{  \tilde{e}%
_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right\}  \ni x\rightarrow x\in\operatorname*{span}%
\left\{  e_{1},\ldots,e_{n}\right\}  .
\]


Dowolny element $x\in X$ mo\.{z}emy wyrazi\'{c} jako kombinacj\k{e}
liniow\k{a} element\'{o}w bazy $e$, jak r\'{o}wnie\.{z} bazy $\tilde{e}$.
Poszukamy teraz zale\.{z}no\'{s}ci mi\k{e}dzy tymi reprezentacjami. Mamy%
\begin{equation}
x=\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}e_{j}\text{\quad oraz\quad}x=\sum
\limits_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\tilde{e}_{j}. \label{103}%
\end{equation}
Wykorzystuj\k{a}c macierz przej\'{s}cia mamy:%
\[
x=\sum\limits_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\tilde{e}_{j}=\sum\limits_{j=1}%
^{n}\tilde{\alpha}_{j}\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}p_{ij}e_{i}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(  \sum\limits_{j=1}^{n}p_{ij}\tilde{\alpha}%
_{j}\right)  e_{i}.
\]
St\k{a}d oraz z postaci rozwini\k{e}cia wektora $x$ wzgl\k{e}dem bazy $e$
wynika zale\.{z}no\'{s}\'{c} mi\k{e}dzy wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi wektora
wzgl\k{e}dem starej oraz nowej bazy:%
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\
p_{21} & \ddots &  & p_{2n}\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
p_{n1} & \cdots & \cdots & p_{nn}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
\tilde{\alpha}_{1}\\
\tilde{\alpha}_{2}\\
\vdots\\
\tilde{\alpha}_{n}%
\end{array}
\right]  . \label{1}%
\end{equation}
Zale\.{z}no\'{s}\'{c} t\k{e} mo\.{z}emy uj\k{a}\'{c} kr\'{o}tko:
\begin{equation}
\alpha=P\tilde{\alpha}, \label{ww}%
\end{equation}
gdzie $\alpha$ (odpowiednio $\tilde{\alpha}$) to wektor
wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych $x$ wzgl\k{e}dem starej (nowej) bazy, a $P$ to macierz
przej\'{s}cia z pierwszej bazy do drugiej. Zauwa\.{z}my r\'{o}wnie\.{z},
\.{z}e z r\'{o}wnania (\ref{ww}) wynika:%
\[
\tilde{\alpha}=P^{-1}\alpha,
\]
co oznacza, \.{z}e macierz\k{a} przej\'{s}cia z bazy nowej to starej jest
macierz $P^{-1}$.

\begin{example}
\textbf{ }Rozwa\.{z}my w $\mathbb{R}^{2}$ dwie bazy: star\k{a} $e_{1}=\left(
1,2\right)  ,e_{2}=\left(  0,1\right)  $ oraz now\k{a} $\tilde{e}_{1}=\left(
1,1\right)  ,$ $\tilde{e}_{2}=\left(  -1,1\right)  .$ Wyznaczymy macierz
przej\'{s}cia z bazy starej do nowej. Mamy%
\begin{align*}
\tilde{e}_{1}  &  =\left(  1,1\right)  =p_{11}\left(  1,2\right)
+p_{21}\left(  0,1\right)  =\left(  p_{11},2p_{11}+p_{21}\right) \\
\tilde{e}_{2}  &  =\left(  -1,1\right)  =p_{12}\left(  1,2\right)
+p_{22}\left(  0,1\right)  =\left(  p_{12},2p_{12}+p_{22}\right)
\end{align*}
sk\k{a}d wynika, \.{z}e: $p_{11}=1,p_{21}=-1,p_{12}=-1,p_{22}=3.$ Macierz
przej\'{s}cia ma wi\k{e}c posta\'{c}:%
\[
P=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -1\\
-1 & 3
\end{array}
\right]  .
\]
Niech teraz $\left(  2,1\right)  $ b\k{e}dzie wektorem wyra\.{z}onym w starej
bazie. Wyznaczymy jego wsp\'{o}\l rz\k{e}dne w nowej bazie. Mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & -1\\
-1 & 3
\end{array}
\right]  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
1
\end{array}
\right]  =\frac{1}{2}\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
2\\
1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
7/2\\
3/2
\end{array}
\right]  .
\]
Aby sprawdzi\'{c} poprawno\'{s}\'{c} wyniku przedstawimy obydwa wektory w tej
samej bazie kanonicznej $k$: $k_{1}=\left(  1,0\right)  ,k_{2}=\left(
0,1\right)  $:%
\begin{align*}
\left(  2,1\right)  _{e}  &  =2e_{1}+e_{2}=2\left(  1,2\right)  +\left(
0,1\right)  =\left(  2,5\right)  _{k}\\
\left(  7/2,3/2\right)  _{\tilde{e}}  &  =\frac{7}{2}\tilde{e}_{1}+\frac{3}%
{2}\tilde{e}_{2}=\frac{7}{2}\left(  1,1\right)  +\frac{3}{2}\left(
-1,1\right)  =\left(  2,5\right)  _{k}.
\end{align*}

\end{example}

\section{\ Zmiana bazy, a posta\'{c} macierzy odwzorowania liniowego}

Na zako\'{n}czenie tego rozdzia\l u zbadamy jak zmienia si\k{e} macierz
odwzorowania liniowego wraz ze zmian\k{a} baz przestrzeni mi\k{e}dzy
kt\'{o}rymi to odwzorowanie jest okre\'{s}lone.

Niech $f:X\rightarrow Y$ b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym oraz niech $\dim
X=n,$ $\dim Y=m.$ Przyjmuj\k{a}c w przestrzeni $X$ baz\k{e} $e=\left(
e_{1},\ldots,e_{n}\right)  $, a w przestrzeni $Y$ baz\k{e} $g=\left(
g_{1},\ldots,g_{m}\right)  $, odwzorowanie $f$ reprezentowane jest przez
macierz $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$, tj.
\begin{equation}
y=Ax. \label{2}%
\end{equation}
Ustalaj\k{a}c w przestrzeni $X$ now\k{a} baz\k{e} $\tilde{e}=\left(  \tilde
{e}_{1},\ldots,\tilde{e}_{n}\right)  $ mo\.{z}emy wyznaczy\'{c} macierz
przej\'{s}cia z bazy $e$ do bazy $\tilde{e}$; oznaczmy j\k{a} przez $P.$
Oczywi\'{s}cie $P\in\mathbb{F}^{n\times n}$. Podobnie, dokonuj\k{a}c zmiana
bazy w przestrzeni $Y$ z $g$ na $\tilde{g}=\left(  \tilde{g}_{1},\ldots
,\tilde{g}_{m}\right)  $ mo\.{z}emy wyznaczy\'{c} macierz przej\'{s}cia
$Q\in\mathbb{F}^{m\times m}$ z bazy $g$ do $\tilde{g}$. Niech $\tilde{x}$
(odpowiednio $\tilde{y}$) b\k{e}d\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dnymi wektor\'{o}w
$x$ (odp. $y)$ w nowych bazach przestrzeni $X$ i $Y.$ Otrzymujemy%
\[
x=P\tilde{x}\text{\quad oraz\quad}y=Q\tilde{y}.
\]
\L \k{a}cz\k{a}c powy\.{z}sze zale\.{z}no\'{s}ci z r\'{o}wnaniem (\ref{2})
mamy%
\[
Q\tilde{y}=AP\tilde{x},
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
\tilde{y}=Q^{-1}AP\tilde{x}.
\]
Oznacza to, \.{z}e w nowych bazach przestrzeni $X$ oraz $Y$ odwzorowanie $f$
reprezentowane jest przez macierz $Q^{-1}AP$. W szczeg\'{o}lno\'{s}ci,
je\.{z}eli $f:X\rightarrow X$ jest endomorfizmem reprezentowanym przez macierz
$A$ wyznaczon\k{a} w bazie $e$ przestrzeni $X,$ to macierz\k{a} tego
endomorfizmu w bazie $\tilde{e}$ jest macierz $P^{-1}AP,$ gdzie $P$ jest
macierz\k{a} przej\'{s}cia z baze $e$ do bazy $\tilde{e}$.

\subsection{\ Baza z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych}

Rozwa\.{z}my endomorfizm $f:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$, gdzie
$\mathbb{F=R}$ lub $\mathbb{F=C}$; przestrze\'{n} wektorow\k{a} $\mathbb{F}%
^{n}$ rozwa\.{z}amy nad cia\l em $\mathbb{F}$. Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e
endomorfizm $f$ jest diagonalizowalny. Oznacza to, \.{z}e istnieje baza $v$
przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ z\l o\.{z}ona z wektor\'{o}w w\l asnych
endomorfizmu $f$. Niech $A$ b\k{e}dzie macierz\k{a} tego endomorfizmu w
wybranej bazie przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$. Z powy\.{z}szych rozwa\.{z}a\'{n}
wynika, \.{z}e je\.{z}eli $P$ jest macierz\k{a} przej\'{s}cia z wybranej bazy
przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ do bazy $v$, to w tej nowej bazie endomorfizm $f$
jest reprezentowany przez macierz diagonaln\k{a} $\operatorname*{diag}\left(
\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  $, gdzie $\lambda_{i}$ jest
warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} endomorfizmu $f$ odpowiadaj\k{a}c\k{a}
wektorowi w\l asnemu $v_{i}$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  .$ Macierz\k{a}
ustalaj\k{a}c\k{a} podobie\'{n}stwo mi\k{e}dzy macierzami $A$ oraz
$\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  $ jest
macierz $P$, tzn.%
\[
P^{-1}AP=\operatorname*{diag}\left(  \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\right)  .
\]
Poniewa\.{z} $i$--t\k{a} kolumn\k{a} macierzy $P$ s\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dne
$i$--tego wektora bazy $v$ wzgl\k{e}dem starej bazy przestrzeni $\mathbb{F}%
^{n}$, zatem wybieraj\k{a}c jako t\k{e} star\k{a} baz\k{e} baz\k{e}
kanoniczn\k{a}, $i$--t\k{a} kolumn\k{a} macierzy $P$ s\k{a}
wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora w\l asnego endomorfizmu $f$, tzn.
$P=\left[  v_{1},\ldots,v_{n}\right]  $ (zob. przyk\l ad 7.5, str. 53).

\subsection{\ Baza Jordana}

Je\.{z}eli endomorfizm $f:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$ nie jest
diagonalizowalny to nie istnieje baza przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$
z\l o\.{z}ona z jego wektor\'{o}w w\l asnych. Zawsze mo\.{z}emy natomiast
wyznaczy\'{c} baz\k{e} przestrzeni $\mathbb{F}^{n}$ z\l o\.{z}on\k{a} z jego
wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych. Oznaczmy t\k{e} baz\k{e} przez $v$. Wiemy, \.{z}e
w bazie tej macierz endomorfizmu $f$ ma posta\'{c} Jordana. Je\.{z}eli $A$
jest macierz\k{a} ednomorfizmu $f$ w innej bazie, a $P$ jest macierz\k{a}
przej\'{s}cia z tej bazy do bazy z\l o\.{z}onej z wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych,
to w\'{o}wczas
\[
P^{-1}AP=J,
\]
gdzie $J$ jest macierz\k{a} Jordana endomorfizmu $f$. Wybieraj\k{a}c jako
t\k{e} star\k{a} baz\k{e} baz\k{e} kanoniczn\k{a}, $i$--t\k{a} kolumn\k{a}
macierzy $P$ s\k{a} wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $i$--tego wektora g\l \'{o}wnego
endomorfizmu $f$ (zob. przyk\l ad~9.2).

\bigskip

\noindent Na zako\'{n}czenie rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy

\begin{example}
Niech $D:\Pi_{3}\rightarrow\Pi_{3}$ b\k{e}dzie endomorfizmem okre\'{s}lonym
wzorem
\[
D\left(  f\right)  =f^{\prime}.
\]
Wybieraj\k{a}c w przestrzeni $\Pi_{3}$ baz\k{e} $e_{1}=1,$ $e_{2}=x,$
$e_{3}=x^{2},$ $e_{4}=x^{3}$, otrzymujemy:%
\[
D\left(  e_{1}\right)  =0,\text{ }D\left(  e_{2}\right)  =e_{1},\text{
}D\left(  e_{3}\right)  =2e_{2},\text{ }D\left(  e_{4}\right)  =3e_{3}.
\]
W bazie $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ przestrzeni $\Pi_{3}$ macierz $A$
endomorfizmu $D$ ma wi\k{e}c posta\'{c}%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  .
\]
Poniewa\.{z} $\varphi_{A}\left(  \lambda\right)  =\lambda^{4}$ zatem
$\lambda_{0}=0$ jest jedyn\k{a} warto\'{s}ci\k{a} w\l asn\k{a} macierzy $A$
(endomorfizmu $D$). Poniewa\.{z}
\[
\dim\ker\left(  A-\lambda_{0}I\right)  =\dim\ker A=4-\operatorname*{rank}A=1,
\]
zatem dla macierzy $A$ istnieje tylko jeden liniowo niezale\.{z}ny wektor
w\l asny postaci $\left(  t,0,0,0\right)^T  ,$ $t\in\mathbb{R}\backslash\left\{
0\right\}  $. Macierz $A$ nie jest wi\k{e}c diagonalizowalna. Wyznaczymy jej
wektory g\l \'{o}wne. Dla ustalonego $t\neq0$, mamy:%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
t\\
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika: $x=r,y=t,$ $z=w=0$, gdzie $r\in\mathbb{R}.$ Tym samym $v^{\left(  2\right)  }=\left(  r,t,0,0\right)^T  $ jest
wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}dy $2$. Podobnie, dla ustalonych $t\neq0$ oraz
$r\in\mathbb{R}$, mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
r\\
t\\
0\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika: $x=s,y=r,z=\frac{1}{2}t,w=0,$ gdzie $s\in\mathbb{R}.$ Tym samym $v^{\left(  3\right)  }=\left(
s,r,\frac{1}{2}t,0\right)^T  $ jest wektorem g\l \'{o}wnym rz\k{e}dy $3$. Musimy
wyznaczy\'{c} jeszcze wektor g\l \'{o}wny rz\k{e}du $4$. Mamy%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
s\\
r\\
\frac{1}{2}t\\
0
\end{array}
\right]  ,
\]
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $x=p,y=s,z=\frac{1}{2}r,w=\frac{1}{6}t,$ gdzie
$p,s,r,t\in\mathbb{R}, t\neq 0.$ Ustalaj\k{a}c $p=s=1,$
$r=2,t=6$ otrzymujemy cztery liniowo niezale\.{z}ne wektory g\l \'{o}wne
macierzy $A$%
\begin{align*}
v^{\left(  1\right)  }  &  =\left(  6,0,0,0\right)^T  ,\\
v^{\left(  2\right)  }  &  =\left(  2,6,0,0\right)^T  ,\\
v^{\left(  3\right)  }  &  =\left(  1,2,3,0\right)^T  ,\\
v^{\left(  4\right)  }  &  =\left(  1,1,1,1\right)^T  .
\end{align*}
Odpowiadaj\k{a} one czterem wektorom g\l \'{o}wnym endomorfizmu $D$:%
\[
v_{1}=6,\text{ }v_{2}=2+6x,\text{ }v_{3}=1+2x+3x^{2},\text{ }v_{4}%
=1+x+x^{2}+x^{3}.
\]
\L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e macierz%
\[
P=\left[  v^{\left(  1\right)  },v^{\left(  2\right)  },v^{\left(  3\right)
},v^{\left(  4\right)  }\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
jest macierz\k{a} przej\'{s}cia z bazy $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ do bazy
z\l o\.{z}onej z wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych endomorfizmu $D$. Faktycznie,%
\[
P^{-1}AP=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  ^{-1}\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
6 & 2 & 1 & 1\\
0 & 6 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  =J.
\]
Macierz Jordana $J$ jest macierz\k{a} endomorfizmu $D$ w bazie z\l o\.{z}onej
z jego wektor\'{o}w g\l \'{o}wnych.
\end{example}

\end{document}