\documentclass[man,11pt]{mgrwms}%
\usepackage[math]{kurier}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, December 19, 2019 21:58:03}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\newcommand{\aff}[1]{\operatorname{aff({#1})}}
\numberwithin{equation}{chapter}
\makeindex
\newenvironment{proof}[1][Dow\'od]{\noindent {#1:} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{definition}{Definicja}[chapter]
\newtheorem{remark}{Uwaga}[chapter]
\newtheorem{example}{Przyk\l ad}[chapter]
\newtheorem{proposition}{W\l asno\'s\'c}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Wniosek}
\begin{document}

%\tableofcontents


\setcounter{page}{71} \setcounter{chapter}{9} \sloppy


\chapter{Przestrzenie unitarne}

Niech $X$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad cia\l em $\mathbb{F}%
=\mathbb{R}$ lub $\mathbb{F}=\mathbb{C}$.

\begin{definition}
Funkcj\k{e} $s:X\times X\rightarrow\mathbb{F}$\ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki:

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{F},\forall x,y,z\in X:s\left(
\alpha x+\beta y,z\right)  =\alpha s\left(  x,z\right)  +\beta s\left(
y,z\right)  ;$

\item[(b)] $\forall x,y\in X:s\left(  x,y\right)  =\overline{s\left(
y,x\right)  };$

\item[(c)] $\forall x\in X:s\left(  x,x\right)  \geq0$ oraz $s\left(
x,x\right)  =0\Leftrightarrow x=0$
\end{enumerate}

nazywamy \textcolor{blue}{iloczynem skalarnym}. Par\k{e} $\left(  X,s\right)
$\ nazywamy \textcolor{blue}{przestrzeni\k{a} unitarn\k{a}}.
\end{definition}

\noindent Iloczyn skalarny wektor\'{o}w $x,y$ b\k{e}dziemy r\'{o}wnie\.{z}
oznacza\'c jako $\left\langle x,y\right\rangle $ lub $x\circ y$.

Je\.{z}eli $X$ jest rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a} (tj.
przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad cia\l em liczb rzeczywistych) to iloczyn
skalarny okre\'{s}lony w przestrzeni $X$ przyjmuje warto\'{s}ci rzeczywiste. W
takim przypadku warunek (b) w powy\.{z}szej definicji r\'{o}wnowa\.{z}ny jest warunkowi

\begin{enumerate}
\item[(b')] $\forall x,y\in X:s\left(  x,y\right)  =s\left(  y,x\right)
.$\textbf{\ }
\end{enumerate}

\begin{example}
Niech $X=\mathbb{R}^{n}$ oraz niech $\alpha_{i}>0$ $\left(  i=1,\ldots
,n\right)  $ b\k{e}d\k{a} ustalonymi liczbami. \L atwo sprawdzi\'{c}
(\'{c}wiczenie), \.{z}e odwzorowanie%
\begin{equation}
\left\langle \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  ,\left(  y_{1},\ldots
,y_{n}\right)  \right\rangle =\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{k}x_{k}y_{k}
\label{11.1}%
\end{equation}
jest iloczynem skalarnym w $X$. Przyjmuj\k{a}c $\alpha_{i}=1$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $ wz\'{o}r (\ref{11.1}) okre\'{s}la tzw.
\textit{naturalny iloczyn skalarny} w $\mathbb{R}^{n}.$
\end{example}

\begin{example}
Odwzorowanie $s$ okre\'{s}lone wzorem%
\[
s\left(  f,g\right)  =\int_{a}^{b}f\left(  x\right)  g\left(  x\right)  dx
\]
jest iloczynem skalarnym w przestrzeni funkcji ci\k{a}g\l ych na przedziale
$\left[  a,b\right]  $ o warto\'{s}ciach w $\mathbb{R}$.
\end{example}

\begin{example}
Niech $X=\mathbb{R}^{m\times n}$. Dla macierzy $A=\left[  a_{ij}\right]  ,$
$B=\left[  b_{ij}\right]  $ definiujemy:%
\[
s\left(  A,B\right)  =\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}.
\]
\L atwo wykaza\'{c}, \.{z}e $s$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni
$\mathbb{R}^{m\times n}$.
\end{example}

\section{Nier\'owno\'s\'c Schwarza}

Wa\.znym wnioskiem z definicji iloczynu skalarnego jest tzw. nier\'owno\'s\'c Schwarza.

\begin{theorem}
[nier\'{o}wno\'{s}\'{c} Schwarza]Dla dowolnych wektor\'{o}w $x,y$%
\ rzeczywistej przestrzeni liniowej wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny
$s$\ zachodzi%
\begin{equation}
\left\vert s\left(  x,y\right)  \right\vert \leq\sqrt{s(x,x)}\sqrt{s(y,y)}.
\label{11.3}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
Dla dowolnych ustalonych wektor\'{o}w $x,y$ rozwa\.{z}my funkcj\k{e}
\[
\varphi\left(  t\right)  =s\left(  x+ty,x+ty\right)
\]
zmiennej $t\in\mathbb{R}$. Bez straty og\'{o}lno\'{s}ci mo\.{z}emy
za\l o\.{z}y\'{c}, \.{z}e $y\neq0.$ Z warunku (c) definicji~10.1 wynika,
\.{z}e
\begin{equation}
\varphi\left(  t\right)  \geq0,\text{\quad dla }t\in\mathbb{R}\text{.}
\label{11.4}%
\end{equation}
Poniewa\.{z}%
\[
\varphi\left(  t\right)  =t^{2}s\left(  y,y\right)  +2ts\left(  x,y\right)
+s\left(  x,x\right)
\]
zatem $\varphi$ jest funkcj\k{a} kwadratow\k{a}, kt\'{o}ra -- wobec warunku
(\ref{11.4}) -- ma niedodatni wyr\'{o}\.{z}nik, tj.%
\[
\triangle=4s^{2}\left(  x,y\right)  -4s\left(  x,x\right)  s\left(
y,y\right)  \leq0,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[
s^{2}\left(  x,y\right)  \leq s\left(  x,x\right)  s\left(  y,y\right)  .
\]
St\k{a}d wynika zale\.{z}no\'{s}\'{c} (\ref{11.3}).
\end{proof}

\section{\ Norma okre\'{s}lona przez iloczyn skalarny}

Niech $X$ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a}.

\begin{definition}
\textit{Funkcj\k{e} }$\left\Vert \cdot\right\Vert :X\rightarrow\mathbb{R}%
$\textit{\ spe\l niaj\k{a}c\k{a} warunki}

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\forall x\in X:\left\Vert x\right\Vert \geq0$\textit{\ oraz}
$\left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0;$

\item[(b)] $\forall x\in X,\forall\alpha\in\mathbb{R}:\left\Vert \alpha
x\right\Vert =\left\vert \alpha\right\vert \cdot\left\Vert x\right\Vert ;$

\item[(c)] $\forall x,y\in X:\left\Vert x+y\right\Vert \leq\left\Vert
x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert $ \textit{(nier\'{o}wno\'{s}\'{c}
tr\'{o}jk\k{a}ta)}
\end{enumerate}

\textit{nazywamy \textcolor{blue}{norm\k{a}}. Par\k{e} }$\left(  X,\left\Vert
\cdot\right\Vert \right)  $\textit{\ nazywamy
\textcolor{blue}{przestrzeni\k{a}
unormowan\k{a}}.}
\end{definition}

Warunki wyst\k{e}puj\k{a}ce w powy\.{z}szej definicji to naturalne wymagania
stawiane przed funkcj\k{a} mierz\k{a}c\k{a} d\l ugo\'{s}\'{c} wektor\'{o}w.

Wyka\.{z}emy teraz, \.{z}e je\.{z}eli w rzeczywistej przestrzeni liniowej $X$
zdefiniowano iloczyn skalarny $s$ to funkcja $\left\Vert \cdot\right\Vert
_{s}:X\rightarrow\mathbb{R}$ okre\'{s}lona wzorem%
\begin{equation}
\left\Vert x\right\Vert _{s}:=\sqrt{s\left(  x,x\right)  } \label{11.2}%
\end{equation}
jest norm\k{a} w $X$.

Zauwa\.{z}my na pocz\k{a}tek, \.{z}e na podstawie warunku (c) definicji 10.1,
funkcja $\left\Vert \cdot\right\Vert _{s}$ jest dobrze okre\'{s}lona --
warto\'{s}ci $s\left(  x,x\right)  $ s\k{a} nieujemne; ten sam warunek
gwarantuje r\'{o}wnie\.{z}, \.{z}e punkt (a) definicji 10.2 jest spe\l niony.
Poniewa\.{z}%
\begin{align*}
\left\Vert \alpha x\right\Vert _{s}  &  =\sqrt{s\left(  \alpha x,\alpha
x\right)  }=\sqrt{\alpha s\left(  x,\alpha x\right)  }=\sqrt{\alpha s\left(
\alpha x,x\right)  }=\sqrt{\alpha^{2}s\left(  x,x\right)  }\\
&  =\left\vert \alpha\right\vert \sqrt{s\left(  x,x\right)  }=\left\vert
\alpha\right\vert \cdot\left\Vert x\right\Vert _{s}%
\end{align*}
zatem punkt (b) r\'{o}wnie\.{z} zachodzi. Aby uzasadni\'c punkt (c),
zauwa\.zmy, \.ze dla dowolnych $x,y\in X$ mamy
\begin{align*}
\left\Vert x+y\right\Vert _{s}^{2}  &  =s\left(  x+y,x+y\right)  =s\left(
x,x\right)  +2s\left(  x,y\right)  +s\left(  y,y\right) \\
&  \leq s\left(  x,x\right)  +2\sqrt{s\left(  x,x\right)  s\left(  y,y\right)
}+s\left(  y,y\right) \\
&  =\left(  \sqrt{s\left(  x,x\right)  }+\sqrt{s\left(  y,y\right)  }\right)
^{2}=\left(  \left\Vert x\right\Vert _{s}+\left\Vert y\right\Vert _{s}\right)
^{2}.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e wz\'{o}r (\ref{11.2}) definiuje norm\k{e} w dowolnej
przestrzeni unitarnej.

\section{Ortogonalno\'{s}\'{c}}

Z nier\'{o}wno\'{s}ci Schwarza wynika, \.{z}e dla niezerowych wektor\'{o}w
$x,y$ rzeczywistej przestrzeni $X$:%
\[
-1\leq\frac{s\left(  x,y\right)  }{\left\Vert x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert
y\right\Vert _{s}}\leq1.
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e iloraz $s\left(  x,y\right)  /\left(  \left\Vert
x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert _{s}\right)  $ jest kosinusem
\'{s}ci\'{s}le okre\'{s}lonego k\k{a}ta $\measuredangle\left(  x,y\right)  $:%
\[
\cos\measuredangle\left(  x,y\right)  =\frac{s\left(  x,y\right)  }{\left\Vert
x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert _{s}},\text{\quad}%
\measuredangle\left(  x,y\right)  \in\left[  0,\pi\right]  .
\]
Na podstawie definicji przyjmujemy, \.{z}e jest to k\k{a}t mi\k{e}dzy
wektorami $x$ oraz $y$. Mamy wi\k{e}c%
\[
s\left(  x,y\right)  =\left\Vert x\right\Vert _{s}\cdot\left\Vert y\right\Vert
_{s}\cdot\cos\measuredangle\left(  x,y\right)  .
\]


\begin{definition}
Dwa wektory nazywamy \textcolor{blue}{ortogonalnymi}, je\.{z}eli ich iloczyn
skalarny jest r\'{o}wny zero.
\end{definition}

Wektor zerowy jest jedynym wektorem prostopad\l ym do ka\.{z}dego wektora
(r\'{o}wnie\.{z} do siebie samego).

\begin{example}
Rozwa\.{z}my przestrze\'{n} $\mathbb{R}^{3}$ z naturalnym iloczynem skalarnym
(zob. przyk\l ad 10.1). Dla wektor\'{o}w $v_{1}=\left(  1,\sqrt{3},0\right)
,v_{2}=\left(  0,1,0\right)  $ mamy%
\[
\cos\varphi=\frac{s\left(  v_{1},v_{2}\right)  }{\left\Vert v_{1}\right\Vert
_{s}\cdot\left\Vert v_{2}\right\Vert _{s}}=\frac{1\cdot0+\sqrt{3}\cdot
1+0\cdot0}{\sqrt{1+3}\cdot\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}%
\]
Tym samym $\measuredangle\left(  v_{1},v_{2}\right)  =\varphi=\frac{\pi}{6}$.
\end{example}

\begin{example}
W przestrzeni $\Pi_{n}$ definiujemy funkcje:%
\begin{align*}
s_{1}\left(  f,g\right)   &  =\int_{-1}^{1}f\left(  x\right)  g\left(
x\right)  dx,\\
s_{2}\left(  f,g\right)   &  =\sum\limits_{k=0}^{n}f^{\left(  k\right)
}\left(  -1\right)  g^{\left(  k\right)  }\left(  -1\right)  .
\end{align*}
Przestrzenie $\left(  \Pi_{n},s_{1}\right)  $ oraz $\left(  \Pi_{n}%
,s_{2}\right)  $ s\k{a} przestrzeniami unitarnymi. Niech $f\left(  x\right)
=2x+1$ oraz $g\left(  x\right)  =3x^{2}-3x+1$. W\'{o}wczas%
\begin{align*}
s_{1}\left(  f,g\right)   &  =\int_{-1}^{1}\left(  2x+1\right)  \left(
3x^{2}-3x+1\right)  dx=\int_{-1}^{1}6x^{3}-3x^{2}-x+1dx=0,\\
s_{2}\left(  f,g\right)   &  =f\left(  -1\right)  g\left(  -1\right)
+f^{\prime}\left(  -1\right)  g^{\prime}\left(  -1\right)  +f^{\prime\prime
}\left(  -1\right)  g^{\prime\prime}\left(  -1\right)  =-25.
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e rozwa\.{z}ane wielomiany s\k{a} ortogonalne w przestrzeni
$\left(  \Pi_{n},s_{1}\right)  $, natomiast nie s\k{a} ortogonalne w
przestrzeni $\left(  \Pi_{n},s_{2}\right)  $.
\end{example}

\section{Twierdzenie Pitagorasa -- wersja abstrakcyjna}

W ka\.{z}dej przestrzeni euklidesowej (tj. przestrzeni unitarnej nad cia\l em
liczb rzeczywistych) prawdziwe jest nast\k{e}puj\k{a}ce twierdzenie; z
twierdzenia tego wynikaj\k{a} znane z lekcji geometrii twierdzenie Pitagorasa
oraz tzw. odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

\begin{theorem}
\label{Pit}Niech $\left(  X,s\right)  $ b\k{e}dzie rzeczywist\k{a}
przestrzeni\k{a} unitarn\k{a} oraz niech funkcja $\left\Vert \cdot\right\Vert
_{s}\ $b\k{e}dzie okre\'{s}lona jak w (\ref{11.2}). W\'{o}wczas, dla dowolnych
$f,g\in X$%
\[
\left\Vert f+g\right\Vert _{s}^{2}=\left\Vert f\right\Vert _{s}^{2}+\left\Vert
g\right\Vert _{s}^{2}\quad\Leftrightarrow\quad f\perp g\text{.}%
\]

\end{theorem}

\begin{proof}
Zauwa\.{z}my, \.{z}e
\begin{align*}
\left\Vert f+g\right\Vert _{s}^{2}  &  =s\left(  f+g,f+g\right)  =s\left(
f,f\right)  +s\left(  f,g\right)  +s\left(  g,f\right)  +s\left(  g,g\right)
\\
&  =\left\Vert f\right\Vert _{s}^{2}+2s\left(  f,g\right)  +\left\Vert
g\right\Vert _{s}^{2}\text{.}%
\end{align*}
Oznacza to, \.{z}e r\'{o}wno\'{s}\'{c} $\left\Vert f+g\right\Vert _{s}%
^{2}=\left\Vert f\right\Vert _{s}^{2}+\left\Vert g\right\Vert _{s}^{2}$
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $s\left(  f,g\right)  =0$, tj. $f\perp g$.
\end{proof}

\section{Ortogonalizacja Grama--Schmidta}

Rozwa\.{z}my ci\k{a}g $v_{1},\ldots,v_{n}$ wektor\'{o}w rzeczywistej
przestrzeni liniowej $X$ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny $s$. Je\.{z}eli
$v_{i}\perp v_{j}$ dla $i\neq j$ to m\'{o}wimy, \.{z}e ci\k{a}g $v_{1}%
,\ldots,v_{n}$ jest ci\k{a}giem wektor\'{o}w \textbf{ortogonalnych}.
Je\.{z}eli dodatkowo $\left\Vert v_{i}\right\Vert _{s}=1$ $\left(
i=1,\ldots,n\right)  $ to ci\k{a}g ten nazywamy ci\k{a}giem \textcolor{blue}{ortonormalnym}.

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wektory $v_{1},\ldots,v_{n}$ stanowi\k{a} baz\k{e}
przestrzeni $X$. Podamy teraz algorytm modyfikuj\k{a}cy t\k{e} baz\k{e} w taki
spos\'{o}b, \.{z}e nowo otrzymana baza $\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{n}$
jest baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni $X$.

\begin{theorem}
\textit{Niech ci\k{a}g }$v_{1},\ldots,v_{n}$\textit{\ stanowi baz\k{e}
rzeczywistej przestrzeni }$X$\textit{\ wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny }%
$s$\textit{. W\'{o}wczas ci\k{a}g wektor\'{o}w }$\tilde{v}_{1},\ldots
,\tilde{v}_{n}$\textit{\ okre\'{s}lonych wzorami}%
\[
\tilde{v}_{1}=\frac{v_{1}}{\left\Vert v_{1}\right\Vert _{s}},\text{ }\tilde
{v}_{k}=\frac{v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}}{\left\Vert v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}\right\Vert _{s}%
},\text{\quad}k=2,\ldots,n
\]
\textit{jest taki \.{z}e:}
\end{theorem}

\begin{itemize}
\item[a)] \textit{dla ka\.{z}dego }$k\in\left\{  1,\ldots,n\right\}
:$\textit{\ }$\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k}\right\}
=\operatorname*{span}\left\{  \tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k}\right\}  ;$

\item[b)] \textit{ci\k{a}g }$\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{n}$\textit{\ jest
baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni }$X$\textit{.}
\end{itemize}

\begin{proof}
Dow\'{o}d poprowadzimy przez indukcj\k{e} wzgl\k{e}dem $n$. Dla $n=1$
twierdzenie jest prawdziwe, tj. $\left\Vert \tilde{v}_{1}\right\Vert _{s}=1$
oraz $\operatorname*{span}\left\{  v_{1}\right\}  =\operatorname*{span}%
\left\{  \tilde{v}_{1}\right\}  $. Przypu\'{s}\'{c}my wi\k{e}c, \.{z}e uk\l ad
$\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k-1}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a}
przestrzeni $\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k-1}\right\}  $.
Niech $v=v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}.$ Wyka\.{z}emy teraz,
\.{z}e wektor $v$ jest ortogonalny do wektor\'{o}w $\tilde{v}_{1}%
,\ldots,\tilde{v}_{k-1}$. Mamy dla $j=1,\ldots,k-1$:%
\begin{align*}
s\left(  v,\tilde{v}_{j}\right)   &  =s\left(  v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i},\tilde{v}_{j}\right)
=s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)  -%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  s\left(  \tilde{v}_{i},\tilde{v}%
_{j}\right) \\
&  =s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)  -s\left(  v_{k},\tilde{v}_{j}\right)
=0.
\end{align*}
Zauwa\.{z}my ponadto, \.{z}e $v\neq0.$ W przeciwnym przypadku $v_{k}%
\in\operatorname*{span}\left\{  \tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k-1}\right\}
=\operatorname*{span}\left\{  v_{1},\ldots,v_{k-1}\right\}  $ wbrew liniowej
niezale\.{z}no\'{s}ci wektor\'{o}w $v_{1},\ldots,v_{n}$. Mo\.{z}emy wi\k{e}c
przyj\k{a}\'{c}
\[
\tilde{v}_{k}:=\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert _{s}}=\frac{v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}}{\left\Vert v_{k}-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{i=1}^{k-1}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{i=1}^{k-1}}
%EndExpansion
s\left(  v_{k},\tilde{v}_{i}\right)  \tilde{v}_{i}\right\Vert _{s}}.
\]
Tym samym wektory $\tilde{v}_{1},\ldots,\tilde{v}_{k}$ tworz\k{a} uk\l ad
wektor\'{o}w ortonormalnych oraz rozpinaj\k{a} t\k{e} sam\k{a} przestrze\'{n}
co wektory $v_{1},\ldots,v_{k}$.
\end{proof}

\begin{example}
Niech $X=\left\{  \left(  x,y,z,w\right)  \in\mathbb{R}^{4}%
:x+2y+3z+w=0,x+y+z=0\right\}  .$ \L atwo stwierdzi\'{c}, \.{z}e
\[
X=\left\{  \left(  -y-z,y,z,-y-2z\right)  :y,z\in\mathbb{R}\right\}  .
\]
Jest to wi\k{e}c podprzestrze\'{n} liniowa przestrzeni $\mathbb{R}^{4},$ a
poniewa\.{z}%
\[
\left(  -y-z,y,z,-y-2z\right)  =y\left(  -1,1,0,-1\right)  +z\left(
-1,0,1,-2\right)
\]
zatem jej baz\k{a} s\k{a} wektory $e_{1}=\left(  -1,1,0,-1\right)
,e_{2}=\left(  -1,0,1,-2\right)  .$ Wyznaczymy baz\k{e} ortonormaln\k{a}
przestrzeni $X$ w sensie naturalnego iloczynu skalarnego indukowanego z
przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$. Z twierdzenia 10.2 wynika, \.{z}e szukana baza
$\tilde{e}_{1},\tilde{e}_{2}$ mo\.{z}e by\'{c} wyznaczona ze wzor\'{o}w%
\[
\tilde{e}_{1}=\frac{e_{1}}{\left\Vert e_{1}\right\Vert },\text{\quad}\tilde
{e}_{2}=\frac{e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}_{1}%
}{\left\Vert e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}%
_{1}\right\Vert }.
\]
Poniewa\.{z} $\left\Vert e_{1}\right\Vert =\sqrt{e_{1}\circ e_{1}}=\sqrt{3},$
zatem $\tilde{e}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  .$ Podobnie,
poniewa\.{z}%
\begin{align*}
e_{2}-\left(  e_{2}\circ\tilde{e}_{1}\right)  \tilde{e}_{1} =  &  \left(
-1,0,1,-2\right)  -\left(  \left(  -1,0,1,-2\right)  \circ\frac{\sqrt{3}}%
{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  \right)  \times\\
&  \times\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  =\left(
-1,0,1,-2\right)  -\left(  -1,1,0,-1\right)  =\\
=  &  \left(  0,-1,1,-1\right)
\end{align*}
wi\k{e}c%
\[
\tilde{e}_{2}=\frac{\left(  0,-1,1,-1\right)  }{\sqrt{\left(
0,-1,1,-1\right)  \circ\left(  0,-1,1,-1\right)  }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(
0,-1,1,-1\right)  .
\]
Wektory $\tilde{e}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  $ oraz
$\tilde{e}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  0,-1,1,-1\right)  $ s\k{a} baz\k{a}
ortonormaln\k{a} przestrzeni $X$.
\end{example}

\section{\ Rzut prostopad\l y na podprzestrze\'{n} liniow\k{a}}

Niech $V$ b\k{e}dzie $n$-wymiarow\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}
rzeczywistej przestrzeni unitarnej $\left(  X,s\right)  $. Rozwa\.{z}my
dowolny wektor $u\in X\backslash V$.

\begin{definition}
Wektor $u^{\ast}\in V$\ nazywamy \textcolor{blue}{rzutem ortogonalnym} wektora
$u$\ na podprzestrze\'{n} $V$, je\.{z}eli $u-u^{\ast}\perp V,$\ tzn.%
\begin{equation}
\forall v\in V:u-u^{\ast}\perp v. \label{11.5}%
\end{equation}

\end{definition}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Rzut.png}\newline{\footnotesize {Wykres
3. Rzut ortogonalny wektora $u$ na podprzestrze\'{n} liniow\k{a} $V$
rozpi\k{e}t\k{a} przez wektor $u_{1}$.}}
\end{center}

Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e wektory $u_{1},\ldots,u_{n}$ s\k{a} baz\k{a}
podprzestrzeni $V.$ Warunek (\ref{11.5}) r\'{o}wnowa\.{z}ny jest w\'{o}wczas
warunkowi%
\begin{equation}
u-u^{\ast}\perp u_{i}\text{\quad}\left(  i=1,\ldots,n\right)  . \label{11.6}%
\end{equation}
Poniewa\.{z} $u^{\ast}\in V$ zatem istniej\k{a} skalary $\alpha_{i}%
\in\mathbb{R}$ $\left(  i=1,\ldots,n\right)  $ dla kt\'{o}rych
\[
u^{\ast}=\alpha_{1}^{\ast}u_{1}+\ldots+\alpha_{n}^{\ast}u_{n}.
\]
Aby wyznaczy\'{c} rzut ortogonalny $u^{\ast}$ wektora $u$ wystarczy wi\k{e}c
wyznaczy\'{c} jego wsp\'{o}\l rz\k{e}dne $\alpha_{1}^{\ast},\ldots,\alpha
_{n}^{\ast}$ wzgl\k{e}dem dowolnej bazy przestrzeni $V$. Zale\.{z}no\'{s}\'{c}
(\ref{11.6}) oznacza, \.{z}e dla $i=1,\ldots,n$:%
\[
0=s\left(  u-u^{\ast},u_{i}\right)  =s\left(  u-%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}^{\ast}u_{k},u_{i}\right)  =s\left(  u,u_{i}\right)  -%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}^{\ast}s\left(  u_{k},u_{i}\right)  ,
\]
lub r\'{o}wnowa\.{z}nie%
\[%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
s\left(  u_{i},u_{k}\right)  \alpha_{k}^{\ast}=s\left(  u,u_{i}\right)  .
\]
Szukane warto\'{s}ci $\alpha_{1}^{\ast},\ldots,\alpha_{n}^{\ast}$ s\k{a}
wi\k{e}c rozwi\k{a}zaniem uk\l adu r\'{o}wna\'{n} liniowych
\begin{equation}
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
s\left(  u_{1},u_{1}\right)  & \cdots & s\left(  u_{1},u_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
s\left(  u_{n},u_{1}\right)  & \cdots & s\left(  u_{n},u_{n}\right)
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha_{1}^{\ast}\\
\vdots\\
\alpha_{n}^{\ast}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
s\left(  u,u_{1}\right) \\
\vdots\\
s\left(  u,u_{n}\right)
\end{array}
\right]  . \label{11.7}%
\end{equation}
Macierz $G=\left[  s\left(  u_{i},u_{j}\right)  \right]  $ tego uk\l adu --
tzw. \textit{macierz Grama} -- posiada wiele wa\.znych i interesuj\k{a}cych
w\l asno\'{s}ci. Mo\.{z}na na przyk\l ad pokaza\'{c}, \.{z}e jej wyznacznik
jest r\'{o}\.{z}ny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $u_{1}%
,\ldots,u_{n}$ s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne (zob. zestaw 12, zad. 5).
Posta\'{c} macierzy $G$ zale\.{z}y od wyboru bazy przestrzeni $V$. W
przypadku, gdy baza $u_{1},\ldots,u_{n}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a},
macierz $G$ jest macierz\k{a} jednostkow\k{a}, a rozwi\k{a}zaniem uk\l adu
(\ref{11.7}) s\k{a} skalary%
\[
\alpha_{i}^{\ast}=s\left(  u,u_{i}\right)  ,\text{\quad}\left(  i=1,\ldots
,n\right)  .
\]


\noindent Wynika st\k{a}d nast\k{e}puj\k{a}ce

\begin{theorem}
\label{th10}Niech $u_{1},\ldots,u_{n}$\ b\k{e}dzie baz\k{a} ortonormaln\k{a}
podprzestrzeni $V$\ przestrzeni liniowej $X$\ wyposa\.{z}onej w iloczyn
skalarny $s.$\ Dla dowolnego wektora $u\in X$\ istnieje dok\l adnie jeden
wektor $u^{\ast}\in V$\ b\k{e}d\k{a}cy rzutem ortogonalnym wektora $u$\ na
podprzestrze\'{n} $V.$\ Wektor ten okre\'{s}lony jest wzorem:
\begin{equation}
u^{\ast}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}
%EndExpansion
s\left(  u,u_{i}\right)  u_{i}\text{.} \label{11.8}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{example}
Wyznaczymy rzut ortogonalny wektora $u=\left(  1,1,1,1\right)  $ na
podprzestrze\'{n} $X$ przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$ rozwa\.{z}an\k{a} w
przyk\l adzie 10.6 (z naturalnym iloczynem skalarnym). Przypomnijmy, \.{z}e
ortonormaln\k{a} baz\k{e} $X$ stanowi\k{a} wektory%
\[
u_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  ,\text{\quad}u_{2}%
=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  0,-1,1,-1\right)  .
\]
Poszukiwany wektor $u^{\ast}$ wyznaczymy ze wzoru (\ref{11.8}). Otrzymujemy%
\[
u^{\ast}=\left(  u\circ u_{1}\right)  u_{1}+\left(  u\circ u_{2}\right)
u_{2}=-\frac{1}{3}\left(  -1,1,0,-1\right)  -\frac{1}{3}\left(
0,-1,1,-1\right)  =\frac{1}{3}\left(  1,0,-1,2\right)  .
\]

\end{example}

\subsection{Optymalno\'{s}\'{c} rzutu ortogonalnego}

Niech $\left(  X,\left\Vert \cdot\right\Vert _{s}\right)  $ b\k{e}dzie
przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}, kt\'{o}rej norma $\left\Vert \cdot\right\Vert
_{s}$ zdefiniowana jest przy pomocy iloczynu skalarnego $s$ (jak w
(\ref{11.2})); niech $V\subset X$ b\k{e}dzie podprzestrzeni\k{a}
sko\'{n}czenie wymiarow\k{a}.

Rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy problem: dla elementu $f\in X$ wyznaczy\'{c},
o ile istnieje, element $h^{\ast}\in V$ l\k{e}\.{z}\k{a}cy najbli\.{z}ej (w
sensie normy $\left\Vert \cdot\right\Vert _{s}$) elementu $f$, tj.%
\[
\left\Vert f-h^{\ast}\right\Vert _{s}\leq\left\Vert f-h\right\Vert
_{s},\text{\qquad}\forall h\in V\text{.}%
\]
Element $h^{\ast}$ nazywamy w\'{o}wczas elementem optymalnym dla $f$ w $V$.
Za\l o\.{z}enia (a dok\l adniej -- sko\'{n}czony wymiar $V$ oraz zdefiniowanie
normy przy pomocy iloczynu skalarnego) gwarantuj\k{a}, \.{z}e dla ka\.{z}dego
elementu $f\in X$ element optymalny $h^{\ast}$ istnieje i jest wyznaczony
jednoznacznie. Z poni\.{z}szego twierdzenia wynika, \.{z}e elementem
optymalnym $h^{\ast}$ dla $f$ w $V$ jest rzut ortgonalny (w sensie iloczynu
skalarnego $s$) $f$ na $V$.

\begin{theorem}
\label{thlast}Przy powy\.{z}szych za\l o\.{z}eniach, element $h^{\ast}\in V$
jest elementem optymalnym dla $f$ w $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f-h^{\ast
}\perp V$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Zaczniemy od wykazania implikacji "$\Leftarrow$". Przypu\'{s}\'{c}my, \.{z}e
$f-h^{\ast}\perp V$. W\'{o}wczas, dla dowolnego $h\in V$,%
\[
\left\Vert f-h\right\Vert _{s}^{2}=\left\Vert f-h^{\ast}+h^{\ast}-h\right\Vert
_{s}^{2}=\ldots
\]
Poniewa\.{z} $h^{\ast}-h\in V$, zatem z warunku $f-h^{\ast}\perp V$ wynika,
\.{z}e wektory $h^{\ast}-h$ oraz $f-h^{\ast}$ s\k{a} ortogonalne. St\k{a}d, na
podstawie twierdzenia \ref{Pit},%
\[
\ldots=\left\Vert f-h^{\ast}\right\Vert _{s}^{2}+\left\Vert h^{\ast
}-h\right\Vert _{s}^{2}\geq\left\Vert f-h^{\ast}\right\Vert _{s}^{2}\text{.}%
\]
Oznacza to, \.{z}e $h^{\ast}$ jest elementem optymalnym dla $f$.

Dla dowodu implikacji "$\Rightarrow$"\ niech $\lambda>0$ b\k{e}dzie
dowoln\k{a} ustalon\k{a} liczb\k{a} rzeczywist\k{a}. W\'{o}wczas dla $h\in V$
zachodzi%
\begin{align*}
0  &  \leq\left\Vert f-h^{\ast}+\lambda h\right\Vert _{s}^{2}-\left\Vert
f-h^{\ast}\right\Vert _{s}^{2}=\left\Vert f-h^{\ast}\right\Vert _{s}%
^{2}+2\lambda s\left(  f-h^{\ast},h\right)  +\lambda^{2}\left\Vert
h\right\Vert _{s}^{2}-\left\Vert f-h^{\ast}\right\Vert _{s}^{2}\\
&  =\lambda\left(  \lambda\left\Vert h\right\Vert _{s}^{2}+2s\left(
f-h^{\ast},h\right)  \right)  \text{.}%
\end{align*}
Wynika st\k{a}d, \.{z}e $s\left(  f-h^{\ast},h\right)  \geq0$. W przeciwnym
przypadku, dla dostatecznie ma\l ego $\lambda>0$ mieliby\'{s}my
\[
0\leq\left\Vert f-h^{\ast}+\lambda h\right\Vert _{s}^{2}-\left\Vert f-h^{\ast
}\right\Vert _{s}^{2}=\lambda\left(  \lambda\left\Vert h\right\Vert _{s}%
^{2}+2s\left(  f-h^{\ast},h\right)  \right)  <0\text{.}%
\]
Z tego samego powodu, z warunku%
\[
0\leq\left\Vert f-h^{\ast}-\lambda h\right\Vert _{s}^{2}-\left\Vert f-h^{\ast
}\right\Vert _{s}^{2}=\lambda\left(  \lambda\left\Vert h\right\Vert _{s}%
^{2}-2s\left(  f-h^{\ast},h\right)  \right)
\]
wynika, \.{z}e $s\left(  f-h^{\ast},h\right)  \leq0$. Oznacza to, \.{z}e
$s\left(  f-h^{\ast},h\right)  =0$. Wobec dowolno\'{s}ci $h$ otrzymujemy
tez\k{e}, tj. $f-h^{\ast}\perp V$.
\end{proof}

\begin{example}
Niech $f\left(  x\right)  =x^{2}-ax-b$. Wyznaczymy te warto\'{s}ci
parametr\'{o}w $a,b\in\mathbb{R}$, dla kt\'{o}rych obj\k{e}to\'{s}\'{c}
bry\l y ograniczonej wykresem funkcji $f$ obr\'{o}conym wok\'{o}\l \ osi $Ox$
dla $x\in\left[  0,1\right]  $ jest najmniejsza.

Przypomnijmy, \.{z}e poszukiwana obj\k{e}to\'{s}\'{c} $V$ wyra\.{z}a si\k{e}
wzorem%
\[
V=\pi\int_{0}^{1}f^{2}\left(  x\right)  dx=\pi\int_{0}^{1}\left(
x^{2}-ax-b\right)  ^{2}dx\text{.}%
\]
W przestrzeni funkcji ci\k{a}g\l ych na przedziale $[0,1]$ rozwa\.{z}my
iloczyn skalarny $s$%
\[
s\left(  f_{1},f_{2}\right)  =\int_{0}^{1}f_{1}\left(  x\right)  f_{2}\left(
x\right)  dx
\]
oraz wyznaczon\k{a} przez ten iloczyn skalarny norm\k{e}%
\[
\left\Vert g\right\Vert _{s}=\sqrt{\int_{0}^{1}g^{2}\left(  x\right)
dx}\text{.}%
\]
W\'{o}wczas
\[
V=\left\Vert \sqrt{\pi}f\right\Vert _{s}^{2}=\pi\left\Vert f\right\Vert
_{s}^{2}=\pi\left\Vert u-u^{\ast}\right\Vert _{s}^{2},
\]
gdzie $u\left(  x\right)  =x^{2}$ oraz $u^{\ast}\left(  x\right)  =ax+b$.
Zadanie nasze polega zatem na wyznaczeniu elementu optymalnego dla $u$ w
przestrzeni $\pi_{1}$. Na podstawie twierdzenia \ref{thlast} wiemy, \.{z}e
elementem tym jest rzut ortgonalny $u$ na $V=\pi_{1}$. \L atwo stwierdzi\'{c},
\.{z}e wielomiany $u_{1}\left(  x\right)  =1,$ $u_{2}\left(  x\right)
=-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ stanowi\k{a} baz\k{e} ortonormaln\k{a} (w sensie
iloczynu skalarnego $s$) przestrzeni $\pi_{1}$. Faktycznie,%
\[
s\left(  u_{1},u_{2}\right)  =\int_{0}^{1}-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}dx=0
\]
oraz%
\[
\left\Vert u_{1}\right\Vert _{s}^{2}=\int_{0}^{1}1dx=1\text{,\quad}\left\Vert
u_{2}\right\Vert _{s}^{2}=\int_{0}^{1}\left(  -2\sqrt{3}x+\sqrt{3}\right)
^{2}dx=1\text{.}%
\]
St\k{a}d, na podstawie twierdzenia \ref{th10}, otrzymujemy%
\begin{align*}
u^{\ast}\left(  x\right)   &  =s\left(  u,u_{1}\right)  u_{1}\left(  x\right)
+s\left(  u,u_{2}\right)  u_{2}\left(  x\right)  =\\
&  =\int_{0}^{1}u\left(  x\right)  u_{1}\left(  x\right)  dx\cdot u_{1}\left(
x\right)  +\int_{0}^{1}u\left(  x\right)  u_{2}\left(  x\right)  dx\cdot
u_{2}\left(  x\right)  =\\
&  =\int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{0}^{1}x^{2}\left(  -2\sqrt{3}x+\sqrt{3}\right)
dx\cdot\left(  -2\sqrt{3}x+\sqrt{3}\right)  =x-\frac{1}{6}%
\end{align*}
sk\k{a}d wynika, \.{z}e $a=1,$ $b=\frac{1}{6}$.
\end{example}


\end{document}