
\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, June 14, 2012 10:01:49}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{1cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{1} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 1. W\l asno\'{s}ci dzia\l a\'{n} }\vspace
{-11pt}\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Ile r\'{o}\.{z}nych dzia\l a\'{n} wewn\k{e}trznych mo\.{z}na
okre\'{s}li\'{c} w zbiorze zawieraj\k{a}cym

\begin{description}
\item[a)] jeden element?

\item[b)] $n$ element\'{o}w?
\end{description}

Ile jest takich dzia\l a\'{n}, kt\'{o}re dodatkowo s\k{a} przemienne?

\item[Zadanie 2.] W zbiorze $K=\left\{  \blacksquare,\blacktriangle\right\}  $
wprowadzamy dzia\l ania $h_{1}$ i $h_{2}$:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|}\hline
$h_{1}$ & $\blacksquare$ & $\blacktriangle$\\\hline
$\blacksquare$ & $\blacksquare$ & $\blacktriangle$\\\hline
$\blacktriangle$ & $\blacktriangle$ & $\blacksquare$\\\hline
\end{tabular}
\ \ \text{ \ \ \ \ }%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|}\hline
$h_{2}$ & $\blacksquare$ & $\blacktriangle$\\\hline
$\blacksquare$ & $\blacksquare$ & $\blacksquare$\\\hline
$\blacktriangle$ & $\blacksquare$ & $\blacktriangle$\\\hline
\end{tabular}
\ \ \text{.}%
\]


Sprawd\'{z}, czy

\begin{description}
\item[a)] dzia\l ania s\k{a}

\begin{description}
\item[ \ i.] przemienne?

\item[ ii.] \l \k{a}czne?

\item[iii.] rozdzielne jedno wzgl\k{e}dem drugiego?
\end{description}

\item[b)] istniej\k{a} elementy neutralne w $K$ dla $h_{1}$ i $h_{2}$?

\item[c)] istniej\k{a} elementy odwrotne w $K$ dla $\blacksquare$ i
$\blacktriangle$ wzgl\k{e}dem $h_{1}$ i $h_{2}$?
\end{description}

\item[Zadanie 3.] W zbiorze $K=\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ okre\'{s}lamy
dzia\l ania $+$ i $\cdot$ w nast\k{e}puj\k{a}cy spos\'{o}b:%
\begin{align*}
+  &  :K\times K\ni\left(  \left(  a_{1},b_{1}\right)  ,\left(  a_{2}%
,b_{2}\right)  \right)  \rightarrow\left(  a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}\right)  \in
K\\
\cdot &  :K\times K\ni\left(  \left(  a_{1},b_{1}\right)  ,\left(  a_{2}%
,b_{2}\right)  \right)  \rightarrow\left(  a_{1}a_{2}+pb_{1}b_{2},a_{1}%
b_{2}+b_{1}a_{2}\right)  \in K,\text{ }%
\end{align*}


gdzie $p\in\mathbb{R}$. Wyznacz wszystkie warto\'{s}ci $p$, dla kt\'{o}rych

\begin{description}
\item[a)] powy\.{z}sze dzia\l ania s\k{a}:

\begin{description}
\item[ \ i.] wewn\k{e}trzne,

\item[ ii.] przemienne,

\item[iii.] \l \k{a}czne,
\end{description}

\item[b)] zachodzi rozdzielno\'{s}\'{c} $\cdot$ wzgl\k{e}dem $+$,

\item[c)] ka\.{z}dy element zbioru $K$ posiada element odwrotny (wzg. $+$)
oraz element przeciwny (wzg. $\cdot$).
\end{description}

\item[Zadanie 4.] W zbiorze $K$ wprowadzamy dzia\l anie. Wyznacz dla tego
dzia\l ania element neutralny (o ile istnieje) oraz dla element\'{o}w zbioru
$K$ elementy odwrotne (o ile istniej\k{a}):

\begin{description}
\item[a)] $K=\mathbb{Z}$ z dzia\l aniem $\oplus:$ $\mathbb{Z\times Z\ni
}\left(  a,b\right)  \rightarrow a+b+2\in\mathbb{Z},$

\item[b)] $K=\left\{  f:A\mathbb{\rightarrow}A:f-\text{bijekcja}\right\}  $ z
dzia\l aniem sk\l adania odwzorowa\'{n}
\[
\circ:K\times K\ni\left(  f,g\right)  \rightarrow f\circ g\in K,
\]


\item[c)] $K=\left\{  \triangle,\square,\bigcirc\right\}  $ z dzia\l aniem%
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|}\hline
$\ast$ & $\triangle$ & $\square$ & $\bigcirc$\\\hline
$\triangle$ & $\triangle$ & $\square$ & $\bigcirc$\\\hline
$\square$ & $\square$ & $\bigcirc$ & $\triangle$\\\hline
$\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\triangle$ & $\square$\\\hline
\end{tabular}
\ ,\
\]


\item[d)] $K=\mathbb{Z}_{m}=\left\{  0,\ldots,m-1\right\}  $ z dzia\l aniem
\[
+_{\operatorname{mod}m}:\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{m}\ni\left(
a,b\right)  \rightarrow\left(  a+b\right)  _{\operatorname{mod}m}\in
\mathbb{Z}_{m},
\]


gdzie $c_{\operatorname{mod}m}$ to reszta z dzielenia $c$ przez $m$, np.:
$17_{\operatorname{mod}4}=1$,

\item[e)] $K=P\left(  X\right)  $ (zbi\'{o}r wszystkich podzbior\'{o}w zbioru
$X$) z dzia\l aniem $\div$ (r\'{o}\.{z}nica symetryczna zbior\'{o}w),

\item[f)] $K=\left\{  \mathbb{R}\backslash\{0\}\right\}  \times\mathbb{R}$ z
dzia\l aniem%
\[
\odot:K\times K\ni\left(  \left(  a_{1},a_{2}\right)  ,\left(  b_{1}%
,b_{2}\right)  \right)  \rightarrow\left(  a_{1}b_{1},a_{1}b_{2}+a_{2}%
b_{1}\right)  \in K\text{.}%
\]

\end{description}
\end{description}

\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}


\begin{description}
\item[Zadanie 1:] a) $1;$ b) $n^{n^{2}}$, z czego $n^{\frac{n^{2}+n}{2}}$
dzia\l a\'{n} to dzia\l ania przemienne;

\item[Zadanie 2:] a) i: s\k{a}, ii: s\k{a}, iii: dzia\l anie $h_{2}$ jest
rozdzielne wzgl\k{e}dem $h_{1}$, dzia\l anie\ $h_{1}$ nie jest rozdzielne
wzgl\k{e}dem $h_{2}$ (np. $h_{1}\left(  \blacktriangle,h_{2}\left(
\blacktriangle,\blacksquare\right)  \right)  \neq h_{2}\left(  h_{1}\left(
\blacktriangle,\blacktriangle\right)  ,h_{1}\left(  \blacktriangle
,\blacksquare\right)  \right)  $);\ b) $e_{h_{1}}=\blacksquare,e_{h_{2}%
}=\blacktriangle;$ c) nie istnieje element odwrotny dla $\blacksquare$
wzgl\k{e}dem dzia\l ania $h_{2}$.

\item[Zadanie 3:] a) i: $p\in\mathbb{Q};$ ii: $p\in\mathbb{Q};$ iii:
$p\in\mathbb{Q};$ b) $p\in\mathbb{Q};$ c) dla dzia\l ania $\bullet$ jest:
$p\neq q^{2},$ $\forall q\in\mathbb{Q}$.

\item[Zadanie 4:] a) $e=-2,$ $a^{-1}=-a-4$; b) $e=\operatorname*{id}_{A},$
$f^{-1}$ - funkcja odwrotna; c) $e=\triangle,$ $\triangle^{-1}=\triangle,$
$\square^{-1}=\bigcirc,$ $\bigcirc^{-1}=\square;$ d) $e=0,$ $0^{-1}=0,$
$k^{-1}=m-k$ $\left(  k=1,\ldots,m-1\right)  ;$ e) $E=\left\{  \varnothing
\right\}  ,$ $A^{-1}=A;$ f) $e=\left(  1,0\right)  ,$ $\left(  a_{1}%
,a_{2}\right)  ^{-1}=\left(  a_{1}^{-1},-a_{2}a_{1}^{-2}\right)  $.
\end{description}


\end{document}