\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{10} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 5. Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'z, czy struktura algebraiczna $(X,+,\cdot)$ jest
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad $\mathbb{R}$, je\.{z}eli:

\begin{itemize}
\item[a)] $X=\mathbb{R}^{n}$ oraz
\begin{align*}
+  &  :X\times X\ni\left(  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  ,\left(
y_{1},\ldots,y_{n}\right)  \right)  \rightarrow\left(  x_{1}+y_{1}%
,\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \in X\\
\cdot &  :\mathbb{R}\times X\ni\left(  \alpha,x_{1},\ldots,x_{n}\right)
\rightarrow\left(  \alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{n}\right)  \in X\text{;}%
\end{align*}


\item[b)] $X=\mathbb{R}^{n}$ oraz
\begin{align*}
+  &  :X\times X\ni\left(  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  ,\left(
y_{1},\ldots,y_{n}\right)  \right)  \rightarrow\left(  x_{1}+y_{1}%
,\ldots,x_{n}+y_{n}\right)  \in X\\
\cdot &  :\mathbb{R}\times X\ni\left(  \alpha,x_{1},\ldots,x_{n}\right)
\rightarrow\left(  \alpha x_{1},0,\ldots,0\right)  \in X\text{;}%
\end{align*}


\item[c)] $X=\mathbb{R}^{A}\overset{df}{=}\left\{  f:A\rightarrow
\mathbb{R}\right\}  $ oraz%
\begin{align*}
+  &  :X\times X\ni\left(  \eta,\varphi\right)  \rightarrow\eta+\varphi\in X\\
\cdot &  :F\times X\ni\left(  \alpha,\varphi\right)  \rightarrow\alpha
\varphi\in X\text{;}%
\end{align*}


\item[d)] $X=\Pi_{n}\overset{df}{=}\left\{  x\rightarrow a_{0}+a_{1}%
x+\ldots+a_{n}x^{n}:a_{i}\in\mathbb{R},i=0,\ldots,n\right\}  $\newline\ z
naturalnymi dzia\l aniami dodawania wielomian\'{o}w i mno\.{z}enia wielomianu
przez liczb\k{e};

\item[e)] $X=\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f(-x)=f\left(
x\right)  \right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji i
mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e};

\item[f)] $X=\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f(-1)=f\left(
1\right)  =0\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji i
mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e},

\item[g)*] $X=\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:\text{ }f\text{--
funkcja okresowa}\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami dodawania funkcji i
mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e},

\item[h)*] $X=\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:\text{ }f\text{--
funkcja okresowa o okresie wymiernym}\right\}  $ z naturalnymi dzia\l aniami
dodawania funkcji i mno\.{z}enia funkcji przez liczb\k{e}.
\end{itemize}

\item[Zadanie 2.] Sprawd\'{z}, czy:

\begin{itemize}
\item[a)] $Y=\left\{  \left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  \in\mathbb{R}%
^{n}:\sum_{i=1}^{n}x_{i}=a\right\}  $, dla pewnego $a\in\mathbb{R}$, jest
podprzestrzeni\k{a} wektorow\k{a} przestrzeni $\left(  \mathbb{R}^{n}%
,+,\cdot\right)  $;

\item[b)] $Y=\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f(-x)=-f\left(
x\right)  \right\}  $ jest podprzestrzeni\k{a} wektorow\k{a}\ przestrzeni
funkcji prowadz\k{a}cych z $\mathbb{R}$ w $\mathbb{R}$ z naturalnymi
dzia\l aniami $+$ i $\cdot$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 3.] Sprawd\'{z}, czy:

\begin{itemize}
\item[a)] je\.{z}eli $Y_{1},\ldots,Y_{n}$ s\k{a} podprzestrzeniami wektorowymi
przestrzeni $\mathcal{X}$, to $%
%TCIMACRO{\dbigcap \limits_{k\mathbb{=}1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\bigcap\limits_{k\mathbb{=}1}^{n}}
%EndExpansion
Y_{k}$ jest podprzestrzeni\k{a} wektorow\k{a} przestrzeni $\mathcal{X}$;

\item[b)] je\.{z}eli $Y_{1},\ldots,Y_{n}$ s\k{a} podprzestrzeniami wektorowymi
przestrzeni $\mathcal{X}$, to $%
%TCIMACRO{\dbigcup \limits_{k\mathbb{=}1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\bigcup\limits_{k\mathbb{=}1}^{n}}
%EndExpansion
Y_{k}$ jest podprzestrzeni\k{a} wektorow\k{a} przestrzeni $\mathcal{X}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 4.] W\ oparciu o poprzednie zadanie uzasadnij, \.{z}e
\[
Y=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:x+2y-z=0,x=2z\right\}
\]
jest podprzestrzeni\k{a} wektorow\k{a} przestrzeni $\left(  \mathbb{R}%
^{3},+,\cdot\right)  $.

\item[Zadanie 5.*] Niech $U$ i $V$ b\k{e}d\k{a} podprzestrzeniami wektorowymi
przestrzeni $\mathcal{X}$. \newline Uzasadnij, \.{z}e%
\[
U\cup V\text{ -- podprzestrze\'{n} wektorowa }\mathcal{X}\Leftrightarrow
U\subset V\text{ lub }V\subset U\text{.}%
\]


\item[Zadanie 6.] Sprawd\'z liniow\k{a} zale\.{z}no\'{s}\'{c} wektor\'{o}w
w podanych przestrzeniach wektorowych (z naturalnymi dzia\l aniami $+$ i
$\cdot$):

\begin{itemize}
\item[a)] $\left(  1,0\right)  $, $\left(  1,1\right)  $, $\left(  0,1\right)
$ w $\left(  \mathbb{R}^{2},+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$;

\item[b)] $\sqrt{2}$ i $2$ w $\left(  \mathbb{R},+,\cdot\right)  $ nad
$\mathbb{R}$;

\item[c)] $\sqrt{2}$ i $2$ w $\left(  \mathbb{R},+,\cdot\right)  $ nad
$\mathbb{Q}$;

\item[d)] $1,x,x^{2},\ldots,x^{n}$ w $\left(  \Pi_{n},+,\cdot\right)  $ nad
$\mathbb{R}$ (\footnote{$\Pi_{n}\overset{df}{=}\left\{  x\rightarrow
a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}:a_{i}\in\mathbb{R}\text{ }\left(
i=0,\ldots,n\right)  \right\}  $});

\item[e)] $1,x,x+\sqrt{2},x^{2},\ldots,x^{n}$ w $\left(  \Pi_{n}%
,+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{Q}$;

\item[f)] $1,\sin x,\cos x$ w $\left(  \mathcal{C}\left(  \mathbb{R}\right)
,+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$, gdzie $\mathcal{C}\left(  \mathbb{R}%
\right)  \overset{df}{=}\left\{  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f\text{ --
ci\k{a}g\l a}\right\}  $;

\item[g)] $1,\sin x,\cos x,\sin^{2}x,\cos^{2}x$ w $\left(  \mathcal{C}\left(
\mathbb{R}\right)  ,+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 7.] Wyznacz bazy podanych przestrzeni wektorowych (z
naturalnymi dzia\l aniami $+$ i $\cdot$):

\begin{itemize}
\item[a)] $\left(  \Pi_{n},+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$;

\item[b)] $\left(  P_{2n},+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$, gdzie
$P_{2n}\overset{df}{=}\left\{  w\in\Pi_{2n}:w(x)=w(-x)\right\}  $;

\item[c)] $\left(  \mathbb{C},+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{R}$;

\item[d)] $\left(  \Pi_{n}\left(  a\right)  ,+,\cdot\right)  $ nad
$\mathbb{R}$, gdzie $\Pi_{n}\left(  a\right)  \overset{df}{=}\left\{  w\in
\Pi_{n}:w(a)=0\right\}  ;$

\item[e)] $\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x+y+z=0,2x-z=0\right\}$ nad $\mathbb{R}$,

\item[f)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:3\mathfrak{Re}z-2\mathfrak{Im}z=0\right\}
$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 8.*] Wyznacz wymiar przestrzeni wektorowej $\left(
\mathbb{R},+,\cdot\right)  $ nad $\mathbb{Q}$. Dzia\l ania $+$ oraz $\cdot$ to
naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia liczb.

\item[Zadanie 9.*] Poka\.z, \.{z}e $\forall x_{0},\ldots,x_{n}%
\in\mathbb{R}:x_{i}\neq x_{j}$ (dla $i\neq j$) wielomiany $\varphi_{0}%
,\ldots,\varphi_{n}$:%
\[
\varphi_{i}\left(  x\right)  \overset{df}{=}%
%TCIMACRO{\dprod \limits_{j\neq i}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\prod\limits_{j\neq i}}
%EndExpansion
\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\text{, dla }i=0,\ldots,n
\]
stanowi\k{a} baz\k{e} przestrzeni wielomian\'{o}w $\Pi_{n}$.
\end{description}

\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 1:] a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest; e) jest; f) jest;
g)* nie jest; h)* jest;

\item[Zadanie 2:] a) jest dla $a=0;$ b) jest;

\item[Zadanie 3:] a) tak; b) wskaz\'{o}wka: Zadanie 5;

\item[Zadanie 4:] Wskaz\'{o}wka: uzasadni\'{c}, \.{z}e
\[
Y_{1}=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:x+2y-z=0\right\}
\text{ oraz }Y_{2}=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}%
:x=2z\right\}
\]
to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni $\left(  \mathbb{R}^{3}%
,+,\cdot\right)  $, a nast\k{e}pnie zastosowa\'{c} zadanie 3a);

\item[Zadanie 5*:] Uzasadnienie:

\begin{description}
\item[$\Leftarrow$] twierdzenie oczywiste;

\item[$\Rightarrow$] Hp.: $U\not \subset V$ i $V\not \subset U$. W\'{o}wczas:
$\exists$ $u,v:u\in U\backslash V$ i $v\in V\backslash U$. Poka\.{z}emy teraz,
\.{z}e $u+v\notin U\cup V$, mimo\ \.{z}e $u,v\in U\cup V$. Warunek $u+v\in
U\cup V$ oznacza\l by, \.{z}e $u+v\in U$ lub $u+v\in V$. Poniewa\.{z}%
\begin{align*}
\text{gdyby }u+v  &  \in U\overset{-u\in U}{\Longrightarrow}v=-u+\left(
u+v\right)  \in U\text{ -- sprzeczno\'{s}\'{c} }\\
\text{gdyby }u+v  &  \in V\overset{-v\in V}{\Longrightarrow}u=-v+\left(
u+v\right)  \in V\text{ -- sprzeczno\'{s}\'{c}.}%
\end{align*}

\end{description}

\item[Zadanie 6:] Liniowo zale\.{z}ne s\k{a} wektory z przyk\l ad\'{o}w: a),
b), g);

\item[Zadanie 7:] Przyk\l adowe bazy: a) $1,x,x^{2},\ldots,x^{n};$ b)
$1,x^{2},x^{4},\ldots,x^{2n};$ c) $1+i,1-i;$\newline d) $x-a,\left(
x-a\right)  ^{2},\ldots,\left(  x-a\right)  ^{n}$; e) $(1,-3,2)$; f) $2+3i$;

\item[Zadanie 8*:] $\dim_{\mathbb{Q}}\left(  \mathbb{R},+,\cdot\right)
=\#\mathbb{R}=\mathfrak{c}$. Wskaz\'{o}wka: uzasadni\'{c}, \.{z}e ka\.{z}da
przestrze\'{n} liniowa o przeliczalnej bazie rozwa\.{z}ana nad przeliczalnym
cia\l em jest przestrzeni\k{a} zawieraj\k{a}c\k{a} przeliczaln\k{a} liczb\k{e} element\'{o}w.

\item[Zadanie 9*:] Wskaz\'{o}wka: pokaza\'{c}, \.{z}e $\varphi_{i}\left(
x_{k}\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{cc}%
1, & i=k\\
0, & i\neq k
\end{array}
\right.  $.
\end{description}


\end{document}