\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, June 14, 2012 10:34:10}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{1cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{3} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 2. Grupy, pier\'scienie, cia\l a}\vspace
{-11pt}\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Sprawd\'{z}, czy struktury algebraiczne rozwa\.{z}ane w
zadaniu 4. (zestaw 1.) s\k{a} grupami. Czy s\k{a} to grupy abelowe?

\item[Zadanie 2.] Niech $f_{1}(x)\overset{df}{=}x,$ $f_{2}(x)\overset{df}%
{=}1-x,$ $f_{3}(x)\overset{df}{=}\frac{1}{x},$ $f_{4}(x)\overset{df}{=}%
1-\frac{1}{x},$ $f_{5}(x)\overset{df}{=}\frac{1}{1-x},$ $f_{6}(x)\overset
{df}{=}\frac{x}{x-1}$. Udowodnij, \.{z}e struktura algebraiczna $\left(
\left\{  f_{1},\ldots,f_{6}\right\}  ,\circ\right)  $, gdzie $\circ$ --
sk\l adanie\linebreak odwzorowa\'{n}; jest grup\k{a}. Czy jest to grupa abelowa?

\item[Zadanie 3.] Wyka\.{z}, \.{z}e zbi\'{o}r utworzony z symetrii kwadratu
wzgl\k{e}dem jego osi symetrii, z przekszta\l cenia to\.{z}samo\'{s}ciowego
(\footnote{$f$--przekszta\l cenie to\.{z}samo\'{s}ciowe $\overset
{df}{\Leftrightarrow}\forall x\in K:f(x)=x.$}) oraz z obrot\'{o}w kwadratu
dooko\l a \'{s}rodka kwadratu o k\k{a}t $\frac{\pi}{2}$ z dzia\l aniem
sk\l adania odwzorowa\'{n} tworz\k{a} o\'{s}mioelementow\k{a} grup\k{e} nieprzemienn\k{a}.

\item[Zadanie 4.] Niech $\left(  G,\ast\right)  $ b\k{e}dzie grup\k{a} z
elementem neutralnym $e$ tak\k{a}, \.{z}e: $\forall a\in G:a\ast a=e$. Czy
$\left(  G,\ast\right)  $ jest grup\k{a} abelow\k{a}?

\item[Zadanie 5.] Niech $\left(  G,\ast\right)  $ b\k{e}dzie grup\k{a}.
Poka\.{z}, \.{z}e $a\ast a=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest elementem
neutralnym dla $\ast$ w $G$.

\item[Zadanie 6.*] Niech $\left(  G_{i},h_{i}\right)  $, $i=1,\ldots,n$
b\k{e}d\k{a} grupami (abelowymi) z elementami neutralnymi $e_{1},\ldots,e_{n}%
$. Czy zbi\'{o}r $G=G_{1}\times\ldots\times G_{n}$ z dzia\l aniem
\[
h:G\times G\mathbb{\ni}\left(  \left(  a_{1},\ldots,a_{n}\right)  ,\left(
b_{1},\ldots,b_{n}\right)  \right)  \rightarrow\left(  h_{1}\left(
a_{1},b_{1}\right)  ,\ldots,h_{n}\left(  a_{n},b_{n}\right)  \right)  \in G
\]


jest grup\k{a} (abelow\k{a}) ?

\item[Zadanie 7.] W zbiorze $K=\left\{  a,b\right\}  $ wprowadzamy dzia\l ania
$\diamond$ i $\circ$:
\[%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|}\hline
$\diamond$ & $a$ & $b$\\\hline
$a$ & $a$ & $b$\\\hline
$b$ & $b$ & $a$\\\hline
\end{tabular}
\text{\ ,\ \ \ }%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|}\hline
$\circ$ & $a$ & $b$\\\hline
$a$ & $a$ & $a$\\\hline
$b$ & $a$ & $b$\\\hline
\end{tabular}
\ \ .
\]


Sprawd\'{z}, czy struktura $\left(  K,\diamond,\circ\right)  $ jest cia\l em,
a nast\k{e}pnie rozwi\k{a}\.{z} r\'{o}wnanie
\[
a\circ\left(  x\diamond\left(  b\circ a\right)  \right)  =\left(  a\circ
b\right)  \diamond a.
\]


\item[Zadanie 8.] Sprawd\'{z}, czy okre\'{s}lona poni\.{z}ej struktura
algebraiczna jest cia\l em:

\begin{description}
\item[a)] $\left(  \Pi_{n},+,\cdot\right)  $, gdzie $\Pi_{n}$ -- zbi\'{o}r
wielomian\'{o}w rzeczywistych stopnia co najwy\.{z}ej $n$;\ $+$ i $\cdot$ --
naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia wielomian\'{o}w,

\item[b)] $\left(  \Pi,+,\cdot\right)  $, gdzie $\Pi$ -- zbi\'{o}r
wielomian\'{o}w rzeczywistych; $+$ i $\cdot$ -- naturalne dzia\l ania
dodawania i mno\.{z}enia wielomian\'{o}w,

\item[c)] $\left(  \mathcal{W},+,\cdot\right)  ,$ gdzie $\mathcal{W}$ --
zbi\'{o}r funkcji wymiernych (iloraz dw\'{o}ch wielomian\'{o}w); $+$ i $\cdot$
-- naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia funkcji,

\item[d)] $\left(  P\left(  X\right)  ,\div,\cap\right)  $, gdzie $P\left(
X\right)  $ -- zbi\'{o}r wszystkich podzbior\'{o}w zbioru $X$;\ $\div$ i
$\cap$ to dzia\l ania okre\'{s}lone w spos\'{o}b nast\k{e}puj\k{a}cy:%
\begin{align*}
\div &  :P\left(  X\right)  \times P\left(  X\right)  \ni\left(  A,B\right)
\rightarrow\left(  A\backslash B\right)  \cup\left(  B\backslash A\right)  \in
P\left(  X\right) \\
\cap &  :P\left(  X\right)  \times P\left(  X\right)  \ni\left(  A,B\right)
\rightarrow A\cap B\in P\left(  X\right)  \text{,}%
\end{align*}


\item[e)] $\left(  A,\star,\circ\right)  $, gdzie $A\overset{df}{=}\left\{
x\in\mathbb{Q}:0\leqslant x<1\right\}  $; $\star$ i $\circ$ -- dzia\l ania
okre\'{s}lone nast\k{e}puj\k{a}co:%
\[
a\star b=\min\left\{  a,b\right\}  \text{, }a\circ b=\max\left\{  a,b\right\}
\text{ .}%
\]

\end{description}

\item[Zadanie 9.] Czy $\left(  \mathbb{Q}\left[  \sqrt{2}\right]
,+,\cdot\right)  $ jest cia\l em, je\.{z}eli $\mathbb{Q}\left[  \sqrt
{2}\right]  =\left\{  x+\sqrt{2}y:x,y\in\mathbb{Q}\right\}  $,\ a $+$ oraz
$\cdot$ to naturalne dzia\l ania dodawania i mno\.{z}enia liczb?
\end{description}
\newpage 
\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 1:]
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|}\hline
Zadanie nr: & grupa & grupa abelowa\\\hline
a) & tak & tak\\\hline
b) & tak & nie\\\hline
c) & tak & tak\\\hline
d) & tak & nie\\\hline
e) & tak & tak\\\hline
f) & tak & tak\\\hline
g) & tak & tak\\\hline
\end{tabular}
\]


\item[Zadanie 4:] Tak. Wskaz\'{o}wka: $\forall a,b\in G:abab=e$;

\item[Zadanie 6*:] Tak;

\item[Zadanie 7:] Struktura $\left(  \left\{  a,b\right\}  ,\diamond
,\circ\right)  $ jest cia\l em oraz $x=a\vee x=b;$

\item[Zadanie 8:] a) nie jest; b) nie jest; c) jest; d) nie jest; e) nie jest;

\item[Zadanie 9:] Tak.
\end{description}


\end{document}