\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, June 14, 2012 17:22:28}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%BeginMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
%EndMSIPreambleData
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{7} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 4. Liczby zespolone}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Poni\.{z}sze liczby i wyra\.{z}enia przedstaw w
postaci trygonometrycznej:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llll}%
a) $\sqrt{3}-i,\medskip$ & b) $-6+6i,$ & c) $\frac{1}{i}\cdot\frac{1}{1+i},$ &
d) $1+i\operatorname*{tg}\varphi,$\\
e) $\sin\varphi-i\cos\varphi,$ & f) $1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},$
& g) $\frac{1+i\operatorname{tg}\varphi}{1-i\operatorname{tg}\varphi},$ & h)
$\frac{\operatorname{tg}\varphi+i}{\operatorname{tg}\varphi-i}.$%
\end{tabular}
\ \
\]


\item[Zadanie 2.] Poni\.{z}sze wyra\.{z}enia sprowad\'{z} do postaci
kanonicznej (dwumiennej):%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llll}%
a) $\left(  1+i\right)  ^{7},$ & b) $\left(  \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}\right)
^{6},\medskip$ & c) $\left(  -\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)
^{14},$ & d) $\left(  1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)  ^{6},$\\
e) $\frac{\left(  1-i\right)  ^{7}}{\left(  -\sqrt{3}-i\right)  ^{6}},$ & f)
$\frac{\left(  1-i\right)  ^{5}-1}{\left(  1+i\right)  ^{5}+1},$ & g) $\left(
1+i\right)  ^{7}-\left(  2-2i\right)  ^{4},$ & h) $1+i+i^{2}+\cdots+i^{n}$,
$n\in\mathbb{N}$.
\end{tabular}
\ \ \
\]


\item[Zadanie 3.] Znajd\'{z} funkci\k{e} $\omega:\mathbb{R}%
\rightarrow\mathbb{R}$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} poni\.{z}sze r\'{o}wnanie:

\begin{itemize}
\item[a)] $\cos3x=\omega(\cos x),$

\item[b)] $\sin5x=\omega(\sin x),$

\item[c)] $\operatorname*{ctg}4x=\omega(\operatorname*{ctg}x).$
\end{itemize}

\item[Zadanie 4.] Dla $n\in\mathbb{N}$ oraz $x\in\mathbb{R}$ oblicz:

\begin{itemize}
\item[a)] $1+\cos x+\ldots+\cos nx,$

\item[b)] $\sin2x+\cos3x+\sin4x+\cos5x+\ldots+\sin2nx+\cos\left(  2n+1\right)
x.$
\end{itemize}

\item[Zadanie 5.] Naszkicuj na p\l aszczy\'{z}nie zespolonej
poni\.{z}sze zbiory:

\begin{itemize}
\item[a)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\left\vert z-a\right\vert =b\right\}  $,
dla $a\in\mathbb{C},b\in\mathbb{R}$,

\item[b)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:2<\left\vert z\right\vert \leqslant
4\right\}  $,

\item[c)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\left\vert z-a\right\vert =\left\vert
z-b\right\vert \right\}  $, dla $a,b\in\mathbb{C}$,

\item[d)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\left\vert z-a\right\vert +\left\vert
z-b\right\vert =c\right\}  $, dla $a,b\in\mathbb{C},c\in\mathbb{R}$,

\item[e)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\mathfrak{Re}\left(  iz+2\right)
\geqslant0\right\}  $,

\item[f)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\left\vert z+1\right\vert \geqslant
2\wedge\mathfrak{Im}\left(  z+1\right)  \leqslant1\right\}  $,

\item[g)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\arg\left(  z+iz\right)  =\frac{3\pi}%
{2}\right\}  $,

\item[h)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\frac{\pi}{4}\leqslant\arg\frac{i}{z}%
<\frac{\pi}{2}\right\}  $,

\item[i)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\arg\left(  z^{4}\right)  =\pi\right\}  $,

\item[j)] $\left\{  z\in\mathbb{C}:\arg\left(  z^{3}\right)  <\frac{\pi}%
{2}\right\}  $.
\end{itemize}

\item[Zadanie 6.] Wyznacz algebraicznie, a nast\k{e}pnie zaznacz na p\l aszczy\'{z}nie
zespolonej podane zbiory:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l}%
\begin{tabular}
[c]{llll}%
a) $\sqrt[3]{-8i},\medskip$ & b) $\sqrt[6]{-27},$ & c) $\sqrt[4]{-\frac{1}%
{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i},$ & d) $\sqrt{-7+24i},$%
\end{tabular}
\\
\hspace{0.2cm}$\text{e) }\sqrt[3]{z}$, gdzie $\left(  1+i\sqrt{3}\right)
^{3}\left(  \sqrt{3}-i\right)  ^{6}z=\left(  1+i\right)  ^{12}.$%
\end{tabular}
\ \
\]
\pagebreak

\item[Zadanie 7.] Odgaduj\k{a}c jeden z element\'{o}w poni\.zszych zbior\'ow wyznacz pozosta\l e:

\begin{itemize}
\item[a)] $\sqrt[3]{-27i}$,

\item[b)] $\sqrt[4]{\left(  2-2i\right)  ^{12}}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 8.] W zbiorze liczb zespolonych rozwi\k{a}\.z r\'{o}wnanie:

\begin{itemize}
\item[a)] $\left(  z-1\right)  ^{4}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},$

\item[b)] $\left(  2z-2\right)  ^{4}=\left(  \frac{3}{5}-i\frac{4}{5}\right)
^{8},$

\item[c)] $z^{4}-2z^{2}+5=0,$

\item[d)] $\left(  z+2\right)  ^{n}-\left(  z-2\right)  ^{n}=0,$
$n\in\mathbb{N}$,

\item[e)] $\left(  z+1+i\right)  ^{4}+\left(  1+2i\right)  ^{8}=0$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 9.] Ile wynosi suma wszystkich pierwiastk\'{o}w algebraicznych
stopnia $n$ z $1$?

\item[Zadanie 10.*] Wyka\.z, \.{z}e w ci\k{a}gu $a_{n}=\left(  \frac
{2+i}{2-i}\right)  ^{n},$ $n\in\mathbb{N}$, nie wyst\k{e}puj\k{a} dwa
identyczne wyrazy.

\item[Zadanie 11.] Jednym z wierzcho\l k\'{o}w sze\'{s}ciok\k{a}ta foremnego
jest $w_{0}=\sqrt{3}+i$. Wyznacz pozosta\l e wierzcho\l ki tego
wielok\k{a}ta, wiedz\k{a}c \.{z}e jego \'{s}rodek le\.{z}y w:

\begin{itemize}
\item[a)] pocz\k{a}tku uk\l adu wsp\'{o}\l rz\k{e}dnych,

\item[b)] punkcie $s_{0}=2\sqrt{3}+i.$
\end{itemize}

\item[Zadanie 12.*] Znajd\'{z} funkci\k{e} $\vartheta:\mathbb{C}%
\rightarrow\mathbb{C}$ spe\l niaj\k{a}c\k{a} poni\.{z}sze r\'{o}wnanie:

\begin{itemize}
\item[a)] $\cos x=\vartheta(\operatorname*{e}^{ix}),$

\item[b)] $\sin x=\vartheta(\operatorname*{e}^{ix}),$

\item[c)] $\operatorname{tg}x=\vartheta(\operatorname*{e}^{ix})$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 13.] Rozwi\k{a}\.z r\'{o}wnanie:

\begin{itemize}
\item[a)] $\left(  \overline{z}\right)  ^{6}=4\left\vert z^{2}\right\vert $,

\item[b)] $\frac{z^{6}}{\left\vert z\right\vert ^{4}}=\overline{z}$,

\item[c)] $z^{n}=n\left\vert z\right\vert ,$ $n\in\mathbb{N}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 14.*] Znajd\'z zale\.{z}no\'{s}\'{c}, kt\'{o}ra
\l \k{a}czy pi\k{e}\'{c} najwa\.{z}niejszych sta\l ych matematycznych: $\pi
$,\ $\operatorname*{e}$~--~podstawa logarytmu naturalnego, $i$ -- jednostka
urojona,\ $1$~-- element neutralny mno\.{z}enia, $0$~--~element neutralny
dodawania (\footnote{Przez wielu matematyk\'{o}w rozwi\k{a}zanie tego zadania
jest uznawane za naj\l adniejszy wz\'{o}r matematyczny.}).
\end{description}
\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 1:] a) $2\left(  \cos\left(  -\frac{\pi}{6}\right)
+i\sin\left(  -\frac{\pi}{6}\right)  \right)  ;$ \\ b) $6\sqrt{2}\left(
\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)  ;$ \\ c) $\frac{\sqrt{2}}%
{2}\left(  \cos\left(  -\frac{3\pi}{4}\right)  +i\sin\left(  -\frac{3\pi}%
{4}\right)  \right)  $; \\ d) $\frac{1}{\cos\alpha}\left(  \cos\alpha+i\sin
\alpha\right)  ;$ \\ e) $\cos\left(  -\frac{\pi}{2}+\alpha\right)  +i\sin\left(
-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)  ;$\\  f) $\sqrt{3}\left(  \cos\frac{\pi}{6}%
+i\sin\frac{\pi}{6}\right)  $;\\  g) $\cos2\alpha+i\sin2\alpha;$ \\ h) $\cos\left(
\pi-2\varphi\right)  +i\sin\left(  \pi-2\varphi\right)  ;$

\item[Zadanie 2:] a) $8-8i;$ b) $-\frac{1}{8}i;$ c) $1;$ d) $-27;$ e)
$-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}i;$ f) $-\frac{1}{25}-\frac{32}{25}i;$ g)
$72-8i;$\newline h) $\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
\frac{1}{2}\left(  1+\left(  -1\right)  ^{k}+i\left(  1-\left(  -1\right)
^{k}\right)  \right)  , & \text{dla }n=2k\\
\frac{1}{2}\left(  1+i\right)  \left(  1+\left(  -1\right)  ^{k}\right)  , &
\text{dla }n=2k+1
\end{array}
\right.  $

\item[Zadanie 3:] a) $\varpi\left(  t\right)  =4t^{3}-3t;$ b) $\varpi\left(
t\right)  =16t^{5}-20t^{3}+5t;$ c) $\varpi\left(  t\right)  =\frac
{t^{4}-6t^{2}+1}{4t\left(  t^{2}-1\right)  };$

\item[Zadanie 4:] a) $\frac{\sin\frac{\left(  n+1\right)  x}{2}}{\sin\frac
{x}{2}}\cos\frac{nx}{2},$ dla $x\neq2k\pi;$ $n+1,$ dla $x=2k\pi,$
$k\in\mathbb{Z};$

b) $\frac{\sin nx}{\sin x}\left(  \sin x\left(  n+1\right)  +\cos x\left(
n+2\right)  \right)  $, dla $x\neq k\pi$, $-1,$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$;

\item[Zadanie 6:] a) $\sqrt{3}-i,-\sqrt{3}-i,2i;$ b) $\pm i\sqrt{3},\frac
{3}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2};$c)
$\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2},-\frac{1}%
{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2};$ d) $3+4i,-3-4i;$ e)
$\frac{1}{2}i,$ $\pm\frac{\sqrt{3}}{4}-i\frac{1}{4}.$

\item[Zadanie 7:] a) $3i,$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i,$ $-\frac
{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i;$ b) $-16-16i,$ $16-16i,$ $16+16i,$ $-16+16i;$

\item[Zadanie 8:] a) $1+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}}+i\sqrt{\frac
{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}},$ $1-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}}%
+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}},$ $1-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac
{1}{2}}-i\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}},$ $1+\sqrt{\frac{1}{2}%
-\frac{\sqrt{3}}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}};$ \\ b) $\frac
{43}{50}-\frac{24}{50}i,$ $\frac{26}{50}+\frac{7}{50}i,$ $\frac{57}{50}%
+\frac{24}{50}i,$ $\frac{74}{50}+\frac{7}{50}i;$\\  c) $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}%
}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},$ $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}%
-i\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},$ $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-i\sqrt
{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},$ $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt
{5}-1}{2}};$\\  d) $-2\frac{1+\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}}%
{1-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}},$ $k=1,\ldots,n-1;$

\item[Zadanie 9:] $0;$

\item[Zadanie 11:] a) $\pm2i,$ $\pm\sqrt{3}+i,$ $\pm\sqrt{3}-i;$ b) $\sqrt
{3}+1,$ $3\sqrt{3+1},$ $\frac{3}{2}\sqrt{3}+1\pm\frac{3}{2}i,$ $\frac{5}%
{2}\sqrt{3}+1\pm\frac{3}{2}i;$

\item[Zadanie 12:] a) $\vartheta\left(  t\right)  =\frac{t+t^{-1}}{2};$ b)
$\vartheta\left(  t\right)  =\frac{t-t^{-1}}{2i};$ c) $\vartheta\left(
t\right)  =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}i;$

\item[Zadanie 13:] a) $0,$ $\sqrt{2}e^{-i\frac{k\pi}{3}},$ $k=0,\ldots,5;$ \\ b)
$e^{i\frac{2k\pi}{7}},$ $k=0,\ldots,13;$\\ c) $z_{0}=0,$ $z_{k}=\sqrt[n-1]%
{n}\left(  \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\right)  ,$ $k=0,\ldots
,n-1$;

\item[Zadanie 14:] $e^{i\pi}+1=0$.
\end{description}

\end{document}