\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{13} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 6. Macierze}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}


\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $\mathbb{F}^{n\times m}$ oznacza zbi\'{o}r macierzy o
$n$ wierszach, $m$ kolumnach oraz o elementach nale\.{z}\k{a}cych do zbioru
$\mathbb{F}$. Sprawd\'z, czy:

\begin{itemize}
\item[a)] struktura $\left(  \mathbb{R}^{n\times m},+\right)  $ jest grup\k{a}
abelow\k{a}, gdzie $+$ -- dodawanie macierzy;

\item[b)] struktura $\left(  \mathbb{R}^{n\times n},\bullet\right)  $ jest grup\k{a}
abelow\k{a}, gdzie $\bullet$ -- mno\.{z}enie macierzy;

\item[c)] struktura $\left(  A,+,\bullet\right)  $ jest cia\l em, gdzie $A=\left\{
\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right]  :a,b\in\mathbb{R}\right\}  $, $+$ -- dodawanie macierzy, $\bullet$ --
mno\.{z}enie macierzy,

\item[d)] struktura $\left(  \mathbb{R}^{n\times m},+,\bullet\right)  $ jest
przestrzeni\k{a} wektorow\k{a} nad cia\l em $\mathbb{R}$, gdzie $+$ --
dodawanie macierzy, $\bullet$ -- mno\.{z}enie macierzy przez liczb\k{e}.
W\ przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj baz\k{e} tej przestrzeni.
\end{itemize}

\item[Zadanie 2.] Niech%
\[
A=\left[
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & 2 & 0\\
0 & 3 & -1
\end{array}
\right]  \text{ oraz }B=\left[
\begin{array}
[c]{rrr}%
-1 & 2 & -1\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right].
\]
Znajd\'{z} macierz $X$, spe\l niaj\k{a}c\k{a} r\'{o}wnanie

\begin{itemize}
\item[a)] $4\left(  A-X\right)  +5\left(  3X+B\right)  =A-B+8X$;

\item[b)] $B^{T}X=\left[  1\text{ }1\text{ }0\right]  ^{T}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 3.] Znajd\'{z} macierz tr\'{o}jk\k{a}tn\k{a} doln\k{a} $L$
z dodatnimi elementami na przek\k{a}tnej spe\l niaj\k{a}c\k{a} r\'{o}wnanie:%
\[
LL^{T}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 1\\
1 & 4
\end{array}
\right]  .
\]


\item[Zadanie 4.] Sprawd\'{z}, czy dla $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$
prawdziwe s\k{a} poni\.{z}sze zale\.{z}no\'{s}ci:

\begin{itemize}
\item[a)] $AB=BA$;

\item[b)] $AB=\mathbf{0}\Rightarrow\left(  A=\mathbf{0}\vee B=\mathbf{0}%
\right)  ,$ $\mathbf{0}\in\mathbb{R}^{n\times n}$;

\item[c)] $\left(  A+B\right)  ^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$;

\item[d)] $AB=BA\Rightarrow\left(  A+B\right)  ^{3}=A^{3}+3A^{2}%
B+3AB^{2}+B^{3}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 5.] Wyznacz $f\left(  A\right)  $, je\.{z}eli $f\left(
x\right)  =x^{2}-5x+3$ oraz $A=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
2 & -1\\
-3 & 3
\end{array}
\right]  $.

\item[Zadanie 6.*] Uzasadnij, \.{z}e dla dowolnej macierzy $A\in
\mathbb{C}^{n\times n}$ istnieje wielomian $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
taki, \.{z}e $f(A)=0$.

\item[Zadanie 7.] Rozwi\k{a}\.z macierzowy uk\l ad r\'{o}wna\'{n}
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{r}%
X+Y=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
0 & 1
\end{array}
\right]  \smallskip\\
2X+3Y=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right]
\end{array}
\right.  \text{.}%
\]


\item[Zadanie 8.*] Dla macierzy%
\[%
\begin{array}
[c]{ll}%
\text{a) }A=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
i & 0\\
0 & -i
\end{array}
\right]  \text{, dla }i=\sqrt{-1}\text{,} & \text{b) }A=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right]  \text{, dla }\theta\in\mathbb{R}\text{ }%
\end{array}
\]
wyznacz $A^{n}\overset{df}{=}\underset{\times\text{ }n}{\underbrace
{A\cdot\ldots\cdot A}}$.

\item[Zadanie 9.*] Dla macierzy $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ okre\'{s}lamy
odwzorowanie $\Psi:\mathbb{R}^{n}\ni x\rightarrow Ax\in\mathbb{R}^{n}$.
Podaj interpretacj\k{e} geometryczn\k{a} odwzorowania $\Psi$ w przypadku,
gdy%
\[%
\begin{array}
[c]{ll}%
\text{a) }A=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right]  \text{, dla }\theta\in\mathbb{R}\text{,} & \text{b) }A=\left[
\begin{array}
[c]{lll}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]  \text{.}%
\end{array}
\]
W oparciu o interpretacj\k{e} geometryczn\k{a} odwzorowania $\Psi$,
uzasadnij jego bijektywno\'{s}\'{c} oraz wyznacz odwzorowanie
odwrotne $\Psi^{-1}$.

\item[Zadanie 10.] Udowodnij, \.{z}e iloczyn macierzy tr\'{o}jk\k{a}tnych
g\'{o}rnych (dolnych) jest macierz\k{a} tr\'{o}jk\k{a}tn\k{a} g\'{o}rn\k{a} (doln\k{a}).

\item[Zadanie 11.] Wyka\.z, \.ze je\.{z}eli $A=\left[  a_{ij}\right]  _{i,j=1}^{n}$ jest
macierz\k{a} ortogonaln\k{a} (tj. $A^{T}A=AA^{T}=I$),  to:

\begin{itemize}
\item[a)] $\sum_{k=1}^{n}a_{kj}^{2}=1$, $\forall j=1,\ldots,n$;

\item[b)] $\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2}=1$, $\forall i=1,\ldots,n$;

\item[c)] $\sum_{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}=0$\emph{, dla} $i\neq j$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 12.] Zadana jest macierz ortogonalna $A\in\mathbb{R}^{n\times
n}$. Rozwi\k{a}\.z r\'{o}wnanie%
\[
AX\left(  A^{T}\right)  ^{2}=-I^{3}\text{,}%
\]
z niewiadom\k{a} macierz\k{a} $X$, $I-$macierz jednostkowa.
\end{description}

\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 1:] a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest;

\item[Zadanie 2:] a) $X=\left[
\begin{array}
[c]{rrr}%
1 & -6 & 2\\
-2 & -5 & 1
\end{array}
\right]  ;$ b) $X=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
1
\end{array}
\right]  ;$

\item[Zadanie 3:] $L=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
1 & \sqrt{3}%
\end{array}
\right]  ;$

\item[Zadanie 4:] a) nie; b) nie; c) nie; d) tak;

\item[Zadanie 5:] $f(A)=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}
\right]  ;$

\item[Zadanie 6*:] Wskaz\'{o}wka: wykorzystuj\k{a}c zadanie 1d) uzasadni\'{c},
\.{z}e istnieje taka liczba $N\in\mathbb{N}$, \.{z}e macierze $I,A,\ldots
,A^{N}$ s\k{a} liniowo zale\.{z}ne;

\item[Zadanie 7:] $X=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
-1 & 3\\
0 & 2
\end{array}
\right]  ,Y=\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
1 & -2\\
0 & -1
\end{array}
\right]  ;$

\item[Zadanie 8*:] a) $\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
i^{n} & 0\\
0 & \left(  -i\right)  ^{n}%
\end{array}
\right]  ,n\in\mathbb{N};$ b) $\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
\cos n\theta & \sin n\theta\\
-\sin n\theta & \cos n\theta
\end{array}
\right]  ,n\in\mathbb{N};$

\item[Zadanie 9*:] a) Obr\'{o}t o k\k{a}t $\theta,$ $A^{-1}=$ $\left[
\begin{array}
[c]{rr}%
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right]  ;$ b) Symetria wzgl\k{e}dem p\l aszczyzny $\left\{  \left(
x,y,z\right)  \in\mathbb{R}^{3}:y-z=0\right\}  ,$ $A^{-1}=A$;

\item[Zadanie 10:] $A=\left[  a_{ij}\right]  ,$ $B=\left[  b_{ij}\right]
:a_{ij}=0,$ $b_{ij}=0$ dla $i<j$. $AB=C=\left[  c_{ij}\right]  $. W\'{o}wczas:
$c_{ij}=%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
a_{ik}b_{kj}\overset{\text{dla }k>i}{\underset{a_{ik}=0}{=}}%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{i}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{i}}
%EndExpansion
a_{ik}b_{kj}\overset{\text{dla }k<j}{\underset{b_{kj}=0}{=}}%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=j}^{i}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=j}^{i}}
%EndExpansion
a_{ik}b_{kj}$, czyli dla $i<j:$ $c_{ij}=0$.

\item[Zadanie 11:] Wskaz\'{o}wka: rozpisa\'{c} warunki ortogonalno\'{s}ci jak
w zadaniu poprzednim.

\item[Zadanie 12:] $-A.$\end{description}


\end{document}