\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{21} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 9. Odwzorowania liniowe}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Odwzorowanie liniowe injektywne (odp. surjektywne,
bijektywne) nazywamy \textit{monomorfizmem }(\textit{odp. epimorfizmem,
izomorfizmem}). Niech $F:X\rightarrow Y,$ gdzie $\dim X=\dim Y=n$ $\left(
n\in\mathbb{N}\right)  $, b\k{e}dzie odwzorowaniem liniowym. Uzasadnij, \.{z}e
nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'{o}wnowa\.{z}ne.

\begin{itemize}
\item[a)] odwzorowanie $F$ jest monomorfizmem;

\item[b)] $\ker F=\left\{  0\right\}  $;

\item[c)] $\dim\operatorname{Im}\left(  F\right)  =\dim Y;$

\item[d)] odwzorowanie $F$ jest epimorfizmem;

\item[e)] odwzorowanie $F$ jest izomorfizmem.
\end{itemize}

\item[Zadanie 2.] Rozwa\.{z}my funkcj\k{e} $F:\mathbb{R}^{2\times2}%
\rightarrow\mathbb{R}^{2\times2}$ okre\'{s}lon\k{a} wzorem%
\[
F:\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]  \rightarrow\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
2a-b+2c-d & b+2c-d\\
2c & b-2c+3d
\end{array}
\right]  .
\]


\begin{itemize}
\item[a)] Uzasadnij, \.{z}e $F$ jest endomorfizmem.

\item[b)] Wyznacz j\k{a}dro oraz obraz endomorfizmu $F$; wyznacz bazy tych
przestrzeni. Czy $F$ jest injekcj\k{a} (surjekcj\k{a})?

\item[c)] W wybranej bazie przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times2}$ wyznacz macierz
$A_{F}$ endomorfizmu $F$.

\item[d)] Wyznacz warto\'{s}ci oraz wektory w\l asne macierzy $A_{F}$.

\item[e)] Wyznacz warto\'{s}ci oraz wektory w\l asne endomorfizmu $F$.

\item[f)] Wyznacz macierz przej\'{s}cia z wybranej w punkcie c) bazy
przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times2}$ do bazy $e$:%
\[
e_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right]  ,e_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]  ,e_{3}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]  ,e_{4}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]  .
\]


\item[g)] Wyznacz macierz Jordana macierzy $A_{F}$.

\item[h)] Wyznacz baz\k{e} Jordana przestrzeni $\mathbb{R}^{2\times2}$
wzgl\k{e}dem endomorfizmu $F$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 3.] Niech $\Phi_n:\Pi_{n}\ni f\rightarrow f^{\prime}\in\Pi_{n}$.

\begin{itemize}
\item[a)] Wyznacz $\ker\Phi_n$, $\operatorname{Im}\Phi_n$ oraz bazy tych przestrzeni.

\item[b)] Wyznacz macierz $A_{\Phi_n}$ odwzorowania $\Phi_n$ w bazie $e$:%
\[
e_{0}=1,\text{\quad}e_{1}=1+x,\text{\quad}e_{2}=1+x+x^{2},\text{\quad}%
\ldots,\text{\quad}e_{n}=1+x+\ldots+x^{n}.
\]


\item[c)] Rozwa\.{z}my baz\k{e} $\tilde{e}=\left(  \tilde{e}_{0},\ldots
,\tilde{e}_{n}\right)  $ przestrzeni $\Pi_{n}$, gdzie $\tilde{e}_{i}=x^{i}$
$(i=0,\ldots,n).$ Wyznacz macierz przej\'{s}cia $P$ z bazy $e$ do bazy
$\tilde{e}$ oraz macierz $P^{-1}$.

\item[d)] Wyznacz warto\'{s}ci i wektory w\l asne macierzy $A_{\Phi_n}$ oraz
endomorfizmu $\Phi_n$.

\item[e)] Czy endomorfizm $\Phi_n$ jest diagonalizowalny?

\item[f)] Wykorzystuj\k{a}c macierzow\k{a} reprezentacj\k{e} endomorfizmu
$\Phi_3$ oblicz $\left(  1+x^{2}+6x^{3}\right)  ^{\prime}$.
\end{itemize}

\item[Zadanie 4.] Niech $X=\operatorname*{span}\left\{  e^{x},\sin x,\cos
x,\sin2x,\cos2x\right\}  $. Rozwa\.{z}my odwzorowanie $F\left(  f\right)
=f^{\prime\prime}+f.$

\begin{itemize}
\item[a)] Czy $F$ jest endomorfizmem na $X$?

\item[b)] Je\.{z}eli odpowied\'{z} w punkcie a) jest pozytywna, wyznacz
warto\'{s}ci w\l asne endomorfizmu $F$. Czy jest on diagonalizowalny?
\end{itemize}
\end{description}


\end{document}