\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{22} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 10. Przestrzenie unitarne}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Niech $s_{1}$ i $s_{2}$ b\k{e}d\k{a} iloczynami skalarnymi w
rzeczywistej przestrzeni wektorowej $X$. Poka\.{z}, \.{z}e odwzorowanie
$\alpha_{1}s_{1}+\alpha_{2}s_{2}$, gdzie $\alpha_{1},\alpha_{2}\in
\mathbb{R}_{+}$, r\'{o}wnie\.{z} okre\'{s}la iloczyn skalarny w $X$.

\item[Zadanie 2.] Poka\.{z}, \.{z}e je\.{z}eli $s$ jest iloczynem skalarnym w
przestrzeni wektorowej $X$, a $Y$ jest jej podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}, to
$s_{|Y\times Y\text{ }}$ jest iloczynem skalarnym w $Y$.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz og\'{o}ln\k{a} posta\'{c} iloczynu skalarnego w
przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$.

\item[Zadanie 4.] Niech uk\l ad wektor\'{o}w $e_{1},\ldots,e_{n}$ $\left(
e_{i}\neq0,\text{ }i=1,\ldots,n\right)  $ b\k{e}dzie uk\l adem ortogonalnym w
przestrzeni wektorowej wyposa\.{z}onej w iloczyn skalarny. Poka\.{z}, \.{z}e
wektory $e_{1},\ldots,e_{n}$ s\k{a} liniowo niezale\.{z}ne.

\item[Zadanie 5.] Rozwa\.{z}my podprzestrze\'{n} liniow\k{a} $Y=\left\{
\left(  x,y,z\right)  :2x+y-z=0\right\}  $ przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$.
Wyznacz ortonormaln\k{a}, w sensie naturalnego iloczynu skalarnego, baz\k{e}
przestrzeni $Y$.

\item[Zadanie 6.] Sprawd\'{z}, \.{z}e w przestrzeni $\mathbb{R}^{4}$ wektory
\[%
\begin{array}
[c]{ll}%
e_{1}=\left(  \frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)
\text{,} & e_{2}=\left(  -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}%
{2}\right)
\end{array}
\]
s\k{a} ortonormalne, a nast\k{e}pnie znajd\'{z} wektory $e_{3}$ i $e_{4}$
takie, aby uk\l ad $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ by\l \ jej baz\k{a}
ortonormaln\k{a}. W $\mathbb{R}^{4}$ przyjmij naturalny iloczyn skalarny.

\item[Zadanie 7.] Niech $\circ$ oznacza naturalny iloczyn skalarny w
przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$ oraz niech $\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x\circ
x}$. Niech $v,w\in\mathbb{R}^{n}$. Poka\.{z}, \.{z}e

\begin{itemize}
\item[a)] $v\perp w$ $\Leftrightarrow\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}=\left\Vert
v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}$ (tw. Pitagorasa);

\item[b)] $\left\vert \left\vert v\right\vert \right\vert =\left\vert
\left\vert w\right\vert \right\vert \Leftrightarrow v+w\perp v-w$;

\item[c)] $\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert
^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}-2\left\vert \left\vert v\right\vert
\right\vert \cdot\left\vert \left\vert w\right\vert \right\vert \cos
\measuredangle\left(  v,w\right)  $;

\item[d)] $\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert
^{2}=2\left(  \left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert
^{2}\right)  $;
\end{itemize}

\item[Zadanie 9.] W przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ (z naturalnym iloczynem
skalarnym) znajd\'{z} rzut ortogonalny wektora $\left(  1,2,3\right)  $ na
p\l aszczyzn\k{e}\ $l:x+y\mathbb{-}z=0$.

\item[Zadanie 10.] Niech $\Pi$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} wielomian\'{o}w o
wsp\'{o}\l czynnikach rzeczywistych. W $\Pi$ okre\'{s}lamy odwzorowanie
$s:\Pi\times\Pi\rightarrow\mathbb{R}$ wzorem%
\[
s\left(  p,q\right)  =a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+\ldots+a_{\min\left\{
n,m\right\}  }b_{\min\left\{  n,m\right\}  }\text{ ,}%
\]
gdzie $p\left(  x\right)  =a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}$ i $q\left(
x\right)  =b_{0}+b_{1}x+\ldots+b_{m}x^{m}$. Udowodnij, \.{z}e jest to iloczyn
skalarny; nast\k{e}pnie wyznacz rzut ortogonalny wektora $u\left(  x\right)
=x^{n}+x^{n-1}+\ldots+x+1$ na podprzestrze\'{n} $V=\Pi_{m}$ $\left(
m<n\right)  $.

\item[Zadanie 11.] W przestrzeni $\Pi$ wielomian\'{o}w o wsp\'{o}\l czynnikach
rzeczywistych wprowadzamy iloczyn skalarny%
\[
\left\langle f,g\right\rangle =\int_{-1}^{1}f\left(  x\right)  g\left(
x\right)  dx.
\]
Wyznacz rzut wektora $u\left(  x\right)  =2x^{2}+1$ na podprzestrze\'{n}
$V=\Pi_{1}$.

\item[Zadanie 12.] Niech $X=\operatorname*{span}\left\{  1,\sin\pi x,\cos\pi
x,\sin^{2}\pi x\right\}  .$ W $X$ wprowadzamy iloczyn skalarny z poprzedniego
zadania. Wynacz baz\k{e} ortonormaln\k{a} przestrzeni $X;$ nast\k{e}pnie
wyznacz rzut ortogonalny wektora $u\left(  x\right)  =\cos2\pi x$ na
podprzestrze\'{n} $V=\operatorname*{span}\left\{  1,\sin\pi x\right\}  $.
\end{description}

\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 4:] $%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}e_{k}=0\Rightarrow0=\left\langle
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}e_{k},e_{i}\right\rangle =%
%TCIMACRO{\tsum \nolimits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\textstyle\sum\nolimits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\alpha_{k}\left\langle e_{k},e_{i}\right\rangle \overset{ort.}{=}\alpha
_{i}\left\Vert e_{i}\right\Vert ^{2}$;

\item[Zadanie 5:] Np.: $\frac{\sqrt{3}}{3}\left(  1,-1,1\right)  ,\frac
{\sqrt{2}}{2}\left(  0,1,1\right)  ;$

\item[Zadanie 6:] Np.: $e_{3}=\left(  \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}%
{2},\frac{1}{2}\right)  ,e_{4}=\left(  -\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}%
{2},\frac{1}{2}\right)  ;$

\item[Zadanie 9:] $\left(  1,2,3\right)  ;$

\item[Zadanie 10:] $u^{\ast}\left(  x\right)  =x^{m}+\ldots+1;$

\item[Zadanie 11:] $u^{\ast}\left(  x\right)  =\frac{5}{3};$

\item[Zadanie 12:] Baza: $\frac{1}{2},\sin\pi x,\cos\pi x,\sqrt{2}\sin^{2}\pi
x-\frac{\sqrt{2}}{4};$ $u^{\ast}\left(  x\right)  =0$.
\end{description}


\end{document}