\documentclass[11pt]{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{arev}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{eufrak}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}%
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2.5cm}
\addtolength{\textwidth}{4.5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\footskip}{0cm}
\begin{document}
\setcounter{page}{26} \noindent\textit{Algebra liniowa -- dr
Micha\l \ G\'ora\hfill Zestaw 12. Geometria analityczna}\vspace{-11pt}%
\newline\noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}

\begin{description}
\item[Zadanie 1.] Wyznacz r\'{o}wnanie prostej przechodz\k{a}cej przez punkt
$\left(  -1,0,1\right)  $\ i r\'{o}wnoleg\l ej do p\l aszczyzny
$2x+y=0$.

\item[Zadanie 2.] Wyznacz r\'{o}wnanie p\l aszczyzny przechodz\k{a}cej przez
punkty $A=\left(  -1,2,1\right)  ,$ $B=\left(  2,1,3\right)  ,$ $C=\left(
2,4,-1\right)  $.

\item[Zadanie 3.] Wyznacz r\'{o}wnanie p\l aszczyzny przechodz\k{a}cej przez
punkty $A=\left(  1,0,2\right)  ,$ $B=\left(  3,-1,2\right)  ,$ $C=\left(
-1,1,2\right)  $. Ile jest takich p\l aszczyzn?

\item[Zadanie 4.] Wyznacz r\'{o}wnanie\ p\l aszczyzny zawieraj\k{a}cej proste
$l_{1}:x=y=z$\quad oraz \linebreak $l_{2}:2x=y=-z$.

\item[Zadanie 5.] Dane s\k{a} trzy punkty $A\left(  1,-5,4\right)  ,$
$B\left(  -4,3,2\right)  ,$ $C\left(  2,1,3\right)  $. Wyznacz
p\l aszczyzn\k{e} przechodz\k{a}c\k{a} przez punkt $C$ i r\'{o}wnoleg\l \k{a}
do wektora $\overrightarrow{AB}$.

\item[Zadanie 6.] Sprawd\'{z}, czy czworok\k{a}t o wierzcho\l kach
\[
A\left(  2,0,3\right)  ,\text{ }B\left(  3,2,1\right)  ,\text{ }C\left(
-1,1,-4\right)  ,\text{ }D\left(  -2,-1,-2\right)
\]
jest kwadratem.

\item[Zadanie 7.] Dane s\k{a} trzy punkty: $A=\left(  1,-1,2\right)  ,$
$B=\left(  4,3,2\right)  ,$ $C=\left(  -3,2,2\right)  $. Wyznacz taki punkty
$D$, aby czworok\k{a}t o wierzcho\l kach $A,B,C,D$ by\l \ kwadratem.

\item[Zadanie 8.] Dana jest prosta%
\[
l:\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
2x-2y+4z=2\\
3x+y-5z-1=0
\end{array}
\right.  \text{.}%
\]
Zapisz jej r\'{o}wnanie w postaci parametrycznej oraz kanonicznej.

\item[Zadanie 9.] Na p\l aszczy\'{z}nie $x-y-z=0$ wyznacz dwie proste
przecinaj\k{a}ce si\k{e} pod k\k{a}tem $\varphi=\frac{\pi}{4}$.

\item[Zadanie 10.] Znajd\'{z} rzut punktu $P=\left(  2,-1,0\right)  $ na
p\l aszczyzn\k{e} $2x+2y-2z+1=0$.

\item[Zadanie 11.] Wyznacz rzut prostej
\[
l:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2t\\
y=-at\\
z=2
\end{array}
,\text{ }t\in\mathbb{R}\right.
\]


na p\l aszczyzn\k{e} $x+2y-z=1$ w przypadku, gdy: a) $a=1;$ b) $a=-1$.

\item[Zadanie 12.] Wyznacz r\'{o}wnanie p\l aszczyzny, kt\'{o}rej punkt
$\left(  1,2,-1\right)  $ jest rzutem ortogonalnym punktu $\left(
0,0,0\right)  $.

\item[Zadanie 13.] Znajd\'{z} punkt $A$ symetryczny do punktu przeci\k{e}cia
si\k{e} prostych $l_{1}$ oraz $l_{2}$ wzgl\k{e}dem p\l aszczyny $\Pi$,
je\.{z}eli%
\begin{align*}
l_{1} &  :\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{3}\\
l_{2} &  :\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1-t\\
y=2+2t\\
z=1-t
\end{array}
,\text{ }t\in\mathbb{R}\right.
\end{align*}
oraz%
\[
\Pi:x+y+z=-2\text{.}%
\]

\end{description}
\noindent\rule{0.5\textwidth}{0.5pt}\\
\hspace{-5pt}
\noindent {\large Odpowiedzi:}

\begin{description}
\item[Zadanie 1:] $x=-1-t,y=2t,z=1;$

\item[Zadanie 2:] $-2x+12y+9z=35;$

\item[Zadanie 3:] Np.: $2x+4y-z=0,$ p\l aszczyzn takich jest niesko\'{n}czenie
wiele$;$

\item[Zadanie 4:] $-4x+3y+z=0;$

\item[Zadanie 5:] $y=-4z+13;$

\item[Zadanie 6:] Nie;

\item[Zadanie 7:] $D=\left(  0,6,2\right)  ;$

\item[Zadanie 8:] Np. $x=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}t,y=-\frac{1}{2}+\frac{11}%
{4}t,z=t;$ $\frac{4x-2}{3}=\frac{4y+2}{11}=z;$

\item[Zadanie 9:] Np.: $l_{1}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1\\
y=1-t\\
z=t
\end{array}
\right.  ,$ $l_{2}:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2\sqrt{3}t\\
y=1+\left(  \sqrt{3}-3\right)  t\\
z=\left(  \sqrt{3}+3\right)  t
\end{array}
\right.  ;$

\item[Zadanie 10:] $\left(  \frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)  ;$

\item[Zadanie 11:] Dla $a=1:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=\frac{4}{3}+4t\\
y=\frac{2}{3}-t\\
z=\frac{5}{3}+2t
\end{array}
\right.  ;$ dla $a=-1:\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=2+4t\\
y=\frac{1}{2}-t\\
z=2+2t
\end{array}
\right.  ;$

\item[Zadania 12:] $x+2y-z=6;$

\item[Zadania 13:] $A=\left(  0,-8,-8\right)  .$
\end{description}


\end{document}