1. Algebra wektorów

Wielkość wektorową charakteryzuje wartość, czyli moduł, kierunek, i zwrot. Można ją przedstawić w sposób graficzny jako odcinek skierowany o długości proporcjonalnej do modułu lub tez w sposób analityczny. Sposób analityczny polega na podaniu rzutów a_x, a_y, a_z wektora (z ich znakami) na osie układu współrzędnych, albo też na podaniu modułu wektora (oznaczenie: lub a) i kątów jakie tworzy on z osiami układu (rys.1.1). Liczba składowych i kątów zależy od tego czy wektor znajduje się w przestrzeniu 3 wymiarowej, czy też na płaszczyźnie (przestrzeń 2 wymiarowa) czy też na prostej (przestrzeń 1 wymiarowa).

Do analitycznego przedstawienia wektora za pomocą składowych trzeba wprowadzić wersory, czyli wektory jednostkowe osi prostokątnego układu współrzędnych, oznaczane przez ,,, przy czym = = = 1. W przestrzenie wektor można przestawić w postaci

(1.1)

Wektor jest jednoznacznie określony wtedy, gdy znana jest trójka liczb a_x, a_y, a_z. W przypadku wektorów znajdujących się na płaszczyźnie dowolny wektor może być przedstawiony w następujący sposób

(1.2)

W tym przypadku dla jednoznacznego określenia wektora potrzebujemy znać tylko dwie jego współrzędne a_x, a_y.

Rys. 1.1. Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)

Moduł wektora jest równy

(1.3)

Kąty, jakie tworzy wektor z osiami układu współrzędnych określają następujące wzory

(1.4)

(1.5)

(1.6)

przy czym tylko dwa kąty są niezależne, ponieważ

(1.7)

Jeśli wektor jest określony za pomocą modułu a i kątów a i b, to rzuty wektora na osie układu współrzędnych można obliczyć z zależności:

(1.8)

(1.9)

(1.10)

Wektorem przeciwnym do danego nazywa się wektor o przeciwnym zwrocie do danego wektora i takim samym module i kierunku. Wprowadzenie pojęcia wektora przeciwnego pozwala sprowadzić odejmowanie wektorów do dodawania wektora przeciwnego.

(1.11)

Sumę (więc także i różnicę) dwóch wektorów , wyznacza się graficznie w następujący sposób (rys. 1.2): jeden z wektorów np. (lub w przypadku odejmowania wektor do niego przeciwny ) przesuwa się równolegle tak aby jego koniec pokrył się z początkiem wektora . W wyniku sumowania (różnicy_ wektorów powstaje nowy wektor, np. ()

(1.12)

(1.13)

Koniec powstałego w ten sposób wektora pokrywa się z końcem wektora przesuwanego wektora () a początek pokrywa się z początkiem nie przesuwanego wektora ().

Postały wektory sumy i różnicy maja także swoje składowe

(1.14)

(1.15)

Poszczególne jego współrzędne można wyliczyć bezpośrednio ze współrzędnych sumowanych wektorów

Rys. 1.2. Sumowanie wektorów

Składowe sumy (różnicy) dwóch wektorów można przedstawić analitycznie za pomocą zależności:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

gdzie kąt d oznacza kąt pomiędzy wektorami i . W szczególnym przypadku wektorów równoległych i o zgodnych zwrotach kąt d = 0 i wtedy równania upraszczają się do zależności

(1.24)

(1.25)

natomiast gdy wektory te są równoległe i przeciwne równania upraszczają się do

(1.26)

(1.27)

W rachunku wektorowym możliwe są następujące operacje mnożenia (lub ich kombinacje):

- mnożenie wektora przez skalar (liczbę),

- mnożenie skalarne wektora przez wektor,

- mnożenie wektorowe wektora przez wektor.

Jeśli chodzi o dzielenie to możliwe jest jedynie dzielenie wektora przez skalar – jako mnożenie wektora przez skalar odwrotny (liczbę odwrotną).

Iloczynem wektora przez skalar m nazywa się taki wektor

(1.28)

którego moduł równa się

(1.29)

Wektor ma ten sam kierunek co wektor i ten sam zwrot jeżeli skalar m jest nieujemny. Jeśli skalar m jest ujemny to wektory mają przeciwny zwrot lecz nadal ten sam kierunek.

Rozpisując równanie 1.28 na składowe otrzymujemy

(1.30)

(1.31)

(1.32)

Mnożenie wektora przez liczbę jest działaniem przemiennym

(1.33)

Jest także działaniem łącznym

(1.34)

a także rozdzielnym względem dodawania wektorów i skalarów

(1.35)

(1.36)

gdzie:

m,n – skalary (liczby)

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy skalar (liczbę)

(1.37)

Ponieważ

(1.38)

jest modułem rzutu wektora na wektor więc iloczyn skalarny jest równy modułowi jednego wektora przez rzut drugiego wektora na pierwszy. Iloczyn skalarny jest dodatni jeśli kąt pomiędzy wektorami jest ostry i ujemny jeśli kąt ten jest rozwarty. W szczególnym przypadku – wektorów prostopadłych iloczyn skalarny przyjmuje wartość 0.

Rys. 1.3. Rzut wektora na wektor (w kierunku drugiego wektora)

Dla wersorów ,, zachodzą zatem następujące związki

(1.39)

(1.40)

Iloczyn skalarny ma następujące własności

- przemienność (1.41)

- łączność (1.42)

- rozdzielność względem dodawania (1.43)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Korzystając z powyższych własności i zależności, można obliczyć iloczyn skalarny, gdy znane są składowe obu wektorów wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych

(1.44)

Mnożenie wektorowe jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor utworzony w następujący sposób:

- moduł (1.45)

- kierunek określa prosta prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i

- zwrot wyznacza się za pomocą reguły korkociągu (śruby prawoskrętnej) która mówi: jeśli rękojeść korkociągu kręcić w ten sposób aby pierwszy wektora pokrył się z drugim zakreślając mniejszy z dwóch kątów to kierunek ruchu korkociągu wskaże zwrot wektora .

Z powyższej definicji widzimy ze iloczyn wektorowy nie jest przemienny (wynik zależy od kolejności czynników)

(1.46)

Jeśli wektory są równoległe to na podstawie wzoru 1.45 (kąt d=0) ze wynikiem mnożenia wektorowego jest wektor zerowy.

Iloczyn wektorowy ma następujące własności:

- łączność (1.47)

- rozdzielność (1.48)

(1.47)

(1.48)

Na podstawie definicji iloczynu wektorowego można pokazać, że dla wersorów prostokątnego układu współrzędnych obowiązują zależności:

(1.49)

(1.50)

(1.51)

(1.52)

(1.53)

(1.54)

(1.55)

Rys. 1.4. Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy można wyrazić za pomocą składowych obu wektorów

(1.56)

Korzystając z pojęcia wyznacznika, iloczyn wektorowy można przedstawić w łatwej do zapamiętania postaci:

(1.57)

Iloczyn wektorowy ma prostą interpretację geometryczną – jego moduł jest równy polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i . Wiąże się to ze stosowanym powszechnie sposobem reprezentacji powierzchni za pomocą wektora prostopadłego do tej powierzchni o module proporcjonalnym do pola tej powierzchni. Ten sposób przedstawiania powierzchni wykorzystuje się w fizyce, np. przy definiowaniu strumienia elektrycznego F_E i magnetycznego F_B.

Literatura:

M.A.Herman, A.Kalestyński, L.Widomski, Podstawy fizyki dla kandydatów na wyższe uczelnie i studentów, PWN Warszawa 1999