1          Stabilność liniowych układów sterowania

Układ zamknięty liniowy i stacjonarny opisany równaniem (1) jest stabilny, jeżeli dla skończonej wartości zakłócenia przy dowolnych wartościach początkowych jego odpowiedź ustalona przyjmuje skończone wartości.

                  (1)

Transmitancja operatorowa tego układu ma postać:

                                                                        (2)

Stąd jego równanie charakterystyczne

                                                                                (3)

W ujęciu matematycznym warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, ażeby układ zamknięty był stabilny jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego (3) miały ujemne części rzeczywiste. Rozwiązanie tego równania wystarczy, więc dla stwierdzenia czy dany układ liniowy jest stabilny. Jednak w praktyce ta metoda nie zawsze jest dogodna i wystarczająca.

Z tego względu zostały opracowane metody pozwalające na badanie stabilności bez rozwiązywania równania charakterystycznego są to tzw. kryteria stabilności. Kryteria te dzielą się na: algebraiczne do, których należą kryteria Routha i Hurwitza oraz częstotliwościowe Michajłowa i Nyquista.

1.1  Kryterium Hurwitza

Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności układu liniowego i stacjonarnego jest, ażeby wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego transmitancji tego układu istniały i były dodatnie, a ponadto ażeby wyznacznik  (1) zwany wyznacznikiem Hurwitza oraz jego podwyznaczniki były dodatnie.

Jeżeli którykolwiek współczynnik jest ujemny lub równy zeru albo którykolwiek podwyznacznik jest ujemny to układ jest niestabilny.

Jeśli dowolny z podwyznaczników jest równy zeru to oznacza, że równanie charakterystyczne układu ma między innymi pierwiastki urojone i wtedy układ jest na granicy stabilności. Na jego wyjściu występują drgania o ustalonej amplitudzie.

                                                                             (4)

                                                                                                                      

                                                                                                             

                                                                                                                                                 

                                                                          

Przykład 1

Za pomocą kryterium Hurwitza zbadać stabilność układu zamkniętego, którego równanie charakterystyczne ma postać:

Zauważmy, że spełniony jest warunek konieczny stabilności, ponieważ wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie.

Wyznacznik Hurwitza utworzony ze współczynników wielomianu tego równania ma postać:

Obliczamy wartość wyznacznika za pomocą polecenia det, które wprowadzamy w oknie poleceń MATLAB-a według poniższej składni. Argumentem polecenia det zapisanym w nawiasach okrągłych jest macierz współczynników wyznacznika Hurwitza, która z kolei zapisana jest w nawiasach kwadratowych. Poszczególne elementy wierszy tej macierzy oddzielone są odstępami, natomiast wiersze – oddzielone są średnikami.

» delta_5=det([6 7 2 0 0;1 4 11 0 0;0 6 7 2 0;0 1 4 11 0;0 0 6 7 2]),

delta_5 =

       -5846

Ujemna wartość wyznacznika Hurwitza wskazuje na to, że badany układ jest niestabilny.

1.2  Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:

a)      Jeżeli układ otwarty jest stabilny to układ zamknięty jest też stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki  przy wzroście  od 0 do , nie obejmuje punktu o współrzędnych (-1, j0).

b)      Jeżeli układ otwarty nie jest stabilny i jego transmitancja ma r biegunów w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki  przy wzroście  od 0 do , obejmuje punkt (-1,j0) r/2 razy.

W pewnych przypadkach wygodniej jest posługiwać tzw. regułą lewej strony, która mówi, że układ zamknięty jest stabilny, jeżeli przy wzroście  od 0 do , punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze po lewej stronie wykresu Go(jw).

W praktycznych zastosowaniach kryterium Nyquista jest szczególnie przydatne w przypadku, gdy układ otwarty jest stabilny. Można wtedy korzystać z przebiegu charakterystyki  układu otwartego zdjętej doświadczalnie, co pozwala na badanie stabilności także układu, którego opis matematyczny nie jest znany.

Przykład 2

Obiekt o transmitancji

pracuje w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalno-całkującym o transmitancji

Rys. 1 Schemat układu zamkniętego z obiektem statycznym trzeciego rzędu i regulatorem PJ

Transmitancja układu otwartego

Rozpatrzymy dwa przypadki regulacji: z regulatorem nastawionym na działanie wyłącznie proporcjonalne i drugi – z regulatorem proporcjonalno-całkującym.

a) Przyjmiemy wzmocnienie obiektu k = 1 oraz wyłączamy działanie całkujące regulatora przez nastawienie czasu izodromu .

Stąd mamy

 

Za pomocą polecenia nyquist z pakietu MATLAB-a, wykonamy wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego Go(jw) dla trzech wartości wzmocnienia regulatora kp =2, 3 i 4.

Rys. 2 Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego Go(jw) dla kp = 2, 3, 4

Wykresy Nyquista układu otwartego Go(jw) obejmują trzy charakterystyczne przypadki regulacji. W pierwszym z nich dla kp = 2 charakterystyka Go(jw) przy zwiększaniu częstotliwości  nie obejmuje punktu (-1,j0) – układ zamknięty jest wtedy stabilny. W drugim przypadku dla kp = 3 charakterystyka G(jw) przechodzi przez punkt (-1,j0) – układ jest na granicy stabilności. Wreszcie dla kp = 4 charakterystyka Go(jw) przy wzroście  obejmuje punkt (-1,j0) – układ po zamknięciu sprzężenia zwrotnego będzie niestabilny.

Potwierdzenie tego znajdujemy przez stwierdzenie położenia biegunów transmitancji układu zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego

A stąd równanie charakterystyczne układu

Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego za pomocą polecenia roots z pakietu MATLAB-a, dla kp = 2 mamy

  s1 = -1.8105         

  s2 = -0.0947 + 1.2837j

  s3 = -0.0947 - 1.2837j

Jak widać wszystkie pierwiastki mają części rzeczywiste ujemne, czyli istotnie układ zamknięty spełnia warunek konieczny i dostateczny stabilności.

Obliczamy z kolei pierwiastki dla kp =3

   s1  = - 2.0000         

   s2  = 0.0000 + 1.4142j

   s3  = 0.0000 - 1.4142j

W tym przypadku występują pierwiastki urojone sprzężone, zatem układ zamknięty jest na granicy stabilności.

W końcu dla kp = 4, mamy pierwiastki

  s1 = -2.1509         

  s2 = 0.0755 + 1.5228j

  s3 = 0.0755 - 1.5228j

Tym razem występują pierwiastki zespolone sprzężone, których części rzeczywiste są dodatnie, wobec tego układ zamknięty jest dla tego przypadku niestabilny.

Innym sposobem jak najbardziej wizualnym, zaprezentowania reakcji układu zamkniętego na zakłócenie w postaci skoku jednostkowego przyłożonego do jego wejścia, jest przedstawienie przebiegów charakterystyk skokowych.

Rys. 3 Odpowiedzi układu zamkniętego  z regulatorem proporcjonalnym na zakłócenie na wejściu w postaci skoku jednostkowego

b) Zbadamy teraz stabilność układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalno-całkującym dla stałego wzmocnienia regulatora kp = 1 i różnych wartości czasu izodromu.

Wykonujemy charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego

Rys. 4 Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego Go(jw) z regulatorem proporcjonalno-całkującym przy kp = 1 dla czasu izodromu Ti = 0,8, 1 i 2

Układ otwarty jest w tym przypadku astatyczny ze względu na akcję całkującą regulatora. Charakterystyka Nyquista biegnie po ujemnych wartościach od minus nieskończoności do zera przy zwiększaniu częstotliwości od zera do nieskończoności. Kryterium stabilności może być w tym przypadku sformułowane następująco; układ zamknięty jest stabilny wtedy, gdy przy zwiększaniu częstotliwości od zera do nieskończoności, wykres Go(jw) omija punkt (-1,j0) po lewej stronie, a więc zgodnie z regułą lewej strony. W przeciwnym razie układ po zamknięciu będzie niestabilny. Jeżeli wykres Go(jw) przechodzi przez punkt (-1,j0), to układ zamknięty jest na granicy stabilności, a na jego wyjściu występują drgania o ustalonej amplitudzie, jak na wykresie dla Ti = 1 na rys. 5.

Transmitancja układu zamkniętego z regulatorem PI przyjmuje postać:

Stąd dla przyjętych wartości parametrów układu otrzymujemy przebiegi charakterystyk skokowych jak na rys. 5.

Rys. 5 Reakcja układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalno-całkującym na zakłócenie na jego wejściu w postaci skoku jednostkowego

Zbadamy teraz położenie biegunów transmitancji układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalno-całkującym. Posłużymy się tym razem poleceniem pzmap MATLAB-a, które tworzy wykres na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z zaznaczonymi biegunami i zerami transmitancji układu zamkniętego. Jak widać na rys. 6 dla Ti = 0,8 dwa bieguny transmitancji mają części rzeczywiste dodatnie, więc układ zamknięty jest dla tej wartości czasu izodromu – niestabilny. Dla Ti = 1 układ ma dwa bieguny położone na osi urojonej, zatem jest na granicy stabilności. I wreszcie dla Ti = 2 wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie, czyli układ jest  w tym przypadku stabilny.

Rys. 6 Rozkład biegunów i zer transmitancji układu zamkniętego