def find_elbow(k_range, inertia):
    # Konwersja wejściowych list na tablice NumPy dla bezpieczeństwa
    k_range = np.asarray(k_range)
    inertia = np.asarray(inertia)
    
    # Współrzędne punktów skrajnych
    x1, y1 = k_range[0], inertia[0]
    x2, y2 = k_range[-1], inertia[-1]
    
    # Równanie prostej przechodzącej przez p1 i p2 w postaci ogólnej: Ax + By + C = 0
    # A = y2 - y1, B = -(x2 - x1), C = x2*y1 - y2*x1
    A = y2 - y1
    B = -(x2 - x1)
    C = x2 * y1 - y2 * x1
    
    # Obliczamy odległości dla wszystkich punktów jednocześnie (bez pętli)
    # Wzór: |A*x + B*y + C| / sqrt(A^2 + B^2)
    numerator = np.abs(A * k_range + B * inertia + C)
    denominator = np.sqrt(A**2 + B**2)
    distances = numerator / denominator
    
    # Zwracamy k, dla którego odległość jest największa
    return k_range[np.argmax(distances)]