1. Własności funkcji absolutnie ciągłych na przedziale Oprócz różniczkowalności prawie wszędzie, będą badane klasy, w których pochodne są całkowalne z p-tą potęgą, przedstawione będą nierówności Sobolewa i własności przestrzeni Sobolewa funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. (temat dla 1 lub 2 osób) ------------------------------ 2.Pasma miar Podprzestrzenie domknięte B przestrzeni miar borelowskich zespolonych mające tę własność, że należą do niej wszystkie miary absolutnie ciągłe względem miary należącej do B nazywamy pasmami miar. Podane zostaną metody konstrukcji pasm, rozkładu Lebesgue'a miary względem pasma B oraz opis przestrzeni B* dualnej do pasma B. Przykłady dotyczą pasm generowanych przez miary reprezentujące, ich związek z Twierdzeniem Braci Rieszów. (temat dla 1 lub 2 osób) ------------------------------ 3. Zastosowania twierdzenia Hahna-Banacha w teorii aproksymacji Twierdzenie Hahna-Banacha i jego geometryczne wersje (twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych) mają liczne zastosowania w analizie. Jednym z nich jest sformułowanie warunków równoważnych temu, by kombinacje wypukłe elementów danego zbioru w przestrzeni unormowanej przybliżały dany element. Można formułować analogiczne tezy dotyczące kombinacji liniowych, czy też obwiedni absolutnie wypukłych. Oprócz tego typu twierdzeń, w pracy zostaną podane przykłady ich zastosowań. ----------------------------- 4. Funkcje półciągłe Obwiednie górne (suprema) rodzin funkcji ciągłych nie muszą być ciągłe, ale zachowują pewne "połowiczne" własności funkcji ciągłych -są to tzw. funkcję półciągłe z dołu. Teoria ta ma dość ciekawe zastosowania w analizie przestrzeni funkcyjnych. W pracy będą badane własności regularyzacji półciągłych z góry (odpowiednio- z dołu) -np. ich ciągłość w pewnych sytuacjach, osiąganie kresów na zbiorach zwartych i podobne własności topologiczne. -------------------------------- 5. Uzupełnienie Dedekinda przestrzeni uporządkowanych. Znana w przypadku konstrukcji liczb rzeczywistych metoda przekrojów może być stosowana w przestrzeniach częściowo uporządkowanych, choć komplikuje się ze względu na możliwą nieliniowość porządku. Podane zostaną ważne zastosowania dla przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku, związane z twierdzeniem Nakano-Stone'a (temat dla 1 lub 2 osób). Literatura: R.P.Dilworth, "The normal completion of the lattice of continuous functions" B.Z. Vulikh "Introduction to the theory of partially ordered spaces" Z. Semadeni, "Banach spaces of continuous functions" -------------------------------- 6. Porządkowa zbieżność, porządkowa ciągłość w kratach Banacha Jeśli w przestrzeni Banacha nad ciałem liczb rzeczywistych relacja częściowego porządku jest zgodna ze strukturą liniową i każdy zbiór 2-elementowy ma supremum i infimum, to określamy |x| jako sup{x,0}. Granicą ciągu (uogólnionego) monotonicznego nazwiemy odpowiedni kres zbioru jego wyrazów. Wektor $g$ będzie granicą ciągu (x_\alpha), gdy |x_\alpha - g| jest zmajoryzowany przez pewien ciąg malejący zbieżny do zera. W pracy badane będą pewne warunki równoważne. Rozważane będą też funkcjonały porządkowo ciągłe. W przypadku przestrzeni funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa K, tego typu funkcjonały są tzw. miarami normalnymi. W przypadku algebr C* z 1-ką -kluczową rolę odgrywają unormowane przez 1 funkcjonały liniowe nieujemne, porządkowo ciągłe zwane stanami normalnymi. (temat dla 1 lub 2 osób) -------------------------------- 7. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa Twierdzenie to dotyczy przybliżania w sensie zbieżności jednostajnej funkcji ciągłych przez elementy pewnych algebr symetrycznych funkcji na danej przestrzeni zwartej. W przypadku funkcji na odcinku podany też będzie związek z teorią szeregów Fouriera. -------------------------------- 8. Miary Banacha w R^n Jak wiadomo, nie da się przedłużyć miary Lebesgue'a do miary niezmienniczej względem przesunięć, ale określonej dla wszystkich podzbiorów przestrzeni. Natomiast istnieje skończenie addytywna funkcja zbioru o takich własnościach. Tematem pracy będzie zastosowanie jednego z twierdzeń o punkcie stałym do wykazania niezmienniczej wersji twierdzenia Hahna-Banacha, a następnie wykorzystanie jej do konstrukcji wspomnianej funkcji zbioru będącej przedłużeniem miary Lebesgue'a na rodzinę wszystkich podzbiorów przestrzeni euklidesowej.