Uwagi i bibliografia
____________________
Pojęcia wielomianów stabilnych i hiperbolicznych, a zwłaszcza twierdzenia o położeniu ich miejsc zerowych znajdują coraz więcej nietrywialnych zastosowań.  W latach 2004-2013 rozwiązano dzięki analizie wielomianów szereg problemów z teorii macierzy, kombinatoryki, rachunku prawdopodobieństwa i teorii grafów.
Na seminarium referowałem powstałą w czerwcu tego roku pracę autorów:
Adam  Marcus, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: Interlacing Families II: Mixed Characteristic Polynomials and
The Kadison-Singer Problem ( http://arxiv.org/abs/1306.3969v3 - pod tym linkiem można pobrać plik pdf)


(Praca ta powstała dzięki rozwiniętej ostatnio metodzie rodzin wielomianów o przeplatających się zerach , którą skonstruowano dla potrzeb problemów spektralnej teorii grafów. Dane tej pracy: Adam Marcus, Daniel A Spielman, and Nikhil Srivastava. Interlacing families I:
Bipartite Ramanujan graphs of all degrees. arXiv preprint arXiv:1304.4132 , 2013. Omówienie i szersze wyjaśnienie kontekstu obydwu prac jest na blogu grupy naukowców z Yale: http://windowsontheory.org/2013/07/11/discrepancy-graphs-and-the-kadison-singer-conjecture-2/: )

Praca mająca zasadnicze znaczenie dla rozwiązania przez Marcusa, Spielmana i Srivastavę problemu Kadisona-Singera dotyczyła reprezentacji "wyznacznikowej" wielomianów stabilnych 2 zmiennych w postaci p(z,w)= det(zA+wB +C), gdzie macierze A,B,C są hermitowskie, zaś A, B -są dodatnio określone, to : J. Borcea and P. Br¨and´en, Multivariate P´olya–Schur classification problems in the Weyl
algebra, Proc. London Math. Soc. 101 (2010), 73–104. (Ponieważ nie jest ona dostępna z serwera WMS AGH, załączam jej wersję preprintową w tym katalogu. 

----------- prace przeglądowe:

Rbbin Pemantale napisał dość obszerną pracę przeglądową omawiającą wcześniejsze o 2 lata wyniki pt: Hyperbolicity and stable polynomials in combinatorics and 
probability -pod adresem:
http://arxiv.org/pdf/1210.3231v1.pdf

Drugą godną polecenia pracą przeglądową jest praca D. Wagnera: MULTIVARIATE STABLE POLYNOMIALS: THEORY AND APPLICATION
 (dostępna online w:) BULLETIN (New Series) OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, Volume 48, Number 1, January 2011, Pages 53–84 (omaia ona głównie wyniki zawarte w cyklu prac Borcei i  Brandena)

Pojęcie wielomianów hiperbolicznych wprowadził szwedzki matematyk L. G°arding w pracy: Linear hyperbolic differential equations with constant coefficients, Acta.
Math. 85 (1951), 2-62. przegląd własności wielomianów hiperbolicznych pod kątem ich zastosowań w równaniach różniczkowych zawarty jest w pracy 
: HYPERBOLIC POLYNOMIALS AND
THE DIRICHLET PROBLEM F. Reese Harvey and H. Blaine Lawson, Jr. pod adresem http://arxiv.org/abs/0912.5220v2

Jest jeszcze praca (ponad 700 str!) Steve Fisk. Polynomials, roots, and interlacing. arXiv:math/0612833 ,
2008. -dotyczy własności przeplatania się zer wielomianów.

Na temat równoważnych hipotezie Kadisona-Singera sformułowań (m inn. "the paving conjecture, Bourgain-Tzafriri conjecture, N. Weaver's KS_r condition) jest praca Peter G Casazza, Matthew Fickus, Janet C Tremain, and EricWeber. The Kadison–
Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account. Contemporary
Mathematics, 414:299, 2006.   (można ją łatwo wyszukać  w wersji preprintowej w Internecie)

N. Srivastavę można obejrzeć na nagraniu przedstawiającym jego (wspólnie ze Speilmanem) uproszczenie dowodu twierdzenia "Restricted Invertibility Theorem". (Pierwotny dowód podali 1987 J. Bourgain, L. Tzafriri, używając metod probabilistycznych. 
 link= http://research.microsoft.com/apps/video/dl.aspx?id=145176