| Rozważmy dowolny graf metryczny, tj. taki którego krawędzie są
skończonymi odcinkami na prostej rzeczywistej. Na tak zdefiniowanym
grafie możemy rozważać funkcje, ich pochodne itp. Jako operator
Laplace'a przyjmiemy operator drugiej pochodnej wraz z tak zwanymi
warunkami brzegowymi Kirchhoffa w wierzchołkach. Tytułowe pytanie "Czy
można usłyszeć kształt grafu?" w języku matematycznym polega na
pytaniu czy znając wartości własne operatora Laplace'a da się
odtworzyć topologiczną strukturę grafu? Dzięki formule śladowej
wiąąącej spektrum z długościami spacerów zamkniętych, problem
sprowadza się do odtworzenia grafu znając jedynie długości niektórych
z tych spacerów. Pokażemy, że w ogólności problem ten nie jest
jednoznacznie rozwiązywalny oraz podamy dodatkowe zaóżenia, przy
których da się jednoznacznie odtworzyć graf znając prawie wszystkie
długości spacerów zamkniętych.
|
|