R^n to przestrzeń euklidesowa. Isom(Rn) jej grupa izometrii.
Jest znane, że jest ona równa produktowi półprostemu O(n)xRn, to
jest grupie wszystkich par (A,a), gdzie A jest nxn macierz±
ortogonaln±,
a wektor a należy do Rn. Działanie grupowe to (A,a)*(B,b) =
(AB,Ab+a).
Pogrupa G grupy Isom(Rn) jest grup± krystalograficzn±
wymiaru n jezeli jest dyskretna i kozwarta.
W latach 1910-1912 L.Bieberbach udowodnił, że
jezeli G jest krystalograficzna to podgrupa translacji tzn.
G przekrojona z (IxRn) jest woln± grup± abelow± rangi n skończonego
indeksu w G. Ponadto udowodnił, że dla danego n istnieje tylko
skończona ilo¶ć izomorficznych grup krystalograficznych wymiaru n.
Bylo to rozwi±zanie jednego z milejnijnych problemów Hilberta.
Przedstawię twierdzenia Bieberbacha razem z dowodem.
|
|