TROCHOIDY

wprowadzenie i opis


HIPOCYKLOIDY EPICYKLOIDY

Wprowadzenie

Trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt) – krzywa płaska zakreślona przez dowolnie obrany punkt P stale związany z kołem O toczącym się wzdłuż wewnętrznej lub zewnętrznej strony stałego (nie poruszającego się) okręgu bez poślizgu. Termin został wprowadzony do matematyki przez Gilles'a de Robervala.
Jeśli punkt P pokrywa się ze środkiem toczącego się koła, wówczas poruszając się zakreśla okrąg. W pozostałych przypadkach tor ruchu P to krzywa (trochoida).

Charakterystyka trochoid:

Wyróżnia się 6 typów trochoid, a ich nazwa zależy od dwóch czynników:
  1. Odległości punktu P od środka toczącego się koła: h > r, h = r, h < r
  2. Wzajemnego położenia koła poruszającego się i koła stałego na płaszczyźnie. Istnieją tu dwie możliwości:
    • jeśli toczące się koło znajduje się wewnątrz koła stałego, wówczas nazwy trochoid rozpoczynają się przedrostkiem hipo- (gr. hypó – pod, poniżej),
    • natomiast jeśli porusza się ono wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego, nazwy mają przedrostek epi- (gr. epí – na, do);

Hipocykloidy

Hipocykloida – krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu.

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży na obwodzie koła O; h = r,
  • hoło O toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:
    • x=(R-r)cos(t)+rcos[(R-r)t/r]
    • y=(R-r)sin(t)-rsin[(R-r)t/r]

hipocykloida

Hipotrochoidy

Jest to wspólne określenie hipocykloidy skróconej i hipocykloidy wydłużonej.

Hipocykloida skrócona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży wewnątrz koła O na jego promieniu; h < r,
  • koło O toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloidę skróconą najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:
    • x=(R-r)cos(t)+hcos[(R-r)t/r]
    • y=(R-r)sin(t)-hsin[(R-r)t/r]

hipocykloida wydłużona

Hipocykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży na zewnątrz koła O; h > r,
  • koło O toczy się wzdłuż wewnętrznej strony koła stałego,
  • hipocykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co hipocykloidę skróconą:
    • x=(R-r)cos(t)+hcos[(R-r)t/r]
    • y=(R-r)sin(t)-hsin[(R-r)t/r]

hipocykloida skrócona

Epicykloidy

Epicykloida – krzywa, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu na zewnątrz innego, nieruchomego okręgu

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży na obwodzie koła O; h = r,
  • koło O toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloida opisywana jest równaniami parametrycznymi:
    • x=(R+r)cos(t)-rcos[(R+r)t/r]
    • y=(R+r)sin(t)-rsin[(R+r)t/r]

epicykloida

Epitrochoidy

Jest to wspólne określenie epicykloidy skróconej i epicykloidy wydłużonej.

Epicykloida skrócona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży wewnątrz koła O na jego promieniu; h < r,
  • koło O toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę skróconą najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:
    • x=(R+r)cos(t)-hcos[(R+r)t/r]
    • y=(R+r)sin(t)-hsin[(R+r)t/r]

epicykloida skrócona

Epicykloida wydłużona

Cechy charakterystyczne:

  • punkt P leży na zewnątrz koła O; h > r,
  • koło O toczy się wzdłuż zewnętrznej strony koła stałego,
  • epicykloidę wydłużoną opisuje się tymi samymi równaniami parametrycznymi, co epicykloidę skróconą:
    • x=(R+r)cos(t)-hcos[(R+r)t/r]
    • y=(R+r)sin(t)-hsin[(R+r)t/r]

epicykloida wydłużona

Użyte technologie i oprogramowanie

W mojej pracy wykorzystałem następujące technologie i języki programowania oraz oprogramowanie niekomercyjne:

Technologie:

  • HTML 5
  • CSS 3
  • JavaScript
  • Bootrstrap
  • Google Fonts

Oprogramowanie:

  • Notepad++
  • GIMP 2.8
  • GeoGebra 5

Bibliografia: