Skąd się wzięło twierdzenie Mohra - Masheroniego

Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii.

Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928.

Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

Teraz parę słów o idei dowodu tego twierdzenia. Każda konstrukcja jest sekwencją kroków, w których wykonywane są następujące czynności:

1. Poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty;

2. Konstrukcja okręgu o danym środku i danym promieniu;

3. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych;

4. Wyznaczanie punktów przecięcia dwóch okręgów;

5. Wyznaczanie punktów przecięcia prostej z okręgiem;

6. Wybór dowolnego punktu na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Wystarczy więc pokazać, że następujące konstrukcje są możliwe za pomocą samego cyrkla:

---

(KONSTRUKCJA I)

Konstrukcja odbicia symetrycznego punktu względem danej prostej;

---

(KONSTRUKCJA II)

Konstrukcja odcinka k razy dłuższego niż dany odcinek;

---

(KONSTRUKCJA III)

Konstrukcja czwartego odcinka proporcjonalnego do trzech innych odcinków;

---

(KONSTRUKCJA IV)

Konstrukcja środka łuku znając środek okręgu.

---

Konstrukcje wielokątów foremnych

Wielokąt foremny to taki wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt równoboczny. Czworokąt foremny to kwadrat. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, a środki tych okręgów pokrywają się.

W tabeli poniżej przedstawiono kilka przydatnych wzorów dotyczących wielokątów foremnych. Przyjęte oznaczenia to:

n- liczba boków wielokąta foremnego

a- długość jednego boku wielokąta

R– promień okręgu opisanego na wielokącie

r– promień okręgu wpisanego w wielokąt

Miara kąta wewnętrznego wielokąta (między sąsiednimi bokami)	$a=180°-\frac{360°}{n}$
	$a=\frac{\mathrm{\pi }·\left(\mathrm{n}-2\right)}{n}rad$
Miara kąta środkowego	$\beta =\frac{360°}{n}$
	$\beta =\frac{2\mathrm{\pi }}{n}rad$
Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym	$R=\frac{a}{2\sin \frac{\mathrm{\pi }}{n}}$
	$R=\frac{a}{2}\csc \frac{\mathrm{\pi }}{n}$
Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny	$r=\frac{a}{2tg\frac{\mathrm{\pi }}{n}}$
	$r=\frac{a}{2}ctg\frac{\mathrm{\pi }}{n}$
Długość boku	$a=2\sqrt{R^2-r^2}$
	$a=2R\sin \frac{\mathrm{\pi }}{n}$
	$a=2r·tg\frac{\mathrm{\pi }}{n}$
Pole Powierzchni	$P=\frac{1}{2}nar$
	$P=\frac{1}{4}n{a}^{2}ctg\frac{\mathrm{\pi }}{n}$
	$P=n{r}^{2}tg\frac{\mathrm{\pi }}{n}$
	$P=n{R}^2\sin \frac{\mathrm{\pi }}{n}\cos \frac{\mathrm{\pi }}{n}$
	$P=\frac{1}{2}n{R}^2\sin \frac{2\mathrm{\pi }}{n}$

Środkami klasycznymi, czyli za pomocą linijki i cyrkla możemy skonstruować wielokąty foremne takie jak: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny, dziesięciokąt foremny. Zgodnie z twierdzeniem Mohra – Mascheroniego te same wielokąty foremne możemy skonstruować za pomocą samego cyrkla. Animacje poniżej prezentują konstrukcje niektórych z nich w oparciu o 4 podstawowe konstrukcje, które prezentowane są jako dowód tego twierdzenia.

---

Trójkąt równoboczny

---

Sześciokąt foremny

---

Kwadrat

---

Ośmiokąt foremny

---

Pięciokąt foremny

---

Dziesięciokąt foremny

---