Zalecana przeglądarka: Firefox!
Aby przeglądać stronę używaj scrolla.
Czym jest pseudaria?
Pseudaria to dzieło napisane przez greckiego matematyka Euklidesa. Składa się z różnego rodzaju błędnych rozumowań i polega na tym, aby odnajdywać, gdzie tkwi w danym rozumowaniu pomyłka oraz na czym właściwie polega błąd.
Czy wiesz, że?Euklides to grecki matematyk, który napisał sławne "Elementy". Stały się podstawą geometrii nauczanej w szkołach na całym świecie. Żył okoł 300 r.p.n.e. Jego dzieła przetłumaczono na największą liczbę języków (liczbą wydań ustępują jedynie Biblii).
Temat: Złudzenia optyczne.
Jest to zjawisko błędnej interpretacji obrazu przez mózg pod wpływem kontrastu, cieni, użycia kolorów, które automatycznie wprowadzają mózg w błędny tok myślenia.
Złudzenia optyczne dzielą się na:
szczególnym ułożeniem linii i figur.
Odcinek ustawiony pionowo wydaje się nam dłuższu niż tej samej długości odcinek ustawiony poziomo (rys. I).
Kwadrat zakreskowany pionowo robi wrażenie szerszego niż równy mu kwadrat zakreskowany poziomy (rys. II).
przez kontrasty otoczenia.
Środkowe koła na powyższych rysunkach są równe, ale koło otoczone sześcioma wielkimi kołami wydaje się mniejsze od koła otoczonego sześcioma małymi kołami. Takie jest zwodnicze oddziaływanie kontrastów otoczenia.
odwróceniem uwagi.
Patrząc na rysunek zdajemy sobie sprawę, że narysowane jeden pod drugim odcinki są równoległe i równe, a jednak strzałki umieszczone na końcach odcinków odwracają uwagę w taki sposób, że powstaje złudzenie, jakby dolny odcinek był dłuższy od górnego.
naruszeniem rytmu.
Zmienna rytmika kreskowania po obu stronach pasa ograniczonego dwiema prostymi równoległymi powoduje złudzenie, że pas rozszerza się w śrdkowej części albo się zwęża, zależnie od rodzaju kreskowania.
tłem, na którym znajdują się linie
lub figury.
Litery wyrazu FLET, umieszczone na tle z ukośnie ustawionymi kwadratami, skaczą tak nieprawdopodobnie, że nikt, kto sam nie sprawdzi tego ekierką, nie uwierzy, że pisane są zupełnie prosto.
wskutek kontrastu czarne-białe.
Między dwoma górnymi kołami może się zmieścić jedno takie koło, a między każdym z górnych koł i dolnym kołem można zmieścić równo trzy koła. Wydaje się jednak, że odstęp między górnymi kołami jest większy od średnicy tych kół i że między którymkolwiek z górnych kół i dolnym kołem zmieszczą się co najmniej cztery takie koła, zwłaszcza gdy się patrzy z daleka.
optyczne.
Jest to specjalny typ złudzeń wywołanych przez pewne figury trójwymiarowe. Złudzenie polega tym razem na pozornej zmienności punktów widzenia.
Jeżeli przez dłuższy czas będziemy patrzyli na poruszające się w jednym kierunku przedmioty, a potem przerzucimy wzrok na tło nieruchome, to powstanie tak zwany „powidok ujemny”, czyli obraz pozornego ruchu w kierunku przeciwnym. Jeśli np. będziemy przez pewien czas patrzyli ze statku na uciekającą spod niego wodę, a potem przerzucimy wzrok na pusty poklad, to doznamy wrażenia ruchu w kierunku przeciwnym.
Temat: Zadania zwodnicze.
Jak sama nazwa wskazuje, są to zadania, które mają nas zbić z tropu, żebyśmy źle odpowiedzieli.
Przykład:
Pokój ma cztery kąty. W każdym kącie siedzi kot. Naprzeciwko każdego kota siedzą 3 koty, a na ogonie każdego kota siedzi 1 kot. Ile kotów było wszystkich razem?
Odp: Wydaje się bardzo dużo kotów, a jednak w tym pokoju są tylko cztery koty.
Sofizmaty to fałszywe „dowody”, pozornie poprawne, ale w istocie zawierające ukryte błędy, najczęściej logiczne.
Ze Słownika Języka Polskiego możemy wyczytać, że "sofizmat", to:
1. rozumowanie pozornie poprawne, ale tak naprawdę zawierające utajone błędy logiczne;
2. świadome dowodzenie nieprawdy
SOFIZMAT ARYTMETYCZNY
Teza:
4=5
Dowód:
-20 = -20
16 - 36 = 25 - 45
16 - 36 + 20¼ = 25 - 45 + 20¼
(4-4½)² = (5 - 4½)²
4-4½ = 5 - 4½
4 = 5
Rozwiązanie:
To, że (4-4½)² = (5 - 4½)² nie oznacza,
że 4-4½ = 5 - 4½, ponieważ 4-4½ = -½, a 5 - 4½ = ½
SOFIZMAT ALGEBRAICZNY
Teza:Jeżeli a > b, to również a > 2b, dla a,b > 0
Dowód:
a > b / × b
ab > b² /-a²
ab - a² > b² - a²
a(b - a) > (b - a)(b + a) /÷ (b - a)
a > a + b / + (a > b)
2a > 2b + a /- a
a > 2b
Rozwiązanie:
W czwartej linijce pokazane jest dzielenie nierówności przez (b - a).
Przekształcając warunek a > b z założenia otrzymujemy b - a < 0.
Dzieląc obie strony przez b - a musimy zmienić znak nierówności czego nie wykonano w prezentowanym rozumowaniu.
SOFIZMAT Z JEDNOSTKĄ
Teza:
6kg = 6000kg
Dowód:
2kg = 2000g,
3kg = 3000g
Mnożymy stronami:
2kg × 3kg = 2000g × 3000g
6kg = 6 000 000g
6kg = 6000kg
Rozwiązanie:
W rzeczywistości 2kg × 3kg = 6kg², a 2000g × 3000g = 6000000g²,
czyli 6 kg² = 6 000 000 g², znowu oszustwo.
SOFIZMAT TEKSTOWY
Pan X wchodzi do sklepu i kupuje obraz za 150 zł.
Na drugi dzień przychodzi powtórnie z zamiarem zamiany obrazu.
Wybiera inny obraz za 300 zł i nie płacąc wychodzi.
Właściciel sklepu zatrzymuje go, lecz Pan X oświadcza: Jesteśmy kwita.
Wczoraj zostawiłem Panu 150 zł,
a dziś obraz wartości 150 zł. Razem 300 zł.
Rozwiązanie:
Pan X pierwszego dnia dał 150 zł, a następnego dnia oddał
obraz za 150 zł, co daje razem 300 zł. Pierwszego dnia wziął
obraz za 150 zł, drugiego za 300, co daje 450 zł.
Zapłacił więc za mało 150 zł.
SOFIZMAT TRYGONOMETRYCZNY
cos²x + sin²x = 1
cos²x = 1 - sin²x
cosx = (1 - sin²x)½
1 + cosx = 1 + (1 - sin²x)½
(1 + cosx)² = (1 + (1 - sin²x)½)²
dla x = π(pi = 3,14159265...), otrzymujemy:
(1-1)² = (1+(1-0)½)²
0 = (1 + 1)²
0 = 4
Rozwiązanie:
Dla x = π : cosx < 0, więc pierwiastek z cos²x = - cosx, czyli
trzecia linijka rozumowania powinna wyglądać tak:
- cosx = (1 - sin²x)½, co później prowadzi do sprzeczności.
Paradoks jest zdaniem, które wydaje się prowadzić do logicznej sprzeczności lub sytuacji przeczącej zdrowemu rozsądkowi. Rozpoznanie paradoksu opartego na pozornie prostych i rozsądnych pomysłach prowadziło często do znaczących postępów w nauce i filozofii.
Przykład:
Strzała wypuszczona z łuku nigdy nie doleci do celu.
Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu,
można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka.
Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność.
Wynika to z faktu, iż w każdej chwili teraźniejszej
strzała owa nie porusza się, lecz spoczywa, zajmując
jakieś określone miejsce w przestrzeni - ponieważ
zaś czas składa się z takich właśnie chwil, w których
strzała spoczywa, wiec w istocie spoczywa ona w ogóle
i nie może posuwać się do przodu.
Niemożliwe jest zatem, aby w każdej chwili czasu strzała
pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie.
Dlaczego jest to paradoks? Przyjrzyjmy mu się bliżej. Załóżmy, że fryzjer należy do tej grupy osób, która nie goli się sama – wówczas, zgodnie z założeniem, wyjdzie na to, że fryzjer sam się goli, więc mamy sprzeczność. Jeśli z kolei założymy, że fryzjer goli się sam, ponownie otrzymamy sprzeczność z założeniem, ponieważ, jeśli goli się sam, to nie może sam siebie ogolić, dlatego, że fryzjer nie goli tych, którzy sami siebie golą. Może wprowadzić małe zamieszanie w głowie, prawda?
ZASTOSOWANIE
W kryptografii znaleźć możemy paradoks dnia urodzin, który jest podstawą działania tzw. ataku urodzinowego.
- "Lilavati - ryzrywki matematyczne", Szczepan Jeleński
- Wikipedia PL/EN
- Math.edu.pl