Zadania i ćwiczenia

Zadanie 1

Przez punkt $P$ leżący w odległości $11\mathrm{cm}$ od środka okręgu, poprowadzono sieczną, która przecięła ten okrąg kolejno w punktach $A$ i $B$.
Wiedząc, że $\left|\mathrm{PA}\right|=\left|\mathrm{AB}\right|=6\mathrm{cm},$ oblicz promień tego okręgu.

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie o siecznych.
Oznaczmy środek okręgu jako $O$ i poprowadźmy drugą sieczną przechodzącą przez środek okręgu i punkt $P$. Punkty przecięcia oznaczmy $C$ i $D$.
Z twierdzenia $\left|\mathrm{PA}\right|\cdot \left|\mathrm{PB}\right|=\left|\mathrm{PC}\right|\cdot \left|\mathrm{PD}\right|$
$\mathrm{PC}=\mathrm{PO}-r=11cm-r$
$\mathrm{PD}=\mathrm{PO}+r=11cm+r$
$\mathrm{PB}=\mathrm{AB}+\mathrm{PA}=6cm+6cm=12cm$
$6cm\cdot 12cm=(11cm-r)\cdot (11cm+r)$
$72{cm}^2=121{cm}^2-r^2$
$49{cm}^2={r^2}^{}$
$7cm=r$

Zadanie 2

Na rysunku poniżej punkty $A,B,C$ należą do okręgu oraz $\left|\mathrm{AB}\right|=\left|\mathrm{AC}\right|.$
Średnica $\mathrm{AD}$ zawiera wysokość $\mathrm{AE}$ trójkąta $△\mathrm{ABC}.$
Wiedząc, że $\left|\mathrm{AE}\right|=12cm$ oraz $\left|\mathrm{DE}\right|=3cm$, oblicz długości boków tego trójkąta.

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie o cięciwach.
Z rysunku $\left|\mathrm{CE}\right|=\left|\mathrm{BE}\right|$
Z twierdzenia $\left|\mathrm{AE}\right|\cdot \left|\mathrm{DE}\right|=\left|\mathrm{BE}\right|\cdot \left|\mathrm{CE}\right|$
$12cm\cdot 3cm={\left|\mathrm{BE}\right|}^2$
$36cm={\left|\mathrm{BE}\right|}^2$
$6cm=\left|\mathrm{BE}\right|$
$\left|\mathrm{BC}\right|=\left|\mathrm{CE}\right|+\left|\mathrm{BE}\right|=2\left|\mathrm{BE}\right|=2\cdot 6cm=12cm$
Rozpatrzmy teraz trójkąt $△\mathrm{ABE}$.
Z twierdzenia Pitagorasa
${\left|\mathrm{AB}\right|}^2={\left|\mathrm{BE}\right|}^2+{\left|\mathrm{AE}\right|}^2$
${\left|\mathrm{AB}\right|}^2={6cm}^2+{12cm}^2=36{cm}^2+144{cm}^2=180{cm}^2$
$\left|\mathrm{AB}\right|=6\sqrt{5}$
Z rysunku
$\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{AB}\right|=6\sqrt{5}$
Długości boków trójkąta $△\mathrm{ABC}$ to $6\sqrt{5}cm,6\sqrt{5}cm,12cm.$

Zadanie 3

Jest to zadanie pochodzące z brytyjskiej olimpiady matematycznej z 1991 roku.
Czworokąt $\mathrm{ABCD}$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $r$. Przekątne $\mathrm{AC}$ i $\mathrm{BD}$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$. Udowodnij, że jeżeli są one do siebie prostopadłe, to ${\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2=4r^2$

Rozwiązanie

Spójrzmy na rysunek pomocniczy

Z twierdzenia o cięciwach i twierdzenia o potędze punktu wewnątrz okręgu. wiemy, że
$\mathrm{EA}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{EB}\cdot \mathrm{ED}=r^2-{\mathrm{EO}}^2$
Zrzutujmy środek $O$ na przekątną $\mathrm{BD}$ czworokąta $\mathrm{ABCD}$. Otrzymany rzut oznaczmy $\mathrm{O\prime }$. Z twierdzenia Pitagorasa
${\mathrm{EO}}^2={\mathrm{OO\prime }}^2+{\mathrm{EO\prime }}^2={\left(\frac{\mathrm{EA}-\mathrm{EC}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{EB}-\mathrm{ED}}{2}\right)}^2=$
$=\frac{1}{4}({\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2-2\mathrm{EA}\cdot \mathrm{EC}-2\mathrm{EB}\cdot \mathrm{ED})=$
$=\frac{1}{4}({\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2)-\frac{1}{2}(r^2-{\mathrm{EO}}^2)-\frac{1}{2}(r^2-{\mathrm{EO}}^2)=$
$=\frac{1}{4}({\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2)-(r^2-{\mathrm{EO}}^2)$
${\mathrm{EO}}^2=\frac{1}{4}({\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2)-r^2+{\mathrm{EO}}^2$
$r^2=\frac{1}{4}({\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2)$
${4r}^2={\mathrm{EA}}^2+{\mathrm{EB}}^2+{\mathrm{EC}}^2+{\mathrm{ED}}^2$

Zadanie 4

Dowiedź, że wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Niech trójkąt $△\mathrm{ABC}$ ma takie wysokości $\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}$, że $D\in \mathrm{pr}\mathrm{BC},E\in \mathrm{pr}CA,F\in \mathrm{pr}AB.$
Zwróćmy uwagę, że po narysowaniu okręgów o średnicach będących bokami trójkąta, punkty $E$ i $F$ leżą na okręgu $\mathrm{BC}$, podobna sytuacja zachodzi dla punktów $D$ i $F$ z okręgiem $\mathrm{CA}$ oraz dla punktów $D$ i $E$ z okręgiem $\mathrm{AB}.$
Punkty $A$ i $D$ leżą na przecięciu okręgów $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{AC}$, w związku z czym prosta $\mathrm{AD}$ jest prostą potęgową dla tych okręgów, identycznie punkty $B$ i $E$ leżą na przecięciu okręgów $\mathrm{BA}$ i $\mathrm{BC}$, a więc prosta $\mathrm{BE}$ jest prostą potęgową dla tych okręgów, tak samo punkty $C$ i $F$ leżą na przecięciu okręgów $\mathrm{CA}$ i $\mathrm{CB}$, czyli prosta $\mathrm{CF}$ jest prostą potęgową dla tych okręgów. Możemy zastosować tutaj twierdzenie o prostej potęgowej trzech okręgów, a ponieważ nie jest możliwe aby środki okręgów były współliniowe, muszą się one przecinać w jednym punkcie.

Ćwiczenie 1

Dany jest okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $9cm$.
Przez punkt $P$ odległy od punktu $A$ o $15cm$ poprowadzono prostą przecinającą dany okrąg w punktach $B$ i $C$ w taki sposób, że | PC | = | BC | .
Oblicz $\mathrm{BP}$.

Ćwiczenie 2

Cięciwy $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{CD}$ mają długość: $\left|\mathrm{AB}\right|=19cm,\left|\mathrm{CD}\right|=\mathrm{15,5}cm$ i przecinają się w punkcie $P$.
Wiedząc, że $\left|\mathrm{AB}\right|:\left|\mathrm{AC}\right|=2$ oblicz długości odcinków $\mathrm{AP},\mathrm{PB},\mathrm{PC},\mathrm{PD}.$

Ćwiczenie 3

Sześciokąt $\mathrm{ABCDEF}$ jest wypukły oraz $\left|\mathrm{AB}\right|=\left|\mathrm{BC}\right|,\left|\mathrm{CD}\right|=\left|\mathrm{DE}\right|,\left|\mathrm{EF}\right|=\left|\mathrm{FA}\right|.$ Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkątów $△\mathrm{BCD},△\mathrm{DEF},△\mathrm{FAB},$ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $C,E,A,$ przecinają się w jednym punkcie.