Przed erą komputerów wielokrotne i dokładne rysowanie różnych krzywych matematycznych szybko mogło stać się uciążliwe i czasochłonne. Dlatego na przestrzeni wieków wymyślono wiele mechanizmów kreślących, pozwalających na ich szybkie, dokładne i precyzyjne tworzenie.
Konchoida Nikomedesa
Konchoida jest krzywą utworzoną jako ślad dowolnego punktu ramienia, które ślizga się ustalonym punktem tego ramienia po stałej krzywej przy innym nieruchomym punkcie wybranym na odcinku prostopadłym do danego.
Dla konchoidy Nikomedesa który był greckim matematykiem, krzywą po której suwa się ustalony punkt ramienia jest prosta.
Jak można zauważyć w zależności od wyboru punktu na ramieniu powstałe krzywe są znacząco od siebie różne, zwłaszcza gdy punkt kreślący przechodzi przez punkt stały.
Tak jak w innych mechanizmach poruszając ciemnozielonym punktem otrzymamy inne krzywe.
Kardioida
Kardioidę tzw. krzywą sercową możemy uzyskać na wiele sposobów. Jednym z nich jest wynik toczenia się (bezpoślizgowego) jednego okręgu po drugim o tym samym promieniu, gdyż kardioida jest jedną z epicykloid, czyli krzywych uzyskiwanych poprzez toczenie się okręgu po innym okręgu. Są one klasyfikowane przez proporcję promieni tych okręgów, co można zauważyć włączając pomocnicze okręgi w aplecie.
Mechanizm Yates’a
Jeden z mechanizmów, które Robert Carl Yates umieścił w swojej książce "A handbook on curves and their properties" służy kreśleniu kardioid. Oznacza to jednocześnie, że mechanizm ten realizuje toczenie się okręgu po drugim takim samym okręgu.
Zmieniając suwakiem proporcje |CW|/|CP| po włączeniu punktu W na aplecie, dostaniemy różne krzywe nazywane ślimakami Pascala, które są konchoidami o krzywej będącej okręgiem.
Natomiast zmieniając suwakiem proporcje |EQ|/|EP| dostaniemy różnorakie krzywe od „zdeformowanej kardioidy” przez „fasolki” aż po „szeroki uśmiech”.
Lemniskata
Lemniskaty to cała rodzina krzywych przypominających kształtem "∞". Ruszając suwakiem w aplecie można się z nimi łatwo zapoznać.
Szczególną lemniskatą jest lemniskata Bernoulliego, dla której iloczyn odległości od jej ognisk jest stały. Mechanizm przedstawiony obok kreśli ją dla a/b = √2 – 1.
Również lemniskata
Mechanizm ten podobnie jak powyższy kreśli całą rodzine lemniskat w zależności od proporcji |CD|/|AC| = |AB|/|BD|, a dla proporcji wynoszącej √2, jest to lemniskata Bernoulliego, co można potwierdzić dostrzegając stały iloczyn punktu E od ognisk A i B.
Pół Lemniskaty Bernoulliego
Jest to kolejny z mechanizmów kreślących lemniskaty, ten jednak kreśli jej tylko połowę. Dodatkowo poza skrajnymi przypadkami mechanizm samoistnie zachowuje kąt prosty między |OC| i |OE|.
Elipsograf
Przez popularność elips w porównaniu z innymi wymienionymi tutaj krzywymi, elipsografy są najpopularniejszymi mechanizmami przegubowymi kreślącymi. Mechanizm przedstawiony obok znany jest jako „trammel of Archimedes”.
Mechanizm ten skrywa w sobie hipocykloidy, czyli krzywe utworzone przez toczenie się (bezpoślizgowe) okręgu wewnątrz innego większego okręgu. Konkretniej mechanizm skrywa hipocykloidy o proporcji średnic okręgów równej 2… są to prowadnice, najzwyklejsze odcinki.
Włączając na aplecie geogebry „Pokaż okręgi” można się o tym samemu przekonać. Fakt ten już w XIII wieku odkrył i opisał Nasir ad-Din Tusi. Wynika stąd, iż prowadnic może być dowolna liczba większa lub równa od 2, a wózki przesuwające się po nich (A i C) nigdy się nie zderzą, ponieważ są punktami na okręgu. Wynika z tego również, że są one w stałej odległości od siebie.
Poniżej wykonany przeze mnie na mojej drukarce 3D model mechanizmu z trzema prowadnicami.
Elipsograf Van Schooten’a
Frans Van Schooten był holenderskim XVII-wiecznym matematykiem znanym przede wszystkim z popularyzacji "La Géométrie" autorstwa Kartezjusza.
Jednym z mechanizmów jakie wymyślił jest przedstawiony obok elipsograf.
Położenie punktu P na ramieniu, determinuje mimośród (ekscentryczność) wykreślanej elipsy. Rośnie on wraz z zbliżaniem się punktu P do punktu Q.
„Elipso-hiperbolograf”
Ten jakże ciekawy mechanizm Van Schootena w zależności od położenie punktów przymocowania, kreśli rożne elipsy (punkt przymocowania wewnątrz okręgu) lub hiperbole (poza okręgiem).
Mając na uwadze, że skrajnie „wypłaszczona” elipsa na swych „zakrętach” zmierza do paraboli mógłby argumentować, że mechanizm ten kreśli wszystkie krzywe stożkowe czyli: okrąg, elipsę, parabolę i hiperbolę.
Dlatego zachęcam spędzić chwile na interakcjach z apletem.
Hiperbolograf Van Schooten’a
Van Schooten przedstawia również mechanizm przeznaczony konkretnie do kreślenia hiperboli. W mechanizmie ogniskami są punkty przymocowania (A i B), oraz |AB|=|CD| i |AC|=|BD|. Zmieniając suwakiem długość |CD| można zaobserwować, że mimośród rośnie i maleje wraz z długością |CD|.
Parabolograf Van Schooten’a
Na pytanie czym jest parabola wiele osób odpowiedziałoby, że jest to wykres funkcji kwadratowej. Choć jest to odpowiedź poprawna to piękniej jest zdefiniować parabole, jako zbiór punktów równoodległych od prostej (kierownicy) i ogniska.
W mechanizmie przedstawionym obok kierownicą jest prowadnica a ogniskiem punkt przymocowania. Ruszając nim zmieniamy współczynnik kwadratowy paraboli.
Warto zauważyć, że parabolograf jest zaledwie lekko zmodyfikowaną wersją „elipso-hiperbolografu”.
Asteroida
Wracając do hipocykloid, jeśli pozwolimy, aby kreśliło całe ramien, a nie tylko punkt, okaże się, że mechanizm Scott’a Russell’a zakreśli asteroidę, czyli hipocykloidę o proporcji średnic równej 4.
„Delto-exoida”
Zastanawiając się nad poprzednim mechanizmem i tym dlaczego wykreśla asteroidę wymyśliłem swój własny mechanizm. Część jaśniejsza to kawałki deltoidy czyli hipocykloidy o proporcji równej 3, natomiast część ciemniejsza to kawałki exoidy czyli hipocykloidy o proporcji równej 6.
Jest to jednakże tylko część pełnych możliwości tego mechanizmu, gdyż choć z podziału okręgu powstały 3 prowadnice to tylko dwie są wykorzystywane…
Pełne możliwości
Dorabiając brakujące ramię powstaje pełna hipocykloida o proporcji równej średnic 6 (exoida), a w niej powstaje gwiazdka z kawałków deltoid.
Należy zauważyć, że kąty pomiędzy ramionami poruszającymi się po prowadnicach są stałe. Reguła ta przenosi się do kolejnych mechanizmów.
Hipocykloidy wyższego rzędu
Postępując analogicznie stworzyłem kolejny mechanizm, dzieląc okrąg na 8 punktów przez które przeprowadziłem 4 prowadnice. Mechanizm ten kreśli hipocykloidę o proporcji równej 8, a w jego środku również powstaje gwiazdka .
Jeszcze wyższego…
Kontynuując wykonałem jeszcze jeden mechanizm, w którym podzieliłem okrąg na 10 punktów. Podobnie jak w poprzednim powstaje hipocykloida o proporcji równej 10, a w jej środku gwiazdka.
Generalizując można powiedzieć, że mechanizm otrzymany z podziału okręgu na n części, gdzie n jest parzyste zakreśli hipocykloidę o proporcji równej n, w której środku będzie gwiazdka o n szpicach.
Mógłbym również mówić o hipocykloidzie utworzonej z boków n-kąta foremnego, co prowokuje do dalszych rozważań w stylu „A co by było gdyby do kreślenia użyto przekątnych, albo wysokości…”