Trysekcja kąta jest jednym z trzech wielkich problemów matematyki greckiej. Polega ona na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału.
Pierre Wantzel w roku 1837 udowodnił że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna.
Jednakże przy pomocy różnych mechanizmów można to precyzyjnie wykonać.
Mechanizmy tego typu nazywamy konstrukcjami neusis.
Bisektor
Aby otrzymać aproksymacje 1/3 kąta możemy kolejno dzielić go na 1/4 poprzez podwójne podzielenie na dwie równe części i takie części zsumować, otrzymując: 1/4 + 1/16 + 1/64 +… =1/3
Jednakże jak szybko można się zorientować wymaga to ogromu bisekcji kąta, którą można przyśpieszyć względem klasycznego sposobu z użyciem cyrkla i linijki takim oto bisektorem.
Działa on na prostej zasadzie:
Dodatkowo możemy zaobserwować że w takiej sytuacji przecięcie przekątnych porusza się po okręgu.
Wynika to z twierdzenia, że kąt środkowy jest dwukrotnością kąta wpisanego. Dlatego gdy za podstawę przyjmiemy średnicę (kąt środkowy jest kątem półpełnym) i utworzymy rodzinę trójkątów prostokątów, to ich wierzchołki będą znajdywać się na tym okręgu.
W przypadku tego bisektora średnicą jest |AB|, a ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to trójkąt AFB jest prostokątny.
Trysektor Pascala
Trysektorem nazywamy mechanizm dzielący kąt na trzy równe części. Pierwszy tego typu mechanizm wynalazł francuski matematyk i fizyk Blaisa Pascala. Działa on w następujący sposób…
Jeśli |AD|=|DE|=|EF| to:
∠FDC=∠DFC
∠DAC=∠ACD
∠FCB +∠DCB+∠ACD=180°
∠DCF=180°-2∠CDF
∠ADC+DBC=180°
∠ADC=180°-2∠DAC
Stąd
∠FCB+∠DAC-2∠CDF=0
∠CDF=2∠DAC
∠FCB=3∠DAC c.n.d.
Poruszając mechanizmem można zauważyć, że choć konstrukcja mechanizmu pozwala na trysekcje dowolnego kąta, to od kąta 135° jest ona nieprawidłowa.
Trysektor Kempe’go
Sir Alfred Bray Kempe (1849-1922) był angielskim matematykiem.
Jedną z jego prac był trysektor a dokładniej to mechanizm dzielący kąt.
Polega on na dołączaniu do antyrównoległoboku, w którym przekątne są dwukrotnością boków nierównoległych, kolejnych mniejszych o połowę ramion w jednej czwartej odcinka będącego przekątną równoległoboku,
tworząc tym samym kolejne antyrównoległoboki. Stąd też:
|AB|=2|AC|
|AC|=2|AG|=|BD|=|GF|
|AG|=2|AH|=|CF|=|HI|
Wynika z tego również że kolejne równoległoboki są do siebie podobne a co za tym ich kąty są takie same.
Udoskonalając mechanizm Kempe'go dodałem kolejne ramiona przy użyciu suwaka umożliwiając podział kąta na wiekszą liczbę równych części.