Stała Feigenbauma to jedna z podstawowych stałych matematycznych, jest uniwersalna, pojawia się w wielu modelach zjawisk świata rzeczywistego.
Wynika ona z właściwości odwzorowania logistycznego i jego diagramu bifurkacyjnego.
Próbę zrozumienia tych zagadnień warto zacząć od problemu modelowania populacji.
Próbując zbudować model dynamiki populacji można zacząć od prostego modelu za pomocą funkcji wykładniczej:
$$f(x) = a^{x}$$
Taki model można zapisać także w postaci iteracyjnej:
$$ x_{n} = ax_{n-1} $$
Zapis taki oznacza, że każdego roku $n$ jest $a$ razy więcej osobników niż w roku poprzednim $n-1$.
Model taki może początkowo wydawać się dobry, jednak jego wadą jest to, że nie uwzględnia śmiertelności i ograniczeń środowiska, przez co teoretycznie populacja może rosnąć w nieskończoność.
Aby poprawić ten model, można dodać czynnik $(1-x_{n-1})$, przy założeniu, że teoretyczna maksymalna populacja wynosi $1$, a $x$ to jej część.
Postać iteracyjna wtedy wygląda tak:
$$ x_{n} = ax_{n-1}(1-x_{n-1}) $$
Odwzorowanie to można zapisać w postaci funkcji:
$$ f(x) = ax(1-x) $$
Wtedy:
$$ x_{n} = f(x_{n-1}) $$
Taką funkcję nazywa się odwzorowaniem logistycznym.
Tak poprawiony model dla wartości populacji bliskich maksimum, czyli $1$, będzie przypisywał małą następną wartość, co dużo już jest lepszym modelem dynamiki populacji, bo pozwala uwzględniać ograniczenia środowiska.
Formalna definicja odwzorowania logistycznego to funkcja odwzorowująca przedział jednostkowy w siebie:
$$ f: \langle 0,1 \rangle \rightarrow \langle 0,1 \rangle $$
dana przepisem:
$$ x \rightarrow kx(1-x) $$
dla wartości parametru $k$ spełniających warunek:
$$ 0 < k < 4 $$
Model populacji oparty na odwzorowaniu logistycznym można interpretować jako ciąg o pierwszym wyrazie $x_0$ o dowolnej wartości i kolejnych wyrazach $x_n = f(x_{n-1})$
Po narysowaniu wykresu ciągu można zauważyć, że wyraz $x_0$ nie ma większego wpływu na kolejne wyrazy.
Jednak jeśli chodzi o parametr $k$, to od jego wartości zależy to, jak zachowuje się cały ciąg.
Po analizie wykresów ciągu dla różnych $k$ można zauważyć pewnie zachowania:
Dla $k \in (0, 1 \rangle $ ciąg jest zbieżny do 0. Wartość 0 jest nazywana atraktorem.
$$ \forall k \in (0, 1 \rangle \lim_{n \to \infty} x_n = 0 $$
Dla $k \in (1, 3 \rangle$ ciąg jest zbieżny do wartości $\frac{k-1}{k}$, która jest atraktorem.
$$ \forall k \in (1, 3 \rangle \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{k-1}{k} $$
Dla $k \in (3, 3 + \sqrt{6})$ ciąg oscyluje pomiędzy dwiema wartościami, atraktor staje się dwupunktowy.
Dla wartości $k$ między około 3.44949 i 3.54409 ciąg oscyluje między czterema wartościami, atraktor staje się czteropunktowy.
Od wartości $k \approx 3.54409 $ liczba wartości pomiędzy jakimi oscylują wartości ciągu będzie wynosiła kolejne potęgi liczby 2 (8,16,32,64...).
Rozdwojenia takie nazywa się bifurkacjami.
Bifurkacje jednak przestają występować od wartości $k \approx 3.56994 $, a wyrazy ciągu nie oscylują pomiędzy konkretnymi wartościami, a kolejne iteracje stają się chaotyczne. Atraktor staje się dziwny, czyli liczba punktów atraktora rośnie do nieskończoności, a atraktor staje się fraktalem.
Jednak między chaosem pojawiają się czasem okna stabilności, np. od wartości $ k = 3 + \sqrt{8} $ pojawia się atraktor trzypunktowy, który następnie ulega bifurkacji na 6-punktowy, 12-punktowy itd., a następnie powraca chaos.
Po narysowaniu wykresu punktów atraktorów w zależności od parametru $k$ otrzymamy diagram bifurkacyjny:
Przybliżenie na zakres $ \langle 3.5, 4 \rangle $:
Oczywiście wykresy te nie są dokładne, ponieważ generowane są za pomocą skończonej liczby iteracji.
Warto zwrócić uwagę na wykres funkcji odwzorowania logistycznego.
$$ f(x) = kx(1-x) $$
Można zauważyć, ża ma on kształt paraboli z ramionami skierowanymi do dołu. Przyjmuje on wartości bliskie zeru dla zarówno najmniejszych i największych wartości $x$.
Iteracje kolejnych wyrazów można przedstawić za pomocą diagramu Verhulsta, który graficznie przedstawia połączenia pomiędzy wartościami wyrazów i argumentami.
Można tutaj zobaczyć opisane wcześniej zachowania ciągu dla różnych wartości $k$.
Można także zobaczyć, dlaczego $k$ musi być mniejsze od 4 - dla $k$ większego od 4 wartość maksymalna funkcji wyłaby większa od 1.
Innym sposobem zobrazowania zachowania ciągu iteracji odwzorowania logistycznego jest analiza wykresu wielokrotnego złożenia funkcji $f(x)$ ze sobą. Punkty przecięcia prostej $y=x$ z takim wykresem obrazują to, w jaki sposób powstają atraktory wielopunktowe.
Na tym wykresie doskonale widać jak od wartości $ k = 3 $ liczba punktów przecięcia się zwiększa z jednego.
Widać także to, jak złożenie prostej funkcji może się stać bardzo skomplikowane.