Rozkłady ciągłe - Tomasz Bartuś

WPROWADZENIE DO ROZKŁADÓW CIĄGŁYCH

W odróżnieniu od dyskretnych zmiennych losowych, które przyjmują przeliczalny zbiór wartości, ciągła zmienna losowa może przyjmować dowolną wartość z pewnego przedziału liczbowego (np. czas oczekiwania na autobus, stężenie pierwiastka w próbce skały czy grubość warstwy geologicznej).

Kluczową różnicą w stosunku do rozkładów dyskretnych jest fakt, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez ciągłą zmienną losową jednej, konkretnej wartości punktowej jest równe zeru: P(X = x) = 0. Z tego powodu ciągły rozkład prawdopodobieństwa opisujemy za pomocą gęstości prawdopodobieństwa f(x). Funkcja gęstości sama w sobie nie jest prawdopodobieństwem, lecz określa względną intensywność występowania zmiennej w otoczeniu punktu x.

Pole pod wykresem funkcji gęstości — Fig. 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia P(X ≤ 1) przedstawione jako pole powierzchni pod krzywą gęstości rozkładu normalnego. Zacieniowany obszar od $-\infty$ do 1 odpowiada odczytanej z tablic wartości dystrybuanty (dla standardowego rozkładu normalnego $\Phi(1) \approx 0{,}8413$).

Prawdopodobieństwo P(a ≤ X ≤ b) jako pole powierzchni pod wykresem funkcji gęstości f(x

Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału $ \langle a, b \rangle $, odpowiada polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości na tym przedziale:

$$ \begin{equation} P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \end{equation} $$ (1)

Każda funkcja gęstości prawdopodobieństwa musi spełniać dwa podstawowe warunki: być nieujemna (f(x) ≥ 0) oraz być znormalizowana do jedności:

$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 \end{equation} $$ (2)

Dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej F(x) wyraża prawdopodobieństwo skumulowane i jest powiązana z funkcją gęstości poprzez całkę:

$$ \begin{equation} F(x) = P(X < x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \end{equation} $$ (3)

Parametry osiowe ciągłej zmiennej losowej – wartość oczekiwaną (4) oraz wariancję (5) – obliczamy analogicznie do przypadku dyskretnego, zastępując sumowanie całowaniem po całym obszarze zmienności:

$$ \begin{equation} E(X) = \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx \end{equation} $$ (4)

$$ \begin{equation} Var(X) = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x) \, dx = E(X^2) - E^2(X) \end{equation} $$ (5)

CIĄGŁY ROZKŁAD JEDNOSTAJNY

Ciągły rozkład jednostajny (in. prostokątny) opisuje sytuację, w której zmienna losowa może przyjąć dowolną wartość z domkniętego przedziału $ \langle a, b \rangle $, a prawdopodobieństwo trafienia w podprzedział o określonej długości zależy wyłącznie od tej długości, a nie od położenia przedziału.

Funkcja gęstości rozkładu jednostajnego — Fig. 2. Funkcja gęstości pradopodobieństwa f(x) ciągłego rozkładu jednostajnego w przedziale <0, 1>

Funkcja gęstości i dystrybuanta

Funkcja gęstości ma postać stałą na przedziale $ \langle a, b \rangle $ i wynosi zero poza nim:

$$ \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{dla } x \in \langle a, b \rangle \\ 0 & \text{dla } x \notin \langle a, b \rangle \end{cases} \end{equation} $$ (6)

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego — Fig. 3. Dystrybuanta F(x) ciągłego rozkładu jednostajnego

Parametry rozkładu

Wartość oczekiwana i wariancja dla ciągłego rozkładu jednostajnego dane są wzorami:

$$ \begin{equation} E(X) = \frac{a + b}{2} \end{equation} $$ (7)

$$ \begin{equation} Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \end{equation} $$ (8)

ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

Rozkład normalny (in. rozkład Gaussa, dzwon Gaussa) jest najważniejszym rozkładem w statystyce. Wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego, według którego zmienna będąca sumą wielu niezależnych czynników losowych ma rozkład zbliżony do normalnego, niezależnie od rozkładów poszczególnych składowych.

Funkcja gęstości

Rozkład normalny jest całkowicie wyznaczony przez dwa parametry: wartość oczekiwaną $\mu$ oraz odchylenie standardowe $\sigma$ (zapisujemy N($\mu$, $\sigma)$). Jego gęstość określa wzór:

$$ \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \end{equation} $$ (9)

Standaryzacja i rozkład N(0,1)

Obliczanie całek z funkcji (9) w praktyce realizuje się poprzez sprowadzenie dowolnego rozkładu N($\mu$, $\sigma)$ do standardowego rozkładu normalnego N(0,1) za pomocą transformacji standaryzującej:

$$ \begin{equation} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{equation} $$ (10)

Dystrybuanta rozkładu normalnego — Fig. 5. Dystrybuanta Φ(z) standardowego rozkładu normalnego N(0,1)

Wartości dystrybuanty rozkładu N(0,1), oznaczanej często jako $\Phi(z)$, odczytuje się ze specjalnych tablic statystycznych albo oblicza za pomocą kalkulatorów.

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

Rozkład wykładniczy opisuje czas lub przestrzeń pomiędzy kolejnymi zdarzeniami w procesie Poissona (np. czas do kolejnego rozpadu promieniotwórczego, odległość między uskokami w masywie skalnym czy czas oczekiwania na trzęsienie ziemi). Jest to rozkład ciągły charakteryzujący się tzw. właściwością braku pamięci.

Funkcja gęstości

Zależy od jednego parametru – intensywności zdarzeń $\lambda > 0$:

$$ \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{dla } x \ge 0 \\ 0 & \text{dla } x < 0 \end{cases} \end{equation} $$ (11)

Parametry rozkładu

$$ \begin{equation} E(X) = \frac{1}{\lambda} \end{equation} $$ (12)

$$ \begin{equation} Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \end{equation} $$ (13)

ROZKŁAD LOGNORMALNY

Zmienna losowa ma rozkład lognormalny (in. Galtona), jeśli jej logarytm naturalny $\ln(X)$ charakteryzuje się rozkładem normalnym $N(\mu, \sigma)$. Pojawia się naturalnie w procesach, gdzie końcowy efekt jest iloczynem (a nie sumą) wielu małych, niezależnych czynników losowych (tzw. prawo efektu proporcjonalnego).

Funkcja gęstości

Ponieważ zmienna lognormalna przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie ($x > 0$), jej gęstość opisuje wzór:

$$ \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}} & \text{dla } x > 0 \\ 0 & \text{dla } x \le 0 \end{cases} \end{equation} $$ (14)

Gdzie $\mu$ oraz $\sigma$ są odpowiednio wartością oczekiwaną i odchyleniem standardowym logarytmu zmiennej ($\ln X$), a nie samej zmiennej $X$.

Rozkład lognormalny — Fig. 8. Funkcja gęstości f(x) rozkładu lognormalnego o silnej asymetrii prawostronnej

Parametry rozkładu

Ze względu na prawostronną asymetrię (skośność), wartość oczekiwana zmiennej $X$ jest większa od jej mediany i dominanty:

$$ \begin{equation} E(X) = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \end{equation} $$ (15)

$$ \begin{equation} Var(X) = \left(e^{\sigma^2} - 1\right) e^{2\mu + \sigma^2} \end{equation} $$ (16)

Dystrybuanta rozkładu lognormalnego — Fig. 9. Dystrybuanta F(x) rozkładu lognormalnego

ROZKŁAD CHI-KWADRAT ($\chi^2$)

Rozkład $\chi^2$ (Chi-kwadrat) powstaje jako suma kwadratów $k$ niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym $N(0,1)$. Liczba tych zmiennych wyznacza podstawowy parametr rozkładu – liczbę stopni swobody ($k$).

Funkcja gęstości

Rozkład $\chi^2$ jest określony wyłącznie dla wartości nieujemnych ($x \ge 0$):

$$ \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}} & \text{dla } x > 0 \\ 0 & \text{dla } x \le 0 \end{cases} \end{equation} $$ (17)

Gdzie $\Gamma(z)$ oznacza funkcję Gamma Eulera. Dla małych wartości stopni swobody ($k \le 2$) wykres gęstości jest silnie skośny, natomiast wraz ze wzrostem $k$ kształt rozkładu dąży do rozkładu normalnego.

Rozkład Chi-kwadrat — Fig. 10. Funkcja gęstości f(x) rozkładu $\chi^2$ dla liczby stopni swobody k = 10

Parametry rozkładu

$$ \begin{equation} E(X) = k \end{equation} $$ (18)

$$ \begin{equation} Var(X) = 2k \end{equation} $$ (19)

Dystrybuanta rozkładu Chi-kwadrat — Fig. 11. Dystrybuanta F(x) rozkładu $\chi^2$

Wartości dystrybuanty F(x) rozkładu $\chi^2$, odczytuje się z tablic statystycznych albo oblicza za pomocą kalkulatorów.

ROZKŁAD t-STUDENTA

Rozkład t-Studenta opisuje zmienną losową stanowiącą iloraz zmiennej o rozkładzie $N(0,1)$ i pierwiastka ze zmiennej o rozkładzie $\chi^2$ podzielonej przez liczbę jej stopni swobody $k$. Odgrywa kluczową rolę w wnioskowaniu statystycznym na małych próbach, gdy odchylenie standardowe populacji nie jest znane.

Funkcja gęstości

Wykres gęstości jest symetryczny względem zera i przypomina kształtem dzwon Gaussa, jednak posiada tzw. „grubsze ogony” (większe prawdopodobieństwo wartości skrajnych):

$$ \begin{equation} f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{k\pi} \, \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}} \end{equation} $$ (20)

Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody ($k \to \infty$), rozkład $t$-Studenta zbiega do standardowego rozkładu normalnego $N(0,1)$ (w praktyce dla $k > 30$ różnice są znikome).

Parametry rozkładu

$$ \begin{equation} E(X) = 0 \quad \text{dla } k > 1 \end{equation} $$ (21)

$$ \begin{equation} Var(X) = \frac{k}{k - 2} \quad \text{dla } k > 2 \end{equation} $$ (22)

Dystrybuanta rozkładu t-Studenta — Fig. 13. Dystrybuanta F(x) rozkładu t-Studenta

Wartości dystrybuanty rozkładu t-Studenta, odczytuje się z tablic statystycznych albo oblicza za pomocą kalkulatorów.

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ PRZYRODNICZYCH

Rozkłady ciągłe stanowią podstawowe narzędzie modelowania w geologii, hydrogeologii i geofizyce:

Rozkład normalny: błędy pomiarowe w geodezji i pomiarach geofizycznych, wahania zawartości głównych składników chemicznych w homogenicznej skałce, rozkład średnic ziaren w osadach piaszczystych.
Rozkład lognormalny: rozkład wielkości samorodków złota, stężenia pierwiastków śladowych w skale, rozkład zasobności złóż surowców mineralnych, miąższość warstw osadowych oraz przepuszczalność skał w hydrogeologii.
Rozkład wykładniczy: czas oczekiwania na spływ grawitacyjny lub lawinę, gęstość i odległości między spękaniami tektonicznymi wzdłuż profilu wiertniczego, czas między kolejnymi wstrząsami sejsmicznymi.
Rozkład Chi-kwadrat (χ²): weryfikacja zgodności empirycznych rozkładów uziarnienia lub spękań z modelami teoretycznymi (testy fitowania), ocena wariancji błędów pomiarowych oraz estymacja niepewności parametrów fizycznych skał.
Rozkład t-Studenta: wnioskowanie statystyczne i testowanie hipotez na małych próbach rdzeni wiertniczych (np. wyznaczanie przedziałów ufności dla średniej wytrzymałości skał lub średniej porowatości, gdy nie znamy odchylenia standardowego całej populacji).

Powiązane tematy:

rozkład jednostajny rozkład normalny rozkład Gaussa krzywa Gaussa krzywa dzwonowa standaryzowany rozkład normalny rozkład normalny standaryzowany rozkład wykładniczy rozkład lognormalny rozkład chi-kwadrat rozkład chi2 rozkład t-Studenta statystyka rozkłady ciągłe funkcja gęstości prawdopodobieństwa dystrybuanta zmienna losowa wartość oczekiwaną wariancja Tomasz Bartuś AGH dydaktyka zajęcia WGGiOŚ