Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Mechanika - zadania

Punkt materialny porusza się w ten sposób, że jego położenie jest następującą funkcją czasu:

Wyrazić prędkość i przyspieszenie tego punktu materialnego jako funkcje czasu. Jaki jest kształt drogi tego punktu materialnego?

Ciało wyrzucono pod kątem do poziomu z prędkością v₀. Zaniedbując opór powietrza i przyjmując wartość przyspieszenia ziemskiego g, znaleźć:

równanie ruchu,
równanie toru ciała,
maksymalny zasięg i wysokość na jaką wzniesie się ciało.

Pokazać, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym droga przebyta przez ciało wyraża się znanym wzorem:

s(t) = 1/2 at² + v₀t + s₀

Pokazać, że pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia ale przeciwnie skierowanej położenie ciała zmienia się sinusoidalnie w czasie.

Rozwiązać problem wahadła matematycznego dla małych wychyleń. W szczególności rozwiązać równanie ruchu i znaleźć okres drgań wahadła.

Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v₁, prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem:

gdzie v₀, L - stałe (L jest szerokością rzeki). Znaleźć:

wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych brzegów,
kształt toru łódki.

Znaleźć składowe przyspieszenia w biegunowym układzie współrzędnych , gdzie:

Znaleźć tor po jakim w płaszczyźnie xy leci ze stałą prędkością v samolotem ponaddźwiękowym pilot, który chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym samolocie huk silnika z całego toru. W chwili t=0 samolot znajdował się w odległości r₀ od punktu, w którym stoją jego koledzy a wektor położenia tworzył kąt z płaszczyzną poziomą.

Punkt o masie m porusza się pod wpływem siły centralnej po torze w kształcie okręgu o promieniu R który przechodzi przez centrum działania siły (rysunek). Jak zależy wartość tej siły od odległości od centrum?

Kula o masie m uderza w nieruchomą kulę o masie M i pozostaje w niej. Jaka część energii kinetycznej kuli zamieni się w energię wewnętrzną (zakładamy zderzenie idealnie niesprężyste)?

Kula o masie m poruszająca się z prędkością v₀ zderza się sprężyście ze spoczywającą kulą o masie M. Przy założeniu, że zderzenie jest centralne, obliczyć prędkość i energię kinetyczną kuli o masie m po zderzeniu. Kiedy strata energii jest największa?

Piłeczka pingpongowa po uderzeniu o podłoge traci 1/k część swojej energii kinetycznej. Znaleźć całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h, aż do chwili zatrzymania się. Współczynik k>1.

Na gładkim stole leży sznur, 1/4 długości sznura zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas, po którym cały sznur spadnie ze stołu na podłogę, jeżeli w chwili t = 0 jego predkość równa się zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.

Kamień o masie m puszczono swobodnie (v₀=0) do studni, w której poziom wody znajduje się na głębokości d. Zakładamy, że kamień w powietrzu spada swobodnie, natomiast w wodzie działa na niego siła oporu proporcjonalna do prędkości: . Znaleźć zależność położenia, prędkości i przyspieszenia kamenia od czasu.

Samochód o masie m hamowany jest siłą oporu F = kv². Jaką drogę przebędzie samochód, zanim jego prędkość zmaleje do połowy?

W kabinie windy zawieszono lekki bloczek przez który przerzucono nić, na końcach której zawieszono masy m₁ i m₂>m₁. Z jakim przyspieszeniem względem windy będą poruszać się ciężarki jeżeli:

winda stoi nieruchomo
winda startuje ku górze
winda startuje ku dołowi
winda jadąca w dół hamuje?

Przyspieszenie windy a = g/2. Opory ruchu zaniedbać.

Korzystając z definicji momentu bezwładności:

znaleźć moment bezwładności

cienkiego pręta o masie m i długości l względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez:
- koniec pręta
- środek pręta
oraz walca (o promieniu R i wysokości H, wykonanego z materiału o gęstości ) względem jego osi symetrii.

Przez nieruchomy krążek o promieniu R przerzucono nieważką nić, na której końcach zamocowano masy m₁ i m₂. Moment bezwładności krążka względem jego osi obrotu wynosi I. Zakładamy, że nić nie może ślizgać się po krążku oraz że nie ma tarcia w jego osi. Znaleźć przyspieszenie kątowe krążka oraz siły naciągu działające na prostoliniowe odcinki.

Na płaszczyźnie poziomej leży szpula o masie m, promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R. Moment bezwładności szpulki względem jej osi symetrii wynosi

, zaś współczynik tarcia posuwistego między szpulką a płaszczyzną jest równy k. Do końca nici przyłożono stałą siłę F. Znaleźć wartość i kierunek przyspieszenia osi szpulki, gdy toczy się ona bez poślizgu.

Nieważki krążek zamocowany jest na końcu stołu. Masy m₀, m₁ i m₂ połączone są nieważką nicią przerzuconą przez krążek. Zakładając, że krążek obraca się bez tarcia oraz, że masa m₀ porusza się w dół znaleźć jej przyspieszenie i siłę działającą na nić łączącą masy m₁ i m₂, jeżeli współczyniki tarcia miedzy powierzchnią stołu a masami m₁ i m₂ są różne i wynoszą odpowiednio k₁ i k₂.

W układzie przedstawionym na rysunku znamy kąt nachylenia

względem poziomu oraz współczynik tarcia k między tą płaszczyzną a ciałem m₁. Masę krążka i nici oraz tarcie w krążku zaniedbujemy. Przyjmując, że w chwili początkowej obie masy były nieruchome, wyliczyć stosunek mas m₂/m₁, przy którym masa m₂:

zacznie poruszać się w dół,
zacznie poruszać się w górę,
pozostanie w spoczynku.

Autorzy: Marcin Mączka, Wojciech Jurek, Jakub Lipiński, Grzegorz Maczuga