Środek masy

9.1 Środek masy

Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. obdarzone masą cząstki bezwymiarowe (o zerowej objętości) co wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch może być bardzo skomplikowany. Ciało może wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład takiego ruchu jest przedstawiony na rysunku-animacji poniżej.

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

Rys. 9.1. Ciało wykonuje skomplikowany ruch obrotowy za wyjątkiem jednego punktu, który porusza się po linii prostej

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy . Sposób wyznaczania środka masy zilustrujemy następującym przykładem

Przykład

Rozważamy układ dwóch różnych mas m₁ i m₂ pokazanych na rysunku 9.2.

Rys. 9.2. Środek masy układu dwóch mas

Położenie środka masy tego układu definiujemy jako

(9.1)

lub

(9.2)

Widzimy, że położenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak średnią ważoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.

Przez analogię dla układu n cząstek (punktów materialnych) współrzędna x środka masy jest dana zależnością

(9.3)

gdzie suma mas m_i poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą M układu.

Postępując w ten sam sposób możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne y, z. W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne (analogiczne do 9.3), które możemy zastąpić jednym równaniem wektorowym

(9.4)

Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym.

Ćwiczenie
Znajdź środek masy układu trzech cząstek o masach m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg i m₃ = 3 kg, umieszczonych w wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku a = 1 m. Sprawdź obliczenia i wynik.

Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.