Wyprowadzenie prawa Ohma

Jak już powiedzieliśmy wcześniej, nośnikami ładunku w metalu są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony tzw. elektrony przewodnictwa. Bez pola elektrycznego elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach i dlatego nie obserwujemy przepływu prądu. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak jak cząsteczki gazu zamknięte w zbiorniku. Dlatego, podobnie jak w przypadku gazu, do opisu zderzeń posłużymy się pojęciem średniej drogi swobodnej λ (droga przebywana przez elektron pomiędzy kolejnymi zderzeniami). Jeżeli u jest prędkością ruchu chaotycznego elektronów to średni czas pomiędzy zderzeniami wynosi Δt = λ/u.

Jeżeli do przewodnika przyłożymy napięcie to na każdy elektron będzie działała siła F = −eE i po czasie Δt ruch chaotyczny każdego elektronu zostanie zmodyfikowany; elektron uzyska prędkość unoszenia v_u = Δu.
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona

(1)

a stąd

(2)

Podstawiając za Δt = λ/u otrzymujemy

(3)

Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów. Przy każdym zderzeniu z atomem elektron traci prędkość unoszenia. Średnia droga swobodna λ jest tak mała, że v_u jest zawsze dużo mniejsza od u.

Możemy teraz obliczyć natężenie prądu wstawiając za prędkość wyrażenie (3) do wzoru (21.5)

(4)

Natomiast opór elementu przewodnika o długości l wyznaczamy z prawa Ohma korzystając z faktu, że napięcie U = El.

(5)

Widzimy, że opór R jest proporcjonalny do długości przewodnika l i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju S. Równanie (5) możemy przepisać w postaci

(6)

Stałą ρ nazywamy oporem właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność σ = 1/ρ przewodnością właściwą.

Z równania (5) wynika, że opór właściwy pozostaje stały tak długo jak długo stała jest prędkość u. Przypomnijmy sobie (paragraf 15.2, moduł V), że prędkość ruchu przypadkowego cząsteczek zależy tylko od temperatury. Tym samym opór właściwy też zależy od temperatury.