Obwody RC i RL, stałe czasowe

Obwód RC

Na rysunku 1 pokazany jest obwód złożony z opornika R, pojemności C i idealnego (bez oporu wewnętrznego) źródła napięcia (SEM) ε. Celem naładowania kondensatora zamykamy wyłącznik do pozycji (a).

Rys. 1. Obwód RC

Prąd jaki popłynie w obwodzie RC obliczamy korzystając z prawa Kirchoffa, zgodnie z którym

(1)

lub

(2)

Ponieważ I = dQ/dt więc

(3)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja Q(t) postaci

(4)

Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności I = dQ/dt

(5)

Obie zależności zostały pokazane na rysunku 2 poniżej.

Rys. 2. Ładowanie kondensatora; a) ładunek na kondensatorze, b) prąd w obwodzie

Z przedstawionych wykresów widać, że ładunek na kondensatorze narasta, a prąd maleje eksponencjalnie z czasem. Szybkość tych zmian zależy od wielkoś τ = RC, która ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu.

Jeżeli teraz w obwodzie przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma źródła SEM i prawo Kirchoffa dla obwodu przyjmuje postać

(6)

lub

(7)

Ponieważ I = dQ/dt więc

(8)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja Q(t) postaci

(9)

Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności I = dQ/dt

(10)

Zarówno ładunek jak i prąd maleją eksponencjalnie ze stałą czasową τ = RC.

Obwód RL

Analogicznie, jak w obwodzie RC, opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu obserwuje się w obwodzie RL ( rysunek 3) przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Rys. 3. Obwód RL

Gdyby w obwodzie znajdował się tylko opornik R, to po ustawieniu wyłącznika w pozycji (a) prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/R. Obecność indukcyjności L w obwodzie powoduje, że pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji ε_L, która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε.

Zgodnie z prawem Kirchoffa

(11)

lub

(12)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja I(t) postaci

(13)

Prąd w obwodzie narasta eksponencjalnie ze stałą czasową τ = L/R. Podobnie rośnie napięcie na oporniku R

(14)

Natomiast napięcie na indukcyjności L maleje z tą samą stałą czasową

(15)

Jeżeli po ustaleniu się prądu w obwodzie przestawimy przełącznik do pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i spowodujemy zanik prądu w obwodzie. Ponownie jednak indukcyjność L powoduje, że prąd nie zanika natychmiastowo.

Spadek prądu obliczamy ponownie na podstawie prawa Kirchoffa (równanie 12) uwzględniając, że ε = 0

(16)

Rozwiązanie tego równania ma postać

(17)

Obserwujemy zanik prądu, ponownie ze stałą czasową τ = L/R.