JM

Ta strona jest tylko do odczytu. Możesz wyświetlić źródła tej strony ale nie możesz ich zmienić.
====== Różniczkowanie symboliczne i algorytmiczne ====== 

- Zadanie 2.1  ** Obliczania pochodnej: ręcznie, symbolicznie i algorytmicznie **
  * Funkcja ma postać:  f(x) = (x^2+1)^(1/2) - x.
  * Ręcznie: wyznaczamy funkcję pochodną "na papierze".
  * Symbolicznie: poleceniem  syms x  tworzymy zmienną symboliczną; różniczkujemy f(x) funkcją diff().
  * Algorytmicznie: tworzymy graf obliczeń funkcji i pochodnej.
  * Piszemy 3 procedury - dla każdego ww. sposobu obliczania pochodnej.
  * Obliczamy wartości pochodnych w punktach 10^3 … 10^15.
  * W jednym układzie współrzędnych zaznaczamy wyniki otrzywane trzema ww. metodami.
- Zadanie 2.2  ** Porównanie algebraicznego różniczkowania "w przód" i "wstecz" **
  * Funkcja dwóch zmiennych: f(x,y) = sqrt(x*y +sin(x) + 4) * (3*y^2 + 6).
  * Należy zbudować graf obliczeń wartości funkcji, graf obliczeń pochodnej "w przód" oraz graf obliczeń pochodnej wstecz.
  * Obliczamy pochodną dla x=2;  y = 3; 
    * ręcznie albo korzystając z wzorów otrzymanych z obliczeń symbolicznych,
    * wg grafu obliczeń w przód,
    * wg grafu obliczeń wstecz.
  * Należy porównać wyniki obliczeń (w formacie long).
  * Ew. proszę porównać czas obliczeń funkcji i pochodnych różnymi metodami
    * Do pomiaru czasu można wykorzystać polecenia tic i toc.
    * Należy rozróżnić algorytm z lub bez wywoływania funkcji.
    * Pierwszy pomiar będzie obejmował czas kompilacji - powtórne już nie. 
- Zadanie 2.3 ** Kilka działań w arytmetyce przedziałowej **
  * mupad - wejście do notebooka MuPAD.
  * x := Dom::Interval([-1],[1]); y:= x^2+x - ilustracja "dependency problem".
  * Inny przykład - z funkcją sin(2*x).
  * Działania na liczbach reprezentowanych z zadaną dokładnością:
    * DIGITS := 30;
    * Proszę zdefiniować przedział x oraz przedział y i obliczyć wartość funkcji z zadania 2.2 
- Zadanie 2.4* ** Obliczanie pochodnych z zastosowaniem liczb dualnych **
  * Plik z przykładem obliczeń w dziedzinie liczb dualnych (w C++) {{dydaktyka:aniss:testliczbdualnych.cpp}}
  * Plik z funkcją obliczającą siłę oporu dynamicznego samolotu (w C) {{dydaktyka:aniss:drag.c}}.
  * Należy napisać program, który oblicza wartość siły oporu i jej pochodnej względem każdej ze zmiennych (h, v i sterowania u) w zadanym punkcie, np h=11000 m, v=720 m/s, u=0 (lot poziomy).
  * Uwaga: Plik z przykładem obliczeń trzeba uzupełnić - nie zawiera przeciążeń wszystkich potrzebnych operatorów i funkcji.
  * Część dodatkowa: Te same pochodne należy obliczyć z zastosowaniem liczb zespolonych. Należy porównać osiąganą dokładność i czas obliczeń.  
-Zadanie 2.5 ** Proste kwadratury złożone **
  * Całkę z np. funkcji wykładniczej w przedziale [0,1] proszę obliczyć stosując kwadraturę (w wersji złożonej) prostokątów w przód, a następnie prostokątów wstecz.
  * Obliczenia należy powtórzyć kilka razy, każdorazowo zwiększając liczbę podprzedziałów (skracając długość h podprzedziału do połowy - liczba podprzedziałów wzrośnie 2 razy).
  * Wartość dokładną należy obliczyć metodami analitycznmi (ew. symbolicznie) - należy obliczyć błąd bezwzględny obu metod.
  * Czy porównanie błędów obu metod wskazuje na możliwość uzyskania z tych wyników rezultatu pozbawionego głównej części tych błędów? Do której kwadratury to prowadzi?
  * Podobne porównanie należy przeprowadzić dla kwadratur: trapezów i prostokątów punktu środkowego. 
  * Do jakiej relacji między tymi błędami zmierzamy gdy zmniejszamy krok (zagęszczamy podział całego przedziału na podprzedziały)?
  * Należy ww. relację porównać z wzorami Porównanie obserwowanego błędu (albo błędu teoretycznego, widocznego we wzorach dla tych kwadratur) prowadzi do możliwości wyeliminowania głównej części błędów obu tych metod. Którą kwadraturę otrzymujemy?	
-Zadanie 2.6* ** Kwadratury Romberga **
  * Całkę z zadania 2.5 należy obliczyć metodą trapezów.
  * Korzystając z ekstrapolacji Richardsona należy obliczyć 5 kwadratur Romberga (przypominam, że każda kolejna kwadratura - każdy etap - wymaga obliczenia kwadratury trapezów z krokiem 2 razy krótszym).
  * Jak zmienia się błąd kolejnych kwadratur?
JM

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Narzędzia strony
