JM

====== Różniczkowanie symboliczne i algorytmiczne ====== - Zadanie 2.1 ** Obliczania pochodnej: ręcznie, symbolicznie i algorytmicznie ** * Funkcja ma postać: f(x) = (x^2+1)^(1/2) - x. * Ręcznie: wyznaczamy funkcję pochodną "na papierze". * Symbolicznie: poleceniem syms x tworzymy zmienną symboliczną; różniczkujemy f(x) funkcją diff(). * Algorytmicznie: tworzymy graf obliczeń funkcji i pochodnej. * Piszemy 3 procedury - dla każdego ww. sposobu obliczania pochodnej. * Obliczamy wartości pochodnych w punktach 10^3 … 10^15. * W jednym układzie współrzędnych zaznaczamy wyniki otrzywane trzema ww. metodami. - Zadanie 2.2 ** Porównanie algebraicznego różniczkowania "w przód" i "wstecz" ** * Funkcja dwóch zmiennych: f(x,y) = sqrt(x*y +sin(x) + 4) * (3*y^2 + 6). * Należy zbudować graf obliczeń wartości funkcji, graf obliczeń pochodnej "w przód" oraz graf obliczeń pochodnej wstecz. * Obliczamy pochodną dla x=2; y = 3; * ręcznie albo korzystając z wzorów otrzymanych z obliczeń symbolicznych, * wg grafu obliczeń w przód, * wg grafu obliczeń wstecz. * Należy porównać wyniki obliczeń (w formacie long). * Ew. proszę porównać czas obliczeń funkcji i pochodnych różnymi metodami * Do pomiaru czasu można wykorzystać polecenia tic i toc. * Należy rozróżnić algorytm z lub bez wywoływania funkcji. * Pierwszy pomiar będzie obejmował czas kompilacji - powtórne już nie. - Zadanie 2.3 ** Kilka działań w arytmetyce przedziałowej ** * mupad - wejście do notebooka MuPAD. * x := Dom::Interval([-1],[1]); y:= x^2+x - ilustracja "dependency problem". * Inny przykład - z funkcją sin(2*x). * Działania na liczbach reprezentowanych z zadaną dokładnością: * DIGITS := 30; * Proszę zdefiniować przedział x oraz przedział y i obliczyć wartość funkcji z zadania 2.2 - Zadanie 2.4* ** Obliczanie pochodnych z zastosowaniem liczb dualnych ** * Plik z przykładem obliczeń w dziedzinie liczb dualnych (w C++) {{dydaktyka:aniss:testliczbdualnych.cpp}} * Plik z funkcją obliczającą siłę oporu dynamicznego samolotu (w C) {{dydaktyka:aniss:drag.c}}. * Należy napisać program, który oblicza wartość siły oporu i jej pochodnej względem każdej ze zmiennych (h, v i sterowania u) w zadanym punkcie, np h=11000 m, v=720 m/s, u=0 (lot poziomy). * Uwaga: Plik z przykładem obliczeń trzeba uzupełnić - nie zawiera przeciążeń wszystkich potrzebnych operatorów i funkcji. * Część dodatkowa: Te same pochodne należy obliczyć z zastosowaniem liczb zespolonych. Należy porównać osiąganą dokładność i czas obliczeń. -Zadanie 2.5 ** Proste kwadratury złożone ** * Całkę z np. funkcji wykładniczej w przedziale [0,1] proszę obliczyć stosując kwadraturę (w wersji złożonej) prostokątów w przód, a następnie prostokątów wstecz. * Obliczenia należy powtórzyć kilka razy, każdorazowo zwiększając liczbę podprzedziałów (skracając długość h podprzedziału do połowy - liczba podprzedziałów wzrośnie 2 razy). * Wartość dokładną należy obliczyć metodami analitycznmi (ew. symbolicznie) - należy obliczyć błąd bezwzględny obu metod. * Czy porównanie błędów obu metod wskazuje na możliwość uzyskania z tych wyników rezultatu pozbawionego głównej części tych błędów? Do której kwadratury to prowadzi? * Podobne porównanie należy przeprowadzić dla kwadratur: trapezów i prostokątów punktu środkowego. * Do jakiej relacji między tymi błędami zmierzamy gdy zmniejszamy krok (zagęszczamy podział całego przedziału na podprzedziały)? * Należy ww. relację porównać z wzorami Porównanie obserwowanego błędu (albo błędu teoretycznego, widocznego we wzorach dla tych kwadratur) prowadzi do możliwości wyeliminowania głównej części błędów obu tych metod. Którą kwadraturę otrzymujemy? -Zadanie 2.6* ** Kwadratury Romberga ** * Całkę z zadania 2.5 należy obliczyć metodą trapezów. * Korzystając z ekstrapolacji Richardsona należy obliczyć 5 kwadratur Romberga (przypominam, że każda kolejna kwadratura - każdy etap - wymaga obliczenia kwadratury trapezów z krokiem 2 razy krótszym). * Jak zmienia się błąd kolejnych kwadratur?